Index des principaux théorèmes
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Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.

Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge,  alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
Abel ( théorème d' –  radial ) 		E.5.2 e E.5.3 ce
Soient $\,f:I\to\bb K\,$ dérivable et $\,\lambda>0\,$ tels que : $\,|f^{\sp{1.5}\prime}|\leq\lambda\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app I^2,\ \big|f(x)-f(y)\big|\leq\lambda\,|x-y\sp{1.5}|$
accroissements finis ( inégalité des  –  ) 		D.4.1 d E.3.3 b
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Alors, il existe un $\,c\sp{1.5}\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que :
$\displaystyle{}\smh{2.25}{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$
accroissements finis ( théorème des  –  ) 		D.3.3 ad D.4.6 c
Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$

Alors  pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$  est  convergente.

Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$
alternées ( théorème des séries  –  ) 		E.2.5 abc E.2.6 bc E.4.1 b E.4.2 c E.5.2 e E.5.3 c
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

$f$ est diagonalisable  ssi  il existe un polynôme annulateur de $f$ scindé à racines simples.
annulateur ( polynôme  –  et diagonalisabilité ) 		B.6.6 ad
Soient deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé tels que $\,P(A) >0\,$ et $\,P(B) >0\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}P(B\sp{1.5}|A)=\frac{P(A\sp{1.5}|B)\sp{1.5}P(B)}{P(A)}$
Bayes ( formule de  –  ) 		G.1.3 ab
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}a^n-b^n=(a-b){\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}a^k\sp{1.5}b^{n-1-k}\bigg)}$
Bernoulli ( formule de  –  dans $\bb C$ ) 		A.3.4 c A.3.6 bc E.1.2 c E.1.3 b
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
Bernoulli ( formule de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.4 bc A.8.5 abcd B.3.5 b B.6.6 d
Pour $A,B\app\sc M_n(\bb K)$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N^{\ast},$ on a :
$\displaystyle{}A^p-B^{\sp{1.5}p}=(A-B)\sp{1.5}\Big(\dsum_{k=0}^{p-1}A^k\sp{1.5}B^{\,p-1-k}\Big)$
On en déduit en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B),\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
Bernoulli ( formule de  –  dans $\scr M_n$($\bb K$) ) 		C.2.2 c
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$  alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
Bézout ( théorème de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.4 c A.8.6 cde
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ;  alors :
$\displaystyle{}a\land b= 1\Ssi\iex \,(u,v)\app\bb Z^2,\ a\sp{1.5}u+b\sp{1.5}v=1$
Bézout ( théorème de  –  dans $\bb Z$ ) 		A.3.8 c
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire réelle avec $\,E(X^2)\,$ finie ;  alors :
$\displaystyle{}\ptt \alpha >0\sp{1.5},\ P\big(\big|X-E(X)\big|\geq\alpha\big)\leq\frac{V(X)}{\alpha^2}$
Bienaymé-Tchebychev ( inégalité de  –  ) 		G.2.5 ab
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue et strictement monotone sur un intervalle.

Alors, $f$ induit une bijection $\,\smh0{\widehat f}: x\mapsto f(x)\,$ entre $I$ et $\,J=f(I)\sp{1.5}.\,$

$\,\smh{.75}{(\widehat f\,)^{-1}}\,$ est continue, strictement monotone et de même sens que $f\,.$
bijection ( théorème de la  –  ) 		D.2.4 abc D.3.2 ab E.1.5 abc
Soit $X$ la somme de $n$ variables de Bernoulli $\sc B(p)$ indépendantes.

