Sujet A.8.2 Relations coefficients-racines
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Exercice
\\(\GREC\\)
$\,\a,\ \b,\ \c\,$ étant les racines complexes du polynôme $\,A=2X^3-X^2-X+3\sp{1.5},\,$ calculer : $\,\dfrac{1}{\a\sp{1.5}\b}+\dfrac{1}{\b\sp{1.5}\c}+\dfrac{1}{\c\sp{1.5}\a}\!\cdot\,$
caractérisation d'un polynôme
Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :
$\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$
- $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
- pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
polynôme scindé
Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$ ssi il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$
$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$
théorème de d'Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
relations entre coefficients et racines
Soit $\,A=\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^n} a_k\sp{1.5}X^k,\,a_n\neq0\sp{1.5},\,$ scindé de racines $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\app\bb K\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\sigma_k=\sp{-10}\smb{2.5}{\prod\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k\leq n}}\sp{-10}\alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_k}\,$ on a alors : $\,\sigma_k=(-1)^k\sp{1.5}\dfrac{a_{n-k}}{a_n}\!\cdot\,$
On a en particulier : $\,\bigg\{\eqalign{&\sigma_1=\alpha_1+\cdots+\alpha_n=-\smh0{\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}\sp{1.5};\\[-1ex] \!\!&\sigma_n=\alpha_1\dots\alpha_n=(-1)^n\smb0{\dfrac{a_{0}}{a_n}\cdot}}\stb{4.5}\,$
indication
1
Ne pas chercher à calculer explicitement $\,\a,\,\b\,$ et $\,\c\,.\,$
indication
2
Utiliser la somme et le produit des racines du polynôme $\,A\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient pour valeur de cette expression symétrique : $\,\dfrac{1}{\a\sp{1.5}\b}+\dfrac{1}{\b\sp{1.5}\c}+\dfrac{1}{\c\sp{1.5}\a}= -\dfrac{1}{3}\!\cdot\,$
correction
Selon le théorème de
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
d'Alembert-Gauss,
$\,A\,$ est
Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$ ssi il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$
scindé
sur $\,\bb C\,$ et admet admet donc trois
$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines,
distinctes ou non.
Ces racines $\,\a,\ \b\,\,$ et $\, \c\,$ sont non nulles car : $\,A(0)=3\neq0,\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}\frac{1}{\a\sp{1.5}\b}+\frac{1}{\b\sp{1.5}\c}+\frac{1}{\c\sp{1.5}\a}=\frac{\a+\b+\c}{\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c}=\frac{s}{p}$
Deux procédés permettent ensuite d'évaluer la somme $\,s=\a+\b+\c\,$ et le produit $\,p=\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c:\,$
- soit on les exprime directement en fonction des coefficients de $\,A\,$
par les formules de
Soit $\,A=\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^n} a_k\sp{1.5}X^k,\,a_n\neq0\sp{1.5},\,$ scindé de racines $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\app\bb K\sp{1.5}.\,$ Pour $\,\sigma_k=\sp{-10}\smb{2.5}{\prod\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k\leq n}}\sp{-10}\alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_k}\,$ on a alors : $\,\sigma_k=(-1)^k\sp{1.5}\dfrac{a_{n-k}}{a_n}\!\cdot\,$ On a en particulier : $\,\bigg\{\eqalign{&\sigma_1=\alpha_1+\cdots+\alpha_n=-\smh0{\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}\sp{1.5};\\[-1ex] \!\!&\sigma_n=\alpha_1\dots\alpha_n=(-1)^n\smb0{\dfrac{a_{0}}{a_n}\cdot}}\stb{4.5}\,$Viète :$\displaystyle{}s=\smb1{-\frac{a_2}{a_3}=\frac{1}{2}\ \txt{et}\ p=(-1)^3\frac{a_0}{a_3}=-\frac{3}{2}}$
- soit on les trouve par
Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :identification des coefficients de $\,A\,$ dans son développement :$\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$
- $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
- pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{A&=2X^3-X^2-X+3\\&=2\,(X-\a)(X-\b)(X-\c)\\ &=\begin{array}[t]{l}2\,\big(X^3&-(\a+\b+\c)\,X^2\\[-.5ex]&+ (\a\sp{1.5}\b+\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a)X-\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c\sp{1.5}\big)\end{array}}$Cette identification nous donne : $\,-2\sp{.75}s=-2\sp{1.5}(\a+\b+\c)=-1\,$ et $\,-2\sp{.75}p=-2\sp{1.5}\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c=3\sp{1.5}.\,$
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Exercice
\\(\GREC\\)
$\,\a,\ \b,\ \c\,$ étant les racines complexes du polynôme $\,A=3X^3+X-2\sp{1.5},\,$ calculer : $\,\dfrac{1}{\a}+\dfrac{1}{\b}+\dfrac{1}{\c}\!\cdot\,$
