Sujet D.6.3 Équations du second ordre
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Exercice a
Soit l'équation différentielle suivante, définie sur l'intervalle $\,I=\,]\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ x\sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}y''+(x+2)\sp{1.5}y'-y=0$
Déterminer une solution de cette équation différentielle de la forme : $\,x\mapsto x^{\alpha},\,$ pour un $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5}.\,$
En déduire la solution générale de l'équation $\,(\sc E)\,$ sous la forme : $\,x\mapsto x^{\alpha}\,\gamma(x)\sp{1.5},\,$ pour $\,\gamma\app\sc C^2(I,\bb R)\sp{1.5}.\,$
équation différentielle linéaire d'ordre 2
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,2\,$ est :
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,b,f\app\sc C(I,\bb K)$
Ses solutions sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ deux fois dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi''(x)+a(x)\sp{1.5}\phi'(x)+b(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
plan des solutions d'une équation homogène d'ordre 2
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
alors l'ensemble de ses solutions est un plan vectoriel de $\sc C^2(I,\bb K)\sp{1.5}.$
théorème de Cauchy-Lipschitz à l'ordre 2
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
wronskien d'une équation différentielle linéaire
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
L'espace vectoriel $\sc S$ de ses solutions a pour base $(\psi_1,\psi_2)\app\sc S^2$ ssi son wronskien ne s'annule pas :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \,W_{(\psi_1,\psi_2)}(x)=\detc{\psi_1(x)&\psi_2(x)\!\\ {\psi_1}\!'(x)&{\psi_2}\!'(x)\!}\neq 0$
indication
1
Une fois $\alpha$ déterminé, il faut légitimer la recherche des solutions de $(\sc E)$ sous la forme $\,x\mapsto x^{\alpha}\,\gamma(x)\sp{1.5}.\,$
indication
2
On obtient une équation différentielle du premier ordre en $\,\gamma'\,$ dont on primitivera les solutions.
réponse
On obtient $\,\phi:x\mapsto\dfrac1x\,$ comme solution particulière de $\,(\sc E)\,$ sur $\,I=\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
On en déduit comme expression de la solution générale de $\,(\sc E)\,$ sur $I:$
$\eqalign{&\phi(x)=K\,\frac{\!(x+1)^2\!\!}{2\sp{1.5}x}+\frac Lx, \txt{pour} \!(K,L)\app \bb R^2\\
\txt{soit encore :}\!&\psi(x)=A\,(x+2)+\frac Bx, \txt{pour}\! (A,B)\app \bb R^2}$
correction
La fonction
Soit $\,\alpha\app\bb R\,$ et la fonction puissance $\,p_\alpha:x\mapsto x^{\alpha}.\,$ Alors $\,p_\alpha\app\sc C^\I(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\,$ et : $\, \ptt x >0,\ p_\alpha'(x)=\alpha\sp{1.5}x^{\alpha -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,\alpha \geq n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a de plus : $\,p_\alpha\app\sc C^n([\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
puissance
$\,x\mapsto x^{\alpha}\,$ est de classe $\sc C^2$ sur $\,I=\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ pour tout $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ et on obtient :
$\eqalign{&x\sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}\phi''(x)+(x+2)\sp{1.5}\phi'(x)-\phi(x)\\
=&\alpha\sp{1.5}(\alpha-1)\sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}x^{\alpha-1}+\alpha\sp{1.5}(x+2)\sp{1.5}x^{\alpha-1}-x^{\alpha}\\[-.5ex]
=&(\alpha^ 2-1)\sp{1.5}x+(\alpha^2+\alpha)}$
Par
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identification
à $\,0\sp{1.5},\,$ on obtient l'unique $\,\alpha\,$ tel que la fonction $\,x\mapsto x^{\alpha}\,$ soit solution de $\,(\sc E):\,$
$\displaystyle{}\bigg\{\eqalign{&\alpha^ 2-1&=(\alpha-1)\sp{1.5}(\alpha+1)=0\\ &\alpha^2+\alpha&= \alpha\sp{1.5}(\alpha+1)=0}\ \ \Ssi\, \alpha=-1$