Alors  la variable aléatoire $X $ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\sp{1.5}.\,$
binomial (schéma  –  ) 		G.2.3 b
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
binôme ( formule du  –  dans $\bb C$ ) 		A.3.3 b A.5.5 c A.6.4 abc A.7.2 c F.1.1 b G.2.3 bc
Pour $\,A,B\app\bb K[X]\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule du binôme :
$\displaystyle{}(A+B)^n=\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,n-k}$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
binôme ( formule du  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.5 de B.2.5 cd
Pour $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N,$ on a :
$\displaystyle{}(A+B)^p=\sum_{k=0}^{p}\binome{p\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,p-k}$
On en déduit en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2\sp{-1.5}B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
binôme ( formule du  –  dans $\scr M_n$($\bb K$) ) 		B.3.4 b B.6.4 a C.2.2 b
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus grand minorant :
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
borne inférieure d'une partie de $\bb R$ 		A.4.2 c A.4.6 ac C.3.5 c F.1.5 a
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus petit majorant :
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
borne supérieure d'une partie de $\bb R$ 		A.4.2 c A.4.6 abc D.2.2 ab E.3.3 c F.1.5 c F.2.1 b
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue ; alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
bornes atteintes ( théorème des  –  ) 		D.4.1 d D.4.5 abcd D.5.4 e E.3.3 b E.4.3 b F.2.1 b
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$

Leur produit de Cauchy $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est  une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
Cauchy ( produit de  –  de séries entières ) 		E.5.3 bde
Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ des séries numériques absolument convergentes.

Alors  leur produit de Cauchy $\sum w_n$ est absolument convergent et :
$\displaystyle{}\sum_{n=0}^{+\I}w_n=\bigg(\sum_{n=0}^{+\I}u_n\bigg)\bigg(\sum_{n=0}^{+\I}v_n\bigg)$
Cauchy ( produit de  –  de séries numériques ) 		E.2.6 abc
Soient $\,a,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Alors  la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\e{-A(x)}+\gamma(x)\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\,$ et $\,\gamma\,$ une solution particulière de $\,(\sc E_f)\sp{1.5}.\,$
Cauchy-Lipschitz ( théorème de  –  à l'ordre 1 ) 		D.6.1 abcd D.6.3 a
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
Cauchy-Lipschitz ( théorème de  –  à l'ordre 2 ) 		D.6.2 abc D.6.4 abc
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu  ssi  le couple $(u,v)$ est lié.
Cauchy-Schwarz ( inégalité de  –  ) 		C.1.3 abc C.2.1 c G.2.4 b
Pour $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\,$ et $\,f,\sp{1.5}g:[a,b]\to\bb R\,$ continues, on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\bigg(\int_a^b\!f(x)\,g(x)\d x\bigg)^{\!2}\leq \int_a^b\!f(x)^2\d x\,.\!\int_a^b\!g(x)^2\d x$
Cette inégalité est une égalité  ssi  $f$ et $g$ sont colinéaires.
Cauchy-Schwarz ( inégalité de  –  intégrale ) 		D.4.7 ab
Soient des variables aléatoires réelles $X$ et $Y\sp{1.5}.$

Si $\,E(X^2)\,$ et $\,E(Y^2)\,$ sont finies,  alors $\,E(X\sp{1.5}Y)\,$ et fini et :
$\displaystyle{}E(X\sp{1.5}Y)^2\leq E(X^2)\,E(Y^2)$
Cauchy-Schwarz ( inégalité de  –  probabiliste ) 		G.2.5 c
Soit $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de dimension finie.

Tout $\,f\app\sc L(E)\,$ annule son polynôme caractéristique :  $\,\chi_f(f)=0\sp{1.5}.\,$
Cayley-Hamilton ( théorème de  –  dans ${\scr L}$($E$) ) 		B.6.7 b
Toute $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ annule son polynôme caractéristique :  $\,\chi_A(A)=0\sp{1.5}.\,$
Cayley-Hamilton ( théorème de  –  dans ${\scr M}_n$($\bb K$) ) 		B.6.7 a C.2.4 d
Soit $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ une suite complexe et $\,\ell\app\bb C\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\lim n{+\I}\smh{1.5}{\bigg(\frac1n\sum_{k=1}^nu_k\bigg)}=\ell$
Cesaro ( théorème de  –  ) 		E.1.1 d E.2.6 c
$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$
  • Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
  • la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
    $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$
caractéristique ( polynôme  –  de $A\app{\scr M}_n$($\bb K$) ) 		B.6.3 abcd B.6.4 abc B.6.5 ab B.6.7 a C.2.4 ad C.2.5 c D.6.5 abcd F.2.3 b
En dimension $n,$ $f\app\sc L(E)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_f(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}\op{Id}_E-f)\sp{1.5}.\,$
  • Les valeurs propres $\lambda$ de $f$ sont les racines de $\,\chi_f(X)\sp{1.5};\,$
  • la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_f(X)$ vérifie :
    $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(f))\leq m(\lambda)$
caractéristique ( polynôme  –  de $f\app{\scr L}$($E$) ) 		B.6.1 b B.6.6 c B.6.7 b
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$

Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors  $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
chaîne ( règle de la  –  ) 		F.3.1 d F.3.2 a
Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1(J,I)\sp{1.5};\,$ pour $\alpha,\beta\app J\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}\int_{x=\phi(\alpha)}^{x=\phi(\beta)}\!f(x)\d x=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!f\big(\phi(t)\big)\phi'(t)\d t$
En pratique, on pose $\,x=\phi(t)\,$ et les différentielles $\,\d x=\phi'(t)\d t\sp{1.5}.\,$
changement de variable ( intégration par  –  ) 		C.2.1 de D.4.3 abcde
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,$ et :
$\displaystyle{}f:E_1\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_p \to F\,\txt{et}\,g:E_{p+1}\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_n \to G$
Alors, $\,f(X_1,\dots,X_p)\,$ et $\,g(X_{p+1},\dots,X_n)\,$ sont indépendantes.
coalitions (lemme des  –  ) 		G.2.2 a
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,K\,$ une partie compacte de $E\sp{1.5}.$

Si $\,f:K\to F\,$ est continue,  alors  $f(K)$ est une partie compacte de $F.$
compact ( image d'un  –  ) 		F.2.4 b F.3.3 e
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
  • si  la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
  • et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
alors les $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
convergence dominée ( théorème de  –  ) 		D.4.9 abd D.5.4 abcde E.4.3 d
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.

Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors  elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
d'Alembert ( règle de  –  des séries entières ) 		D.6.4 ab E.5.1 bcd E.5.2 e
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.

Si  il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
  • lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
  • lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
d'Alembert ( règle de  –  des séries numériques ) 		D.6.4 c E.2.2 abcd E.4.1 d E.5.1 d E.5.3 d
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$

Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
d'Alembert-Gauss ( théorème de  –  ) 		A.8.2 abc A.8.6 e B.6.5 b
$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :
$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
diagonalisables (caractérisation des matrices  –  ) 		B.6.3 abd B.6.4 b B.6.5 b D.6.5 bcd
Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$
  • lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
  • lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.
dimension ( théorème de la  –  ) 		B.1.2 a B.2.2 d B.2.5 ab B.2.6 d B.3.3 d B.5.2 a C.2.1 c C.4.2 c D.6.4 ab
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :
  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
dimension extrême ( sous-espace de  –  ) 		B.1.4 c B.2.5 abcd B.2.6 cd B.5.1 a C.1.4 b C.1.5 a C.2.1 b C.2.3 d C.2.5 a C.2.6 a D.6.4 c
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$

