Sujet A.7.2 Linéarisation
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Exercice
Pour $\,x\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ écrire $\,\sin^2\!x\sp{.75}\cos^2\!x\,$ comme combinaison linéaire de termes en $\,\cos k\sp{1.5}x\,$ ou $\,\sin k\sp{1.5}x\sp{1.5},\,$ pour $\,k\app \bb{N}\sp{1.5}.\,$
formules trigonométriques de duplication
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
formules d'Euler
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
formule du binôme
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
indication
Utiliser les expressions de $\,\cos2\sp{1.5}\alpha\,$ et $\,\sin2\sp{1.5}\alpha\,$ en fonction de $\,\cos\alpha\,$ et $\,\sin\alpha\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient la formule de linéarisation suivante :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\sin^2\!x\sp{.75}\cos^2\!x=\dfrac{1-\cos 4\sp{1.5}x}{8}$
correction
On commence en appliquant une formule de
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\eqalign{\sin2\sp{1.5}x&=2\sp{1.5}\sin x\sp{.75}\cos x\sth1\\[-1ex]
\txt{d'où :} \sin^2\!x\sp{.75}\cos^2\!x&=(\sin x\sp{.75}\cos x)^2=\dfrac{\sin^2\sp{-1.5}2\sp{1.5}x}{4}}$
On procède ensuite
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
de même,
en posant $\,\alpha=2\sp{1.5}x:\,$
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\eqalign{\cos2\sp{1.5}\alpha&=\cos^2\!\alpha-\sin^2\!\alpha=1-2\sp{1.5}\sin^2\!\alpha\\
\txt{d'où :}\sin^2\sp{-1.5}2\sp{1.5}x&=\sin^2\!\alpha=\dfrac{1-\cos 2\sp{1.5}\alpha}{2}=\dfrac{1-\cos4\sp{1.5}x}{2}}$
On obtient donc finalement la formule de linéarisation :
$\displaystyle{}\sin^2\!x\sp{.75}\cos^2\!x=\frac{1-\cos4\sp{1.5}x}{8}$
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Exercice
Pour $\,x\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ écrire $\,\sin^2\!x\sp{1.5}\cos^3\!x\,$ comme combinaison linéaire de termes en $\,\cos k\sp{1.5}x\,$ ou $\,\sin k\sp{1.5}x\sp{1.5},\,$ pour $\,k\app \bb{N}\sp{1.5}.\,$
formules trigonométriques de duplication
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
formules d'Euler
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
formule du binôme
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
indication
Utiliser les formules d'Euler pour exprimer $\,\sin x\,$ et $\,\cos x\,$ en fonction de $\,\e{i\sp{1.5}x}\,$ et $\,\e{-i\sp{1.5}x}.\,$
réponse
On obtient la formule de linéarisation suivante :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\sin^2\!x\sp{1.5}\cos^3\!x=-\dfrac{\cos5\sp{1.5}x}{16}-\dfrac{\cos3\sp{1.5}x}{16}+\dfrac{\cos x}{8}$
correction
On connait les formules
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
d'Euler :
$\,\cos x=\dfrac{\e{i\sp{1.5}x}+\e{-i\sp{1.5}x}}{2}\txt{et} \sin x=\dfrac{\e{i\sp{1.5}x}-\e{-i\sp{1.5}x}}{2\sp{1.5}i}\!\cdot\,$
On calcule $\,\sin^2\!x\sp{.75}\cos^3\!x\,$ en développant le
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
carré
d'une somme, et en utilisant la formule de
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :
Moivre :
- $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
- $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
$\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$
$\eqalign{\sin^2\!x\sp{1.5}\cos^3\!x&= \Big(\frac{\e{i\sp{1.5}x}-\e{-i\sp{1.5}x}}{2\sp{1.5}i}\Big)^{\sp{-1.5}\!2}
\bigg(\frac{\e{i\sp{1.5}x}+\e{-i\sp{1.5}x}}{2}\Big)^{\sp{-1.5}\!3}\\[-.5ex]
&= \Big(\!\frac{(\e{i\sp{1.5}x}-\e{-i\sp{1.5}x})\sp{1.5}(\e{i\sp{1.5}x}+
\e{-i\sp{1.5}x})}{4\sp{1.5}i}\!\bigg)^{\!\!2}\,\frac{\e{i\sp{1.5}x}+\e{-i\sp{1.5}x}}{2}\\[-.5ex]