Toute fonction $\,\psi\app\sc C^2(I,\bb R)\,$ peut s'écrire $\,\psi:x\mapsto x^{-1}\,\gamma(x)\,$ avec par
Soit $I$ un intervalle de $\bb R$ et $\,f,g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors :
produit
$\,\gamma\app\sc C^2(I,\bb R)\,$ car : $\,\ptt x\app I,\ \gamma(x)=x\,\psi(x)\sp{1.5}.\,$
Dans ces conditions, il est légitime de rechercher toutes les solutions de $(\sc E)$ sous cette forme, compte tenu de :
- $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(I,\bb K)\sp{1.5};\,$
- $\,\sc C^{n}(I,\bb K)\,$ est stable pour le produit : $\,f\sp{1.5}g\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\sp{1.5},\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I\sp{1.5},\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\psi(x)&=\frac{\gamma(x)}x\sp{1.5},\ \ \psi'(x)=\frac{\gamma'(x)}{x}-\frac{\gamma(x)}{x^2}\\
\txt{et}\ \psi''(x)&=\frac{\gamma''(x)}{x}-2\,\frac{\gamma'(x)}{x^2}+2\sp{1.5}\frac{\gamma(x)}{x^3}}$
Par substitution dans l'équation $\,(\sc E)\sp{1.5},\,$ les termes en $\,\gamma(x)\,$ s'éliminent, et on obtient comme équation :
$\eqalign{&x\sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}\psi''(x)+(x+2)\sp{1.5}\psi'(x)-\psi(x)\,=\,0\\[-.5ex]
\Ssi&\ \ \sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}\Big(\gamma''(x)-2\,\frac{\gamma'(x)}{x}\Big)+(x+2)\sp{1.5}\frac{\gamma'(x)}{x}\,=\,0\\
\Ssi&\ \ \sp{1.5}(x+1)\,\gamma''(x)-\gamma'(x)\,=\,0}$
Vis à vis de la fonction $\,\gamma',\,$ il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,1\sp{1.5}.\,$
La fonction $\,x\mapsto\ln(x+1)\,$ étant une
Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\,$ pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ u(x)\neq0\sp{1.5}.\,$ Alors la fonction $\,f:x\mapsto\ln|u(x)|\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :
primitive
de $\,x\mapsto\dfrac1{x+1}\sp{1.5},\,$ elle a alors pour
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=\smh{1.25}{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
Soient $\,a,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
solution
générale sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Alors la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\e{-A(x)}+\gamma(x)\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\,$ et $\,\gamma\,$ une solution particulière de $\,(\sc E_f)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\gamma'(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\ln(x+1)}=K\sp{1.5}(x+1)\sp{1.5}, \txt{pour} K\app \bb R$
On en déduit ensuite, par
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitivation
d'une fonction polynomiale, la solution générale sur $\,I\,$ de l'équation d'ordre $\,2\,$ en $\,\gamma:\,$
$\displaystyle{}\gamma(x)=K\sp{1.5}\frac{(x+1)^2}2+L\sp{1.5}, \txt{pour} (K,L)\app \bb R^2$
La solution générale de l'équation initiale $\,(\sc E)\,$ s'écrit donc sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}\psi(x)=\frac{\gamma(x)}x=K\sp{1.5}\frac{(x+1)^2}{2\sp{1.5}x}+\frac Lx\sp{1.5}, \txt{pour} (K,L)\app \bb R^2$
Étant donné que $\,\dfrac{(x+1)^2}{2\sp{1.5}x}=\dfrac{x+2}2+\dfrac1{2\sp{1.5}x}\sp{1.5},\,$ cette solution générale peut encore s'écrire plus simplement :
$\eqalign{\psi(x)&=\frac K2\sp{1.5}(x+2)+\Big(\frac K2+L\Big)\sp{1.5}\frac1x\\[-.5ex]
&=A\sp{1.5}(x+2)+\frac Bx\sp{1.5}, \txt{pour tout} (A,B)\app \bb R^2}$
En effet, l'application $\,(K,L)\mapsto(A,B)=( K\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,K\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2+L)\,$ est un
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie. Alors, $f$ est un automorphisme de $E$ ssi : $\,\det(f)\neq0\sp{1.5}.\,$
