Sujet D.6.2 Équations à coefficients constants
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Exercice a
Résoudre sur $\,\bb R\,$ l'équation différentielle suivante :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''-y'-2\sp{1.5}y=x^2$
solutions d'une équation d'ordre 2 à coefficients constants
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
théorème de Cauchy-Lipschitz à l'ordre 2
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
équations d'ordre 2 à coefficients constants
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
superposition des solutions d'équations différentielles
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f_1,f_2\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\phi_k$ pour $k\app\,\{1,2\}\sp{1.5},$ solutions de :
$\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f_k(x)$
alors, pour tout $\,(\lambda_1,\lambda_2)\app\bb K^2,\,$ $\lambda_1\sp{1.5}\phi_1+\lambda_2\sp{1.5}\phi_2$ est une solution de : $\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=(\lambda_1\sp{1.5}f_1+\lambda_2\sp{1.5}f_2)(x)$
indication
1
Commencer par résoudre l'équation homogène $\,(\sc E_0):\ \ y''-y'-2\sp{1.5}y=0\sp{1.5}.\,$
indication
2
Rechercher ensuite une solution particulière polynomiale de l'équation $\,(\sc E)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient comme forme générale des solutions de $\,(\sc E)\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ pour tout$\,(K,L)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\e{-x}+L\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}x}-\frac{x^2}2+\frac x2-\frac34$
correction
L'équation homogène associée $\,(\sc E_0):\ \,y''-y'-2\sp{1.5}y=0\sp{1.5},\,$ a pour polynôme
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
caractéristique :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}X^2-X-2=(X+1)(X-2)$
Avec $\,-1\,$ et $\,2\,$ pour racines de ce polynôme, on obtient la
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
solution
générale de $\,(\sc E_0):\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}\psi(x)=K\sp{1.5}\e{-x}+L\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}x}, \txt{pour tout}(K,L)\app\bb R^2$
Avec comme second membre $\,f(x)=x^2\sp{1.5}\e{\lambda\sp{1.5}x}\,$ pour $\,\lambda=0\,$ qui n'est pas racine de $\,X^2-X-2\sp{1.5},\,$ on cherche une
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
solution
de $\,(\sc E)\,$ sous la forme :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}Q(x)=u\sp{1.5}x^2+v\sp{1.5}x+w\sp{1.5},\txt{pour}(u,v,w)\app\bb R^3$
On substitue alors $\,Q(x)\,$ à $\,y\,$ dans le terme gauche de $\,(\sc E):\,$
$\eqalign{&\ Q''(x)-Q'(x)-2\,Q(x)\\=&\ \ 2\sp{1.5}u-(2\sp{1.5}u\sp{1.5}x+v)-2(u\sp{1.5}x^2+v\sp{1.5}x+w)\\
=&\!-2\sp{1.5}u\sp{1.5}x^2-2(u+v)\sp{1.5}x+(2\sp{1.5}u-v-2\sp{1.5}w)}$
On obtient ensuite par
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identification
à $\,f(x)=x^2\,$ les valeurs de $\,u\sp{1.5},v\sp{1.5},w:\,$
$\displaystyle{}\Bigg\{\eqalign{-2\sp{1.5}u&=1\\[-.5ex]u+v&=0\\[-.5ex]\,2\sp{1.5}u-v-2\sp{1.5}w&=0}\ \Ssi \Big(v=-u=\dfrac12\txt{et}w=-\dfrac34\Big)$
On en déduit enfin la forme générale des
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
solutions
de $\,(\sc E)\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ pour tout$\,(K,L)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\e{-x}+L\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}x}-\frac{x^2}2+\frac x2-\frac34$
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Exercice b
