Sujet A.8.1 Division euclidienne
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Exercice
Déterminer le reste $\,R\,$ de la division euclidienne du polynôme $\,A=X^6-4X^4+1\,$ par $\,B=X^2+3X+2\sp{1.5}.\,$
degré d'un polynôme
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
division euclidienne
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines d'un polynôme à coefficients réels
Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$ Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.
indication
1
Écrire a priori la formule de division euclidienne de $\,X^6-4X^4+1\,$ par $\,X^2+3X+2\sp{1.5}.\,$
indication
2
Identifier les coefficients de $\,R\,$ en substituant des valeurs particulières à $\,X\,$ dans la relation de division euclidienne.
réponse
On obtient, comme reste de la division euclidienne de $\,A\,$ par $\,B\sp{1.5},\,$ le polynôme : $\,R=-3X-5\sp{1.5}.\,$
correction
La
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $\,A\,$ par $\,B=X^2+3X+2\,$ a un reste de
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
degré
au plus $\,1\sp{1.5},\,$ et s'écrit a priori pour $\,(a,b)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A=(X^2+3X+2)Q+R\sp{1.5},\txt{où}R=aX+b$
On commence par factoriser son diviseur $\,B\,$ à partir de ses
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines
évidentes :
$\displaystyle{}B=X^2+3X+2=(X+1)(X+2)$
Pour identifier $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ on substitue ces racines à l'inconnue $\,X\,$ dans la formule de division :
$\displaystyle{}A(-1)=-2=-a+b\txt{et}\,A(-2)=1=-2\sp{1.5}a+b$
On en déduit un
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
système
linéaire $\,(\sc E)\,$ auquel on applique la double opération
$\,(\sc E_1,\,\sc E_2)\leftarrow(\sc E_1-\sc E_2,\,2\sp{1.5}\sc E_1-\sc E_2)\sp{-1.5}:\,$
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{}(\sc E)\ :\ \smb1{\syst{-a+b&=-2\\-2\sp{1.5}a+b&=\hspace{.7em}1}\Imp\syst{\,a&=-3\\ b&=-5}}$
Lorsqu'on applique simultanément plusieurs opérations à un système d'équations, la réciproque n'est pas garantie.
Cependant, ici l'existence de $\,R\,$ est déjà établie ; la réciproque s'ensuit donc et ce reste a pour valeur : $\displaystyle{}R=-\sp{.75}3X-5$
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Exercice
Déterminer le reste $\,R\,$ de la division euclidienne du polynôme $\,A=X^8+2X^5+X\,$ par $\,B=X^2-2X+2\sp{1.5}.\,$
degré d'un polynôme
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
division euclidienne
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines d'un polynôme à coefficients réels
Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$ Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.
indication
1
Écrire a priori la formule de division euclidienne de $\,X^8+2X^5+X\,$ par $\,X^2-2X+2\sp{1.5}.\,$
indication
2
Identifier les coefficients de $\,R\,$ en substituant une valeur particulière à $\,X\,$ dans la relation de division euclidienne.
réponse
On obtient, comme reste de la division euclidienne de $\,A\,$ par $\,B\sp{1.5},\,$ le polynôme : $\,R=-7X+16\sp{1.5}.\,$
correction
La
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $\,A\,$ par $\,B=X^2-2X+2\,$ a un reste de
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
degré
au plus $\,1\sp{1.5},\,$ et s'écrit a priori pour $\,(a,b)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A=(X^2-2X+2)Q+R\sp{1.5},\txt{où}R=aX+b$
On commence par factoriser son diviseur $\,B\,$ pour en déduire ses
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines
complexes :
$\eqalign{B&=X^2-2X+2=(X-1)^2+1\\[-.5ex]&=(X-1-i)(X-1+i)}$
Pour identifier $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ on substitue la racine $\,1+i\,$ à l'inconnue $\,X\,$ dans la formule de division :
$\displaystyle{}A(1+i)=a(1+i)+b$
Avec $\,(1+i)^2=2\sp{1.5}i\sp{1.5},\,$ on obtient $\,(1+i)^4=-4\sp{1.5},\,$ puis $\,(1+i)^5=-4\sp{1.5}(1+i)\,$ et $\,(1+i)^8=16\sp{1.5},\,$ d'où :
$\eqalign{A(1+i)&=16-8\sp{.75}(1+i)+(1+i)\\[-.5ex]&=9-7\sp{.75}i=(a+b)+a\sp{1.5}i}$
On identifie alors les
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
parties
réelle et imaginaire de $\,A(1+i):\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\syst{\,\op{Im}\big(A(1+i)\big)&=a=-7\\[-.5ex]\op{Re}\big(A(1+i)\big)&=a+b=9}$
On en déduit l'unique solution : $\,(a,b)=(-7,16)\sp{1.5}.\,$ L'existence de $\,R\,$ est déjà établie ; la réciproque s'ensuit donc : $\displaystyle{}R=-7X+16$
$\,A\,$ et $\,B\,$ étant à coefficients réels, les racines de $\,B\,$ sont
Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$ Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.
conjuguées,
ainsi que $\,A(1+i)\,$ et $\,A(1-i)\sp{1.5}.\,$ Il s'ensuit qu'en utilisant la racine $\,1-i\,$ de $\,B\sp{1.5}\,$ au lieu de $\,1+i\sp{1.5},\,$ on aurait obtenu naturellement la même solution pour $\,R\sp{1.5}.\,$
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}\,$ fixé, déterminer le reste $\,R\,$ de la division euclidienne du polynôme $\,A=X^n\,$ par $\,B=X^2-2X-3\sp{1.5}.\,$
degré d'un polynôme
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
division euclidienne
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines d'un polynôme à coefficients réels
Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$ Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.
