exercices de mathématiques - prépa et université

Tout plan $P$ de $\,\bb R^3\,$ admet une

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$

• L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie :
  $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$
  est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
• Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.

équation : $\,a\sp{1.5}x+b\,y+c\sp{1.5}z=0\sp{1.5},\,$ pour $\,(a,b,c)\neq(0,0,0)\sp{1.5}.\,$

Cela s'écrit

Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$  est  $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :

$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$

matriciellement : $\,L\sp{1.5}X=0\,\,$ pour la ligne $\,L=\big[a,\,b,\,c\big]\app\sc M_{1,3}(\bb R)\,$ et la colonne $\,X=\matc{x\\[-1ex]y\\[-1ex]z}\sp{1.5}.\,$

Ce plan $P$ est

Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$  est  stable par $f\app\sc L(E)$  ssi : $\,f(F)\subset F.\,$

stable par

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme $f_A$ de $\bb R^3$ canoniquement associé à la matrice $A\sp{1.5},$ si et seulement si :

Il suffit pour cela qu'il existe $\,\lambda\app\bb R\,$ tel que : $\,L\sp{1.5}A=\lambda\sp{1.5}L\sp{1.5},\,$ ce qui équivaut par

Pour toutes matrices $A\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $B\app\sc M_{n,p}(\bb K),$ on a :

$\displaystyle{}(AB)^T=B^{\,T}\!A^T$

Si $A$ est une matrice carrée inversible, alors on a aussi :

$\displaystyle{}(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$

transposition à : En d'autres termes, il suffit que $\,L^T\neq0\,$ soit un

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

vecteur propre de $A^T$ pour que ce plan $P$ soit stable par $f_A\sp{1.5}.$

On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires et factorisation de $C_1$ par

Pour $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ soient $\,A=[C_1,\dots,C_n]\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\sc C$ la base canonique de $\bb K^n\sp{-1.5}.$

Le déterminant de $A$ est le déterminant de $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ relativement à $\sc C:$

$\displaystyle{}\det(A)=\det\nolimits_{\sc C}(C_1,\dots,C_n)$

Le déterminant de $A$ est donc multilinéaire et alterné vis à vis des colonnes de $A\sp{1.5}.$

multilinéarité :

Par

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développement selon la colonne $C_1\sp{1.5},$ on obtient :

Le polynôme caractéristique est un

Le rang, la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique sont des invariants de similitude.

Autrement dit,  si  deux matrices $A$ et $B$ sont semblables,  alors :

$\eqalign{\op{rg}(A)=\op{rg}(B)&\txt{et} \op{tr}(A)=\op{tr}(B)\\[-.5ex] \det(A)=\det(B)&\txt{et} \chi_A(X)=\chi_B(X)}$

invariant de similitude, d'où : $\,\chi_{A^T}(X)=\chi_A(X)\sp{1.5}.\,$

On obtient donc une seule

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre réelle : $\,\lambda=2\sp{1.5},\,$ commune à $A$ et $A^T.$

On calcule alors un vecteur propre $\sth{2}L^T$ de $A^T$ par un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire homogène de matrice $\,(A^T-2\sp{1.5}I_3):\,$

On trouve de même un vecteur propre $W$ de $A$ par le système linéaire homogène de matrice $\,(A-2\sp{1.5}I_3):\,$

On a les

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espaces propres : $\,E_{2}(A^T)=\op{Vect}(L^T)\,$ et $\,E_{2}(A)\,=\op{Vect}(W)\,$ pour $\,L^T=\!\matr{\,1\,\\[-.5ex] 0\,\\[-.5ex] \!-2\,}\,$ et $\,W=\!\matr{\,1\,\\[-.5ex]\,1\,\\[-.5ex]\,1\,}\!\sp{-1.5}\cdot\,$

Le plan $P$ d'équation : $\,L\sp{1.5}X=x-2\sp{1.5}z=0\sp{1.5},\,$ et la droite $\,E_2(A)=\op{Vect}(W)\,$ sont donc

Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$  est  stable par $f\app\sc L(E)$  ssi : $\,f(F)\subset F.\,$

stables par $f_A\sp{1.5}.$

On choisit alors $\,U\app P\,$ et son image $\,V=A\sp{1.5}U\app P\sp{1.5};\,$ ils sont non

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires et forment alors une

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base $\,(U,V)\,$ de $P:$

$W$ n'appartenant pas au plan $P,$ les vecteurs $\,U,V,W\,$ non

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont coplanaires  ssi  ils appartiennent à un même plan vectoriel.