$Q$ et $R$  sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
division euclidienne dans $\bb K[X]$ 		A.8.1 abcd A.8.5 abc A.8.6 bce B.1.2 a B.2.1 c B.3.5 abc B.6.6 d C.1.5 d D.4.2 d
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe  un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$  sont  le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
division euclidienne dans $\bb Z$ 		A.1.3 b A.1.4 c A.1.7 c A.3.2 bc A.3.4 b A.3.5 a A.3.8 c
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
  • Si  $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
  • et  si  chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
alors  $\sum_{n\geq n_0}\ell_n$ converge vers $\smh{1}{\smb{1.5}{\Op{\sum}_{n=n_0}^{+\I}}}\ell_n=\lim xa S(x)\sp{1.5},$  c'est-à-dire que :
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
double limite ( théorème de la  –  des séries ) 		E.4.1 a E.4.2 b
Soit une suite de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
  • Si  la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
  • et  si  chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
alors $\,(\ell_n)\,$ converge vers $\,\lim n{+\I}\ell_n=\lim xa f(x)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\sp{-1.5}\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\Big)=\lim xa\sp{-1.5}\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}f_n(x)\Big)$
double limite ( théorème de la  –  des suites ) 		E.3.1 d E.3.2 c
Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :
  • soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
  • soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
  • soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$
droites affines ( intersection de  –  dans un plan) 		A.1.3 d C.3.1 c C.3.2 c C.4.2 bc
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
  • $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
  • $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
Euler ( formules d' –  ) 		A.6.3 c A.7.1 c A.7.2 bc A.7.3 ab D.3.5 b D.4.2 b E.4.3 d
Soit $f$ une fonction rationnelle irréductible à pôles simples $\alpha_1,\dots,\alpha_p\sp{1.5}.$

Alors $f$ a une unique décomposition en éléments simples :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}= E(x)+\dfrac{\lambda_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{\lambda_p}{x-\alpha_p}}$
  • La partie entière $E$ est le quotient euclidien de $A$ par $B\sp{1.5};$
  • après simplification par $(x-\alpha_k):$ $\,\lambda_k\!=\!\dfrac{\!A(x)(x-\alpha_k)\!}{B(x)}\Big|_{x=\alpha_k}\!\!\!\!\!\!\,$
éléments simples ( décomposition en  –  ) 		A.6.5 d B.6.1 c D.3.5 a D.4.2 c D.4.3 bc D.5.3 b E.2.6 c E.5.2 d G.2.5 a
Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :
$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
facteurs premiers ( décomposition en  –  ) 		A.1.3 b A.2.2 b A.2.3 b A.3.3 a A.3.5 c A.3.6 c A.3.7 ac A.3.8 bc A.4.4 bc G.1.4 d
Toute fonction continue $\,f:I\to\bb K\,$ admet des primitives sur $I\sp{1.5}.$

Pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ $\,F:x\mapsto\!\dint_a^x\!\! f(t)\d t\,$ est  une de ces primitives.
fondamental ( théorème  –  du calcul intégral ) 		D.4.2 ad D.4.3 b D.4.4 b E.3.4 b E.5.3 d F.1.1 a
Soient $\,A,B,C\app\bb K[X]\sp{1.5};\,$ si  $A$ est premier avec $B$  et  si  $A$ divise $B\sp{1.5}C,$  alors  $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
Gauss ( lemme de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.6 de
Soient $\,a,b,c\app\bb Z\,';\,$ si $\,a\,$ est premier avec $\,b\,$ et  si $\,a\,$ divise $\,b\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ alors $\,a\,$ divise $\,c:\,$
$\displaystyle{}\big(a\land b = 1\ \text{ et }\ a\op{|}(b\sp{1.5}c)\big)\Imp a\op{|}c$
Gauss ( lemme de  –  dans $\bb Z$ ) 		A.2.2 b A.3.8 c A.4.4 bc
Soit, dans un espace préhilbertien réel $E,$ une famille libre $(u_1,\dots,u_p)\,.$

Alors il existe dans $E$ une famille orthonormale $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt k\app\,[\sp{-2.5}[1,p]\sp{-2.5}],\ \op{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\op{Vect}(u_1,\dots,u_k)$

$(e_1,\dots,e_p)$ se déduit de $(u_1,\dots,u_p)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt :
$\displaystyle{}u_k\ot u_k-\smh{1.5}{\tst{\sum}_{i=1}^{k-1}}\ps{e_i}{u_k}\sp{1.5}e_i,\txt{puis :}e_k=\dfrac{u_k}{\|u_k\|}$
Gram-Schmidt ( orthonormalisation de  –  ) 		C.1.5 bd
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Alors  leur somme $F+G$  est  de dimension finie, et on a la formule :
$\displaystyle{}\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$
Grassmann ( formule de  –  ) 		B.1.4 c B.5.1 a
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb R\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$

