exercices de mathématiques - prépa et université

Pour tout $\,P=\dsum_{k=0}^np_k\sp{1.5}X^k\app\bb R_n[X]\sp{1.5},\,$ on pose : $\,Q=\dsum_{k=0}^np_k\sp{1.5}X^{n-k}\app\bb R_n[X]\sp{1.5},\,$ et on a, pour tout $\,x\app\bb R^{\ast}:\,$ Avec une infinité de valeurs communes, les polynômes $Q$ et $\,f(P)\,$ peuvent être

Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun,  alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$

On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$

identifiés : $\,Q=f(P)\sp{1.5}.\,$

$\,f\,$ applique donc $\,E=\bb R_n[X]\,$ sur lui-même, avec de plus, pour tout $\,x\app\bb R^{\ast}:\,$

Le même argument d'identification prouve la

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéarité de $f,$ qui est donc un

Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$

On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$  $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$

endomorphisme de $\,E\sp{1.5}.\,$

D'autre part, on a pour tout $\,P\app E\,$ la relation : $\,f^2(P)=P\sp{1.5},\,$ car on a de la même manière, pour tout $\,x\app\bb R^{\ast}:\,$ On en déduit que : $\,f^2=\op{Id}_E\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que $\,X^2-1\,$ est un polynôme

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(f)\app\sc L(E)\,$ par :

$\displaystyle{}P(f)=p_d\sp{1.5}f^d+\cdots+p_1\sp{1.5}f+p_0\sp{1.5}\op{Id}_E$

Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $f$  ssi : $\,P(f)=0\sp{1.5}.\,$

annulateur de $f\sp{1.5}.$

Le polynôme $\,X^2-1=(X-1)(X+1)\,$ étant

Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$  ssi  il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$

$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$

scindé à racines simples, l'endomorphisme $f$ est

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

$f$ est diagonalisable  ssi  $\,P(f)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\,$ pour un $\,P\app\bb K[X]\,$ scindé à racines simples.

diagonalisable.

Étant donné que $\,f\neq\pm\op{Id}_E\sp{1.5},\,$ cet endomorphisme a donc exactement pour

Soient $E$ un  $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$  de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Si $P\app\bb K[X]$ est annulateur de $f\sp{1.5},$  alors  toute valeur propre de $f$ est une racine de $P\sp{1.5}.$

spectre : $\,\op{Sp}(f)=\{1,-1\}\!\cdot\,$

On peut dire aussi que $f$ étant

Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif  ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$

Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.

involutif, il s'agit d'une

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$  est $\,s\app \op{GL}(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$

On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$

symétrie de $E$ par rapport à $\,E_1(f),\,$ parallèlement à $\,E_{-1}(f)\sp{1.5}.\,$

Le

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$

Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est  le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$

sous-espace propre $\,E_1(f)\,$ est caractérisé par : $\,\ptt k\app\,[\![0,n]\!],\ p_{n-k}=p_k\sp{1.5};\,$ en effet, par

Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$

$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$

retournement d'indices : De la même manière, le sous-espace propre $\,E_{-1}(f)\,$ est caractérisé par : $\,\ptt k\app\,[\![0,n]\!],\ p_{n-k}=-p_k\sp{1.5}.\,$

$\,E_1(f)\,$ et $\,E_{-1}(f)\,$ sont formés des polynômes de $E$ à coefficients respectivement symétriques et antisymétriques.

Avec la relation $\,f^2=-\op{Id}_E\sp{1.5},\,$ le polynôme $\,X^2+1\,$ est un polynôme

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(f)\app\sc L(E)\,$ par :

$\displaystyle{}P(f)=p_d\sp{1.5}f^d+\cdots+p_1\sp{1.5}f+p_0\sp{1.5}\op{Id}_E$

Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $f$  ssi : $\,P(f)=0\sp{1.5}.\,$

annulateur de $f\sp{1.5}.$

$\,X^2+1\,$ n'ayant pas de racine réelle, $f$

Soient $E$ un  $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$  de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Si $P\app\bb K[X]$ est annulateur de $f\sp{1.5},$  alors  toute valeur propre de $f$ est une racine de $P\sp{1.5}.$

n'a pas de

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$  ssi  il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
• $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$

valeur propre réelle, d'où un

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

L'ensemble des valeurs propres de $f$  est  le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$

spectre vide : $\,\op{Sp}(f)=\vide\,.\,$

Cela signifie que $f$ n'a pas de

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$  ssi  il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
• $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$

