Sujet A.7.1 Valeurs particulières
Choisir
un exercice, puis le résoudre
:
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice
Déterminer les valeurs exactes de $\,\cos\dfrac{\pi}{12},\ \sin\dfrac{\pi}{12}\,$ et $\,\tan\dfrac{\pi}{12}\!\cdot\,$
fonctions trigonométriques au carré
Pour tout $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a les relations suivantes :
- $\,\sth{.5}\cos^2a+\sin^2a=1\,;\,$
- $\,1+\tan^2a=\smh{1}{\dfrac1{\cos^2a}}\,$ lorsque $\,a\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
valeurs trigonométriques usuelles
Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont :
Les autres valeurs résultent des symétries du cercle trigonométrique.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta&\ 0\ \sth{1.5}\stb{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}6\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}4\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}3\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}2\sp{1.5}\\ \hline \cos\theta&1&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\sp{1.5}\dfrac12\sp{1.5}&0\\ \hline \sin\theta&0&\!\!\dfrac12\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&1\\ \hline \tan\theta&0&\!\!\dfrac{\sqrt3}3\!\!&1&\!\!\sqrt3\!\!&\infty\\ \hline}$}$ |
symétries du cercle trigonométrique
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
formules trigonométriques d'addition
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
indication
Écrire $\,\dfrac{\pi}{12}\,$ à l'aide de valeurs dont les cosinus, sinus et tangente sont connus.
réponse
On obtient les valeurs suivantes :
- $\,\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt2\big(\sqrt3+1\big)}{4}\,;\,$
- $\,\,\sin\dfrac{\pi}{12}=\smh{2.25}{\dfrac{\sqrt2\big(\sqrt3-1\big)}{4}}\,;\,$
- $\,\tan\dfrac{\pi}{12}=\, 2-\sqrt3\,.\sth{2}\,$
correction
On remarque que $\,\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\,$
d'où, par les formules
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
d'addition :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\cos\dfrac{\pi}{12}
&= \cos\dfrac{\pi}{3}\,\cos\dfrac{\pi}{4}+
\sin\dfrac{\pi}{3}\,\sin\dfrac{\pi}{4}\\
\sin\dfrac{\pi}{12}&= \sin\dfrac{\pi}{3}\,\cos\dfrac{\pi}{4}-
\cos\dfrac{\pi}{3}\,\sin\dfrac{\pi}{4}\\
\tan\dfrac{\pi}{12}
&= \dfrac{\tan(\pi/3)-\tan(\pi/4)}{1+\tan(\pi/3)\sp{1.5}\tan(\pi/4)}}$
On en déduit les résultats au moyen des
Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont :
Les autres valeurs résultent des symétries du cercle trigonométrique.
valeurs
usuelles associées à $\,\pi/3\,$ et $\,\pi/4:\,$
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta&\ 0\ \sth{1.5}\stb{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}6\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}4\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}3\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}2\sp{1.5}\\ \hline \cos\theta&1&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\sp{1.5}\dfrac12\sp{1.5}&0\\ \hline \sin\theta&0&\!\!\dfrac12\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&1\\ \hline \tan\theta&0&\!\!\dfrac{\sqrt3}3\!\!&1&\!\!\sqrt3\!\!&\infty\\ \hline}$}$ |
$\eqalign{\cos\frac{\pi}{12}&=\frac{1}2\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2\sp{1.5}\big(\sqrt3+1\big)}{4}\\
\sin\frac{\pi}{12}&=\frac{\sqrt3}2\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{\sqrt2}2-\frac12\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{\sqrt2}2=\frac{\sqrt2\sp{1.5}\big(\sqrt3-1\big)}{4}\\
\tan\frac{\pi}{12}&= \frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\frac{\big(\sqrt3-1\big)^2}{2}= 2-\sqrt3}$
On pouvait aussi bien obtenir $\,\tan({\pi}\!\sp{1.5}/\!\sp{1.5}{12})\,$ par quotient du sinus et du cosinus de $\,\pi\!\sp{1.5}/\!\sp{1.5}12\sp{1.5}.\,$ Cependant, il importe de connaître et de savoir utiliser directement les formules relatives à la fonction tangente.