Alors, cette fonction $f$  est  uniformément continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
Heine ( théorème de  –  ) 		E.3.4 c
Une partie $A$ de $\bb R$ est un intervalle  ssi  $A$ est convexe, c'est-à-dire :
$\displaystyle{}\ptt x\app A\sp{1.5},\,\ptt y\app A\sp{1.5}, \ \big(\sp{1.5}x\leq y\Imp [\sp{1.5}x\sp{1.5},y\sp{1.5}]\subset A\sp{1.5}\big)$
intervalles ( caractérisation des  –  ) 		A.4.2 c D.2.2 b
Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,f_x:t\mapsto f(x,t)\,$ appartenant à $\,L^1(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K)\sp{1.5}.\,$

  • Si  chaque $\,x\mapsto f(x,t)\,$ est de classe $\sc C^1$ de classe sur $I\sp{1.5},$
  • si  chaque $\,t\mapsto\partial f/\partial x(x,t)\,$ est continue par morceaux,
  • et  si  il existe $\,\phi\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[, \bb R)\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ avec :
    $\displaystyle{}\ptt (x,t)\app I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \smb1{\Big|\big(\partial f/\partial x\big)(x,t)\Big|}\leq\phi(t)$
alors  la fonction $\,\smh{.5}{g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!f(x,t)\d t}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ g'(x)=\smh{.5}{\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\d t}$
intégrale à paramètre ( dérivation d'une  –  ) 		D.5.6 abcd
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
  • si  $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
  • et si  la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
 alors  la somme $S$ est intégrable sur $I$ de bornes $a$ et $b\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
intégration terme à terme ( théorème d' –  ) 		E.4.3 abcd
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
inversion d'une matrice $2\times2$ 		B.3.2 ab B.3.3 a C.2.1 c D.6.5 c F.3.4 bd
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible  ssi  pour tout $Y\app\bb{K}^n\sp{1.5},$ $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une solution unique $X\app\bb{K}^n:$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
inversion d'une matrice carrée 		B.3.2 abcd B.3.3 c B.4.4 c B.6.3 d B.6.4 a
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif  ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$

Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
involutifs ( endomorphismes  –  ) 		B.2.3 bd B.2.7 b B.6.6 a
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels de même dimension finie et $\,f\app \sc L(E,E'):\,$
  • $f$ est un isomorphisme  ssi $f$ est injective ;
  • $f\,$ est un isomorphisme  ssi $f$ est surjective.
isomorphisme ( caractérisation d'un  –  ) 		B.2.4 c B.5.1 b
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ une application convexe et $\,(x_1,\dots,x_p)\app I^p\sp{1.5}.\,$

Alors,  pour tout $\,(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\app\bb {\bb R}_+^{\,p}\,$ tel que $\,\lambda_1+\dots+\lambda_p=1,\,$ on a :
$\displaystyle{}f\bigg(\sum_{k=1}^p\lambda_k\,x_k\bigg)\leq \sum_{k=1}^p\lambda_k\sp{1.5}f(x_k)$
Jensen ( inégalité de  –  ) 		D.3.6 b
Pour $\,f,g\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ la fonction $\,f\sp{1.5}g\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I$ avec :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ (f\sp{1.5}g)^{(n)}(x)=\smh{1}{\sum_{k=0}^{n}}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}f^{(k)}(x)\,g^{\sp{1.5}(n-k)}(x)$
Leibniz ( formule de  –  ) 		D.3.5 c D.6.2 c
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ dérivable sur $\,I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\smb0{\lim xaf'(x)}=\ell\sp{1.5}.\,$
  • Lorsque $\,\sth1\ell\app\bb R\sp{1.5},\,$ $f$  est  dérivable en $a\sp{1.5},$ avec : $\,f'(a)=\ell\,;\,$
  • lorsque $\ell=\pm\I\sp{1.5},$  alors : $\,\lim xa\smh{1.7}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell\,.\,$
limite de la dérivée ( théorème de la  –  ) 		B.2.2 d D.3.4 c D.6.3 b
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire numérique d'espérance finie ;  alors :
$\displaystyle{}\ptt \alpha >0\sp{1.5},\ P\big(\sp{1.5}|X|\geq\alpha\big)\leq\frac{E(|X|)}\alpha$
Markov ( inégalité de  –  ) 		G.2.5 a
Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$
  • $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
  • $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$
matrice d'un endomorphisme 		B.2.6 abcd B.2.7 ab B.3.3 c B.4.5 b B.6.4 abc B.6.5 b B.6.6 bc
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel, $\,f\app\sc L(E)\,$ et $\,P_1,\dots,P_r\app\bb K[X]\sp{1.5}.\,$

