exercices de mathématiques - prépa et université

\\(\OPEL\\)Matriciellement, ce

Un système différentiel linéaire d'ordre $\,1\,$ sur $\,\bb K^n\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ X'=A(t)\sp{1.5}X+B(t)$

pour $\,A\app\sc C(I,\sc M_n(\bb K))\,$ et $\,B\app\sc C(I,\bb K^n)\sp{1.5}.\,$

Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K^n\,$ dérivables, telles que :

$\displaystyle{}\ptt t\app I,\ \phi'(t)=A(t)\sp{1.5}\phi(t)+B(t)$

système différentiel linéaire s'écrit : $\,X'(t)=A\sp{1.5}X(t),\,$ pour : On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique $\chi_A(\lambda)$ de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires, factorisation par $\,(X-1)\sp{1.5},\,$ puis

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développement selon $\,C_1\!:\,$

On obtient finalement comme polynôme caractéristique :

La matrice $A$ a donc pour

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre : $\,\op{Sp}(A)=\{0,1,2\}\sp{1.5},\,$ ce qui prouve qu'elle est

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable ssi la somme de ses sous-espaces propres est égale à $\bb K^n.$

Si  $A$ a $n$ valeurs propres distinctes dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ alors  $A$ est diagonalisable.

diagonalisable dans $\sc M_3(\bb R)\sp{1.5}.$

On peut obtenir un

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

vecteur propre pour chaque $\,\lambda\app\op{Sp}(A)\sp{1.5},\,$ par résolution du système linéaire homogène de matrice $\,(A-\lambda\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}.\,$

Il est cependant plus direct de repérer pour chaque $\,\lambda\app\op{Sp}(A)\sp{1.5},\,$ une relation entre les colonnes de $\,(A-\lambda\sp{1.5}I_3):\,$

• $\,C_1+2\sp{1.5}C_2+C_3=0\,$ dans $\,A\sp{1.5},\,$ d'où $\,U\,$ de coordonnées $(1,2,1)$ qui appartient au
  Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

  Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$
  sous-espace propre $\,E_0(A)\sp{1.5};\,$
• $\,C_1+C_2=0\,$ dans $\,A-\sp{1.5}I_3\sp{1.5},\,$ d'où $\,V\,$ de coordonnées $(1,1,0)$ appartenant à $\,E_1(A)\sp{1.5};\,$
• $\,C_1+2\sp{1.5}C_2+2\sp{1.5}C_3=0\,$ dans $\,A-2\sp{1.5}I_3\sp{1.5},\,$ d'où $\,W\,$ de coordonnées $(1,2,2)$ dans $\,E_2(A)\sp{1.5}.\,$

On obtient ainsi une base de vecteurs propres d'où la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisation de $A$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^{-1},\,$ pour $\,P=\big[\sp{1.5}U,V,W\big]:\,$

En posant : $\,Y(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X(t)\sp{1.5},\,$ on a par

Soient $\,f,g:I\to\bb K^n\,$ dérivables en $\,t\app I\sp{1.5},\,$ $\,\alpha,\beta\app\bb K\,$ et $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)\,$ sont dérivables en $\,t\sp{1.5},\,$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(t)=\alpha\sp{1.5}f'(t)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5},\,$

• $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)(t)=A\sp{1.5}f'(t)+B\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5}.\,$

linéarité de la dérivation : $\,Y'(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X'(t)\sp{1.5},\,$ car $P^{-1}$ est constante.

Le système différentiel $\,X'=A\sp{1.5}X\,$ devient alors, en multipliant à gauche par $P^{-1}:$ On en déduit les expressions de $\,Y(t)\,$ puis $\,X(t)\sp{1.5},\,$ pour tous $\,t\app\bb R\,$ et $\,(\alpha,\beta,\gamma)\app\bb R^3:\,$

Dans l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique de l'espace $\bb R^3\sp{1.5},$ on note $\,I\,$ le point $\,\alpha\sp{1.5}U\sp{1.5};\,$ avec $\,\vec v=\beta\sp{1.5}V\,$ et $\,\vec w=\gamma\sp{1.5}W,\,$ on obtient :

Pour chaque solution $X,$ l'ensemble $\,\Gamma=\ens{X(t)}{t\app\bb R}\,$ est inclus dans le

Soit un point $A$ et un sous-espace vectoriel $F$ dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Le sous-espace affine de $E$ de direction $F$ et passant par le point $A$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc F=\ens{\,M\app E}{\iex \vec u\app F,\ M=A+\vec u\sp{1.5}}=A+F$

Si $\,\dim(F)=1\sp{1.5},\,$ $\sc F$ est une droite affine ; si $\,\dim(F)=2\sp{1.5},\,$ $\sc F$ est un plan affine.

sous-espace affine $\,I\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\op{Vect}(\vec v,\vec w)\sp{1.5},\,$ et c'est :

• Une courbe plane lorsque $\,\beta\neq0\,$ et $\,\gamma\neq0\,;\,$ elle est
  Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.

  Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$  est  définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$

  • L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
  • l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
  paramétrisée dans le
  Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $  est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :

  • d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
  • d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$

  Pour $(x,y)\app\bb R^2,$ $\,M=O+x\sp{1.5}\vec{\imath}+y\sp{1.5}\vec{\jmath}\,$ est le point de coordonnées $(x,y)\sp{1.5},$ noté $M(x,y)\sp{1.5}.$

  Pour des points $M(x,y)$ et $N(x',y'),$ on a : $\,\smh{1}{\Vec{MN}}=(x'-x)\sp{1.5}\vec{\imath}+(y'-y)\sp{1.5}\vec{\jmath}\sp{1.5}.\,$
  repère $\,\smh0{(I,\vec v,\vec w)}\,$ par : $\,x=\e{t}\,$ et $\,y=\e{2\sp{1.5}t}\sp{1.5};\,$
  avec comme équation
  Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$

  Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :

  $\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
  cartésienne : $\,y=x^2\,$ pour $\,x\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,$ cette courbe $\Gamma$ est alors une demi-parabole.
• Une
  Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

  La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

  $\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$
  demi-droite issue de $I$ et privée de $I\sp{1.5},$ lorsque $\,(\beta=0\!\txt{et}\!\gamma\neq0)\,$ ou $\,(\beta\neq0\!\txt{et}\!\gamma=0)\sp{1.5}.\,$
• Le singleton $\,\{I\}\,$ lorsque $\,\beta=\gamma=0\sp{1.5}.\,$

\\(\OPEL\\)Matriciellement, ce

Un système différentiel linéaire d'ordre $\,1\,$ sur $\,\bb K^n\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ X'=A(t)\sp{1.5}X+B(t)$

pour $\,A\app\sc C(I,\sc M_n(\bb K))\,$ et $\,B\app\sc C(I,\bb K^n)\sp{1.5}.\,$

Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K^n\,$ dérivables, telles que :

$\displaystyle{}\ptt t\app I,\ \phi'(t)=A(t)\sp{1.5}\phi(t)+B(t)$

système différentiel linéaire s'écrit : $\,X'(t)=A\sp{1.5}X(t),\,$ pour : On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique $\chi_A(\lambda)$ de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires et factorisation par $\,(\lambda-1):\,$

On obtient finalement, par

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développement selon $\,C_1\sp{1.5},\,$ le polynôme caractéristique :

$A$ a donc pour

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre : $\,\op{Sp}(A)=\{1,-1\},\,$ où $1$ est une

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre double.

• Le
  Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

  Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$
  sous-espace propre $\,E_1(A)\,$ est caractérisé par le système linéaire homogène de matrice $\,(A-I_3):\,$
  $\displaystyle{}\matr{-4&\!-4&\ 8\\-2&\!-2&\ 4\\-2&\!-2&\ \,4}\!\matc{x\\y\\z}=\matc{\sp{1.5}0\sp{1.5}\\0\\0} \Ssi x+y-2\sp{1.5}z=0$
  C'est donc un plan vectoriel ce qui nous prouve que $A$ est
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

  $\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
  diagonalisable ;

• $\,E_{-1}(A)\,$ est alors une droite, caractérisée par le système linéaire homogène de matrice $\,(A+I_3):\,$
  $\displaystyle{}\matr{-2&\!\!-4&\ 8\\-2&0&\ 4\\-2&\!\!-2&\ \,6}\!\matc{x\\y\\z}=\matc{\sp{1.5}0\sp{1.5}\\0\\0} \Ssi x-2\sp{1.5}z=y-z=0$

On choisit alors $\,(U,V)\,$ libre dans $\,E_1(A):\,$ $\,U=\!\matr{1\sp{1.5}\\[-.5ex]\!\!-1\sp{1.5}\\[-.5ex]0\sp{1.5}},\ V=\!\matr{\,0\sp{1.5}\\[-.5ex]2\sp{1.5}\\[-.5ex]1\sp{1.5}}\,$ et $\,W\neq0\,$ dans $\,E_{-1}(A):\,$ $\,W=\!\matr{\,2\sp{1.5}\\[-.5ex]1\sp{1.5}\\[-.5ex]1\sp{1.5}}\!\cdot\,$

