Sujet D.6.4 Résolution par série entière
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Exercice a
Soit l'équation différentielle suivante, définie par :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ x\sp{1.5}y''+y'+y=0$
Déterminer l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière en $\,0\,.\,$
Ces solutions constituent-elles l'ensemble de toutes les solutions de $(\sc E)\,?$
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
caractère ${\scr C}^\infty$ de la somme d'une série entière
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
indication
1
Écrire une relation de récurrence vérifiée par les coefficients d'une série entière dont la somme serait une solution de $(\sc E)\sp{1.5}.$
indication
2
Vérifier que l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière forme une droite vectorielle.
réponse
On obtient l'ensemble $\,\op{Vect}(f)\sp{1.5},\,$ formé des multiples de la fonction $f$ définie par :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f(x)=\dsum_{n=0}^{+\I}(-1)^n\dfrac{x^n}{(n\sp{1.5}!)^2}$
Cet ensemble est une droite vectorielle, strictement incluse dans le plan vectoriel $\sc S$ de toutes les solutions de $(\sc E)\sp{1.5}.$
correction
Soit $\,\phi:x\mapsto\dsum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^n\,$ une solution de l'équation différentielle $\,(\sc E)\sp{1.5},\,$
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
développable
en série entière en $\,0\sp{1.5}.\,$
En la supposant de rayon $\,R > 0\sp{1.5},\,$ cette série entière se dérive
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
terme à terme
sur $\,]\!-R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
$\eqalign{&x\sp{1.5}\phi''(x)+\phi'(x)+\phi(x)=0\sp{1.5},\ \txt{c'est-à-dire :}\\[-.5ex]
&x\sum_{n=2}^{+\I}n(n-1)\,a_n\sp{1.5}x^{n-2}+\sum_{n=1}^{+\I}n\,a_n\sp{1.5}x^{n-1}+\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}=0}$
En regroupant les deux premières sommes, puis en y
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translatant
l'indice $\,n\,$ en $\,p=n-1\sp{1.5},\,$ l'équation devient :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\eqalign{&\sum_{n=1}^{+\I}n^2\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^{n-1}+\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}\\[-1ex]
=&\sum_{p=0}^{+\I}(p+1)^2\sp{1.5}a_{p+1}\sp{1.5}x^{p}+\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}\\[-1ex]
=&\sum_{n=0}^{+\I}\big((n+1)^2\sp{1.5}a_{n+1}+a_n\big)\sp{1.5}x^{n}=0}$
Par
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
unicité
du développement en série entière, l'équation $(\sc E)$ équivaut alors à :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_{n+1}=-\frac{a_n}{(n+1)^2}$
On en déduit une expression du coefficient $\,a_n\,$ par un
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
produit
télescopique, puis une
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielle :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=a_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{a_{k+1}}{a_k}=a_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)}{(k+1)^2}=a_0\,\dfrac{(-1)^n}{(n\sp{1.5}!)^2}$
Ainsi, les seules solutions de $\,(\sc E)\,$ développables en série entière en $\,0\,$ sont les multiples de la fonction :
$\displaystyle{}f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\I}(-1)^n\sp{1.5}\frac{x^n}{(n\sp{1.5}!)^2}$
Réciproquement les calculs ci-dessus prouvent que les multiples de $f$ sont bien des solutions de $(\sc E)$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ car selon la
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
règle
de d'Alembert :
$\displaystyle{}R=\lim n{+\I}\bigg|\frac{a_n}{a_{n+1}}\bigg|=\lim n{+\I}(n+1)^2=+\I$
On a ainsi établi que l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière en $\,0\,$ est
la
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
droite
vectorielle $\,\op{Vect}(f)\sp{1.5}.\,$
D'après le
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
théorème
de Cauchy-Lipschitz, l'ensemble $\sc S$ des solutions de $(\sc E)$ sur $\bb R$ forme un
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.
Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$
C'est la dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$
plan
vectoriel.
Il s'ensuit que la droite vectorielle $\,\op{Vect}(f)\,$ n'est qu'une partie stricte de cet ensemble : $\,\op{Vect}(f)\subsetneqq\sc S\sp{1.5}.\,$
- lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$ est une droite vectorielle ;
- lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$ est un plan vectoriel.