automorphisme
de $\bb R^2\sp{1.5},$ de déterminant $\,\detc{1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\!&0\\1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\!&1}=\dfrac12\neq0\sp{1.5}.\,$
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Exercice b
Déterminer deux solutions : $\,\psi_1:x\mapsto\e{\lambda\sp{1.5}x}\,$ pour $\,\lambda\app\bb R\sp{1.5},\,$ et $\,\psi_2:\,$ polynomiale unitaire de degré $\,2\sp{1.5},\,$ de l'équation différentielle :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ (x+1)\sp{1.5}y''+(x-1)\sp{1.5}y'-2\sp{1.5}y=0$
En déduire la forme générale des solutions de $\,(\sc E)\sp{1.5},\,$ respectivement sur les intervalles $\,]\!-\I,-1\sp{1.5}[\,$ et sur $\,]\!-1,+\I[\sp{1.5}.\,$
À quelle condition deux telles solutions de $\,(\sc E)\,$ se raccordent-elles pour former une solution définie sur $\,\bb R\,?\,$
équation différentielle linéaire d'ordre 2
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,2\,$ est :
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,b,f\app\sc C(I,\bb K)$
Ses solutions sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ deux fois dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi''(x)+a(x)\sp{1.5}\phi'(x)+b(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
plan des solutions d'une équation homogène d'ordre 2
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
alors l'ensemble de ses solutions est un plan vectoriel de $\sc C^2(I,\bb K)\sp{1.5}.$
théorème de Cauchy-Lipschitz à l'ordre 2
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
wronskien d'une équation différentielle linéaire
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
L'espace vectoriel $\sc S$ de ses solutions a pour base $(\psi_1,\psi_2)\app\sc S^2$ ssi son wronskien ne s'annule pas :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \,W_{(\psi_1,\psi_2)}(x)=\detc{\psi_1(x)&\psi_2(x)\!\\ {\psi_1}\!'(x)&{\psi_2}\!'(x)\!}\neq 0$
indication
1
Montrer que les deux solutions $\,\psi_1\,$ et $\,\psi_2\,$ forment une famille libre, soit par leur wronskien, soit par la définition d'une famille libre.
indication
2
Utiliser le théorème de la limite de la dérivée pour étudier le raccordement en question.
réponse
La solution générale de $\,(\sc E)\,$ sur $\,]-\I,-1\sp{1.5}[\,$ ou $\,]-1,+\I[\,$ s'écrit :
$\displaystyle{}\phi_{K,L}(x)=K\sp{1.5}\e{-x}+L\sp{1.5}\big(x^2+1\big),\ \txt{pour tout}\ (K,L)\app\bb R^2$
Deux solutions $\,\phi_{K_1,L_1}\,$ et $\,\phi_{K_2,L_2}\sp{1.5},\,$ définies respectivement sur $\,]-\I,-1\sp{1.5}[\,$ et $\,]-1,+\I[\sp{1.5},\,$ se raccordent en $\,x=-1\,$ si et seulement si :
$\displaystyle{}K_1\sp{1.5}\e{}+2\sp{1.5}L_1=K_2\sp{1.5}\e{}+2\sp{1.5}L_2$
correction
Avec $\,\psi_1(x)=\e{\lambda\sp{1.5}x}\,$ pour $\,\lambda\app\bb R\sp{1.5},\,$ on obtient $\,\psi_1'(x)=\lambda\sp{1.5}\e{\lambda\sp{1.5}x}\,$ et $\,\psi_1''(x)=\lambda^2\sp{1.5}\e{\lambda\sp{1.5}x}\sp{1.5},\,$ d'où :
$\eqalign{&(x+1)\sp{1.5}\psi_1''(x)+(x-1)\sp{1.5}\psi_1'(x)-2\sp{1.5}\psi_1(x)\\
=&\big(\lambda^2\sp{1.5}(x+1)+\lambda\sp{1.5}(x-1)\sp{1.5}-2\big)\sp{1.5}\e{\lambda\sp{1.5}x}\\
=&\big((\lambda^2+\lambda)\sp{1.5}x+(\lambda^2-\lambda-2)\big)\sp{1.5}\e{\lambda\sp{1.5}x}}$
Par
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identification
à $\,0\sp{1.5},\,$ la fonction $\,\psi_1\,$ est donc solution de $\,(\sc E)\,$ si et seulement si :
$\displaystyle{}\bigg\{\eqalign{&\lambda^2+\lambda=\lambda\sp{1.5}(\lambda+1)=0\\ &\lambda^2-\lambda-2=(\lambda+1)(\lambda-2)=0}$
Ce système d'équations a pour unique solution $\,\lambda=-1\sp{1.5};\,$ la fonction $\,\psi_1:x\mapsto\e{-x}\,$ est donc la seule solution de cette forme.
