Sujet A.8.4 Divisibilité
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Exercice
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ soient les polynômes $\,A=aX^n+bX^{n-1}+1\,$ et $\,B=2X^2-3X+1\sp{1.5}.\,$
Déterminer des réels $\,a\,$ et $\,b\,$ tels que $A$ soit divisible par $B\sp{1.5}.$
divisibilité des polynômes
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :
$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
divisibilité et racines distinctes
Soient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ; alors :
$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$
formule de Bernoulli
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
indication
Commencer par factoriser $\,B=2X^2-3X+1\,$ puis utiliser ses racines.
réponse
$A$ est divisible par $B$ si et seulement si : $\,(a,b)=\big(\sp{1.5}2^n-2\sp{1.5},\sp{1.5}1-2^n\big)\sp{1.5}.\,$
correction
Avec $\,1\,$ pour
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racine
évidente, $\,2X^2-3X+1\,$ est
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :
divisible
par $\,X-1\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
$\displaystyle{}B=2X^2-3X+1=(X-1)\sp{1.5}(2X-1)$
$\,B\,$ ayant deux racines distinctes, il s'ensuit que $\,A\,$ est
Soient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ; alors :
divisible
par $\,B\,$ si et seulement si : $\,A(1)=A(1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)=0\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \smh{3.5}{\Bigg\{\eqalign{&\ \sp{1.5}a\,+\,b\,+\,1=\,0\\[-.5ex] &\frac a{2^n}+\frac b{2^{n-1}}+1=\,0}}$
Par
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
l'opération
élémentaire combinée : $\,\sc E_2\ot2\,\sc E_1-2^{n}\sp{1.5}\sc E_2\sp{1.5},\,$ ce système est équivalent à :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{} \smh{2.5}{\bigg\{\eqalign{\sp{1.5}a\,+\,b\,+\,1\ &=\,0\\[.5ex] \,a\,+\,2\,-2^n\sp{-1.5}&=\,0}}$
On obtient donc finalement pour unique solution le couple :
$\displaystyle{}(a,b)=\big(\sp{1.5}2^n-2\sp{1.5},\sp{1.5}1-2^n\big)$
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Exercice
Montrer que pour tout $\,A\app\bb K[X],\,$ le polynôme $\,A(X)-X\,$ divise les polynômes suivants :
$\displaystyle{}A\sp{.75}(A(X))-A(X)\,\txt{et}\,A\sp{.75}(A(X))-X$
divisibilité des polynômes
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :
$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
divisibilité et racines distinctes
Soient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ; alors :
$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$
formule de Bernoulli
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
indication
Écrire $\,A\sp{.75}(A(X))-A(X)\,$ comme une combinaison linéaire de termes de la forme $\,A(X)^k-X^k.\,$
réponse
On démontre bien que $\,A(X)-X\,$ divise les polynômes $\,A\sp{.75}(A(X))-A(X)\,$ et $\,A\sp{.75}(A(X))-X\sp{1.5}.\,$
correction
Étant donnés les coefficients $\,a_0,\dots,a_n\app\bb K\,$ de $A,$ on obtient une décomposition de $\,A\sp{.75}(A(X))-A(X):\,$
$\eqalign{A(X)&=\smh{1.5}{\sum_{k=0}^n}\,a_k\sp{1.5}X^k\\
\txt{d'où :}A\sp{.75}(A(X))-A(X)&=\smh{1.5}{\sum_{k=0}^n}\,a_k\sp{1.5}(A(X)^k-X^k\sp{1.5})}$
On a $\,A(X)^0-X^0=0\sp{1.5},\,$ et pour $\,k\geq1\,$ chacun des termes $\,A(X)^k-X^k\,$ se
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
factorise
de la manière suivante :
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
$\displaystyle{}A(X)^k-X^k=(A(X)-X)\bigg(\sum_{i=0}^{k-1}A(X)^iX^{k-i}\bigg)$
$\,A\sp{.75}(A(X))-A(X)\,$ est donc divisible par $\,A(X)-X\,$ comme somme de polynômes
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :
divisibles
par $\,A(X)-X\sp{1.5}.\,$
On peut décomposer aussi $\,A\sp{.75}(A(X))-X\,$ comme somme de polynômes divisibles par $\,A(X)-X:\,$
$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
$\displaystyle{}A\sp{.75}(A(X))-X=\big(A\sp{.75}(A(X))-A(X)\big)+\big(A(X)-X\big)$
Finalement, $\,A(X)-X\,$ divise bien les deux polynômes $\,A\sp{.75}(A(X))-A(X)\,$ et $\,A\sp{.75}(A(X))-X\sp{1.5}.\,$
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Exercice
Soient, pour $\,n,p\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ un polynôme $\,A\app\bb K[X]\,$ et :
$\displaystyle{}B=(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}A)^n+A^{2\sp{1.5}p}-1$
Montrer que ce polynôme $\,B\,$ est divisible par $\,A\,$ et par $\,A\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1\sp{1.5},\,$ et en déduire qu'il est divisible par $\,A^2\sp{-1.5}-\sp{-1.5}A\sp{1.5}.\,$
divisibilité des polynômes
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :
$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
divisibilité et racines distinctes
Soient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ; alors :
$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$
formule de Bernoulli
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
indication
1
Commencer par factoriser $\,(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}A)^n-1\,$ et $\,A^{2\sp{1.5}p}-1\,$ à l'aide d'une identité remarquable.