Si $\,P_1,\dots,P_r\,$ sont deux à deux premiers entre eux, on a  alors :
$\displaystyle{}\op{Ker}\big((P_1\dots P_r)(f)\big)=\op{Ker}(P_1(f))\oplus\cdots\oplus\op{Ker}(P_r(f)).$
noyaux (lemme des  –  ) 		B.6.6 c
Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$
optimisation ${\scr C}^1$ ( théorème d' –  ) 		F.3.3 abcde
Soient $\,f\app\sc C^2(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\,$ un point critique de $f.$

Alors, $\,H_{\sp{-1.5}f}(a)\,$ étant la matrice hessienne de $f$ en $\,a:\,$
  • si $\,H_f(a)\non\app\sc S_n^+(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ n'a pas de minimum local en $\,a\,;\,$
  • si $\,H_f(a)\app\sc S_n^{++}(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ a un minimum local strict en $\,a\sp{1.5}.\,$
Mêmes conditions pour un maximum, avec $\sc S_n^-(\bb R)$ et $\sc S_n^{--}(\bb R)\sp{1.5}.$
optimisation ${\scr C}^2$ ( théorème d' –  ) 		F.3.3 cd
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(A,F)\,$ pour $\,A\subset E:\,$
  • l'image réciproque par $f$ d'un ouvert de $F$  est  l'intersection de $A$ et d'un ouvert de $E\,;$
  • l'image réciproque par $f$ d'un fermé de $F$  est  l'intersection de $A$ et d'un fermé de $E\,.$
ouverts et fermés ( images réciproques des  –  ) 		F.2.2 acd F.2.3 ab F.2.4 a F.3.3 ae
Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ trois points $A\sp{1.5},B$ et $C\,;$  alors :
$\displaystyle{}\Vec{AB}\perp\Vec{AC}\Ssi AB^2+AC^2=BC^2$
Pythagore ( théorème de  –  géométrique ) 		C.4.3 ab
Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ deux vecteurs $u$ et $v\sp{1.5}.$

On a alors le Théorème de Pythagore :
$\displaystyle{}u\perp v\Ssi \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$
Pythagore ( théorème de  –  vectoriel ) 		C.1.2 c C.1.4 c C.2.1 b
Soient $\,f,\sp{1.5}g\app\sc C^1(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\int_a^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g'(x)\d x$
parties ( intégration par  –  ) 		C.2.1 e D.4.4 abcd D.4.9 ad D.5.6 b
Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés une droite affine $\sc D$ et un plan affine $\sc P$ de $E\sp{1.5},$  alors :
  • soit $\sc D$ est incluse dans $\sc P:$ $\,\sc D\subset\sc P\,;\,$
  • soit $\sc D$ et $\sc P$ sont disjoints : $\,\sc D\cap\sc P=\vide\sp{1.5};\,$
  • soit $\sc D$ et $\sc P$ sont sécants : $\,\iex I\app E,\ \sc D\cap\sc P=\{I\}\!\cdot\,$
Dans les deux premiers cas, la droite $\sc D$ est parallèle au plan $\sc P\sp{1.5}.$
plan et droite affines ( intersection de  –  ) 		C.4.2 a
Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés deux plans affines $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5};$  alors :
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont confondus : $\,\sc P_1=\sc P_2\,;\,$
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont strictement parallèles : $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\vide\,;\,$
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont sécants : $\,\sc P_1\cap\sc P_2\,$ est une droite affine.