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice
Déterminer les valeurs exactes de $\,\tan\dfrac{\pi}{8}\,$ et $\,\tan\dfrac{3\sp{1.5}\pi}{8}\!\cdot\,$
fonctions trigonométriques au carré
Pour tout $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a les relations suivantes :
- $\,\sth{.5}\cos^2a+\sin^2a=1\,;\,$
- $\,1+\tan^2a=\smh{1}{\dfrac1{\cos^2a}}\,$ lorsque $\,a\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
valeurs trigonométriques usuelles
Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont :
Les autres valeurs résultent des symétries du cercle trigonométrique.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta&\ 0\ \sth{1.5}\stb{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}6\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}4\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}3\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}2\sp{1.5}\\ \hline \cos\theta&1&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\sp{1.5}\dfrac12\sp{1.5}&0\\ \hline \sin\theta&0&\!\!\dfrac12\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&1\\ \hline \tan\theta&0&\!\!\dfrac{\sqrt3}3\!\!&1&\!\!\sqrt3\!\!&\infty\\ \hline}$}$ |
symétries du cercle trigonométrique
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
formules trigonométriques d'addition
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
indication
1
Exprimer $\,\dfrac{\pi}{8}\,$ en fonction d'une valeur dont la tangente est connue.
indication
2
Écrire et résoudre une équation d'inconnue : $\,t=\tan\dfrac{\pi}{8}\!\cdot\,$
réponse
On obtient les valeurs suivantes :
- $\,\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt2-1\,;\,$
- $\,\tan\dfrac{3\sp{1.5}\pi}{8}=\sqrt2+1\,.\,$
correction
Connaissant la
Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont :
Les autres valeurs résultent des symétries du cercle trigonométrique.
valeur
de $\,\tan\sp{1.5}(\pi/4)\,$ et la formule de
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta&\ 0\ \sth{1.5}\stb{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}6\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}4\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}3\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}2\sp{1.5}\\ \hline \cos\theta&1&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\sp{1.5}\dfrac12\sp{1.5}&0\\ \hline \sin\theta&0&\!\!\dfrac12\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&1\\ \hline \tan\theta&0&\!\!\dfrac{\sqrt3}3\!\!&1&\!\!\sqrt3\!\!&\infty\\ \hline}$}$ |
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication
relative à la fonction tangente, on obtient :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\displaystyle{}1=\,\tan\dfrac{\pi}{4}=\tan\!\Big(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{8}\Big)=
\dfrac{2\,\tan\sp{1.5}(\pi/8)}{1-\big(\tan\sp{1.5}(\pi/8)\big)^2}$
On en déduit que la valeur $\,t=\tan\dfrac{\pi}{8}\,$ est solution de l'équation suivante :
$\eqalign{\,\dfrac{2\,t}{1-t^2}=1&\Ssi \Big\{\eqalign{\ t^2+2\,t-1&=(t+1)^2-2=0\\[-.5ex]t^2&\neq1}\\
&\Ssi \big(\sp{1.5}t=\sqrt{2}-1\ \ \mbox{ou}\ \ t=-\sqrt2-1\sp{1.5}\big)}$
La fonction
La fonction tangente est impaire et de période $\,\pi\sp{1.5}.\,$ Elle est de plus continue et strictement croissante sur $\,]\!-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
tangente
étant strictement positive sur l'intervalle $\,\big[\sp{1.5}0,\pi/2\big[\sp{1.5},\,$ on a donc :
$\displaystyle{}\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt2-1$
Enfin, avec la
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
substitution
$\,\theta\leftarrow({\pi}/2-\theta)\,$ qui intervertit le sinus et le cosinus, on obtient :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\tan\frac{3\sp{1.5}\pi}{8}&=
\tan\!\Big(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\Big)=\frac{1}{\tan(\pi/8)}\\[-.5ex]&=
\frac{1}{\sqrt2-1}=\frac{\sqrt2+1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=\sqrt2+1}$
Signaler une erreur
Signaler une erreur
Exercice
Déterminer les valeurs exactes de $\,\cos\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}\,$ et $\,\sin\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}\!\cdot\,$
fonctions trigonométriques au carré
Pour tout $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a les relations suivantes :
- $\,\sth{.5}\cos^2a+\sin^2a=1\,;\,$