Résoudre sur $\,\bb R\,$ l'équation différentielle suivante :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+4\sp{1.5}y'+4\sp{1.5}y=\e{-2\sp{1.5}x}$
solutions d'une équation d'ordre 2 à coefficients constants
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
théorème de Cauchy-Lipschitz à l'ordre 2
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
équations d'ordre 2 à coefficients constants
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
superposition des solutions d'équations différentielles
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f_1,f_2\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\phi_k$ pour $k\app\,\{1,2\}\sp{1.5},$ solutions de :
$\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f_k(x)$
alors, pour tout $\,(\lambda_1,\lambda_2)\app\bb K^2,\,$ $\lambda_1\sp{1.5}\phi_1+\lambda_2\sp{1.5}\phi_2$ est une solution de : $\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=(\lambda_1\sp{1.5}f_1+\lambda_2\sp{1.5}f_2)(x)$
indication
1
Commencer par résoudre l'équation homogène $\,(\sc E_0):\ \ y''+4\sp{1.5}y'+4\sp{1.5}y=0\sp{1.5}.\,$
indication
2
Rechercher une solution particulière de l'équation $\,(\sc E)\,$ sous la forme : $\,x\mapsto Q(x)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}\,$ pour $\,Q\app\bb R[X]\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient comme forme générale des solutions de $\,(\sc E)\,$ sur $\,\bb R:\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=\Big(\frac{x^2}2+K\sp{1.5}x+L\Big)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}\sp{1.5}, \txt{pour tout}(K,L)\app\bb R^2$
correction
L'équation homogène associée $\,(\sc E_0):\ \ y''+4\sp{1.5}y'+4\sp{1.5}y=0\sp{1.5},\,$ a pour polynôme
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
caractéristique :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}X^2+4X+4=(X+2)^2$
Avec $\,-2\,$ pour racine double de ce polynôme, on obtient la
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
solution
générale de $\,(\sc E_0):\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}, \txt{pour tout}(K,L)\app\bb R^2$
Avec comme second membre $\,\e{\lambda\sp{1.5}x}\,$ pour $\,\lambda=-2\,$ racine double de $\,X^2+4X+4\sp{1.5},\,$ on cherche une
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
solution
de $\,(\sc E)\,$ sous la forme :$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\gamma(x)=u\sp{1.5}x^2\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}\sp{1.5},\txt{pour}u\app\bb R$
On commence par calculer les deux premières dérivées du
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$
Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
produit
$\,\gamma:\,$
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\gamma'(x)&= 2\sp{1.5}u\sp{1.5}x\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}-2\sp{1.5}u\sp{1.5}x^2\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}=u\sp{1.5}(-2\sp{1.5}x^2+2\sp{1.5}x)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}\\[.5ex]
\gamma''(x)&=u\sp{1.5}(-4\sp{1.5}x+2)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}-2\sp{1.5}u\sp{1.5}(-2\sp{1.5}x^2+2\sp{1.5}x)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}\\&=u\sp{1.5}(4\sp{1.5}x^2-8\sp{1.5}x+2)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}}$
On substitue alors $\,\gamma(x)\,$ à $\,y\,$ dans le terme gauche de $\,(\sc E):\,$
$\eqalign{&\,\gamma''(x)+4\,\gamma'(x)+4\sp{1.5}\gamma(x)\\=&\,u\big((4\sp{1.5}x^2-8\sp{1.5}x+2)+4\sp{1.5}(-2\sp{1.5}x^2+2\sp{1.5}x)+4\sp{1.5}x^2\big)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}\\=&\,2\sp{1.5}u\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}}$
