Sujet A.8.6 Arithmétique des polynômes
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Exercice a
Soient $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ deux polynômes premiers entre eux.
Démontrer que $\,A^2+B^2\,$ et $\,AB\,$ sont alors premiers entre eux.
pgcd de deux polynômes
On appelle pgcd de $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ tout diviseur commun de $A$ et $B$ de degré maximal.
Exactement un seul de ces pgcd est unitaire ; on le note : $\,A\land B\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
lemme de Gauss
Dans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
théorème de Bézout
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
indication
1
Commencer par montrer que les polynômes $\,(A+B\sp{1.5})\,$ et $\,(AB)\,$ sont premiers entre eux.
indication
2
Utiliser l'identité : $\,A^2+B^2=(A+B)^2-2\sp{1.5}AB\,$ pour conclure.
réponse
On établit bien l'implication :
$\displaystyle{}A\land B=1\Imp (A^2+B^2\sp{1.5})\land(AB)=1$
correction
$A$ et $B$ étant
Deux polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux ssi : $\,A\land B=1.\,$
En d'autres termes, leurs seuls diviseurs communs sont les polynômes de degré $\,0\sp{1.5}.\,$
premiers
entre eux, on a selon le
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
principe
de l'algorithme d'Euclide :
$\displaystyle{}\syst{\,(A+B\sp{1.5})\land A&=B\land A=1\\[-.5ex](A+B\sp{1.5})\land B&=A\land B=1}$
En effectuant le
Pour $\,A\sp{1.5},\sp{1.5}B\sp{1.5},\sp{1.5}C\app\bb K[X],\,$ on a les propriétés suivantes :
produit
de $A$ par $B\sp{1.5},$ on en déduit que :
- $\,\big(A\land C =1\txt{et}B\land C =1\big)\Imp(A\sp{1.5}B)\land C= 1\,;\,$
- $\,\big(A\land B =1\txt{et}A\op{\big|}C\txt{et}B\op{\big|}C\big)\Imp (A\sp{1.5}B)\op{\big|}C\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}(A+B\sp{1.5})\land(AB)=1$
Avec le
Pour $\,A\sp{1.5},\sp{1.5}B\sp{1.5},\sp{1.5}C\app\bb K[X],\,$ on a les propriétés suivantes :
produit
de $(A+B)$ par lui-même, on obtient ensuite :
- $\,\big(A\land C =1\txt{et}B\land C =1\big)\Imp(A\sp{1.5}B)\land C= 1\,;\,$
- $\,\big(A\land B =1\txt{et}A\op{\big|}C\txt{et}B\op{\big|}C\big)\Imp (A\sp{1.5}B)\op{\big|}C\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}(A+B\sp{1.5})^2\land(AB)=1$
On utilise encore le
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
principe
de l'algorithme d'Euclide, d'où :
$\eqalign{(A^2+B^2\sp{1.5})\land(AB)&=\big((A+B\sp{1.5})^2-2\sp{1.5}AB\big)\land(AB)\\[-.5ex]
&=(A+B)^2\land(AB)=1}$
On a finalement établi l'implication :
$\displaystyle{}A\land B=1\Imp (A^2+B^2\sp{1.5})\land(AB)=1$
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Exercice b
Calculer un pgcd des deux polynômes suivants :
$\eqalign{A&=X^5 + X^4 - 3X^3 + 2X - 4\\[-.5ex]
B&=X^4 - X^3 - 4X^2 + 2X + 4}$
pgcd de deux polynômes
On appelle pgcd de $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ tout diviseur commun de $A$ et $B$ de degré maximal.
Exactement un seul de ces pgcd est unitaire ; on le note : $\,A\land B\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
lemme de Gauss
Dans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
théorème de Bézout
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
indication
Appliquer l'algorithme d'Euclide à ces deux polynômes.