Avec $\,\psi_2(x)=x^2+a\sp{1.5}x+b\sp{1.5},\,$ on obtient : $\,\psi_2'(x)=2\sp{1.5}x+a\,$ et : $\,\psi_2''(x)=2\sp{1.5},\,$ d'où :
$\eqalign{&(x+1)\sp{1.5}\psi_2''(x)+(x-1)\sp{1.5}\psi_2'(x)-2\sp{1.5}\psi_2(x)\\
=&2\sp{1.5}(x+1)+(x-1)\sp{1.5}(2\sp{1.5}x+a)-2\sp{1.5}(x^2+a\sp{1.5}x+b)\\
=&-a\sp{1.5}x+(2-a -2\sp{1.5}b)}$
Par
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identification
à $\,0\sp{1.5},\,$ on obtient $\,a=0\,$ et $\,b=1\,;\,$ $\,\psi_2:x\mapsto x^2+1\,$ est donc la seule solution polynomiale unitaire de degré $\,2\sp{1.5}.\,$
Sur chacun des intervalles $\,I_1=\,]-\I,-1\sp{1.5}[\,$ et $\,I_2=\,]-1,+\I[\sp{1.5},\,$ l'équation $\,(\sc E)\,$ se met sous la forme
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,2\,$ est :
normalisée :
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,b,f\app\sc C(I,\bb K)$
Ses solutions sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ deux fois dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi''(x)+a(x)\sp{1.5}\phi'(x)+b(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
$\displaystyle{} y''+\frac{x-1}{x+1}\sp{1.5}y'-\frac 2{x+1}\sp{1.5}y=0$
L'ensemble des solutions de cette équation homogène forme donc, sur chacun d'entre eux, un
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
plan vectoriel.
On considère alors, sur $I_1$ ou $I_2\sp{1.5},$ le
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
alors l'ensemble de ses solutions est un plan vectoriel de $\sc C^2(I,\bb K)\sp{1.5}.$
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
wronskien
du couple de solutions $\,(\psi_1,\psi_2):\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
L'espace vectoriel $\sc S$ de ses solutions a pour base $(\psi_1,\psi_2)\app\sc S^2$ ssi son wronskien ne s'annule pas :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \,W_{(\psi_1,\psi_2)}(x)=\detc{\psi_1(x)&\psi_2(x)\!\\ {\psi_1}\!'(x)&{\psi_2}\!'(x)\!}\neq 0$
$\displaystyle{}W_{(\psi_1,\psi_2)}(x)=\detc{\ph{-}\e{-x}&x^2+1\\-\e{-x}&2\sp{1.5}x}=(x+1)^2\,\e{-x}\neq0$
Ce couple $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ forme donc, tant sur $I_1$ que sur $I_2\sp{1.5},$ une base du plan des solutions de $\,(\sc E)\sp{1.5}.\,$
On en déduit la forme générale de ces solutions sur chacun de ces intervalles :
$\displaystyle{}\psi_{K,L}(x)=K\sp{1.5}\e{-x}+L\sp{1.5}\big(x^2+1\big),\ \txt{pour tout}\ (K,L)\app\bb R^2$
Sans connaître la notion de wronskien, on peut établir que $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une
Avec $\,\psi_{K,L}'(x)=-K\sp{1.5}\e{-x}+2\sp{1.5}L\sp{1.5}x\,$ et $\,\psi_{K,L}''(x)=K\sp{1.5}\e{-x}+2\sp{1.5},\,$
ces solutions vérifient :
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
base
du plan des solutions de $\,(\sc E)\,$ en tant que famille
- une famille libre de $E$ a au plus $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille libre de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
libre,
avec : $\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
$\displaystyle{}\psi_{K,L}=0\Imp K=L=0$
Cela se prouve par résolution du système : $\,\psi_{K,L}(x_0)=\psi_{K,L}^{\,\prime}(x_0)=0\,$ pour $\,x_0\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\,$ ou $\,x_0\sp{-1.5}=\sp{-1.5}-2\sp{1.5},\,$ selon l'intervalle considéré.$\displaystyle{}\!\!\lim x{-1}\psi_{K,L}(x)\sp{-1.5}=\!-\!\lim x{-1}\psi_{K,L}'(x)\sp{-1.5}=\!\!\lim x{-1}\psi_{K,L}''(x)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}K\sp{1.5}\e{}\sp{-1.5}+\sp{-1.5}2\sp{1.5}L$