On obtient ensuite par
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identification
à $\,\e{-2\sp{1.5}x}\,$ la valeur : $\,u=\dfrac12\!\cdot\,$
On en déduit enfin la forme générale des
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
solutions
de $\,(\sc E)\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ pour tout$\,(K,L)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=\Big(\frac{x^2}2+K\sp{1.5}x+L\Big)\sp{1.5}\e{-2\sp{1.5}x}$
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Exercice c
Résoudre sur $\,\bb R\,$ l'équation différentielle suivante :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+2\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=x\,\e{-x}\sin x$
solutions d'une équation d'ordre 2 à coefficients constants
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
théorème de Cauchy-Lipschitz à l'ordre 2
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
équations d'ordre 2 à coefficients constants
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
superposition des solutions d'équations différentielles
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f_1,f_2\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\phi_k$ pour $k\app\,\{1,2\}\sp{1.5},$ solutions de :
$\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f_k(x)$
alors, pour tout $\,(\lambda_1,\lambda_2)\app\bb K^2,\,$ $\lambda_1\sp{1.5}\phi_1+\lambda_2\sp{1.5}\phi_2$ est une solution de : $\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=(\lambda_1\sp{1.5}f_1+\lambda_2\sp{1.5}f_2)(x)$
indication
1
Commencer par résoudre l'équation homogène $\,(\sc E_0):\ \ y''+2\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=0\sp{1.5}.\,$
indication
2
Rechercher ensuite une solution complexe de l'équation $\,(\sc E_\bb C):\ \ y''+2\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=x\,\e{(-1+i)\sp{1.5}x}\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient comme forme générale des solutions de$\,(\sc E)\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ pour tout$\,(K,L)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=\Big(\!-\frac{x^2\!}4+K\Big)\sp{1.5}\e{-x}\cos x+\Big(\frac{x}4+L\Big)\sp{1.5}\e{-x}\sin x$
correction
L'équation homogène associée $\,(\sc E_0):\ \ y''+2\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=0\sp{1.5},\,$ a pour polynôme
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
caractéristique :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}X^2+2X+2=(X+1)^2+1=(X+1+i)(X+1-i)$
Avec $\,-1-i\,$ et $\,-1+i\,$ pour racines de ce polynôme, on obtient la
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
solution
générale de $\,(\sc E_0):\,$
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}\psi(x)=\e{-x}\big(K\sp{1.5}\cos x+L\sp{1.5}\sin x\big), \txt{pour tout}\!(K,L)\app\bb R^2$
D'autre part, le second membre $\,s(x)=x\,\e{-x}\sin x\,$ de l'équation $\,(\sc E)\,$ est la partie imaginaire de : $\,\sigma(x)=x\,\e{(i-1)\sp{1.5}x}\sp{1.5}.\,$
On considère donc l'équation différentielle complexe :
$\displaystyle{}(\sc E_{\bb C}):\ \ y''+2\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=\sigma(x)=x\,\e{(i-1)\sp{1.5}x}$
$\,(i-1)\,$ étant une racine simple de $\,X^2+2X+2\sp{1.5},\,$ on va chercher une
Soient $\,(a,b,\lambda)\app\bb C^3,\,$ $\,P\app\bb C_n[X]\,$ et l'équation différentielle :
solution
particulière complexe de $\,(\sc E_{\bb C})\,$ sous la forme :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=P(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}$
