Sujet A.8.3 Racines multiples
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Exercice
Déterminer la multiplicité du nombre $\,\smb1{\dfrac{1}{2}}\,$ en tant que racine du polynôme :
$\displaystyle{}P=8X^4-20X^3+18X^2-7X+1$
multiplicité d'une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
dérivation d'un polynôme
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
multiplicité d'une racine et dérivation
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
indication
Utiliser les dérivés successifs du polynôme $\,P.\,$
réponse
Le nombre $\,\dfrac{1}{2}\,$ est une racine triple de $\,P=8X^4-20X^3+18X^2-7X+1\sp{1.5}.\,$
correction
On va utiliser la caractérisation de la
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
multiplicité
d'une racine de $\,P\,$ par ses polynômes
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
dérivés.
On calcule donc les polynômes $\,P^{(k)}\sp{-1.5},\,$ puis les valeurs $\,P^{(k)}(1/2)\sp{1.5},\,$ jusqu'à obtenir $\,P^{(k)}(1/2)\neq0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
$\eqalign{&P=8X^4-20X^3+18X^2-7X+1\\[-.5ex]
\Imp &P\Big(\dfrac{1}{2}\Big)= 8\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\!4}-20\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\!3}+ 18\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\!2}-\dfrac{7}{2}+1\\[-.5ex]&\sp{58}= \dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}+\dfrac{9}{2}-\dfrac{7}{2}+1=0\\[1ex]
&P'=32X^3-60X^2+36X-7\\[-.5ex]
\Imp &P'\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=32\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\!3}- 60\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\!2}+ 36\Big(\dfrac{1}{2}\Big)-7\\&\sp{65}=4-15+18-7=0\\[1ex]
&P''=96X^2-120X+36\\[-.5ex]
\Imp &P''\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=96\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{\!2}-120 \Big(\dfrac{1}{2}\Big)+36\\[-.5ex]
&\sp{68}=24-60+36=0\\[1ex]
&P'''=192X-120\\[-.5ex]
\Imp &P'''\Big(\dfrac{1}{2}\Big)=192\Big(\dfrac{1}{2}\Big)-120=-24\neq0}$
Il s'ensuit que $\,\dfrac{1}{2}\,$ est une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
triple
du polynôme $\,P.\,$
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Exercice
Déterminer la multiplicité du nombre $\,-\sqrt2\,$ en tant que racine du polynôme :
$\displaystyle{}P=X^7+X^6-3X^5-3X^4+4X+4$
multiplicité d'une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
dérivation d'un polynôme
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
multiplicité d'une racine et dérivation
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
indication
Utiliser les dérivés successifs du polynôme $P\sp{.75}.$
réponse
Le nombre $\,-\sqrt2\,$ est une racine double de $\,P=X^7+X^6-3X^5-3X^4+4X+4\,.\,$
correction
On va utiliser la caractérisation de la
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
multiplicité
d'une racine de $\,P\,$ par ses polynômes
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
dérivés.
On calcule donc les polynômes $\,P^{(k)}\sp{-1.5},\,$ puis les valeurs $\,P^{(k)}(-\sqrt2)\sp{1.5},\,$ jusqu'à obtenir $\,P^{(k)}(-\sqrt2)\neq0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
$\eqalign{&P=X^7+X^6-3X^5-3X^4+4X+4\\[-.5ex]
\Imp&P\big(\!-\sqrt2\big)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}-8\,\sqrt2\sp{-1.5}+\sp{-1.5}8\sp{-1.5}+\sp{-1.5}12\,\sqrt2\sp{-1.5}-\sp{-1.5}12\sp{-1.5}-\sp{-1.5}4\,\sqrt2\sp{-1.5}+\sp{-1.5}4=0\\[1ex]
&P'=7X^6+6X^5-15X^4-12X^3+4\\[-.5ex]
\Imp&P'\big(\!-\sqrt2\big)=56-24\,\sqrt2-60+24\,\sqrt2+4=0\\[1ex]
&P''=42X^5+30X^4-60X^3-36X^2\\[-.5ex]
\Imp&P''\big(\!-\sqrt2\big)=-168\,\sqrt2+120+120\,\sqrt2-72\\[-1ex]
&\sp{88}=-48\big(\sqrt2-1\big)\neq0}$