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Exercice b
Soit l'équation différentielle suivante, définie par :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ 2\sp{1.5}x\sp{1.5}y''+y'-y=0$
Déterminer et expliciter l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière en$\,0\,.\,$
Ces solutions constituent-elles l'ensemble de toutes les solutions de $(\sc E)\,?$
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
caractère ${\scr C}^\infty$ de la somme d'une série entière
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
indication
1
Écrire une relation de récurrence vérifiée par les coefficients d'une série entière dont la somme serait une solution de $(\sc E)\sp{1.5}.$
indication
2
Vérifier que l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière forme une droite vectorielle, engendrée par une fonction à expliciter.
réponse
On obtient l'ensemble $\,\op{Vect}(f)\sp{1.5},\,$ formé des multiples de la fonction $f$ définie par :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(2\sp{1.5}x)^n}{(2\sp{1.5}n)!}=
\bigg\{\eqalign{\op{ch}\sqrt{2\sp{1.5}x}\ \,&\txt{si}x\geq0\\ \,\cos\sqrt{-2\sp{1.5}x}&\txt{si}x\leq0}$
Cet ensemble est une droite vectorielle, strictement incluse dans le plan vectoriel $\sc S$ de toutes les solutions de $(\sc E)\sp{1.5}.$
correction
Soit $\,\phi:x\mapsto\dsum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^n\,$ une solution de l'équation différentielle $\,(\sc E)\sp{1.5},\,$
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
développable
en série entière en $\,0\sp{1.5}.\,$
En la supposant de rayon $\,R > 0\sp{1.5},\,$ cette série entière se dérive
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
terme à terme
sur $\,]\!-R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
$\eqalign{2\sp{1.5}x\sp{1.5}\phi''(x)+\phi'(x)-\phi(x)=0\sp{1.5},\ \txt{c'est-à-dire :}\\[-.5ex]
2\sp{1.5}x\sum_{n=2}^{+\I}n(n-1)\,a_n\sp{1.5}x^{n-2}+\sum_{n=1}^{+\I}n\,a_n\sp{1.5}x^{n-1}-\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}=0}$
En regroupant les deux premières sommes, puis en y
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translatant
l'indice $\,n\,$ en $\,p=n-1\sp{1.5},\,$ l'équation devient :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\eqalign{&\sum_{n=1}^{+\I}n(2\sp{1.5}n-1)\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^{n-1}-\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}\\[-1ex]
=&\sum_{p=0}^{+\I}(p+1)(2\sp{1.5}p+1)\sp{1.5}a_{p+1}\sp{1.5}x^{p}-\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}\\[-1ex]
=&\sum_{n=0}^{+\I}\big((n+1)(2\sp{1.5}n+1)\sp{1.5}a_{n+1}-a_n\big)\sp{1.5}x^{n}=0}$
Par
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
unicité
du développement en série entière, l'équation $(\sc E)$ équivaut alors à :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_{n+1}=\frac{a_n}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}$
On en déduit une expression du coefficient $\,a_n\,$ par un
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
produit
télescopique, puis une
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielle :
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\eqalign{\ptt n\app\bb N,\ a_n&=a_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{a_{k+1}}{a_k}=a_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(k+1)(2\sp{1.5}k+1)}\\&=a_0\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2}{(2\sp{1.5}k+2)(2\sp{1.5}k+1)}=a_0\,\frac{2^n}{(2\sp{1.5}n)\sp{1.5}!}}$
Ainsi, les seules solutions de $\,(\sc E)\,$ développables en série entière en $\,0\,$ sont les multiples de la fonction :
$\displaystyle{}f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(2\sp{1.5}x)^n}{(2\sp{1.5}n)!}$
Réciproquement les calculs ci-dessus prouvent que les multiples de $f$ sont bien des solutions de $(\sc E)$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ car selon la
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
règle
de d'Alembert :
$\displaystyle{}R=\lim n{+\I}\bigg|\frac{a_n}{a_{n+1}}\bigg|=\lim n{+\I}(n+1)(2\sp{1.5}n+1)=+\I$
On a ainsi établi que l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière en $\,0\,$ est
la
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
droite
vectorielle $\,\op{Vect}(f)\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ peut s'expliciter grâce aux développements du
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
Le cosinus est développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$
cosinus,
ainsi que
du cosinus
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\cos x=\sum_{p=0}^{+\I}(-1)^p\dfrac{x^{2\sp{.75}p}}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}$
Le cosinus hyperbolique est développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$
hyperbolique :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\op{ch}x=\sum_{p=0}^{+\I}\dfrac{x^{2\sp{.75}p}}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f(x)=
\bigg\{\eqalign{\op{ch}\sqrt{2\sp{1.5}x}\ \,&\txt{si}x\geq0\\ \,\cos\sqrt{-2\sp{1.5}x}&\txt{si}x\leq0}$
D'après le
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
théorème
de Cauchy-Lipschitz, l'ensemble $\sc S$ des solutions de $(\sc E)$ sur $\bb R$ forme un
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.
Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$
C'est la dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$
plan
vectoriel.
Il s'ensuit que la droite vectorielle $\,\op{Vect}(f)\,$ n'est qu'une partie stricte de cet ensemble : $\,\op{Vect}(f)\subsetneqq\sc S\sp{1.5}.\,$
- lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$ est une droite vectorielle ;
- lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$ est un plan vectoriel.
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Exercice c
Soit l'équation différentielle suivante, définie sur l'intervalle $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\,$ par :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ (1-x^2)\sp{1.5}y''-2\sp{1.5}x\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=0$
Déterminer et expliciter l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière en $\,0\,.\,$
Ces solutions constituent-elles l'ensemble de toutes les solutions de $(\sc E)$ sur $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\,?\,$
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
caractère ${\scr C}^\infty$ de la somme d'une série entière
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
indication
1
Écrire une relation de récurrence vérifiée par les coefficients d'une série entière dont la somme serait une solution de $(\sc E)\sp{1.5}.$
indication
2
Vérifier que l'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière forme un plan vectoriel, engendré par deux fonctions à expliciter.
réponse
L'ensemble des solutions de $(\sc E)$ développables en série entière en $\,0\,$ est l'ensemble des $\,\phi:\,]\!-1,1\sp{1.5}[\to\bb R\sp{1.5},\,$ définies par :
$\eqalign{\phi(x)&=-\alpha\sum_{p=0}^{+\I}\frac{x^{2\sp{1.5}p}}{2\sp{1.5}p-1}+\beta\,x\\[-1ex]
&=\ \alpha\Big(1+\frac x2\,\ln\frac{1-x}{1+x}\Big)+\beta\,x\sp{1.5},\,\txt{pour}(\alpha,\beta)\app\bb R^2}$
Cet ensemble coïncide avec le plan vectoriel $\sc S$ de toutes les solutions de $(\sc E)$ sur $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
correction
Soit $\,\phi:x\mapsto\dsum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^n\,$ une solution de l'équation différentielle $\,(\sc E)\sp{1.5},\,$
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
développable
en série entière en $\,0\sp{1.5}.\,$
En la supposant de rayon $\,R > 0\sp{1.5},\,$ cette série entière se dérive
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
terme à terme
sur $\,]\!-R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et on a alors :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
$\eqalign{ x\phi'(x)&=x\sum_{n=1}^{+\I}n\,a_n\sp{1.5}x^{n-1}=\sum_{n=1}^{+\I}n\,a_n\sp{1.5}x^{n}\\[-1ex]
(1-x^2)\sp{1.5}\phi''(x)&=\!\sum_{n=2}^{+\I}n(n-1)\,a_n\sp{1.5}x^{n-2}-\!\sum_{n=2}^{+\I}n(n-1)\,a_n\sp{1.5}x^{n}}$
En
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translatant
l'indice $\,n\,$ en $\,p=n-2\,$ dans la première des deux sommes exprimant $\,(1-x^2)\sp{1.5}\phi''(x)\sp{1.5},\,$ l'équation s'écrit :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\eqalign{&\sum_{n=2}^{+\I}n(n-1)\,a_n\sp{1.5}x^{n-2}-\sum_{n=0}^{+\I}\big(n(n-1)+2\sp{1.5}n-2\big)\sp{1.5}x^n\\[-1ex]
=&\sum_{p=0}^{+\I}(p+2)(p+1)\,a_{p+2}\sp{1.5}x^{p}-\sum_{n=0}^{+\I}(n^2+n-2)\sp{1.5}x^n\\[-1ex]
=&\sum_{n=0}^{+\I}(n+2)\big((n+1)\sp{1.5}a_{n+2}-(n-1)\,a_n\big)\sp{1.5}x^n=0}$
Par
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
unicité
du développement en série entière, l'équation $(\sc E)$ équivaut alors à :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_{n+2}=\frac{n-1}{n+1}\,a_n$