On veut raccorder une solution $\,\psi_{K_1,L_1}\,$ de $\,(\sc E)\,$ sur $I_1$ et une solution $\,\psi_{K_2,L_2}\,$ de $\,(\sc E)\,$ sur $I_2$ de manière $\sc C^2$ en $\,x=-1\sp{1.5}.\,$
Selon le
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ dérivable sur $\,I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\smb0{\lim xaf'(x)}=\ell\sp{1.5}.\,$
théorème
de la limite de la dérivée appliqué deux fois, ce raccordement s'effectue alors correctement si et seulement si :
- Lorsque $\,\sth1\ell\app\bb R\sp{1.5},\,$ $f$ est dérivable en $a\sp{1.5},$ avec : $\,f'(a)=\ell\,;\,$
- lorsque $\ell=\pm\I\sp{1.5},$ alors : $\,\lim xa\smh{1.7}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell\,.\,$
$\displaystyle{}K_1\sp{1.5}\e{}+2\sp{1.5}L_1=K_2\sp{1.5}\e{}+2\sp{1.5}L_2$
Une solution $\,\psi_{K_1,L_1,K_2,L_2}\,$ de $\,(\sc E)\,$ sur $\,\bb R^{\ast}\,$ est caractérisée par le couple $\,(\psi_{K_1,L_1},\psi_{K_2,L_2})\,$ de ses restrictions à $I_1$ et $I_2\sp{1.5}.$
L'ensemble de ces solutions forme donc un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension $\,4\sp{1.5},\,$ par isomorphisme avec $\,\bb R^4:\,$
$\displaystyle{}(K_1,L_1,K_2,L_2)\mathop{\longmapsto}^{\simeq}\psi_{K_1,L_1,K_2,L_2}.$
L'ensemble $\,\sc S\,$ des solutions de $\,(\sc E)\,$ sur $\bb R$ est alors isomorphe à
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$
l'hyperplan
de $\bb R^4$
d'équation :- L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie : $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
- Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.
$\displaystyle{}K_1\sp{1.5}\e{}+2\sp{1.5}L_1=K_2\sp{1.5}\e{}+2\sp{1.5}L_2$
En d'autres termes, cet ensemble $\,\sc S\,$ constitue un $\bb R\tiret$espace vectoriel de dimension $\,3\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
\\(\OPEL\\)On considère sur l'intervalle $\,I=\,\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ x^2\sp{1.5}y''-3\sp{1.5}x\sp{1.5}y'+4\sp{1.5}y=x^2$
À l'aide du changement de variable $\,t=\ln x\sp{1.5},\,$ résoudre l'équation différentielle homogène associée $(\sc E_0)\sp{1.5}.$
En déduire la solution générale sur $I$ de l'équation $(\sc E)\sp{1.5}.$
équation différentielle linéaire d'ordre 2
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,2\,$ est :
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,b,f\app\sc C(I,\bb K)$
Ses solutions sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ deux fois dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi''(x)+a(x)\sp{1.5}\phi'(x)+b(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
plan des solutions d'une équation homogène d'ordre 2
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
alors l'ensemble de ses solutions est un plan vectoriel de $\sc C^2(I,\bb K)\sp{1.5}.$
théorème de Cauchy-Lipschitz à l'ordre 2
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
wronskien d'une équation différentielle linéaire
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=0$
L'espace vectoriel $\sc S$ de ses solutions a pour base $(\psi_1,\psi_2)\app\sc S^2$ ssi son wronskien ne s'annule pas :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \,W_{(\psi_1,\psi_2)}(x)=\detc{\psi_1(x)&\psi_2(x)\!\\ {\psi_1}\!'(x)&{\psi_2}\!'(x)\!}\neq 0$
indication
1
Le changement de variable $\,t=\ln x\,$ transforme l'équation $\,(\sc E)\,$ en une équation différentielle $\,(\sc F)\,$ à coefficients constants.