&= -\frac{1}{32}\,\big(\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}x}-\e{-2\sp{1.5}i\sp{1.5}x}\big)^2\,\big(\e{i\sp{1.5}x}+
\e{-i\sp{1.5}x}\big)\\ &= -\frac{1}{32}\,\big(\e{4\sp{1.5}i\sp{1.5}x}-2+
\e{-4\sp{1.5}i\sp{1.5}x}\big)\big(\e{i\sp{1.5}x}+\e{-i\sp{1.5}x}\big)}$
Il s'ensuit que $\,\sin^2\!x\sp{.75}\cos^3\!x\,$ peut s'écrire :
$\displaystyle{} -\frac{1}{32}\,\big(\e{5\sp{1.5}i\sp{1.5}x}+\e{3\sp{1.5}i\sp{1.5}x}-2\,\e{i\sp{1.5}x}-2\,\e{-i\sp{1.5}x}+
\e{-3\sp{1.5}i\sp{1.5}x}+\e{-5\sp{1.5}i\sp{1.5}x}\big)$
On obtient donc, après
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
regroupement
des termes conjugués, la linéarisation :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\sin^2\!x\sp{.75}\cos^3\!x=-\frac{\cos5\sp{1.5}x}{16}-\frac{\cos3\sp{1.5}x}{16}+
\frac{\cos x}{8}$
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Exercice
Pour $\,x\app \bb{R}\sp{1.5},\,$ écrire $\,\sin^5\!x\,$ comme combinaison linéaire de termes en $\,\cos k\sp{1.5}x\,$ ou $\,\sin k\sp{1.5}x\sp{1.5},\,$ pour $\,k\app \bb{N}\sp{1.5}.\,$
formules trigonométriques de duplication
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
formules d'Euler
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
formule du binôme
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
indication
1
Utiliser une formule d'Euler pour exprimer $\,\sin x\,$ en fonction de $\,\e{i\sp{1.5}x}\,$ et $\,\e{-i\sp{1.5}x}.\,$
indication
2
Développer ensuite $\,\sin^5\!x\,$ à l'aide de la formule du binôme.
réponse
On obtient la formule de linéarisation suivante :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\sin^5\!x=\dfrac{\sin5\sp{1.5}x}{16}-\dfrac{5\sp{.75}\sin3\sp{1.5}x}{16}+\dfrac{5\sp{.75}\sin x}{8}$
correction
On sait, par la formule
Selon la formule de
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
d'Euler
que : $\,\sin x=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}x}-\e{-i\sp{.75}x}}{2\sp{1.5}i}\!\cdot\,$
On doit donc développer
$\,\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}x}-\e{-i\sp{.75}x}\big)^{\sp{-1.5}5}\,$ par la formule du
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme.
On obtient d'abord les coefficients binomiaux $\,\binome{n\\p}\,$ correspondants par un triangle de
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
Pascal :
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\eqalign{\lower 1ex{n}\ \raise .5ex{p}&\tabl{{|c|c|c|c|c|}\hline 0&1&2&3&4&5\\ \hline}\\[-.75ex] \tabl{{|c|}\hline \sp{1.5}0\sp{1.5}\\ \hline 1\\ \hline 2\\ \hline 3\\ \hline 4\\ \hline 5\\\hline}&\tabl{{|r|r|c|c|r|r|}\hline1&&&&&\\\hline 1&1&&&&\\\hline1&2&1&&&\\\hline1&3&3&1&&\\\hline1&4&6&4&1&\\\hline1&5&\!\!10\!&\!\!10\!&5 &1\\\hline}}$}$ |
L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :
Moivre,
il s'ensuit que $\,\sin^5\!x=\Big(\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}x}-\e{-i\sp{.75}x}}{2\sp{1.5}i}\Big)^{\sp{-1.5}\!5}\,$ peut s'écrire :
- $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
- $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
$\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$
$\displaystyle{}\frac{1}{32\sp{1.5}i}\,\big(\e{\sp{1.5}5\sp{.75}i\sp{.75}x}-5\,\e{\sp{1.5}3\sp{.75}i\sp{.75}x}+10\,\e{\sp{1.5}i\sp{.75}x}-
10\,\e{-i\sp{.75}x}+5\sp{1.5}\e{-3\sp{.75}i\sp{.75}x}-\e{-5\sp{.75}i\sp{.75}x}\big)$
On obtient donc, après
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
regroupement
des termes conjugués, la linéarisation :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\sin^5\!x=\dfrac{\sin5\sp{1.5}x}{16}-\dfrac{5\sp{.75}\sin3\sp{1.5}x}{16}+\dfrac{5\sp{.75}\sin x}{8}$