Alors $\,(\sc E)\,$ admet une solution : $\,x\mapsto x^m\,Q(x)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}x}\,$
où $\,Q\app\bb C_n[X]\sp{1.5},\,$ $\,m\,$ étant la multiplicité de $\,\lambda\,$ comme racine de $\,X^2+a\sp{1.5}X+b\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\gamma(x)=x\sp{1.5}(u\sp{1.5}x+v)\sp{1.5}\e{(i-1)\sp{1.5}x}\sp{1.5},\txt{pour}(u,v)\app\bb C^2$
On exprime alors les dérivées successives de $\,\gamma\,$ par la
Pour $\,f,g\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ la fonction $\,f\sp{1.5}g\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I$ avec :
formule
de Leibniz, compte tenu de $\,(i-1)^2=-2\sp{1.5}i:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ (f\sp{1.5}g)^{(n)}(x)=\smh{1}{\sum_{k=0}^{n}}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}f^{(k)}(x)\,g^{\sp{1.5}(n-k)}(x)$
$\eqalign{\gamma(x)&=(u\sp{1.5}x^2\sp{-1.5}+\sp{-1.5}v\sp{1.5}x)\sp{1.5}\e{(i-1)\sp{1.5}x}\\
\gamma'(x)&=\big((2\sp{1.5}u\sp{1.5}x\sp{-1.5}+\sp{-1.5}v)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}(i-1)(u\sp{1.5}x^2\sp{-1.5}+\sp{-1.5}v\sp{1.5}x)\sp{-1.5}\big)\e{(i-1)\sp{1.5}x}\\
\gamma''(x)&=\big(2\sp{1.5}u\sp{-1.5}+\sp{-1.5}2\sp{1.5}(i\sp{-1.5}-\sp{-1.5}1)(2\sp{1.5}u\sp{1.5}x\sp{-1.5}+\sp{-1.5}v)\sp{-1.5}-2\sp{1.5}i\sp{1.5}(u\sp{1.5}x^2\sp{-1.5}+\sp{-1.5}v\sp{1.5}x)\sp{-1.5}\big)\e{(i-1)\sp{1.5}x}}$
On substitue alors $\,\gamma(x)\,$ à $\,y\,$ dans le terme gauche de $\,(\sc E_{\bb C}):\,$
$\displaystyle{}\gamma''(x)+2\,\gamma'(x)+2\sp{1.5}\gamma(x)= \big(4\sp{1.5}i\sp{1.5}u\sp{1.5}x+2\sp{1.5}(u+i\sp{1.5}v)\big)\sp{1.5}\e{(i-1)\sp{1.5}x}$
On obtient ensuite, par
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$
On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
identification
à $\,\sigma(x)=x\,\e{(i-1)\sp{1.5}x},\,$ les valeurs : $\,u=\dfrac1{4\sp{1.5}i}=-\dfrac i4\,$ et $\,v=-\dfrac ui=\dfrac14\!\cdot\,$
On en déduit une solution particulière complexe de $\,(\sc E_{\bb C}):\,$
$\displaystyle{}\gamma(x)=\Big(-\frac{i\,x^2}4+\frac x4\Big)\sp{1.5}\e{(-1+i)\sp{1.5}x}$
Le terme gauche de $\,(\sc E_{\bb C})\,$ étant à coefficient réels, par linéarité de la dérivation, la fonction conjuguée $\,\surl{\gamma\sp{1.5}}\,$ est une solution de l'équation :
$\displaystyle{}(\surl{\sc E_{\bb C}\sp{-1.5}}\sp{1.5}):\ \ y''+2\sp{1.5}y'+2\sp{1.5}y=\surl{\sigma(x)\!}=x\,\e{(-1-i)\sp{1.5}x}$
Selon le principe de
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f_1,f_2\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\phi_k$ pour $k\app\,\{1,2\}\sp{1.5},$ solutions de :
superposition,
la partie
$\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f_k(x)$
alors, pour tout $\,(\lambda_1,\lambda_2)\app\bb K^2,\,$ $\lambda_1\sp{1.5}\phi_1+\lambda_2\sp{1.5}\phi_2$ est une solution de : $\displaystyle{}y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=(\lambda_1\sp{1.5}f_1+\lambda_2\sp{1.5}f_2)(x)$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
imaginaire
de la fonction $\,\gamma\,$ est donc solution de l'équation $\,(\sc E):\,$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{g(x)&=\op{Im}\big(\gamma(x)\big)=\dfrac1{2\sp{1.5}i}\sp{1.5}\big(\gamma(x)-\surl{\gamma\sp{1.5}}(x)\big)\\[-1ex]&=-\frac{x^2}4\sp{1.5}\e{-x}\cos x+\frac{x}4\sp{1.5}\e{-x}\sin x}$
On en déduit enfin la forme générale des
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
solutions
de l'équation $(\sc E)$ sur $\bb R\sp{1.5},$ pour tout$\,(K,L)\app\bb R^2:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\phi(x)=\Big(\!-\frac{x^2\!}4+K\Big)\sp{1.5}\e{-x}\cos x+\Big(\frac{x}4+L\Big)\sp{1.5}\e{-x}\sin x$