Sujet A.7.3 Sommes trigonométriques
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!\,$ et $\,\theta\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ exprimer le plus simplement possible la somme suivante :
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=1}^n\cos k\sp{1.5}\theta$
propriétés de l'exponentielle imaginaire
L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :
- $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
- $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
$\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$
formules d'Euler
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
technique de l'angle moitié
Pour tous $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ on factorise $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}\,$ avec l'angle moitié :
$\displaystyle{}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}=\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a+b}2}\Big(\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a-b}2}\pm\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{b-a}2}\Big)$
somme géométrique
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
indication
1
Écrire chaque $\,\cos k\sp{1.5}\theta\,$ comme la partie réelle de $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}.\,$
indication
2
Faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique.
réponse
On obtient deux expressions simplifiées de cette somme :
$\displaystyle{}S_n=\dfrac{\sin\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}\,\cos\tfrac{(n+1)\sp{1.5}\theta}{2}}{\sin\tfrac{\theta}{2}}
=\dfrac{\sin\tfrac{(2n+1)\sp{1.5}\theta}{2}}{2\sp{1.5}\sin\tfrac{\theta}{2}}-\dfrac{1}{2}$
correction
Par la formule
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
d'Euler,
on obtient la partie réelle d'une somme
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique
complexe :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}\sum_{k=1}^n\cos k\sp{1.5}\theta=
\sum_{k=1}^n\op{Re}\!\big(\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}\big)
=\op{Re}\!\Big(\sum_{k=1}^n\big(\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{\sp{-1.5}k}\Big)$
On factorise l'expression de cette somme par $\,\e{i\sp{1.5}\theta},\,$ puis on effectue la
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice $\,h=k-1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\displaystyle{}\sum_{k=1}^n\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}=\e{i\sp{1.5}\theta}\,\sum_{k=1}^n\big(\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{\sp{-1.5}k-1}
=\e{i\sp{1.5}\theta}\,\sum_{h=0}^{n-1}\big(\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{\sp{-1.5}h}=
\e{i\sp{.75}\theta}\cdot\dfrac{1-\big(\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{\sp{-1.5}n}}{1-\e{i\sp{1.5}\theta}}$
On aurait pu aussi exprimer cette somme géométrique pour $\,k\,$ de $\,0\,$ à $\,n\,$ et lui soustraire ensuite $\,\big(\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{\!0}=1\sp{1.5}.\,$
Cependant, les calculs sont plus directs en factorisant par $\,\e{i\sp{1.5}\theta}\,$ comme on l'a fait ci-dessus.
On utilise alors la technique de l'angle
Pour tous $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ on factorise $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}\,$ avec l'angle moitié :
moitié :
$\displaystyle{}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}=\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a+b}2}\Big(\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a-b}2}\pm\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{b-a}2}\Big)$
$\displaystyle{}1-\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}=\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}\big(\e{-\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}-\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}
\big)=-2\,i\sp{1.5}\sin\tfrac{\alpha}{2}\,\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}$
Ceci, appliqué au numérateur et au dénominateur, nous donne la somme sous forme
Tout complexe $\,z\neq0\,$ s'écrit sous forme trigonométrique :
$\,z=r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta},\,$ où :
trigonométrique :
- $\,r > 0\,$ est le module de $\,z:\,$ $\,r=|\sp{.75}z\sp{.75}|\,;\,$
- $\,\theta\app\bb R\,$ est un argument de $\,z:\,$ $\,\op{arg}(z)\equiv\theta\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=1}^n\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}=
\e{i\sp{1.5}\theta}\,\frac{\sin\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}\ \e{i\sp{1.5}n\sp{1.5}\theta/2}}
{\sin\tfrac{\theta}{2}\ \e{i\sp{1.5}\theta/2}}
=\frac{\sin\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}}
{\sin\tfrac{\theta}{2}}\ \e{\tfrac{i(n+1)\theta}2}$
On en déduit la partie
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
réelle
de cette somme :
$\,S_n=\dfrac{\sin\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}\,\cos\tfrac{(n+1)\sp{1.5}\theta}{2}}
{\sin\tfrac{\theta}{2}}\!\cdot\,$
Par la formule
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
d'addition :
$\,2\,\sin a\,\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b)\sp{1.5},\,$
on peut encore linéariser son numérateur :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}S_n=\dfrac{\sin\tfrac{(2n+1)\sp{1.5}\theta}{2}}
{2\sp{1.5}\sin\tfrac{\theta}{2}}-\dfrac{1}{2}$
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!\,$ et $\,\theta\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ exprimer le plus simplement possible la somme suivante :
$\displaystyle{}S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^k\sp{-1.5}\sin k\sp{1.5}\theta$
propriétés de l'exponentielle imaginaire
L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :
- $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
- $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
$\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$
formules d'Euler
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
technique de l'angle moitié
Pour tous $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ on factorise $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}\,$ avec l'angle moitié :
$\displaystyle{}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}=\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a+b}2}\Big(\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a-b}2}\pm\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{b-a}2}\Big)$
somme géométrique
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
indication
1
Écrire chaque $\,\sin k\sp{1.5}\theta\,$ comme la partie imaginaire de $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}.\,$
indication
2
Faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique.