Dans les deux premiers cas, $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont parallèles : $\,\sc P_1/\!\sp{-1.5}/\sc P_2\,.\,$
plans affines ( intersection de  –  ) 		C.4.2 bc C.4.3 b C.4.5 d
Pour un événement $A$ et un système complet d'événements $\,(B_i)_{i\app I}\,$ avec $\,P(B_i)\neq0:\,$
$\displaystyle{}P(A)=\sum_{i\app I}P(A\cap B_i)=\sum_{i\app I}P(A|B_i)\sp{1.5}P(B_i)$
probabilités totales ( formule des  –  ) 		G.1.3 abcd G.2.1 bd
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur  ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$

Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
projecteurs 		B.2.3 be B.2.7 a C.2.5 b F.1.3 b
Soient $F$ un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien réel $E$ et $u\app E\sp{1.5}.$

Le projeté orthogonal de $u$ sur $F$ est l'unique $\pi_F(u)\app F$ réalisant la distance de $u$ à $F:$
$\displaystyle{}\big\|u-\pi_F(u)\big\|=\min\ens{\|u-v\|}{v\app F}=d\sp{1.5}(u,F)\stb{1.2}$
Si $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ est une base orthonormale de $F\sp{1.5},$  alors :  $\,\pi_F(u)=\smh{1.5}{\dsum_{k=1}^p}\ps{e_k}u\sp{1.5}e_k\,.\,$
projection orthogonale ( théorème de  –  ) 		C.2.1 cd C.4.3 a
Soient dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E,$ deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G.$

La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est l'application $\,p\app \sc L(E):\,$
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
projections vectorielles 		B.2.3 bce B.2.6 ac B.2.7 a C.2.1 b C.4.2 a F.1.3 b
Si $\,f:[a,b]\to\bb K\,$ est continue, ses sommes de Riemann convergent vers son intégrale :
$\displaystyle{}S_n(f)\tend n{+\I}\int_a^bf(x)\d x$
Les $\,S_n(f)\,$ sont les approximations de l'intégrale par la méthode des rectangles.
Riemann ( convergence des sommes de  –  ) 		D.4.1 abcd G.2.2 b
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :
  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
Riemann ( intégrales de  –  ) 		D.5.1 bce D.5.2 ab D.5.3 cd D.5.5 abc D.5.6 d E.2.4 ab E.4.3 a
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge  ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann ( séries de  –  ) 		C.1.3 a E.2.3 abc E.2.4 ab E.2.5 c E.2.6 ab E.4.1 ac E.4.2 bc E.4.3 cd E.5.2 d E.5.3 e
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Si $\,f(a)=f(b)\sp{1.5},\,$ alors  il existe $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que : $\,f'(c)=0\sp{1.5}.\,$
Rolle ( théorème de  –  ) 		D.3.3 bc
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :
$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$
rang ( théorème du  –  ) 		B.2.5 abcd B.2.6 d B.6.2 a B.6.3 b B.6.5 b
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
  • le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
  • le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
    $\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
rang d'une famille de vecteurs 		B.1.3 abd C.3.1 b
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^2\,;$  alors :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\Omega\sp{1.5},\ \ \frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial y\sp{1.5}\partial x}\sp{1.5}(x,y)$
Schwarz ( théorème de  –  ) 		F.3.2 ac
La factorielle de $n$ a pour équivalent lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}n\sp{1.5}!\eq n{+\I}\!\sqrt{2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}n}\,\Big(\dfrac n{\e{}}\Big)^{\!n}$
Stirling ( formule de  –  ) 		E.3.1 c E.5.3 e G.1.1 a
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$