indication
2
Appliquer la méthode de variation des constantes à la solution générale de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
On peut aussi chercher une solution particulière de l'équation différentielle $\,(\sc F)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient pour solution générale de l'équation homogène $\,(\sc E_0)\,$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=\big(K\sp{1.5}\ln x+L\big)\sp{1.5}x^2, \txt{pour tout}(K,L)\app\bb R^2$
On en déduit la solution générale de l'équation $\,(\sc E)\,$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ pour tout $\,(A,B)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\gamma(x)=\Big(\frac{(\ln x)^2}2+A\sp{1.5}\ln x+B\Big)\sp{1.5}x^2$
correction
Sur $\,I=\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ le changement de variable $\,t=\ln x\sp{1.5},\,$ peut aussi s'écrire
La fonction logarithme népérien est la réciproque de l'exponentielle :
réciproquement :
$\,x=\e t\,$ pour $\,t\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Pour une fonction $\,\phi\app\sc C^2(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ l'équation $\,(\sc E)\,$ peut dans ces conditions s'écrire en fonction de $\,t:\,$
$\displaystyle{}\ln:\ ]\sp{1.5}0,+\I[\,\To \bb R$
On a alors : $\,\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(\e{\sp{1.5}x})=x\,$ et $\,\ptt y >0\sp{1.5},\ \e{\sp{1.5}\ln y}=y\,.\,$
$\displaystyle{}\ptt t\app\bb R,\ \e{\,2\sp{1.5}t}\sp{1.5}\phi''(\e t)-3\sp{1.5}\e t\sp{1.5}\phi'(\e t)+4\sp{1.5}\phi(\e t)=\e{\,2\sp{1.5}t}$
On considère alors la
Si $\,f\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,g\app\sc C^{n}(J,\bb K)\,$ et $\,f(I)\subset J\sp{1.5},\,$ alors :
$\,g\circ f\app\sc C^{n}(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$
composée
$\,\psi:t\mapsto \phi(\e t)\,$ de l'
La fonction exponentielle est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :
exponentielle
par la fonction $\,\phi\sp{1.5};\,$ elle est de classe $\sc C^2$ sur $\bb R$ et vérifie :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \exp'(x)=\exp(x)$
$\displaystyle{}\psi'(t)=\e t\sp{1.5}\phi'(\e t)\ \txt{et}\ \psi''(t)=\e t\sp{1.5}\phi'(\e t)+\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}t}\sp{1.5}\phi''(\e t)$
L'équation d'inconnue $\,\phi\,$ est ainsi équivalente à une équation d'inconnue $\,\psi:\,$
$\eqalign{&\big(\e{\,2\sp{1.5}t}\sp{1.5}\phi''(\e t)+\e t\sp{1.5}\phi'(\e t)\big)-4\sp{1.5}\e t\sp{1.5}\phi'(\e t)+4\sp{1.5}\phi(\e t)=\e{\,2\sp{1.5}t}\\
&\txt{c'est-à-dire :}\ \ \psi''(t)-4\sp{1.5}\psi'(t)+4\sp{1.5}\psi(t)=\e{\,2\sp{1.5}t}}$
On obtient de cette manière une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants :
$\displaystyle{}(\sc F):\ \ z''-4\sp{1.5}z'+4\sp{1.5}z=\e{\,2\sp{1.5}t}$
L'équation homogène $\,(\sc F_0)\,$ associée à cette équation $\,(\sc F)\,$ a pour polynôme
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
caractéristique :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}X^2-4X+4=(X-2)^2$
Avec $\,2\,$ pour racine double de ce polynôme, on obtient la
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
solution
générale de $\,(\sc F_0):\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}\psi(t)=(K\sp{1.5}t+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}t}, \txt{pour tout}\!(K,L)\app\bb R^2$
On a montré que toute solution $\,\phi\,$ de $\,(\sc E_0)\,$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ correspond à une solution $\,\psi=(\phi\circ\op{exp})\,$ de $\,(\sc F_0)\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, toute solution $\,\psi\,$ de $\,(\sc F_0)\,$ sur $\,\bb R\,$ définit une solution $\,\phi=(\psi\circ\op{ln})\,$ de $\,(\sc E_0)\,$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