réponse
On obtient deux formules distinctes selon la parité de $n:$
- $\,S_n= \dfrac{\cos\tfrac{(n+1)\sp{1.5}\theta}{2}\, \sin\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}}{\cos\tfrac{\theta}{2}}\,$ lorsque $\,n\,$ est pair ;
- $\,S_n=-\dfrac{\sin\tfrac{(n+1)\sp{1.5}\theta}{2}\, \cos\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}}{\cos\tfrac{\theta}{2}}\,$ lorsque $\,n\,$ est impair.
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N^{\ast}\!,\ \,S_n=(-1)^n\,\smh{4.5}{\dfrac{\sin\tfrac{(2n+1)\theta}{2}}{2\,
\cos\tfrac{\theta}{2}}-\dfrac{\tan\tfrac{\theta}{2}}{2}\!}$
correction
Par la formule
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
d'Euler,
on obtient la partie imaginaire d'une somme
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique
complexe :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}\sum_{k=1}^n(-1)^k\sp{-1.5}\sin k\sp{1.5}\theta=
\sum_{k=0}^n(-1)^k\op{Im} \big(\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}\big)=
\op{Im}\!\Big(\sum_{k=0}^n\big(\!\sp{-1.5}-\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{\sp{-1.5}k}\Big)$
Cette somme géométrique complexe se simplifie en :
$\displaystyle{}\sum_{k=0}^n(-1)^k\sp{1.5}\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}= \frac{1-\big(\!-\e{i\sp{1.5}\theta}\big)^{n+1}}{1-\big(\!-\e{i\sp{1.5}\theta}\big)}=\frac{1+(-1)^n\sp{1.5}\e{i\sp{1.5}(n+1)\sp{1.5}\theta}}{1+\e{i\sp{1.5}\theta}}$
On utilise alors la technique de l'angle
Pour tous $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ on factorise $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}\,$ avec l'angle moitié :
moitié :
$\displaystyle{}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}=\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a+b}2}\Big(\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a-b}2}\pm\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{b-a}2}\Big)$
$\eqalign{1+\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}&=\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}\big(\e{-\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}+\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}
\big)=2\,\cos\tfrac{\alpha}{2}\,\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}\\
1-\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}&=\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}\big(\e{-\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}-\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}
\big)=-2\,i\,\sin\tfrac{\alpha}{2}\,\e{\tfrac{i\sp{1.5}\alpha}2}}$
Ceci, appliqué au numérateur et au dénominateur, nous donne la somme sous la forme :
$\displaystyle{}\sum_{k=0}^n(-1)^k\e{i\sp{1.5}k\sp{1.5}\theta}=\dfrac{\e{-\tfrac{i\sp{1.5}(n+1)\sp{1.5}\theta}2}+
(-1)^n\,\e{\tfrac{i\sp{1.5}(n+1)\sp{1.5}\theta}2}}{\e{\sp{1.5}-i\sp{1.5}\theta/\sp{-1.5}2}+\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta/\sp{-1.5}2}}\ \e{\tfrac{i\sp{1.5}n\sp{1.5}\theta}2}$
Pour identifier ensuite la partie
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
imaginaire
de cette somme, on doit distinguer deux cas selon la
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de $\,n:\,$
$\eqalign{S_n&=\ \frac{\cos\tfrac{(n+1)\sp{1.5}\theta}{2}\,
\sin\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}}{\cos\tfrac{\theta}{2}}\ \txt{lorsque}n\txt{est pair}\\[1ex]
S_n&=-\frac{\sin\tfrac{(n+1)\sp{1.5}\theta}{2}\,
\cos\tfrac{n\sp{1.5}\theta}{2}}{\cos\tfrac{\theta}{2}}\ \txt{lorsque}n\txt{est impair}}$
Par la formule
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
d'addition :
$\,2\,\sin a\,\cos b=\sin(a+b)+\sin(a-b)\sp{1.5},\,$ on obtient une formule commune :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}S_n=(-1)^n\sp{1.5}\dfrac{\sin\tfrac{(2n+1)\sp{1.5}\theta}{2}}{2\,
\cos\tfrac{\theta}{2}}-\dfrac{\tan\tfrac{\theta}{2}}{2}$