Il s'ensuit que $\,-\sqrt2\,$ est une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
double
du polynôme $\,P.\,$
On aurait pu aussi noter que : $\,P=(X+1)(X^6-3X^4+4)\sp{1.5}.\,$
En posant $\,U=X^2,\,$ on vérifie facilement que $\,2\,$ est une racine double de $\,U^3-3\,U^2+4\sp{1.5}.\,$
On peut alors en déduire que $\,-\sqrt2\,$ et $\,\sqrt2\,$ sont des racines doubles de $\,P.\,$
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Exercice
Déterminer la multiplicité du nombre $\,-j=\e{-i\sp{1.5}\pi/3}\,$ en tant que racine du polynôme :
$\displaystyle{}P=X^7-X^6+5X^4-8X^3+9X^2-5X+2$
multiplicité d'une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
dérivation d'un polynôme
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
multiplicité d'une racine et dérivation
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
indication
Utiliser les dérivés successifs du polynôme $P\sp{.75}.$
réponse
Le nombre $\,-j\,$ est une racine triple de $\,P=X^7-X^6+5X^4-8X^3+9X^2-5X+2\,.\,$
correction
Étant donné que $\,j=\e{\sp{1.5}2\sp{.75}i\sp{1.5}\pi/3}\,$ est une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
cubique de l'unité, distincte de $1,$ on a donc :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\displaystyle{}j^{\sp{1.5}3}=1\ \txt{et}1+j+j^{\sp{1.5}2}=0$
On va utiliser la caractérisation de la
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
multiplicité
d'une racine de $\,P\,$ par ses polynômes
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
dérivés.
On calcule donc les polynômes $\,P^{(k)}\sp{-1.5},\,$ puis les valeurs $\,P^{(k)}(-j)\sp{1.5},\,$ jusqu'à obtenir $\,P^{(k)}(-j)\neq0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
$\eqalign{&P=X^7-X^6+5X^4-8X^3+9X^2-5X+2\\[-.5ex]
\Imp &P(-j)=-j-1+5\,j+8+9\,j^2+5\,j+2\\[-.5ex]
&\sp{54}=9\,(1+j+j^2)=0\\[1ex]
&P'=7X^6-6X^5+20X^3-24X^2+18X-5\\[-.5ex]
\Imp&P'(-j)=7+6\,j^2-20-24\,j^2-18\,j-5\\[-.5ex]
&\sp{60}=-18\,(1+j+j^2)=0\\[1ex]
&P''=42X^5-30X^4+60X^2-48X+18\\[-.5ex]
\Imp&P''(-j)=-42\,j^2-30\,j+60\,j^2+48\,j+18\\[-.5ex]
&\sp{63}=18\,(1+j+j^2)=0\\[1ex]
&P'''=210X^4-120X^3+120X-48\\[-.5ex]
\Imp &P'''(-j)=210\,j+120-120\,j-48\\
&\sp{66}=90\,j+72=27+45\,i\,\sqrt3\neq0}$
Il s'ensuit que $\,-j\,$ est une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
triple
du polynôme $P.$
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Exercice
Soit $\,\alpha\,$ un nombre complexe tel que $\,\alpha^2=\alpha-2\,;\,$ déterminer la multiplicité de $\,\alpha\,$ en tant que racine du polynôme :
$\displaystyle{}P=X^5+X^3+6X^2-4X+8$
multiplicité d'une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
dérivation d'un polynôme
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
multiplicité d'une racine et dérivation
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
indication
1
Il n'est pas nécessaire d'expliciter le nombre $\,\alpha\sp{1.5}.\,$
indication
2
Utiliser les dérivés successifs du polynôme $P\sp{.75}.$
réponse
Un nombre $\,\alpha\,$ tel que $\,\alpha^2=\alpha-2\,$ est une racine double de $\,P=X^5+X^3+6X^2-4X+8\sp{1.5}.\,$
correction
la relation $\,\alpha^2=\alpha-2\,$ permet d'écrire de proche en proche :
$\eqalign{\alpha^3&=\alpha\sp{1.5}.\alpha^2=\alpha\sp{1.5}(\alpha-2)= \alpha^2-2\,\alpha=-\alpha-2\\ \alpha^4&=\alpha\sp{1.5}.\alpha^3=\alpha\sp{1.5}(-\alpha-2)=-\alpha^2-2\,\alpha= -3\,\alpha+2\\ \alpha^5&=\alpha^2.\alpha^3=(\alpha-2)(-\alpha-2)=-\alpha^2+4= -\alpha+6}$
On va utiliser la caractérisation de la
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
multiplicité
d'une racine de $\,P\,$ par ses polynômes
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
dérivés.