On en déduit la solution générale de l'équation différentielle $\,(\sc E_0)\,$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=\big(K\sp{1.5}\ln x+L\big)\sp{1.5}x^2, \txt{pour tout}(K,L)\app\bb R^2$
On écrit maintenant l'équation différentielle non homogène $\,(\sc E)\,$ sous forme
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,2\,$ est :
normalisée :
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,b,f\app\sc C(I,\bb K)$
Ses solutions sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ deux fois dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi''(x)+a(x)\sp{1.5}\phi'(x)+b(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
$\displaystyle{}y''-\frac3x\sp{1.5}y'+\frac4{x^2}\,y=1$
La méthode de
Soit, pour $\,a,b\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
variation
des constantes nous donne, pour des fonctions $\,K,L\app\sc C^2(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ les solutions de $\,(\sc E)\,$ sous la forme :
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Si $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace des solutions de l'équation $\,(\sc E_0)\sp{1.5},\,$
alors les solutions de $\,(\sc E_f)\,$ sont, pour $\,K,L\app\sc C^2(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ les :
$\displaystyle{}\phi:x\mapsto K(x)\sp{1.5}\psi_1(x)+L(x)\sp{1.5}\psi_2(x)\sp{1.5},\txt{telles que :}$
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \bigg\{\eqalign{K'(x)\sp{1.5}\psi_1(x)+L'(x)\sp{1.5}\psi_2(x)\,&=0\\K'(x)\sp{1.5}{\psi_1}\!'(x)+L'(x)\sp{1.5}{\psi_2}\!'(x)&=f(x)}$
$\displaystyle{}\gamma(x)=(x^2\sp{1.5}\ln x)\sp{1.5}K(x)+ x^2\sp{1.5}L(x)$
où les fonctions $\,K\,$ et $\,L\,$ vérifient le système suivant, résolu par opérations
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
élémentaires :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{& \bigg\{\eqalign{\ (x^2\sp{1.5}\ln x)\sp{1.5}K'(x)&+&x^2\sp{1.5}L'(x)&=0\\\ (2\sp{1.5}x\sp{1.5}\ln x+x)\sp{1.5}K'(x)&+&2\sp{1.5}x\sp{1.5}L'(x)&=1}\\[-.5ex]
\ss{\sc E_1\ot\sc E_1/x^2\\[-.5ex]\sc E_2\ot\sc E_2/x}\ \ & \bigg\{\eqalign{\ (\ln x)\sp{1.5}K'(x)&+&L'(x)&=0\\\ (2\sp{1.5}\ln x+1)\sp{1.5}K'(x)&+&2\sp{1.5}L'(x)&=1/x}\\[1.5ex]
\ss{\sc E_2\ot\sc E_2-2\sp{1.5}\sc E_1}\,\sp{1.5}& \bigg\{\eqalign{\ (\ln x)\sp{1.5}K'(x)&+\,L'(x)&=0\\K'(x)&=1/x}\\[1.5ex]
\ss{\sc E_1\ot\sc E_1-\ln x\,\sc E_2}\!&\bigg\{\eqalign{L'(x)&=-(\ln x)/x\\K'(x)&=1/x}}$
On résout ce dernier système par
$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$ ssi $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$
Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$
primitivation,
compte tenu des dérivées d'un
La fonction logarithme est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,]0,\sp{-1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ avec :
logarithme
et de son carré :
$\displaystyle{}\ptt x > 0,\ \ln^{\sp{1.5}\prime}(x)=\smh{1.25}{\dfrac1x}$
$\displaystyle{}\bigg\{\eqalign{K(x)&=\ln x+A\\ L(x)&=-(\ln x)^2\sp{-1.5}/2+B}\ \ \txt{pour}(A,B)\app\bb R^2$
Après simplification des termes en $\,(\ln x)^2\sp{1.5},\,$ L'équation $\sth{2}(\sc E)$ a donc pour solution générale sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}\gamma(x)=\Big(\frac{(\ln x)^2}2+A\sp{1.5}\ln x+B\Big)\sp{1.5}x^2\sp{1.5}, \txt{pour}(A,B)\app\bb R^2$
Si on ne connaît pas la méthode de variation des constantes, on peut aussi chercher une
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
solution
particulière de l'équation $\,(\sc E')\,$ déduite de $\,(\sc E):\,$
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}z''-4\sp{1.5}z'+4\sp{1.5}z=\e{2\sp{1.5}t}$
On remplace alors $\,t\,$ par $\,\ln x\sp{1.5},\,$ et on en déduit une solution particulière de $\,(\sc E)\sp{1.5}.\,$
Cette méthode fournit la même solution générale, mais les calculs ne sont pas plus rapides.