On en déduit la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisation de $A$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^{-1}\sp{1.5},\,$ pour $\,P=\big[\sp{1.5}U,V,W\big] :\,$

En posant : $\,Y(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X(t)\sp{1.5},\,$ on a par

Soient $\,f,g:I\to\bb K^n\,$ dérivables en $\,t\app I\sp{1.5},\,$ $\,\alpha,\beta\app\bb K\,$ et $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)\,$ sont dérivables en $\,t\sp{1.5},\,$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(t)=\alpha\sp{1.5}f'(t)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5},\,$

• $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)(t)=A\sp{1.5}f'(t)+B\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5}.\,$

linéarité de la dérivation : $\,Y'(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X'(t)\sp{1.5},\,$ car $P^{-1}$ est constante.

Le système différentiel $\,X'=A\sp{1.5}X\,$ devient alors, en multipliant à gauche par $P^{-1}:$

On en déduit les solutions générales $\,Y(t)\,$ et $\,X(t)=P\,Y(t)\,$ des systèmes $\,Y'=D\sp{1.5}Y\,$ et $\,X'=A\sp{1.5}X\sp{1.5},\,$ pour tout $\,(\alpha,\beta,\gamma)\app\bb R^3:\,$

Dans l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique de l'espace $\bb R^3\sp{1.5},$ on note $O$ le point $\,(0,0,0)\sp{1.5};\,$ avec $\,\vec u=\alpha\sp{1.5}U+\beta\,V\,$ et $\,\vec v=\gamma\sp{1.5}W,\,$ on obtient :

Pour chaque solution $X,$ l'ensemble $\,\Gamma=\ens{X(t)}{t\app\bb R}\,$ est inclus dans le

Soit un point $A$ et un sous-espace vectoriel $F$ dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Le sous-espace affine de $E$ de direction $F$ et passant par le point $A$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc F=\ens{\,M\app E}{\iex \vec u\app F,\ M=A+\vec u\sp{1.5}}=A+F$

Si $\,\dim(F)=1\sp{1.5},\,$ $\sc F$ est une droite affine ; si $\,\dim(F)=2\sp{1.5},\,$ $\sc F$ est un plan affine.

sous-espace affine $\,O\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\op{Vect}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ et c'est :

• Une courbe plane lorsque $\,(\alpha,\beta)\neq(0,0)\,$ et $\,\gamma\neq0\sp{1.5};\,$ elle est
  Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.

  Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$  est  définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$

  • L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
  • l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$
  paramétrisée dans le
  Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $  est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :

  • d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
  • d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$

  Pour $(x,y)\app\bb R^2,$ $\,M=O+x\sp{1.5}\vec{\imath}+y\sp{1.5}\vec{\jmath}\,$ est le point de coordonnées $(x,y)\sp{1.5},$ noté $M(x,y)\sp{1.5}.$

  Pour des points $M(x,y)$ et $N(x',y'),$ on a : $\,\smh{1}{\Vec{MN}}=(x'-x)\sp{1.5}\vec{\imath}+(y'-y)\sp{1.5}\vec{\jmath}\sp{1.5}.\,$
  repère $\,\smh0{(O,\vec u,\vec v\sp{1.5})}\,$ par : $\,x=\e{t}\,$ et $\,y=\e{-t}\,;\,$
  avec comme équation
  Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$

  Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :

  $\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
  cartésienne : $\,y=1/x\,$ pour $\,x\sp{-1.5} >\sp{-1.5}0\sp{1.5},\,$ c'est une branche d'hyperbole, d'asymptotes $\,Ox\,$ et $\,Oy\sp{1.5}.\,$
• Une
  Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

  La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

  $\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$
  demi-droite issue de $O$ et privée de $O$ lorsque $\,(\smh0{\vec u=0\!\txt{et}\!\vec v\neq0})\,$ ou $\,(\smh0{\vec u\neq0\!\txt{et}\!\vec v=0})\,;\,$
• le singleton $\,\{O\}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta=\gamma=0\sp{1.5}.\,$