On distingue alors deux cas selon la parité de $\,n:\,$- si $n$ est impair, on a d'une part : $\,a_1\sp{-1.5}\app\bb R\sp{1.5},\,$ et d'autre part, par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :récurrence : $\,\ptt p\geq1,\ a_{2\sp{1.5}p+1}=0\sp{1.5}.\,$ En effet : $\,a_3=0\sp{1.5},\,$ et pour $\,p\geq1:\,$ $\,a_{2\sp{1.5}p+1}=0\Imp a_{2\sp{1.5}p+3}=\smh{1}{\smb{1}{\dfrac{2\sp{1.5}p}{2\sp{1.5}p+2}}}\,a_{2\sp{1.5}p+1}=0\sp{1.5}.\,$
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
- si $n$ est pair, on a pour tout $\,p\app\bb N\,$ un
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :produit télescopique :$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$On a alors : $\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.$\displaystyle{}a_{2\sp{1.5}p}=a_0\prod_{k=0}^{p-1}\frac{a_{2\sp{1.5}k+2}}{a_{2\sp{1.5}k}}= a_0\prod_{k=0}^{p-1}\frac{2\sp{1.5}k-1}{2\sp{1.5}k+1}=\frac{-a_0}{2\sp{1.5}p-1}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-\!R,R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \Big(f(x)=-\sum_{p=0}^{+\I}\frac{x^{2\sp{1.5}p}}{2\sp{1.5}p-1}\txt{et}g(x)=x\Big)$
La série entière définissant $f$ est de
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
rayon
$\,R=1\,$ par application de la
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
règle
de d'Alembert à la série numérique de $\,f(x)\sp{1.5},\,$ car :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
$\displaystyle{} \lim p{+\I}\,\bigg|\frac{a_{2\sp{1.5}p+2}\sp{1.5}x^{2\sp{1.5}p+2}}{a_{2\sp{1.5}p}\sp{1.5}x^{2\sp{1.5}p}}\bigg|
=\lim p{+\I}\,\Big(\frac{2\sp{1.5}p-1}{2\sp{1.5}p+1}\sp{1.5}x^2\Big)=x^2$
Il s'ensuit, d'après les calculs effectués précédemment, que toutes les fonctions $\,\phi=\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g\,$ sont solutions de $(\sc E)$ sur $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
On peut enfin expliciter $\,f(x)\,$ en dissociant, dans le
Le logarithme est développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$
développement
de $\,\ln(x+1)\sp{1.5},\,$ les termes d'indices $\,n=2\sp{1.5}p\,$ et $\,n=2\sp{1.5}p-1:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\I}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
$\eqalign{f(x)&=1-x\sum_{p=1}^{+\I}\frac{x^{2\sp{1.5}p-1}}{2\sp{1.5}p-1}=1-\frac x2\,\sum_{n=1}^{+\I}\Big(\frac{x^n}n-\frac{(-x)^n}n\Big)\\[-1ex]&=1+\frac x2\sp{1.5}\big(\ln(1-x)-\ln(1+x)\big)=1+\frac x2\,\ln\frac{1-x}{1+x}}$
L'ensemble des solutions $\,\phi\,$ est ainsi le sous-espace $\,\op{Vect}(f,g)\sp{1.5},\,$
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
engendré
par $f$ et la restriction $\,g\,$ de $\,x\mapsto x\,$ à $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{} \ptt x\app\,]\!-1,1\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \phi(x)=\alpha\Big(1+\frac x2\,\ln\frac{1-x}{1+x}\Big)+\beta\,x$
On a : $\,\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g=0\Imp\Big\{\eqalign{\,\alpha&=\phi(0)=0\\[-.5ex]\beta&=\phi'(0)=0}\ \ ;\,$ $f$ et $\,g\,$ sont donc linéairement
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
indépendantes
et engendrent un
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
plan
vectoriel.
D'après le
- une famille libre de $E$ a au plus $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille libre de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
théorème
de Cauchy-Lipschitz, l'ensemble $\sc S$ des solutions de $(\sc E)$ sur $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\,$ forme un plan vectoriel.
Par raison de
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Si on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie, alors :
dimensions,
on a : $\,\sc S=\op{Vect}(f,g):\,$ toutes les solutions de $(\sc E)$ sur $\,]\!-1,1\sp{1.5}[\,$ sont développables en série entière en $\,0\sp{1.5}.\,$
- $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
- $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$