indication
1
Écrire a priori la formule de division euclidienne de $\,X^n\,$ par $\,X^2-2X-3\sp{1.5}.\,$
indication
2
Identifier les coefficients de $\,R\,$ en en substituant des valeurs particulières à $\,X\,$ dans la relation de division euclidienne.
réponse
On obtient, comme reste de la division euclidienne de $\,A\,$ par $\,B\sp{1.5},\,$ le polynôme :
$\displaystyle{}R=\dfrac{3^n-(-1)^n}{4}\,X+\dfrac{3^n+3\sp{1.5}(-1)^n}{4}$
correction
La
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $\,A\,$ par $\,B=X^2-2X-3\,$ a un reste de
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
degré
au plus $\,1\sp{1.5},\,$ et s'écrit a priori pour $\,(a,b)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A=(X^2-2X-3)Q+R\sp{1.5},\txt{où}R=aX+b$
On commence par factoriser son diviseur $\,B\,$ à partir de ses
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines
évidentes :
$\displaystyle{}B=X^2-2X-3=(X+1)(X-3)$
Pour identifier $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5},\,$ on substitue ces racines à l'inconnue $\,X\,$ dans la formule de division :
$\displaystyle{}A(-1)=(-1)^n=-a+b\txt{et}\,A(3)=3^n=3\sp{1.5}a+b$
On en déduit un
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
système
linéaire auquel on applique la double opération :
$\,(\sc E_1,\,\sc E_2)\leftarrow(-\sc E_1+\sc E_2,\,3\sp{1.5}\sc E_1+\sc E_2)\sp{-1.5}:\,$
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\displaystyle{}\smb1{\syst{-a+b&=(-1)^n\\\,3\sp{1.5}a+b&=\ph{-}3^n}\Imp\syst{\,4\sp{1.5}a&=3^n-(-1)^n\\4\sp{1.5}b&=3^n+3\sp{1.5}(-1)^n}}$
Lorsqu'on applique simultanément plusieurs opérations à un système d'équations, la réciproque n'est pas garantie.
Cependant, ici l'existence de $\,R\,$ est déjà établie ; la réciproque s'ensuit donc et ce reste a pour valeur :
$\displaystyle{}R=\smb0{\dfrac{3^n-(-1)^n}{4}\,X+\dfrac{3^n+3\sp{1.5}(-1)^n}{4}}$
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}\,$ fixé, déterminer le reste $\,R\,$ de la division euclidienne du polynôme $\,A=X^n\,$ par $\,B=X^2+4X+4\sp{1.5}.\,$
degré d'un polynôme
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
division euclidienne
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
racine d'un polynôme
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines d'un polynôme à coefficients réels
Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$ Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.
indication
1
Écrire a priori la formule de division euclidienne de $\,X^n\,$ par $\,X^2+4X+4\sp{1.5}.\,$
indication
2
Commencer par substituer une valeur particulière à $\,X\,$ dans la relation de division euclidienne.
réponse
On obtient, comme reste de la division euclidienne de $\,A\,$ par $\,B\sp{1.5},\,$ le polynôme : $\,R=(-2)^{n-1}(n\,X+2n-2).\,$
correction
La
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
division
euclidienne de $\,A\,$ par $\,B=X^2+4X+4\,$ a un reste de
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$
$Q$ et $R$ sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
Le degré de $\,A\app\bb K[X],\, A\neq0\,$ de coefficients $\,a_k\sp{1.5},\,$ est le nombre :
degré
au plus $\,1\sp{1.5},\,$ et s'écrit a priori pour $\,(a,b)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\deg(A)=\max\ens{k\app\bb N}{a_k\neq0}$
Le degré du polynôme nul est le nombre : $\,\deg(0)=\boldsymbol{-\I}\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A=(X^2+4X+4)Q+R\sp{1.5},\txt{où}R=aX+b$
Avec $\,B=X^2+4X+4=(X+2)^2,\,$ on substitue à $\,X\,$ la racine
La multiplicité d'une racine $\alpha$ de $P\app\bb K[X]$ est le plus grand entier $m\app\bb N^{\ast}$ tel que $(X-\alpha)^m$ divise $P\sp{.75}.$
Une racine $\alpha$ de $P$ est simple si $\,m=1\sp{1.5},\,$ elle est double si $\,m=2\sp{1.5},\,$ etc.
double
$\,-2\,$ de ce polynôme $\,B:\,$
$\displaystyle{}A(-2)=(-2)^n=-2\sp{.75}a+b$
En tant que racine double de $\,B,\,$ c'est aussi une
$\alpha\app\bb K$ est une racine $P\app\bb K[X]$ de multiplicité $m\app\bb N^{\ast}\!$ ssi :
racine
de $\,B\sp{1.5}'\,;\,$ on dérive donc la relation de division euclidienne :
$\displaystyle{}P(\alpha)=\cdots=P^{(m-1)}(\alpha)=0\txt{et}P^{(m)}(\alpha)\neq0$
$\displaystyle{}A'=n\,X^{n-1}=(X+2)^2\sp{1.5}Q'+2(X+2)Q+a$
On en déduit alors : $\,A'(-2)=n\,(-2)^{n-1}=a\sp{1.5},\,$ et on obtient ensuite : $\,(-2)^n+2\sp{.75}a=(1-n)(-2)^n=b\sp{1.5}.\,$
L'existence de $\,R\,$ étant déjà établie pour tout $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ la réciproque s'ensuit et ce reste a pour valeur :
$\displaystyle{}R=(-2)^{n-1}(nX+2\sp{.75}n-2)$