réponse
On obtient pour pgcd de $A$ et $B:$ $\,A\land B=X^2-2\,.\,$
correction
On applique
On obtient donc : $\,A=B\sp{1.5}(X+2)+ R\,$ pour :
On divise enfin $\,R/3\,$ par $\,4\sp{1.5}X^2-8\sp{1.5},\,$ après division par $4:$
On obtient alors, selon le
Pour calculer le pgcd de $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},B\neq0\sp{1.5},\,$ on calcule le reste $\,R\,$ de la division euclidienne de $\,A\,$ par $\,B\sp{1.5}.\,$On répète cette opération en substituant récursivement au couple $(A\sp{1.5},B)$ le couple $(B\sp{1.5},R)\sp{1.5},$ tant que $\,R\neq0\sp{1.5}.\,$
On obtient une suite de couples ayant tous le même pgcd que $(A\sp{1.5},B)\sp{1.5},$ égal enfin au dernier reste $R_n$ non nul :
l'algorithme
d'Euclide, par une succession de
$\eqalign{(A\sp{1.5},\sp{1.5}B)&\ot&(B\sp{1.5},\sp{1.5}R)&\ot&\cdots&\ot&(R_n\sp{1.5},\sp{1.5}0)\\[-.5ex] A\land B&\,\sp{1.5}=&\,B\land R&\,\sp{1.5}=&\cdots &\,\sp{1.5}=&\,R_n\land 0&=&R_n}$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
divisions
euclidiennes.
On commence en divisant $A$ par $B:$
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{r|l}\!X^5\! + X^4\! - 3X^3 \ph{+6X^2}+ 2X - 4&X^4 - X^3 - 4X^2 + 2X + 4\\[-1ex] 2X^4\!+X^3-2X^2 - 2X - 4& \!\!\!\surl{\,\,\,\smh{.5}{X+2\sp{145}}}\\ 3X^3 + 6X^2\! - 6X\! -\! 12&}$}$ |
$\displaystyle{}R=3\sp{1.5}(X^3 + 2X^2 - 2X - 4)$
On divise maintenant $B$ par $R\sp{1.5},$ préalablement divisé par $3:$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{r|l}X^4 - X^3 - 4X^2 + 2X + 4&X^3 + 2X^2 - 2X - 4\\[-1ex] -3X^3-2X^2 +6X + 4& \!\!\!\surl{\,\,\,\smh{.5}{X-3\sp{100}}}\\ 4X^2\ph{\ \sp{-1.5}\sp{-1.5}+6X}-8&}$}$ |
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{r|l}X^3 + 2X^2 \!- 2X - 4&X^2-2\\[-1ex] 4X^2\ph{\,\sp{1.5}-2X}-8& \!\!\!\surl{\,\,\,\smh{.5}{X-2}\ }\\ 0&}$}$ |
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
principe
de l'algorithme d'Euclide :
$\displaystyle{}A\land B=B\land R=R\land \!(X^2\sp{-1.5}-2)=(X^2\sp{-1.5}-2)\land 0$
On peut en déduire un
On appelle pgcd de $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ tout diviseur commun de $A$ et $B$ de degré maximal.
Exactement un seul de ces pgcd est unitaire ; on le note : $\,A\land B\sp{1.5}.\,$
pgcd
de $A$ et $B:$ $\,A\land B=X^2-2\,.\,$
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Exercice c
On considère dans $\,\bb K[X]\,$ les polynômes suivants :
$\eqalign{A&=X^4 + X^3 - X^2 + X - 2\\[-.5ex]B&=X^3 + X + 2}$
Montrer l'existence et calculer des polynômes $\,U,V\,$ tels que : $\displaystyle{}A\sp{1.5}U+B\sp{1.5}V=1$
pgcd de deux polynômes
On appelle pgcd de $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ tout diviseur commun de $A$ et $B$ de degré maximal.
Exactement un seul de ces pgcd est unitaire ; on le note : $\,A\land B\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
lemme de Gauss
Dans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
théorème de Bézout
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
indication
1
Vérifier que $A$ et $B$ sont premiers entre eux par l'algorithme d'Euclide.
indication
2
À partir des divisions euclidiennes effectuées dans l'algorithme d'Euclide, exprimer chaque reste en fonction de $A$ et $B\sp{1.5}.$
réponse
On obtient bien $\,U,V\app\bb K[X]\,$ tels que $\,A\sp{1.5}U+B\sp{1.5}V=1:\,$
$\displaystyle{}U=\frac{X-1}8\,\txt{et}\,B=-\frac{X^2-3}8$
correction
D'après le théorème de
Les degrés des restes étant strictement décroissants, on a ici le dernier reste non nul : $A$ et $B$ sont bien premiers entre eux.