\\(\OPEL\\)Matriciellement, ce

Un système différentiel linéaire d'ordre $\,1\,$ sur $\,\bb K^n\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ X'=A(t)\sp{1.5}X+B(t)$

pour $\,A\app\sc C(I,\sc M_n(\bb K))\,$ et $\,B\app\sc C(I,\bb K^n)\sp{1.5}.\,$

Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K^n\,$ dérivables, telles que :

$\displaystyle{}\ptt t\app I,\ \phi'(t)=A(t)\sp{1.5}\phi(t)+B(t)$

système différentiel linéaire s'écrit : $\,X'(t)=A\sp{1.5}X(t)+B(t),\,$ pour : On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique $\chi_A(\lambda)$ de $A:$

• $\,\chi_A\,$ n'étant pas scindé sur $\bb R,$ la matrice $A$ n'est pas
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

  $\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
  diagonalisable dans $\sc M_2(\bb R)\,;$

• $A$ ayant deux valeurs propres complexes distinctes, elle est
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable ssi la somme de ses sous-espaces propres est égale à $\bb K^n.$

  Si  $A$ a $n$ valeurs propres distinctes dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ alors  $A$ est diagonalisable.
  diagonalisable dans $\sc M_2(\bb C).$

Avec $\,\op{Sp}_{\bb C}(A)=\{i,-i\}\,,\,$ on a dans $\bb C^2$ une

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

droite propre $\,E_{i}(A)\,$ caractérisée par le système linéaire homogène de matrice $\,(A-i\sp{1.5}I_2):\,$ On obtient ainsi la droite propre :  $\,E_{i}(A)=\op{Vect}(U)\sp{1.5},\,$ pour $\,U=\matr{1\,\\\!-i}\!\cdot\,$

$A$ étant réelle, on a : $\,A\,X=i\sp{1.5}X\Imp A\,\surl{X}=-i\sp{1.5}\surl{X}\sp{1.5};\,$ on en déduit l'autre droite propre : $\,E_{-i}(A)=\op{Vect}(V)\,$ pour $\,V=\matc{1\\i}\sp{1.5}.\,$

On a ainsi une base $\,(U,V)\,$ de vecteurs propres, d'où la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisation de $A$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^{-1},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V]:\,$

En posant : $\,Y(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X(t)\sp{1.5},\,$ on a par

Soient $\,f,g:I\to\bb K^n\,$ dérivables en $\,t\app I\sp{1.5},\,$ $\,\alpha,\beta\app\bb K\,$ et $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)\,$ sont dérivables en $\,t\sp{1.5},\,$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(t)=\alpha\sp{1.5}f'(t)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5},\,$

• $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)(t)=A\sp{1.5}f'(t)+B\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5}.\,$

linéarité de la dérivation : $\,Y'(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X'(t)\sp{1.5},\,$ car $P^{-1}$ est constante.

Le système différentiel $\,X'=A\sp{1.5}X+B\,$ devient alors, en multipliant à gauche par $P^{-1}:$

On peut calculer $\,C=P^{-1}\sp{-1.5}B\,$ en résolvant le système linéaire $\,P\sp{1.5}C=B\,$ d'inconne $C\sp{1.5},$ ou plus

$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :

$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$

directement par :

On obtient alors les solutions dans $\bb C^2$ de système $\,Y'=D\sp{1.5}Y+C\sp{1.5},\,$ pour $\,(\alpha,\beta)\app\bb C^2:\,$

On a trouvé des

Soient $\,(a,\lambda)\app\bb C^2,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y\sp{1.5}'+a\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$

Alors l'équation $\,(\sc E)\,$ admet une solution de la forme :

• $\,x\mapsto Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$ pour $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\lambda\neq-a\sp{1.5};\,$
• $\,x\mapsto x\sp{1.5}Q(x)\sp{1.5}\e{-a\sp{1.5}x}\,$ pour $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\lambda=-a\sp{1.5}.\,$

solutions particulières de chaque équation en les écrivant $\,\lambda\sp{1.5}\e{-i\sp{1.5}t}\,$ et $\,\mu\sp{1.5}\e{i\sp{1.5}t}\sp{1.5},\,$ avec ensuite : $\,\lambda=\mu=-\dfrac12\!\cdot\,$

On en déduit les solutions complexes $\,X=P\sp{1.5}Y\,$ du système initial $\,X'(t)=A\sp{1.5}X(t)+B(t):\,$ Les solutions réelles du système en résultent en choisissant $\,\alpha=\surl{\beta\,}=\dfrac{a+i\sp{1.5}b}2\,$ pour $(a,b)\app\bb R^2:$

Dans l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique de l'espace $\bb R^2\sp{1.5},$ on note $O$ le point $\,(0,0)\,$ et on pose : $\,\vec u=\matc{a-1\\-b}\,$ et $\,\vec v=\matc{b\\a+1}\!\cdot\,$

Pour la solution $X$ correspondant au couple $\,(a,b)\app\bb R^2\sp{1.5},\,$ on a donc :

L'ensemble $\,\Gamma=\ens{X(t)}{t\app\bb R}\,$ est ainsi une courbe plane

Soient $E$ un espace vectoriel normé et $I$ un intervalle réel.