On calcule donc les polynômes $\,P^{(k)}\sp{-1.5},\,$ puis les valeurs $\,P^{(k)}(\alpha)\sp{1.5},\,$ jusqu'à obtenir $\,P^{(k)}(\alpha)\neq0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
$\eqalign{&P=X^5+X^3+6X^2-4X+8\\
\!\Imp&\!P(\alpha)\!=\!(-\alpha\sp{-1.5}+\sp{-1.5}6)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}(-\alpha\sp{-1.5}-\sp{-1.5}2)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}6\sp{1.5}(\alpha\sp{-1.5}-\sp{-1.5}2)-\sp{-1.5}4\,\alpha\sp{-1.5}+\sp{-1.5}8\!=\!0\\
&P'=5X^4+3X^2+12X-4\\
\!\Imp&\!P'(\alpha)=5\sp{1.5}(-3\,\alpha+2)+3\sp{1.5}(\alpha-2)+12\,\alpha-4=0\\
&P''=20X^3+6X+12\\
\!\Imp&\!P''(\alpha)=20\sp{1.5}(-\alpha-2)+6\,\alpha+12=-14\,\alpha-28}$
Si $\,P''(\alpha)\,$ était nul, on aurait $\,\alpha=-2\,$ et donc :
$\,4=\alpha^2=\alpha-2=-4\sp{1.5},\,$ ce qui est contradictoire.
Avec $\,P''(\alpha)\neq0,\,$ $\,\alpha\,$ est une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
double
du polynôme $P.$
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Exercice
Pour $\,n\geq 2\sp{1.5},\,$ on considère le polynôme $P_n$ suivant :
$\displaystyle{}(n-1)X^{n+1}\!-2\sp{1.5}(n+1)X^n\!+(n+1)\sp{1.5}2^nX-(n-1)\sp{1.5}2^{n+1}$
Déterminer une racine simple de ce polynôme et préciser son ordre de multiplicité.
multiplicité d'une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
dérivation d'un polynôme
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
multiplicité d'une racine et dérivation
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
indication
1
Vérifier d'abord que $\,2\,$ est une racine de $P_n\sp{1.5}.$
indication
2
Utiliser ensuite les dérivés successifs du polynôme $P_n\sp{.75}.$
réponse
Le nombre $\,2\,$ est une racine triple de $P_n\sp{1.5}.$
correction
On commence par regrouper différemment les termes de $P_n:$
$\displaystyle{}P_n=(n-1)(X^{n+1}-2^{n+1})-2(n+1)\sp{1.5}(X^n-2^{n-1}X)$
On a $\,P_n(2)=0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que $\,2\,$ est une
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racine
de $P_n\sp{1.5}.$
Pour évaluer sa multiplicité, on
Le polynôme dérivé de $P\app\bb K[X]$ est défini formellement par :
dérive
successivement $P_n:$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{P=\sum_{k=0}^n a_kX^k \Imp P'=\sum_{k=1}^n k\sp{1.5}a_k\sp{1.5}X^{k-1}}$
On définit alors ses dérivés successifs par récurrence : $\displaystyle{}P^{(0)}=P\txt{et}\ptt p\app\bb N,\ P^{(p+1)}=\big(P^{(p)}\big)'$
$\eqalign{P_n'&=(n-1)(n+1)\sp{1.5}X^n-2\sp{1.5}(n+1)\sp{1.5}(n\sp{1.5}X^{n-1}-2^{n-1})\\[-.5ex]
&=(n+1)\big((n-1)\sp{1.5}X^n-2\sp{1.5}n\sp{1.5}X^{n-1}+2^n\big)}$
Étant donné que $\,P_n'(2)=0\sp{1.5},\,$ on poursuit la dérivation :
$\eqalign{P_n''&=(n+1)\big((n-1)\sp{1.5}n\sp{1.5}X^{n-1}-2\sp{1.5}n\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}X^{n-2}\big)\\[-.5ex]&=n\sp{1.5}(n+1)\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}X^{n-2}(X-2)}$
$\,2\,$ n'est alors qu'une racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
simple
de $P_n'',$ d'où : $\,P_n'''(2)\neq0\sp{1.5}.\,$
On a ainsi prouvé que $\,2\,$ est une racine
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
triple
de $\,P_n\sp{1.5},\,$ puisque :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
$\displaystyle{}P_n(2)=P_n'(2)=P_n''(2)=0\txt{et}P_n'''(2)\neq0$