On peut alors exprimer le nombre $\,1\,$ en fonction de $A$ et $B:$
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
Bézout,
une telle relation suppose que $A$ et $B$ soient
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
Deux polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux ssi : $\,A\land B=1.\,$
En d'autres termes, leurs seuls diviseurs communs sont les polynômes de degré $\,0\sp{1.5}.\,$
premiers
entre eux.
On va le vérifier par
Pour calculer le pgcd de $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},B\neq0\sp{1.5},\,$ on calcule le reste $\,R\,$ de la division euclidienne de $\,A\,$ par $\,B\sp{1.5}.\,$On répète cette opération en substituant récursivement au couple $(A\sp{1.5},B)$ le couple $(B\sp{1.5},R)\sp{1.5},$ tant que $\,R\neq0\sp{1.5}.\,$
On obtient une suite de couples ayant tous le même pgcd que $(A\sp{1.5},B)\sp{1.5},$ égal enfin au dernier reste $R_n$ non nul :
l'algorithme
d'Euclide et faire apparaître la relation demandée grâce aux
$\eqalign{(A\sp{1.5},\sp{1.5}B)&\ot&(B\sp{1.5},\sp{1.5}R)&\ot&\cdots&\ot&(R_n\sp{1.5},\sp{1.5}0)\\[-.5ex] A\land B&\,\sp{1.5}=&\,B\land R&\,\sp{1.5}=&\cdots &\,\sp{1.5}=&\,R_n\land 0&=&R_n}$
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
divisions
euclidiennes effectuées :
On divise $A$ par $B,\sp{1.5}$ et on exprime le reste à partir de $A$ et $B:$
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{r|l}X^4 + X^3 - X^2\, + \,X\sp{1.5}-\sp{1.5} 2&X^3 + X + 2\!\!\!\!\\[-1ex] X^3-2X^2 -\,X\sp{1.5}-2\sp{1.5}& \!\!\!\surl{\,\,\,\smh{.5}{X+1\sp{45}}}\\ -2X^2-\sp{-1.5}2X\sp{-1.5}-4&}$}$ |
$\displaystyle{}\txt{d'où :}R=-2X^2-2X-4=A-B\sp{1.5}(X+1)$
On divise maintenant $B$ par $R\sp{1.5},$ préalablement divisé par $-2:$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{r|l}X^3\ph{\,X^2} + X + 2&X^2+X+2\!\!\!\!\\[-1ex] -X^2 -X+2& \!\!\!\surl{\,\,\,\smh{.5}{X-1\sp{45}}}\\ 4&}$}$ |
$\eqalign{ 1&= \frac14\sp{1.5}\big(B-(X-1)\sp{1.5}(X^2+X+2)\big)\\
&=\frac14\sp{1.5}B+\frac18\,(X-1)\big(A-B\sp{1.5}(X+1)\big)\\
&=\frac{X-1}8\sp{1.5}A-\frac{X^2-3}8\sp{1.5}B}$
On obtient bien $\,U,V\app\bb K[X]\,$ tels que $\,A\sp{1.5}U+B\sp{1.5}V=1:\,$
$\displaystyle{}U=\frac{X-1}8\,\txt{et}\,B=-\frac{X^2-3}8$
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Exercice d
Soit $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb R[X]$ tels que :
$\displaystyle{}A^2+(1-X^2)\sp{1.5}B^2=1\txt{et}\deg(A)=n$
Montrer que le polynôme $A',$ dérivé de $A\sp{1.5},$ est un multiple du polynôme $B\sp{1.5},$ et préciser leur relation.
pgcd de deux polynômes
On appelle pgcd de $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ tout diviseur commun de $A$ et $B$ de degré maximal.
Exactement un seul de ces pgcd est unitaire ; on le note : $\,A\land B\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
lemme de Gauss
Dans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
théorème de Bézout
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
indication
1
Montrer que $A$ et $B$ sont premiers entre eux.