caractérisation d'un polynôme
Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :
$\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$
- $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
- pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
polynôme scindé
Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$ ssi il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$
$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$
théorème de d'Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
relations entre coefficients et racines
Soit $\,A=\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^n} a_k\sp{1.5}X^k,\,a_n\neq0\sp{1.5},\,$ scindé de racines $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\app\bb K\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\sigma_k=\sp{-10}\smb{2.5}{\prod\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k\leq n}}\sp{-10}\alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_k}\,$ on a alors : $\,\sigma_k=(-1)^k\sp{1.5}\dfrac{a_{n-k}}{a_n}\!\cdot\,$
On a en particulier : $\,\bigg\{\eqalign{&\sigma_1=\alpha_1+\cdots+\alpha_n=-\smh0{\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}\sp{1.5};\\[-1ex] \!\!&\sigma_n=\alpha_1\dots\alpha_n=(-1)^n\smb0{\dfrac{a_{0}}{a_n}\cdot}}\stb{4.5}\,$
indication
1
Ne pas chercher à calculer explicitement $\,\a,\,\b\,$ et $\,\c\,$ mais exprimer $\,\dfrac{1}{\a}+\dfrac{1}{\b}+\dfrac{1}{\c}\,$ en fonction des coefficients de $\,A\sp{1.5}.\,$
indication
2
On peut aussi déterminer un polynôme $\,B\,$ ayant pour racines $\,\dfrac{1}{\a},\ \dfrac{1}{\b}\,$ et $\,\dfrac{1}{\c}\!\cdot\,$
réponse
On obtient pour valeur de cette expression symétrique : $\,\dfrac{1}{\a}+\dfrac{1}{\b}+\dfrac{1}{\c}=\dfrac{1}{2}\!\cdot\,$
correction
Selon le théorème de
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
d'Alembert-Gauss,
$\,A\,$ est
Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$ ssi il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$
scindé
sur $\,\bb C\,$ et admet admet donc trois
$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines,
distinctes ou non.
Ces racines $\,\a,\,\b\,$ et $\,\c\,$ sont non nulles car $\,A(0)=-2\neq0,\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}\dfrac{1}{\a}+\dfrac{1}{\b}+\dfrac{1}{\c}=\dfrac{\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a+\a\sp{1.5}\b}{\a\,\b\,\c}=\dfrac{\sigma}{p}$
Deux procédés permettent ensuite d'évaluer la somme $\,\sigma=\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a+\a\sp{1.5}\b\,$ et le produit $\,p=\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c:\,$
- soit on les exprime directement en fonction des coefficients de $\,A\,$
par les formules de
Soit $\,A=\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^n} a_k\sp{1.5}X^k,\,a_n\neq0\sp{1.5},\,$ scindé de racines $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\app\bb K\sp{1.5}.\,$ Pour $\,\sigma_k=\sp{-10}\smb{2.5}{\prod\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k\leq n}}\sp{-10}\alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_k}\,$ on a alors : $\,\sigma_k=(-1)^k\sp{1.5}\dfrac{a_{n-k}}{a_n}\!\cdot\,$ On a en particulier : $\,\bigg\{\eqalign{&\sigma_1=\alpha_1+\cdots+\alpha_n=-\smh0{\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}\sp{1.5};\\[-1ex] \!\!&\sigma_n=\alpha_1\dots\alpha_n=(-1)^n\smb0{\dfrac{a_{0}}{a_n}\cdot}}\stb{4.5}\,$Viète :$\displaystyle{}\smb1{\sigma=\frac{a_1}{a_3}=\frac{1}{3}\ \txt{et}\ p=(-1)^3\frac{a_0}{a_3}=\frac{2}{3}}$
- soit on les trouve par
Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :identification des coefficients de $\,A\,$ dans son développement :$\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$
- $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
- pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{A&=3X^3+X-2\\&=3\,(X-\a)(X-\b)(X-\c)\\&= \begin{array}[t]{l}3\,\big(X^3&-(\a+\b+\c)\,X^2\\[-.5ex]&+ (\a\sp{1.5}\b+\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a)X-\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c\big)\end{array}}$Cette identification nous donne : $\,3\sp{1.5}\sigma=3\sp{1.5}(\a\sp{1.5}\b+\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a)=1\,$ et $\,-3\sp{1.5}p=-3\,\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c=-2\sp{1.5}.\,$
On pouvait aussi considérer pour tout $\,z\app \bb{C}\!\setminus\!\{0\},\,$ l'expression :
$\,z^3\,A(1/z)=3+z^2-2z^3=B(z)\sp{1.5}.\,$
Le polynôme $\,B=-2X^3+X^2+3\,$ a pour racines $\,{1}/{\a},\ {1}/{\b}\,$ et $\,{1}/{\c},\,$ et leur somme vaut bien $\,1\sp{-1.5}/2\,.\,$
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Exercice