vecteur propre, et donc que $E$ ne contient aucune droite

Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$  est  stable par $f\app\sc L(E)$  ssi : $\,f(F)\subset F.\,$

stable par $f\sp{1.5}.$

Soit $\,u\app E,\,$ $\,u\neq 0\,$ ; alors le

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

sous-espace vectoriel $\,F=\op{Vect}(u,f(u))\,$ est

Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$  est  stable par $f\app\sc L(E)$  ssi : $\,f(F)\subset F.\,$

stable par $f,$ car, pour tout $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2:\,$ Avec $\,u\neq0\sp{1.5},\,$ si le couple $\,(u,f(u))\,$ était lié, $F$ serait une droite stable par $f$ ce qu'on a exclu.

Il s'ensuit donc que $\,F=\op{Vect}(u,f(u))\,$ est un plan stable par $f,$ de

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base $\,(u,f(u))\sp{1.5},\,$ avec : $\,f(f(u))=f^2(u)=-u\sp{1.5}.\,$

Soit maintenant un vecteur $\,v\app E\sp{1.5},\,$ n'appartenant pas à $F$ et le sous-espace vectoriel $\,G=\op{Vect}\big(v,f(v)\big)\sp{1.5}.\,$

Pour les mêmes raisons que ci-dessus, $G$ est un plan stable par $f,$ de base $\,(v,f(v))\sp{1.5}\,$ avec : $\,f(f(v))=f^2(v)=-v\sp{1.5}.\,$

L'intersection $\,F\cap G\,$ est un

Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

L'intersection $\,F\cap G\,$ de $\,F\,$ et $\,G\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5}.$

sous-espace strict du plan $F,$ car $\,v\notin F\sp{1.5},\,$ et donc de

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ avec $\,F\subset G\sp{1.5}.\,$

Si $\,G\,$ est de dimension finie,  alors $\,F\,$ est de dimension finie, avec :

$\displaystyle{}\dim(F)\leq \dim(G)$

dimension : $\,\dim(F\cap G)\leq 1\sp{1.5}.\,$

D'autre part, ce sous-espace $\,F\cap G\,$ est stable par $f$ car : $E$ ne contenant pas de droite stable par $f,$ on a alors : $\,F\cap G=\{0\}\sp{1.5},\,$ si bien que la somme $\,F+G\,$ est

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

directe.

Par raison de

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}:$

• alors  la somme $\,F+G\,$ est  de dimension finie,
• et  si  la somme $\,F+G\,$ est directe,  alors :
  $\displaystyle{}\dim(F\oplus G)=\dim(F)+\dim(G)$

dimensions, les plans $F$ et $G$ sont donc

Soient $\,F\,$ et $\,G\,$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

$F$ et $G$  sont supplémentaires dans $E$  ssi :  $\,E=F\oplus G\sp{1.5}.\,$

supplémentaires :

$\,\sc B=\big(u,f(u),v,f(v)\big)\,$ est donc une

Soient deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E,$ de bases $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ et $\,(e_{p+1},\dots,e_{p+q})\sp{1.5}.\,$

Si  la somme $\,F + G\,$ est directe,  alors $\,(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})\,$ est une base de $\,F\oplus G\sp{1.5}.\,$

base de $E\,;$ la

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice de $f$ vis-à-vis de cette base est alors diagonale

Une matrice carrée $A$ est diagonale par blocs  ssi  elle est formée de blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$

• tous carrés lorsqu'ils sont diagonaux, c'est-à-dire pour $\,i=j\,;\,$
• et tous nuls sinon, c'est-à-dire pour $\,i\neq j\,.\,$

par blocs :

Pour $A\app\sc M_2(\bb R),$ chaque terme de $f(A)$ est associé à une forme

Soit $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Tout $\,u\app E\,$ admet une unique famille de coordonnées $\,X\app\bb K^n:\,$

$\displaystyle{}X=(x_1,\dots,x_n)\sp{1.5},\txt{telle que :}u=x_1\sp{1.5}e_1+\cdots+x_n\sp{1.5}e_n$

• $\,u\mapsto X\!=\!(x_1,\dots,x_n)\,$ est un isomorphisme de $E$ vers $\bb K^n\sp{1.5};$
• Les $\,u\mapsto x_i\,$  sont linéaires ; ce sont les formes coordonnées.