indication
2
Comparer les coefficients dominants de $A'$ et $B\sp{1.5}.$
réponse
On montre bien que $A'$ est un multiple du polynôme $B\sp{1.5}.$
Ils sont de même degré, et vérifient la relation : $\,A'=\pm\sp{1.5} n\sp{1.5}B\,.\,$
correction
On commence par
Pour $\,A,B\app\bb K[X]\,$ et $\,\alpha,\sp{1.5}\beta\app\bb K\sp{1.5},\,$ on a :
dériver
la relation proposée :
- $\,(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}B)'=\alpha\sp{1.5}A'+\beta\sp{1.5}B^{\sp{1.5}\prime},\,$
- $\,(AB)'=A'\sp{-1.5}B+A\sp{.75}B^{\sp{1.5}\prime}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&2\sp{1.5}AA'-2\sp{1.5}XB^2+2\sp{1.5}(1-X^2)BB^{\sp{1.5}\prime}=0\\
\txt{d'où :}&AA'=B\sp{1.5}(XB-(1-X^2)B^{\sp{1.5}\prime}\sp{1.5}) }$
Il s'ensuit que $B$ est un
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :
diviseur
du produit $AA':$ $\,B\op{\big|}(AA')\sp{1.5}.\,$
D'autre part, la relation initiale est de la forme $\,AU+BV=1\,$ pour $\,U=A\,$ et $\,V=(1-X^2)B.\,$
D'après le théorème de
$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
Bézout,
on en conclut que $A$ et $B$ sont
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
Deux polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux ssi : $\,A\land B=1.\,$
En d'autres termes, leurs seuls diviseurs communs sont les polynômes de degré $\,0\sp{1.5}.\,$
premiers
entre eux : $\,A\land B = 1\sp{1.5}.\,$
Avec le lemme de
Dans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$
Gauss,
cela implique que $A'$ est un multiple de $B:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ B\op{\big|}\sp{1.5}(AA')\big)\Imp B\op{\big|}\sp{-1.5}A'$
Sachant que $\,\deg(A)=n >0\sp{1.5},\,$ on peut égaler les
Pour tous polynômes $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ le degré a pour propriétés :
degrés
de $A^2$ et $(1-X^2)B^2:$
- $\,\op{deg}(A+B)\leq\max\big(\op{deg}(A),\op{deg}(B)\big),\,$ avec égalité lorsque $\,\op{deg}(A)\neq\op{deg}(B)\,;\,$
- $\,\op{deg}(A\sp{1.5}B)=\op{deg}(A)+\op{deg}(B)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&\deg(A^2)=\deg(1-X^2)+\deg(B^2)\\
&\txt{d'où :}\deg(A) =1+\deg(B)}$
Avec $\,\deg(A')=\deg(A)-1=\deg(B)\sp{1.5},\,$ le quotient de $A'$ par $B$ est donc de degré $0\sp{1.5},$ soit : $\,q\app\bb K^{\ast}\,$ tel que $\,A'=qB\sp{1.5}.\,$
Pour évaluer $q\sp{1.5},$ on considère alors les termes dominants de $A$ et $B:$
$\eqalign{&A=\alpha X^{n}+\cdots\txt{et} B=\beta X^{n-1}+\cdots\ \sp{1.5}\txt{d'où :}\\[.5ex]
&\syst{\,A^2+(1-X^2)\sp{1.5}B^2&=(\alpha^2-\beta^2)X^{2n}+\cdots=1\\[-.5ex]
A'=n\alpha X^{n-1}\!&=\,q\sp{1.5}\beta X^{n-1}=B}\\
&\Imp \big(\sp{1.5}\alpha=\pm\,\beta\txt{et}q=\pm\,n\sp{1.5}\big)}$
En conclusion, on obtient donc la relation : $\,A'=\pm\,n\sp{.75}B\sp{1.5}.\,$
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Exercice e
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ montrer qu'il existe un unique couple $(A,B)$ de polynômes de degrés strictement inférieurs à $n$ tels que :
$\displaystyle{}(1-X)^nA+X^nB=1$
En déduire une relation simple entre les polynômes $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$
pgcd de deux polynômes
On appelle pgcd de $\,A,\sp{1.5}B\app\bb K[X]\,$ tout diviseur commun de $A$ et $B$ de degré maximal.