Sa somme $f$  est de classe  $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
série entière ( la somme d'une  –  est ${\scr C}^\infty$ ) 		D.6.4 abc E.5.2 ce E.5.3 ade F.3.2 b
Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :
$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$
  • On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
  • on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$
somme directe de deux sous-espaces vectoriels 		B.1.2 abc B.2.3 cde B.6.6 bc C.2.1 a C.4.2 a
Dans $E$ euclidien, $f\app\sc L(E)$ est autoadjoint  ssi  il vérifie l'une des conditions équivalentes :
  • $E$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $f\,;$
  • $E$ admet une base orthonormale de vecteurs propres de $f\sp{1.5}.$
spectral ( théorème  –  des endomorphismes ) 		C.2.6 ac
$A\app\sc M_n(\bb R)$ est symétrique  ssi  elle vérifie l'une des conditions équivalentes :
  • $\sp{1.5}\bb R^n\sp{-1.5}$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $A\sp{1.5};$
  • $\,\iex P\app\op O(n)\sp{1.5},\ \iex D\app\sc D_n(\bb R)\sp{1.5},\ A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T.\,$
spectral ( théorème  –  des matrices ) 		C.2.4 abd
Soient dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E,$ deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G.$

La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$  est  l'application $\,s\app \op{GL}(E):\,$
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$

On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles 		B.2.3 abd B.2.6 b B.2.7 b B.6.6 a
Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :
$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$
  • Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité :
    $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
  • Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
    $\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$
système linéaire ( solutions d'un  –  ) 		B.5.2 b B.5.3 c
Un système linéaire homogène est un système de la forme $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\sp{1.5},\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

L'ensemble $\sc S$ de ses solutions  est  un sous-espace vectoriel de $\bb K^n$ et il a pour dimension :
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
système linéaire homogène ( solutions d'un  –  ) 		B.3.3 d B.5.1 c B.5.2 ab B.5.3 ab B.6.3 ac
Pour tous $\,P\app\bb K_n[X]\,$ et $\,\alpha\app\bb K\sp{1.5},\,$ on a la formule de Taylor :
$\displaystyle{}P=\dsum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k$
Taylor ( formule de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		B.1.3 c
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n+1}\sp{1.5};$ pour tous $\,a,x\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k\sp{1.5}!}\sp{1.5}(x-a)^k+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n\sp{1.5}!}\,(x-t)^n\d t$
Taylor (formule de  –  avec reste intégral ) 		D.4.6 abc
Soit $\,f\app\sc C^{n+1}(I,\bb K)\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ \big|f^{(n+1)}(x)\big|\leq M\sp{1.5};\,$ pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \Bigg|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k\sp{1.5}!}\sp{1.5}(x-a)^k\Bigg|\leq \frac{M\sp{1.5}|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$
Taylor-Lagrange ( inégalité de  –  ) 		D.4.5 abcd
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
Taylor-Young ( formule de  –  ) 		C.3.5 a D.1.5 ce D.1.7 c D.3.5 bc
Soient une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to F\,$ et $\,f:F\to\bb K\sp{1.5}.\,$

Alors la variable aléatoire $\,f(X)\,$ a pour espérance :
$\displaystyle{}E\big(f(X)\big)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!f(x)\,P(X=x)$
transfert ( formule de  –  ) 		G.2.3 c G.2.4 ac
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est trigonalisable  ssi  son polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ est scindé dans $\,\bb K[X]\sp{1.5}.\,$
trigonalisables (caractérisation des matrices  –  ) 		B.6.4 abc D.6.5 d
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.

Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que :  $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$
valeurs intermédiaires ( théorème des  –  ) 		D.4.8 ab E.1.5 d F.2.5 c
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$

Alors,  il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$

qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
Weierstrass ( théorème de  –  ) 		E.3.4 ab