Une courbe paramétrée de classe $\sc C^k$  est  définie par une application $\,M\app\sc C^k(I,E)\sp{1.5}.\,$

• L'ensemble $\,\Gamma=\ens{M(t)}{t\app I}\,$ est le support de $M\sp{1.5};$
• l'application $M$ est une paramétrisation de $\,\Gamma\sp{1.5}.\,$

paramétrisée dans le

Un repère d'un plan vectoriel réel $P, $  est un triplet $(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ formé :

• d'un point $O\app P\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
• d'une base $(\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)$ du plan vectoriel $P.$

Pour $(x,y)\app\bb R^2,$ $\,M=O+x\sp{1.5}\vec{\imath}+y\sp{1.5}\vec{\jmath}\,$ est le point de coordonnées $(x,y)\sp{1.5},$ noté $M(x,y)\sp{1.5}.$

Pour des points $M(x,y)$ et $N(x',y'),$ on a : $\,\smh{1}{\Vec{MN}}=(x'-x)\sp{1.5}\vec{\imath}+(y'-y)\sp{1.5}\vec{\jmath}\sp{1.5}.\,$

repère $\,\smh0{(O,\vec u,\,\vec v\sp{1.5})}\,$ par : $\,x=\cos(t)\,$ et $\,y =\sin(t)\sp{1.5}.\,$

• $X$ étant de période $2\sp{1.5}\pi,$ la courbe $\Gamma$ est fermée ;
• avec : $\,|x|\leq1\,$ et $\,|y|\leq1\sp{1.5},\,$ la courbe $\Gamma$ est également bornée ;
• elle s'inscrit donc dans le
  Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ quatre points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C,\sp{1.5}D\,.$

  $(A,B,C,D)$  est  un parallélogramme  ssi : $\,\Vec{\sp{-1.5}AB}=\Vec{DC}\sp{-1.5}.\,$

  Cette condition équivaut aussi à : $\, m(A,C)=m(B,D)\sp{1.5}.\,$
  parallélogramme $(A,B,C,D)$ de sommets $\,\smh0{O\pm\vec u\pm\vec v}\sp{1.5}.\,$

L'ellipse $\,\Gamma\,$ pour $\,a=b=2\,$

\\(\OPEL\\)Matriciellement, ce

Un système différentiel linéaire d'ordre $\,1\,$ sur $\,\bb K^n\,$ s'écrit :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ X'=A(t)\sp{1.5}X+B(t)$

pour $\,A\app\sc C(I,\sc M_n(\bb K))\,$ et $\,B\app\sc C(I,\bb K^n)\sp{1.5}.\,$

Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K^n\,$ dérivables, telles que :

$\displaystyle{}\ptt t\app I,\ \phi'(t)=A(t)\sp{1.5}\phi(t)+B(t)$

système différentiel linéaire s'écrit : $\,X'(t)=A\sp{1.5}X(t),\,$ pour :

On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique $\,\chi_A(\lambda)\,$ de $A$ par des

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires et des factorisations par $\,(\lambda+2)\,$ et $\,(\lambda-1):\,$

On obtient ainsi un déterminant

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

triangulaire, d'où :  $\,\chi_A(\lambda)=(\lambda+2)^2\sp{1.5}(\lambda-1)\sp{1.5}.\,$

La matrice $A$ a donc pour

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre : $\,\op{Sp}(A)=\{-2,\sp{1.5}1\},\,$ où $\,-2\,$ est une

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre double.