Exactement un seul de ces pgcd est unitaire ; on le note : $\,A\land B\sp{1.5}.\,$
principe de l'algorithme d'Euclide
Pour tous $\,A,\sp{.75}B,\sp{.75}C\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a : $\,A\land B=B\land(A-B\sp{1.5}C)\sp{1.5}.\,$
Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide utilise ce principe.
lemme de Gauss
Dans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
théorème de Bézout
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
indication
1
Montrer que $\,(1-X)^n\,$ et $\,X^n\,$ sont premiers entre eux, puis appliquer le théorème de Bézout.
indication
2
Effectuer, respectivement par $\,X^n\,$ et $\,(1-X)^n,\,$ les divisions euclidiennes des polynômes $U$ et $V$ tels que :
$\displaystyle{}(1-X)^n\sp{1.5}U+X^n\sp{1.5}V=1$
réponse
Il existe bien un unique couple $\,(A,B)\app\sp{1.5}(\bb K_{n-1}[X])^2\,$ tels que :
$\displaystyle{}(1-X)^nA+X^nB=1$
Ces polynômes sont alors reliés par les relations équivalentes :
$\displaystyle{}A(X)=B(1-X)\txt{et}B(X)=A(1-X)$
correction
Un diviseur $\,D,\,$ commun à $\,(1-X)^n\,$ et $\,X^n\,$ et de degré non nul, aurait
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
au moins
une racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5},\,$ ce qui est exclu car :
$\displaystyle{}D(\alpha)=0\Imp((1-\alpha)^n=0\txt{et}\alpha^n=0\big)$
Il s'ensuit que $(1-X)^n$ et $X^n$ sont
Deux polynômes $A$ et $B$ sont premiers entre eux ssi : $\,A\land B=1.\,$
En d'autres termes, leurs seuls diviseurs communs sont les polynômes de degré $\,0\sp{1.5}.\,$
premiers
entre eux.
Par le théorème de
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :
Bézout,
il existe donc $\,U,V\app\bb K[X]\,$ avec :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
$\displaystyle{}(1-X)^n\sp{1.5}U+X^n\sp{1.5}V=1$
- Supposons qu'il existe $\,(A,B)\app\sp{1.5}(\bb K_{n-1}[X])^2\,$ vérifiant la même relation ; on a alors :
$\eqalign{(1-X)^n\sp{1.5}(U-A)+X^n\sp{1.5}(V-B)=0\sp{1.5},\txt{d'où :}\\[-.5ex] X^n\op{\big|}(1-X)^n\sp{1.5}(U-A)\txt{et}(1-X)^n\op{\big|}X^n\sp{1.5}(V-B)}$Selon le lemme deDans $\,\bb K[X]\sp{1.5},\,$ si $A$ est premier avec $B$ et si $A$ divise $B\sp{1.5}C,$ alors $A$ divise $C:$Gauss, cela implique l'existence de $\,Q_1,Q_2\app\bb K[X]\,$ tels que :$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$$\displaystyle{}U=X^n\sp{1.5}Q_1+A\txt{et}V=(1-X)^n\sp{1.5}Q_2+B$$A$ et $B$ sont donc uniques comme restes desPour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :divisions euclidiennes de $\,U\,$ par $\,X^n\,$ et de $\,V\,$ par $\,(1-X)^n\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
- Réciproquement, pour $A$ et $B$ ainsi définis, on a :
$\eqalign{ &(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}X)^n\sp{1.5}\big(X^n\sp{1.5}Q_1+A\big)+X^n\sp{1.5}\big((1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}X)^n\sp{1.5}Q_2+B\sp{1.5}\big)\\[-.5ex] &=X^n(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}X)^n(Q_1+Q_2)+(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}X)^nA+X^nB=1}$En comparant lesPour tous polynômes $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ le degré a pour propriétés :degrés, on a donc $\,Q_1\sp{-1.5}+\sp{-1.5}Q_2\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\,$ car :
- $\,\op{deg}(A+B)\leq\max\big(\op{deg}(A),\op{deg}(B)\big),\,$ avec égalité lorsque $\,\op{deg}(A)\neq\op{deg}(B)\,;\,$
- $\,\op{deg}(A\sp{1.5}B)=\op{deg}(A)+\op{deg}(B)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\deg\big(X^n(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}X)^n\big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}2\sp{1.5}n > \deg\big((1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}X)^nA\sp{-1.5}+\sp{-1.5}X^nB\big)$Il existe donc bien $\,(A,B)\app\sp{1.5}(\bb K_{n-1}[X])^2\,$ tels que :$\displaystyle{}(1-X)^nA+X^nB=1$
$\displaystyle{}X^nA(1-X)+(1-X)^nB(1-X)=1$
Les degrés étant conservés par cette substitution, on peut conclure de l'unicité établie précédemment que :
$\displaystyle{}A(X)=B(1-X)\txt{et}B(X)=A(1-X)$