Sujet A.7.4 Équations trigonométriques
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un exercice, puis le résoudre
:
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Exercice
Résoudre sur $\,\bb{R}\,$ l'équation : $\,\cos x=\sin2\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Dénombrer ensuite les points correspondants sur le cercle trigonométrique.
équations trigonométriques de base
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
relation de congruence dans $\bb R$
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
fonction exponentielle imaginaire
L'ensemble $\,\bb U=\ens{z\app\bb C}{|z|=1}\stb1\,$ est le cercle trigonométrique.
Pour $t\app\bb R,$ on définit le complexe
$\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}=\cos t+i\sp{1.5}\sin t\sp{1.5}\app \bb U\sp{1.5}.\,$
L'application $\,t\mapsto \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ a les propriétés suivantes :
- elle est de période $2\sp{.75}\pi:$ $\,\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(t+2\sp{.75}\pi)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle est surjective : $\,\ptt u\app\bb U,\ \iex t\app\bb R,\ u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle n'est pas injective : $\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}s}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\Ssi s\equiv t\ [2\sp{1.5}\pi]\big)\sp{1.5}.\,$
indication
Transformer cette équation en une égalité de deux sinus ou de deux cosinus.
figure
Visualisation des solutions sur $\bb U$
réponse
On obtient pour solutions :
$\,x\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\dfrac{\pi}{6}\,\Big[\dfrac{2\sp{.75}\pi}3\Big]\!\cdot\,$
Ces solutions correspondent à quatre points sur le cercle trigonométrique.
correction
Par la
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
substitution
$\,x\leftarrow{\pi}/4-x\sp{1.5},\,$ l'équation $\,\cos x=\sin2\sp{1.5}x\,$ devient une égalité de cosinus :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\cos x=\cos\Big(\frac{\pi}{2}-2\sp{1.5}x\Big)$
Cette mise en forme permet la
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :
résolution
de cette équation trigonométrique :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\cos x=\cos\Big(\dfrac{\pi}{2}-2\sp{1.5}x\Big)&\Ssi x\equiv\pm\sp{1.5}\Big(\dfrac{\pi}{2}-2\sp{1.5}x\Big)\,[2\sp{1.5}\pi]\\[1ex]
&\Ssi\Bigg\{\eqalign{x\ &\equiv\sp{1.5}\smh0{\smb{1.2}{\dfrac{\pi}{2}\,[2\sp{1.5}\pi]}}\\[-1.8ex]
&\!\mbox{ou}\\[-1ex] \ 3\sp{1.5}x&\equiv\sp{1.5}\smb1{\dfrac{\pi}{2}\,[\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]}}}$
En
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
divisant
par $\,3\,$ la deuxième congruence, on obtient finalement comme solutions :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}x\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\ \,\txt{ou}\ \,x\equiv\dfrac{\pi}{6}\sp{1.5}\Big[\dfrac{2\sp{1.5}\pi}3\Big]$
Cette équation a ainsi une infinité de solutions dans $\,\bb{R}\sp{1.5}.\,$
Ces solutions correspondent
à exactement quatre points sur le
L'ensemble $\,\bb U=\ens{z\app\bb C}{|z|=1}\stb1\,$ est le cercle trigonométrique.
Pour $t\app\bb R,$ on définit le complexe
$\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}=\cos t+i\sp{1.5}\sin t\sp{1.5}\app \bb U\sp{1.5}.\,$
L'application $\,t\mapsto \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ a les propriétés suivantes :
cercle
trigonométrique $\,\bb U\sp{1.5},\,$ avec pour arguments :
- elle est de période $2\sp{.75}\pi:$ $\,\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(t+2\sp{.75}\pi)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle est surjective : $\,\ptt u\app\bb U,\ \iex t\app\bb R,\ u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle n'est pas injective : $\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}s}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\Ssi s\equiv t\ [2\sp{1.5}\pi]\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\dfrac{\pi}{6}\sp{1.5},\ \,\dfrac{\pi}{2}\sp{1.5},\ \,\dfrac{5\pi}{6}\txt{et}\!-\dfrac{\pi}{2}$
|
Visualisation des solutions sur $\bb U$
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Exercice
Résoudre sur $\,\bb{R}\,$ l'équation : $\,\sqrt3\cos x+\sin x=2\sp{1.5}\sin2\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Dénombrer ensuite les points correspondants sur le cercle trigonométrique.
équations trigonométriques de base
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
relation de congruence dans $\bb R$
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
fonction exponentielle imaginaire
L'ensemble $\,\bb U=\ens{z\app\bb C}{|z|=1}\stb1\,$ est le cercle trigonométrique.