\\(\GREC\\)
$\,\a,\ \b,\ \c\,$ étant les racines complexes du polynôme $\,A=2X^3-X^2+2X+1\sp{1.5},\,$ calculer : $\,\a^2+\b^2+\c^2.\,$
caractérisation d'un polynôme
Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :
$\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$
- $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
- pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
polynôme scindé
Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$ ssi il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$
$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$
théorème de d'Alembert-Gauss
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
relations entre coefficients et racines
Soit $\,A=\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^n} a_k\sp{1.5}X^k,\,a_n\neq0\sp{1.5},\,$ scindé de racines $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\app\bb K\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\sigma_k=\sp{-10}\smb{2.5}{\prod\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k\leq n}}\sp{-10}\alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_k}\,$ on a alors : $\,\sigma_k=(-1)^k\sp{1.5}\dfrac{a_{n-k}}{a_n}\!\cdot\,$
On a en particulier : $\,\bigg\{\eqalign{&\sigma_1=\alpha_1+\cdots+\alpha_n=-\smh0{\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}\sp{1.5};\\[-1ex] \!\!&\sigma_n=\alpha_1\dots\alpha_n=(-1)^n\smb0{\dfrac{a_{0}}{a_n}\cdot}}\stb{4.5}\,$
indication
1
Ne pas chercher à calculer explicitement $\,\a,\,\b\,$ et $\,\c\,$ mais développer $\,(\a+\b+\c)^2\sp{1.5}.\,$
indication
2
Exprimer $\,\a^2+\b^2+\c^2\,$ au moyen des coefficients de $\,A\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient pour valeur de cette expression symétrique : $\,\a^2+\b^2+\c^2=-\dfrac{7}{4}\!\cdot\,$
correction
Selon le théorème de
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$
Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
d'Alembert-Gauss,
$\,A\,$ est
Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$ ssi il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$
scindé
sur $\,\bb C\,$ et admet donc trois
$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines,
distinctes ou non.
La somme $\,\a^2+\b^2+\c^2\,$ apparaît dans le développement du
Pour tous $\,a,b,c\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a la formule :
carré
de $\,s=\a+\b+\c:\,$
$\displaystyle{}(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2\sp{1.5}(a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a)$
$\eqalign{s^2&=(\a+\b+\c)^2\\&= \a^2+\b^2+\c^2+ 2\,(\a\,\b+\b\,\c+\c\,\a)\\&= \a^2+\b^2+\c^2+2\,\sigma}$
Deux procédés permettent ensuite d'évaluer les sommes $\,s=\a+\b+\c\,$ et $\,\sigma=\a\,\b+\b\,\c+\c\,\a:\,$
- soit on les exprime directement en fonction des coefficients de $\,A\,$
par les formules de
Soit $\,A=\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^n} a_k\sp{1.5}X^k,\,a_n\neq0\sp{1.5},\,$ scindé de racines $\,\alpha_1,\dots,\alpha_n\app\bb K\sp{1.5}.\,$ Pour $\,\sigma_k=\sp{-10}\smb{2.5}{\prod\limits_{1\leq i_1 < \cdots < i_k\leq n}}\sp{-10}\alpha_{i_1}\dots\alpha_{i_k}\,$ on a alors : $\,\sigma_k=(-1)^k\sp{1.5}\dfrac{a_{n-k}}{a_n}\!\cdot\,$ On a en particulier : $\,\bigg\{\eqalign{&\sigma_1=\alpha_1+\cdots+\alpha_n=-\smh0{\dfrac{a_{n-1}}{a_n}}\sp{1.5};\\[-1ex] \!\!&\sigma_n=\alpha_1\dots\alpha_n=(-1)^n\smb0{\dfrac{a_{0}}{a_n}\cdot}}\stb{4.5}\,$Viète :$\displaystyle{}\smb1{s=-\frac{a_2}{a_3}=\frac{1}{2}\ \txt{et}\ \sigma=\frac{a_1}{a_3}=1}$
- soit on les trouve par
Un polynôme $\,A\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ à coefficients dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ est une somme :identification des coefficients de $\,A\,$ dans le développement :$\displaystyle{}A=a_0+a_1\sp{1.5}X+\cdots+a_n\sp{1.5}X^n\txt{pour} (a_0,\dots,a_n)\app\bb K^{n+1}$
- $A$ est caractérisé par $\,(a_k)_{k\app\bb N}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\ptt k > n,\ a_k=0\,;\,$
- pour $\,A,B\app\bb K[X]:\,$ $\,A=B\Ssi(\ptt k\app\bb N,\ a_k=b_k)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{A&=2X^3-X^2+2X+1\\&=2\,(X-\a)(X-\b)(X-\c)\\&= \begin{array}[t]{l}2\,\big(X^3&-(\a+\b+\c)\,X^2\\[-.5ex]&+ (\a\sp{1.5}\b+\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a)X-\a\sp{1.5}\b\sp{1.5}\c\big)\end{array}}$Cette identification nous donne : $\,-2\sp{1.5}s=-2\sp{1.5}(\a+\b+\c)=-1\,$ et $\,2\sp{1.5}\sigma=2\sp{1.5}(\a\sp{1.5}\b+\b\sp{1.5}\c+\c\sp{1.5}\a)=2\sp{1.5}.\,$
Cette somme de carrés négative ne doit pas surprendre ; cela signifie que les racines de $\,A\,$ ne sont pas toutes réelles.