indication
2
Tirer parti de la relation : $\,A-(A-1)=1\sp{1.5},\,$ pour en déduire que $\,B\,$ est divisible par $\,A^2-A\sp{1.5}.\,$
réponse
On démontre bien que $\,B\,$ est divisible par les polynômes $\,A\sp{1.5},\,$ $\,A\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1\,$ et $\,A^2\sp{-1.5}-\sp{-1.5}A\sp{1.5}.\,$
correction
On met d'abord $A$ en facteur dans $B$ en
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
factorisant
$\,(1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}A)^n-1:\,$
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
$\eqalign{\smh{1.25}{B}&=\big((1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}A)^n-1^n\big)+A^{2\sp{1.5}p}\\[-1ex]
&=(-A)\sp{1.5}\sum_{k=0}^{n-1}(1-A)^{k}+A^{2\sp{1.5}p}\\[-.5ex]
&=A\sp{1.5}\Big(\!-\sum_{k=0}^{n-1}(1-A)^{k}+A^{2p-1}\Big)}$
On met ensuite de
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
manière
similaire $A-1$ en facteur dans $B:$
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
$\eqalign{\smh{1.25}{B}&=(1-A)^n+\big((A^2)^p-1^p\big)\\[-.5ex]&=(1-A)^n+(A^2-1)\sum_{k=0}^{p-1}A^{2k}\\[-2ex]
&=\,(A-1)\Big(\!-(1-A)^{n-1}+(A+1)\,\smh{1.5}{\sum_{k=0}^{p-1}A^{2k}}\Big)}$
Le polynôme $B$ est donc à la fois multiple de $\,A\,$ et de $\,A-1\sp{1.5}.\,$
Pour en conclure que $B$ est divisible par leur produit, on dispose alors de deux procédés :- Soit remarquer que $\,A\,$ et $\,A-1\,$ sont premiers entre eux selon le théorème de
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$ alors :Bézout car $\,A-(A-1)=1\sp{1.5};\,$ il s'ensuit bien alors que leur produit $\,A\sp{1.5}(A-1)=A^2-A\,$ est un$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$Pour $\,A\sp{1.5},\sp{1.5}B\sp{1.5},\sp{1.5}C\app\bb K[X],\,$ on a les propriétés suivantes :diviseur de $\,B\sp{1.5}.\,$
- $\,\big(A\land C =1\txt{et}B\land C =1\big)\Imp(A\sp{1.5}B)\land C= 1\,;\,$
- $\,\big(A\land B =1\txt{et}A\op{\big|}C\txt{et}B\op{\big|}C\big)\Imp (A\sp{1.5}B)\op{\big|}C\sp{1.5}.\,$
- Soit écrire les relations de
Pour $\,A, B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ $A$ est un diviseur de $B$ (ou $B$ est un multiple de $A$) ssi :divisibilité : $\,B=A\sp{1.5}Q_1=(A-1)\sp{1.5}Q_2\,$ pour $\,Q_1,Q_2\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ et en déduire :$\displaystyle{}\iex Q\app\bb K[X],\ B=A\sp{1.5}Q$$\eqalign{B&=A\sp{1.5}B-(A-1)\sp{1.5}B\\[-.5ex]&=A(A-1)\sp{1.5}Q_2-(A-1)\sp{1.5}A\sp{1.5}Q_1\\[-.5ex]&=(A^2-A)(Q_2-Q_1)}$