Pour $t\app\bb R,$ on définit le complexe
$\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}=\cos t+i\sp{1.5}\sin t\sp{1.5}\app \bb U\sp{1.5}.\,$
L'application $\,t\mapsto \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ a les propriétés suivantes :
- elle est de période $2\sp{.75}\pi:$ $\,\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(t+2\sp{.75}\pi)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle est surjective : $\,\ptt u\app\bb U,\ \iex t\app\bb R,\ u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle n'est pas injective : $\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}s}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\Ssi s\equiv t\ [2\sp{1.5}\pi]\big)\sp{1.5}.\,$
indication
Exprimer $\,\sqrt3\cos x+\sin x\,$ à l'aide d'un seul sinus.
figure
Visualisation des solutions sur $\bb U$
réponse
On obtient pour solutions :
$\,x\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\dfrac{2\sp{.75}\pi}{9}\,\Big[\dfrac{2\sp{.75}\pi}3\Big]\!\cdot\,$
Ces solutions correspondent à quatre points sur le cercle trigonométrique.
correction
Par la
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
formule
d'addition du sinus, il existe $\,A=\sqrt{\lambda^2+\mu^2}\,$ et $\,\psi\app\bb R\,$ tels que : - $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\lambda\,\cos x+\mu\,\sin x&=A\sin(x+\psi),\txt{soit ici :}\\
\sqrt3\cos x+\sin x&=2\Big(\dfrac{\sqrt3}{2}\,\cos x+
\dfrac{1}{2}\,\sin x\Big)\\&=2\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)}$
L'équation devient ainsi une égalité de deux sinus, d'où sa
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :
résolution :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)=\sin 2\sp{1.5}x&\Ssi\Bigg\{\eqalign{\ x+
\smh0{\dfrac{\pi}{3}}&\equiv\sp{1.5}2\sp{1.5}x\,[\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\\[-1.8ex] &\!\mbox{ou}\\[-1ex]
x+\smb0{\dfrac{\pi}{3}}&\equiv\sp{1.5}\pi-2\sp{.75}x\,[\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]}\\[2ex]
&\Ssi\Bigg\{\eqalign{x\ &\equiv\sp{1.5}\smh0{\dfrac{\pi}{3}}\,[\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\\[-2ex] &\!\mbox{ou}\\[-1.2ex]
\ 3\sp{1.5}x&\equiv\sp{1.5}\smb0{\dfrac{2\pi}{3}}\,[\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]}}$
En
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
divisant
par $\,3\,$ la deuxième congruence, on obtient finalement comme solutions :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}x\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\ \txt{ou}\ x\equiv\dfrac{2\pi}{9}\,\Big[\dfrac{2\pi}3\Big]$
Cette équation a ainsi une infinité de solutions dans $\,\bb{R}\sp{1.5}.\,$
Ces solutions correspondent
à exactement quatre points sur le
L'ensemble $\,\bb U=\ens{z\app\bb C}{|z|=1}\stb1\,$ est le cercle trigonométrique.
Pour $t\app\bb R,$ on définit le complexe
$\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}=\cos t+i\sp{1.5}\sin t\sp{1.5}\app \bb U\sp{1.5}.\,$
L'application $\,t\mapsto \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ a les propriétés suivantes :
cercle
trigonométrique $\,\bb U\sp{1.5},\,$ avec pour arguments :
- elle est de période $2\sp{.75}\pi:$ $\,\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(t+2\sp{.75}\pi)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle est surjective : $\,\ptt u\app\bb U,\ \iex t\app\bb R,\ u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle n'est pas injective : $\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}s}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\Ssi s\equiv t\ [2\sp{1.5}\pi]\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\dfrac{2\pi}{9}\sp{1.5},\ \,\dfrac{\pi}{3}\sp{1.5},\ \,\dfrac{8\pi}{9}\txt{et}\!-\sp{-1.5}\dfrac{4\pi}{9}$
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Visualisation des solutions sur $\bb U$
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Exercice
Résoudre sur $\,\bb{R}\,$ l'équation : $\,\tan2\sp{1.5}x\sp{1.5}\tan 3\sp{1.5}x=1\sp{1.5}.\,$
Dénombrer ensuite les points correspondants sur le cercle trigonométrique.
équations trigonométriques de base
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
relation de congruence dans $\bb R$
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
fonction exponentielle imaginaire
L'ensemble $\,\bb U=\ens{z\app\bb C}{|z|=1}\stb1\,$ est le cercle trigonométrique.
Pour $t\app\bb R,$ on définit le complexe
$\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}=\cos t+i\sp{1.5}\sin t\sp{1.5}\app \bb U\sp{1.5}.\,$
L'application $\,t\mapsto \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ a les propriétés suivantes :
- elle est de période $2\sp{.75}\pi:$ $\,\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(t+2\sp{.75}\pi)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle est surjective : $\,\ptt u\app\bb U,\ \iex t\app\bb R,\ u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle n'est pas injective : $\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}s}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\Ssi s\equiv t\ [2\sp{1.5}\pi]\big)\sp{1.5}.\,$
indication
Écrire cette équation comme une égalité entre deux tangentes.