- $\,1+\tan^2a=\smh{1}{\dfrac1{\cos^2a}}\,$ lorsque $\,a\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
valeurs trigonométriques usuelles
Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont :
Les autres valeurs résultent des symétries du cercle trigonométrique.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta&\ 0\ \sth{1.5}\stb{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}6\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}4\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}3\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}2\sp{1.5}\\ \hline \cos\theta&1&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\sp{1.5}\dfrac12\sp{1.5}&0\\ \hline \sin\theta&0&\!\!\dfrac12\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&1\\ \hline \tan\theta&0&\!\!\dfrac{\sqrt3}3\!\!&1&\!\!\sqrt3\!\!&\infty\\ \hline}$}$ |
symétries du cercle trigonométrique
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
formules trigonométriques d'addition
Pour $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ en développant $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(a+b)}\sp{1.5},\,$ on a les formules d'addition :
- $\,\sth{.5}\cos(a+b)=\cos a\sp{1.5}\cos b-\sin a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\sth{.5}\sin(a+b)=\sin a\sp{1.5}\cos b+\cos a\sp{1.5}\sin b\,;\,$
- $\,\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\sp{1.5}\tan b\!}\,$ si $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}a+b\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
indication
1
Considérer le nombre complexe $\,\alpha=\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/5}.\,$
indication
2
Utiliser la relation : $\,1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient les valeurs suivantes :
- $\,\cos\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}=\smh1{\dfrac{\sqrt5-1}{4}}\,;\,$
- $\,\sin\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}\!\cdot\,$
correction
Le nombre $\,\alpha=\e{2i\pi/5}\,$ est une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
cinquième de l'unité distincte de $\,1\,;\,$ on a donc :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\displaystyle{}\alpha^{\sp{1.5}5}=1\ \txt{et}\ 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0$
On en déduit : $\,\alpha^{\sp{1.5}3}=\alpha^{-2},\,$ $\,\alpha^{\sp{1.5}4}=\alpha^{-1},\,$ et on a aussi par la formule
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
d'Euler :
$\,\alpha+\alpha^{-1}=2\sp{1.5}\cos\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}\!\cdot\,$
On peut alors exprimer la somme des éléments de $\,\bb U_5\,$ en fonction de $\,u=\cos\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}:\,$
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
$\eqalign{&1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4&=
\big(\alpha^2+\alpha^{-2}\big)+\big(\alpha+\alpha^{-1}\big)+1\\
&&=\big(\alpha+\alpha^{-1}\big)^{\sp{-1.5}2}+\big(\alpha+\alpha^{-1}\big)-1\\
&&=4\,u^2+2\sp{1.5}u-1\\
&&=\Big(2\sp{1.5}u+\dfrac{1}{2}\Big)^{\!2}-\dfrac{5}{4}}$
De la relation : $\,1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4=0\sp{1.5},\,$ on déduit que :
$\,2\sp{1.5}u+\dfrac{1}{2}=\pm\dfrac{\sqrt 5}2\sp{1.5},\,$ d'où : $\displaystyle{}u=-\dfrac{-1\pm\sqrt5}{4}$
La fonction
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$
cosinus
étant strictement positive sur l'intervalle$\,\big[\sp{1.5}\sp{1.5}0,\pi/2\big[\sp{1.5},\,$ on a alors :
- Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
- Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\cos\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$
Le sinus de $\,\smb1{\dfrac{2\sp{.75}\pi}{5}}\,$ est lui aussi positif ; on peut donc le déduire de la somme de leurs
Pour tout $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ on a les relations suivantes :
carrés :
- $\,\sth{.5}\cos^2a+\sin^2a=1\,;\,$
- $\,1+\tan^2a=\smh{1}{\dfrac1{\cos^2a}}\,$ lorsque $\,a\non\equiv\dfrac\pi2\sp{1.5}[\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\cos^{\sp{1.5}2}\sp{-1.5}\frac{2\sp{.75}\pi}{5}&+\sin^{\sp{1.5}2}\sp{-1.5}\frac{2\sp{.75}\pi}{5}=1\\
\txt{d'où :}\ \sin\frac{2\sp{.75}\pi}{5}&= \sqrt{1-\cos^{\sp{1.5}2}\sp{-1.5}\frac{2\sp{.75}\pi}{5}}\\[-.5ex]&= \sqrt{1-\smh{1.8}{\Big(\dfrac{\sqrt5-1}{4}\Big)^{\sp{-1.5}\!2}}}= \dfrac{\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}}$