coordonnée $\,\phi_{i,j}\,$ de la base

L'espace vectoriel $\sc M_{n,p}(\bb K)$  est  de dimension $\,n\sp{.75}p\sp{1.5},\,$ de base canonique $\,\sc B_c=(E_{1,1},\dots,E_{n,p})\sp{1.5},\,$ avec :

$\displaystyle{}E_{k,\ell}=[\sp{1.5}e_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}\,,\txt{pour}\syst{&{e_{k,\sp{1.5}\ell}}=1\\[-.5ex] &{e_{i,\sp{1.5}j}}=0\txt{si}(i,j)\neq(k,\ell)}$

canonique de $\sc M_2(\bb R):$

$f$ est ainsi une

Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est  un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$

somme d'applications linéaires de $E$ vers $E\sp{1.5},$ et donc un

Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$

On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$  $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$

endomorphisme de $E\sp{1.5}.$

D'autre part, cet endomorphisme vérifie la relation $\,f^4=\op{Id}_E\,$ car :

On en déduit que $\,X^4-1\,$ est un polynôme

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(f)\app\sc L(E)\,$ par :

$\displaystyle{}P(f)=p_d\sp{1.5}f^d+\cdots+p_1\sp{1.5}f+p_0\sp{1.5}\op{Id}_E$

Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $f$  ssi : $\,P(f)=0\sp{1.5}.\,$

annulateur de $f$ tel que :

$f$ a donc

Soient $E$ un  $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$  de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Si $P\app\bb K[X]$ est annulateur de $f\sp{1.5},$  alors  toute valeur propre de $f$ est une racine de $P\sp{1.5}.$

au plus deux

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$  ssi  il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
• $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$

valeurs propres réelles ; il y en a même exactement deux et $f$ a pour

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

L'ensemble des valeurs propres de $f$  est  le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$

spectre : $\,\op{Sp}(f)=\big\{1,\,-1\big\}\sp{1.5},\,$ car :

Ces valeurs propres étant simples, $E_1(f)$ et $E_{-1}(f)$ sont deux

En dimension $n,$ $f\app\sc L(E)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_f(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}\op{Id}_E-f)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $f$ sont les racines de $\,\chi_f(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_f(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(f))\leq m(\lambda)$

droites dont la somme

Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$  et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$

Si  les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes,  alors  la somme de leurs sous-espaces propres est directe :

$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$

directe est un plan :

On détermine d'autre part deux matrices $U_1$ et $U_2$ non

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires :

On en déduit que$\,P=\op{Vect}(U_1,U_2)\,$ est un plan

Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$  est  stable par $f\app\sc L(E)$  ssi : $\,f(F)\subset F.\,$

stable par $f,$ dont $(U_1,U_2)$ est une

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base.

Les plans $P$ et $Q$ sont en somme

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

directe car,  par combinaisons linéaires de $U_1$ et $U_2\sp{1.5},$  puis de $V$ et $W,$  on a :

Il s'ensuit que la famille $\,\sc B=(U_1,U_2,V,W)\,$ constitue une

Soient deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E,$ de bases $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ et $\,(e_{p+1},\dots,e_{p+q})\sp{1.5}.\,$

Si  la somme $\,F + G\,$ est directe,  alors $\,(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})\,$ est une base de $\,F\oplus G\sp{1.5}.\,$

base de $\,E=P\oplus Q\sp{1.5}.\,$

Dans cette base $\,\sc B=(U_1,U_2,V,W)\sp{1.5},\,$ la

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice de $f$ est une matrice diagonale

Une matrice carrée $A$ est diagonale par blocs  ssi  elle est formée de blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$

• tous carrés lorsqu'ils sont diagonaux, c'est-à-dire pour $\,i=j\,;\,$
• et tous nuls sinon, c'est-à-dire pour $\,i\neq j\,.\,$

par blocs :

Soient $\,P_1,P_2\app \bb C_{n-1}[X]\,$ tels que $\,f(P_1)=R_1\,$ et $\,f(P_2)=R_2\sp{1.5},\,$

Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :

$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$

$Q$ et $R$  sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$

c'est-à-dire qu'il existe $\,Q_1,Q_2\app\bb C[X]\,$ tels que : Pour montrer que l'application $f\sp{1.5},$ est

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéaire, on considère $\,\a,\b\app \bb C\,$ et on a alors :

L'unicité du couple $(Q,R)$ dans la

Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :

$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$

$Q$ et $R$  sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$

division euclidienne de $\,X(\a\sp{1.5}P_1+\b\sp{1.5}P_2)\,$ par $\,X^n-1\,$ nous garantit que :

Avec : $\,\ptt P\app E,\ \deg(f(P))\! < n\sp{1.5},\,$ $f$ est bien une application linéaire de $E$ dans $E\sp{1.5};$ c'est donc un

Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$

On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$  $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$

endomorphisme de $E\sp{1.5}.$

• Pour $\,k\leq n-2:\,$ $\,X\sp{1.5}.X^{k}=(X^n-1)\,\sp{.75}.\sp{.75}0+X^{k+1}\,$ et $\,\deg(X^{k+1})\! < n\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f(X^k)=X^{k+1}\,;\,$
• pour $\,k=n-1:\,$ $\,X\sp{1.5}.X^{n-1}=(X^n-1)\,\sp{.75}.\sp{.75}1+1\,$ et $\,\deg(1)\! < n\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f(X^{n-1})=1\sp{1.5}.\,$

Ainsi, chaque application de $f$ incrémente de $\,1\,$ le degré du monôme $X^k$ tant que $\,k\leq n-1\sp{1.5},\,$ d'où par itérations :

$\,(1,\dots,X^{n-1})\,$ étant la base

L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$  est  de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :

$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$

canonique de $\,E=\bb C_{n-1}[X]\sp{1.5},\,$ il s'ensuit par combinaisons linéaires que : $\,f^n=\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$

$\,X^n-1\,$ est alors un polynôme

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Pour $\,P=p_dX^d+\cdots+p_1X+p_0\app\bb{K}[X]\sp{1.5},\,$ on définit $\,P(f)\app\sc L(E)\,$ par :

$\displaystyle{}P(f)=p_d\sp{1.5}f^d+\cdots+p_1\sp{1.5}f+p_0\sp{1.5}\op{Id}_E$

Ce polynôme $P$ est dit annulateur de $f$  ssi : $\,P(f)=0\sp{1.5}.\,$

annulateur de $f\,$ et il est

Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$  ssi  il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$

$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$

scindé, avec pour racines simples les

Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité  est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$

Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a  alors :

$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$

racines $n\tiret$èmes de l'unité :

L'endomorphisme $f$ est donc

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

$f$ est diagonalisable  ssi  $\,P(f)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}0\,$ pour un $\,P\app\bb K[X]\,$ scindé à racines simples.

diagonalisable, et son

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

L'ensemble des valeurs propres de $f$  est  le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$

spectre est

Soient $E$ un  $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$  de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

Si $P\app\bb K[X]$ est annulateur de $f\sp{1.5},$  alors  toute valeur propre de $f$ est une racine de $P\sp{1.5}.$

inclus dans l'ensemble des $\om^k:$ $\,\op{Sp}(f)\subset\bb U_n\sp{1.5}.\,$

Pour déterminer chaque sous-espace $\,\op{Ker}(f-\om^k\op{Id}_E)\sp{1.5},\,$ on écrit ce que signifie $\,f(P)=\om^kP:\,$

$\,\om^k\,$ étant une racine de $\,X^n-1\sp{1.5},\,$ celui-ci est divisible par $\,(X-\om^k)\sp{1.5},\,$ et on a : $\,\deg(Q)=\deg(P)-n+1\leq 0\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $\,\op{Ker}(f-\om^k\op{Id}_E)\,$ est la droite vectorielle engendrée par le quotient de $\,X^n-1\,$ par $\,X-\om^k\sp{1.5}.\,$

$f$ a donc exactement $\,n\,$

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$

Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est  le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$

sous-espaces propres $\,E_{\om^k}(f)\,$ de dimension $\,1\sp{1.5},\,$ et il a donc pour spectre : $\,\op{Sp}(f)=\bb U_n\sp{1.5}.\,$

Pour choisir un générateur $P_k$ de la droite $\,E_{\om^k}(f)\sp{1.5},\,$ on pose $\,Q=\om^k\,$ d'où,  par

Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :

$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$

On a en particulier les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$

factorisation de $\,X^n-1=X^n-(\om^k)^n:\,$ En simplifiant par $\,X-\om^k\neq0\sp{1.5},\,$ on obtient finalement les droites propres : $\,E_{\om^k}(f)=\op{Vect}(P_k)\sp{1.5},\,$ avec :