figure
Les solutions sur $\bb U\sp{1.5},$ avec $\,\theta\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}10\,$
réponse
On obtient pour solutions :
$\,x\equiv\pm\dfrac{\pi}{10}\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\,$ ou $\,x\equiv\pm\dfrac{3\sp{.75}\pi}{10}\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\!\cdot\,$
Ces solutions correspondent à huit points sur le cercle trigonométrique.
correction
Par la
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
substitution
$\,\theta\leftarrow{\pi}/2-\theta\sp{1.5},\,$ on inverse la fonction tangente, d'où :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt\theta\not\equiv0\,\Big[\dfrac{\pi}{2}\Big],\ \tan\!\Big(\dfrac{\pi}{2}-\theta\Big)=\frac{1}{\tan\theta}$
Cette relation permet d'obtenir l'équivalence suivante :
$\displaystyle{}\tan2\sp{1.5}x\sp{1.5}\tan 3\sp{1.5}x=1\ \Ssi\ \tan 3\sp{1.5}x=\tan\Big(\dfrac{\pi}{2}-2\sp{1.5}x\Big)$
Cette équivalence n'est valable que si toutes les
La fonction tangente est impaire et de période $\,\pi\sp{1.5}.\,$ Elle est de plus continue et strictement croissante sur $\,]\!-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
tangentes
concernées sont définies, c'est-à-dire pour : $\displaystyle{}2\sp{.75}x\not\equiv0\,\Big[\dfrac{\pi}{2}\Big]\ \txt{et}\ 3\sp{.75}x\not\equiv\dfrac{\pi}2\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]$
L'équation devient ainsi une égalité de deux tangentes, d'où sa
Pour tous réels $x$ et $y\sp{1.5},$ on a les équivalences suivantes :
résolution :
- $\,\cos x\sp{1.5}=\sp{1.5}\cos y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\sin x\,=\,\sp{.75}\sin y\Ssi\! \big(x\equiv y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\txt{ou}x\equiv\pi-y\ [\sp{.75}2\sp{.75}\pi\sp{.75}]\big)\,;\,$
- $\,\tan x=\tan y\Ssi\!\ \sp{1.5}x\equiv y\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,x,\,y\non{\equiv}\smh{.7}{\dfrac\pi2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\tan 3\sp{1.5}x=\smh0{\tan\!\Big(\dfrac{\pi}{2}-2\sp{.75}x\Big)}&\Ssi 3\sp{1.5}x\equiv\smh0{\dfrac{\pi}{2}}-2\sp{1.5}x\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\\
&\Ssi5\sp{1.5}x\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]}$
En
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
divisant
par $\,5\,$ cette relation de congruence, on obtient alors : $\,x\equiv\dfrac{\pi}{10}\,\Big[\dfrac{\pi}{5}\Big]\!\cdot\,$
Ces solutions correspondent modulo $\pi$ aux valeurs : $\,\pm\dfrac{\pi}{10}\sp{1.5},\ \pm\dfrac{3\sp{.75}\pi}{10}\,$ et $\, \dfrac{\pi}{2}\!\cdot\,$
L'équation initiale n'étant définie que pour : $\,2\sp{1.5}x\not\equiv0\,\Big[\dfrac{\pi}{2}\Big]\,$ et $\,3\sp{1.5}x\not\equiv\smb1{\dfrac{\pi}2}\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ on élimine $\,\dfrac\pi2\,$ et on obtient :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}x\equiv\pm\sp{1.5}\dfrac{\pi}{10}\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\ \sp{1.5}\text{ ou }\ \,x\equiv\pm\sp{1.5}\dfrac{3\sp{.75}\pi}{10}\,[\sp{.75}\pi\sp{.75}]$
Cette équation a ainsi une infinité de solutions dans $\,\bb{R}\sp{1.5}.\,$
Ces solutions correspondent
à exactement huit points sur le
L'ensemble $\,\bb U=\ens{z\app\bb C}{|z|=1}\stb1\,$ est le cercle trigonométrique.
Pour $t\app\bb R,$ on définit le complexe
$\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}=\cos t+i\sp{1.5}\sin t\sp{1.5}\app \bb U\sp{1.5}.\,$
L'application $\,t\mapsto \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ a les propriétés suivantes :
cercle
trigonométrique $\,\bb U\sp{1.5},\,$ avec pour arguments :
- elle est de période $2\sp{.75}\pi:$ $\,\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(t+2\sp{.75}\pi)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle est surjective : $\,\ptt u\app\bb U,\ \iex t\app\bb R,\ u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,;\,$
- elle n'est pas injective : $\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}s}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\Ssi s\equiv t\ [2\sp{1.5}\pi]\big)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\pm\dfrac{\pi}{10},\ \pm\dfrac{3\sp{.75}\pi}{10},\ \pm\dfrac{7\pi}{10},\ \pm\dfrac{9\sp{.75}\pi}{10}$
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Les solutions sur $\bb U\sp{1.5},$ avec $\,\theta\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}10\,$
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