• Le
  Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

  Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$
  sous-espace propre $\,E_1(A)\,$ est caractérisé par le système linéaire homogène de matrice $\,(A-I_3):\,$
  $\displaystyle{}\matr{-4&\!-3&\!-4\\-1&\!-3&\!-1\\ \ 1&\ 3&\ 1}\!\matc{x\\y\\z}=\matc{\sp{1.5}0\sp{1.5}\\0\\0}\Ssi x+z=y=0$
• $\,E_{-2}(A)\,$ est caractérisé par le système linéaire homogène de matrice $\,(A+2\sp{1.5}I_3):\,$
  $\displaystyle{}\matr{-1&\!-3&\!-4\\-1&0&\!-1\\ \ 1&\ 3&\ 4}\!\matc{x\\y\\z}=\matc{\sp{1.5}0\sp{1.5}\\0\\0}\Ssi x+z=y+z=0$

Ces deux systèmes étant de rang $\,2\sp{1.5},\,$ les sous-espaces propres $\,E_1(A)\,$ et $\,E_{-2}(A)\,$ sont des droites, et $\,A\,$ n'est donc pas

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$

diagonalisable.

En revanche, le polynôme $\,\chi_A(\lambda)=(\lambda+2)^2\sp{1.5}(\lambda-1)\,$ étant scindé, la matrice $\,A\,$ est

Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ de polynôme caractéristique $\,\chi_A(X)\sp{1.5}.\,$

$\,A\,$ est trigonalisable  ssi $\,\chi_A(X)\,$ est scindé dans $\,\bb K[X]\sp{1.5}.\,$

trigonalisable.

Avec $\,U=\matr{1\,\\[-.5ex]0\,\\[-.5ex]\!-1\,}\,$ et $\,V=\matr{1\,\\[-.5ex]1\,\\[-.5ex]\!-1\,}\sp{1.5},\,$ on obtient une base $\,(U,V)\,$ de $\,E_1(A)\oplus E_{-2}(A)\sp{1.5},\,$ et on choisit ensuite $\,W=\matc{\ 1\,\\[-.5ex]0\\[-.5ex]0 }\!\sp{-1.5}\cdot\,$

$W$ ne vérifie pas l'équation $\,x+z\!=\!0\,$ du plan $\,\op{Vect}(U,V)\sp{1.5};\,$ le triplet $(U,V,W)$ est donc une base de $\bb R^3.$

Avec $\,A\sp{1.5}W=-V-2\sp{1.5}W\sp{1.5},\,$ on obtient donc la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est trigonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice triangulaire $\,T:\,$

$\,A=P\,T\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

trigonalisation suivante de $A$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}T\sp{1.5}P^{-1},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V,W]:\,$

En posant : $\,Y(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X(t)\sp{1.5},\,$ on a par

Soient $\,f,g:I\to\bb K^n\,$ dérivables en $\,t\app I\sp{1.5},\,$ $\,\alpha,\beta\app\bb K\,$ et $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)\,$ sont dérivables en $\,t\sp{1.5},\,$ avec :

• $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(t)=\alpha\sp{1.5}f'(t)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5},\,$

• $\,(A\sp{1.5}f+B\sp{1.5}g)(t)=A\sp{1.5}f'(t)+B\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(t)\sp{1.5}.\,$

linéarité de la dérivation : $\,Y'(t)=P^{-1}\sp{-1.5}X'(t)\sp{1.5},\,$ car $P^{-1}$ est constante.

Le système différentiel $\,X'=A\sp{1.5}X\,$ devient alors, en multipliant à gauche par $P^{-1}:$

On peut alors résoudre par étapes le système différentiel $\,Y'=T\sp{1.5}Y\sp{1.5},\,$ d'abord pour $\,(\alpha,\gamma)\app\bb R^2\,$ puis pour $\,(\alpha,\beta,\gamma)\app\bb R^3:\,$

On a cherché une

Soient $\,(a,\lambda)\app\bb C^2,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y\sp{1.5}'+a\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$

Alors l'équation $\,(\sc E)\,$ admet une solution de la forme :

• $\,x\mapsto Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$ pour $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\lambda\neq-a\sp{1.5};\,$
• $\,x\mapsto x\sp{1.5}Q(x)\sp{1.5}\e{-a\sp{1.5}x}\,$ pour $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\lambda=-a\sp{1.5}.\,$

solution particulière de $\,v'(t)=-2\sp{1.5}v(t)-\gamma\,\e{-2\sp{1.5}t}\,$ sous la forme $\,\lambda\,t\sp{1.5}\e{-i\sp{1.5}t}\sp{1.5},\,$ avec alors : $\,\lambda=-\gamma\sp{1.5}.\,$

On en déduit la solution générale de $\,X'(t)=A\sp{1.5}X(t),\,$ pour pour $\,(\alpha,\beta,\gamma)\app\bb R^3:\,$