• Trois vecteurs non coplanaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 3\sp{1.5},\,$ des vecteurs coplanaires forment une famille liée.

coplanaires forment une

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base $\,\sc B=(U,V,W)\,$ de $\,\bb R^3\sp{1.5}.\,$

Avec $\,A\sp{1.5}U=V\sp{1.5},\,$ $\,A\sp{1.5}V=-U\,$ et $\,A\sp{1.5}W=2\sp{1.5}W\sp{1.5},\,$ l'endomorphisme $f_A$ admet la matrice diagonale

Une matrice carrée $A$ est diagonale par blocs  ssi  elle est formée de blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$

• tous carrés lorsqu'ils sont diagonaux, c'est-à-dire pour $\,i=j\,;\,$
• et tous nuls sinon, c'est-à-dire pour $\,i\neq j\,.\,$

par blocs :

Pour une

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre réelle $\,\lambda\,$ de $\,A,\,$ les

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espaces propres $\,E_\lambda(A)\,$ ont même dimension dans $\bb R^3$ et dans $\bb C^3.$

En effet, par le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$

théorème du rang appliqué à l'endomorphisme $\,X\mapsto(A-\lambda\sp{1.5}I_3)X\sp{1.5},\,$ on a, dans $\,\bb R^3\,$ comme dans $\,\bb C^3\!:\,$

Les matrices

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$

diagonalisables sont caractérisées par les dimensions de leurs sous-espaces propres.

$A$ étant diagonalisable dans $\,\sc M_3(\bb C)\,$ et non dans $\,\sc M_3(\bb R),\,$ son polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique $\,\chi_A\,$ n'est pas

Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$  ssi  il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$

$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$

scindé dans $\,\bb R[X]\sp{1.5}.\,$

Appartenant à $\,\bb R[X]\,$ sans y être scindé, $\,\chi_A\,$ a alors deux racines non réelles

Soit $\,A\,$ un polynôme à coefficients réels, et de racine $\,\alpha\app\bb C\sp{1.5}.\,$

Alors $\,\surl{\sp{.75}\alpha\sp{.75}}\,$ est  aussi une racine de $\,A\sp{1.5},\,$ avec la même multiplicité.

conjuguées : $\,\alpha=a+i\sp{1.5}b\,$ et $\,\surl \alpha=a-i\sp{1.5}b\sp{1.5}.\,$

$\,\chi_A\,$ est cependant

Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$

Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$

scindé dans $\,\bb C[X]\,$ d'où l'existence d'une racine réelle $\,c\,$ telle que : La matrice $A$ a donc deux

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectres distincts selon le corps considéré :

Soit $\,u\app\bb C^3\!\,$ un

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

vecteur propre de $A$ associé à $\,\alpha=a+i\sp{1.5}b\,;\,$ la matrice $A$ étant réelle, on a alors :

En posant $\,v_1=u+\surl u\app\bb R^3\,$ et $\,v_2=i\sp{1.5}(\surl u-u)\app\bb R^3,\,$ on en déduit :

Le

Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$

sous-espace $\,\op{Vect}(v_1,v_2)\,$ de $\,\bb R^3\,$ est donc

Un sous-espace $F$ d'un espace vectoriel $E$  est  stable par $f\app\sc L(E)$  ssi : $\,f(F)\subset F.\,$

stable par

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme $\,f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\,$ de $\,\bb R^3.\,$

Soit maintenant $\,w\app\bb R^3\,$ un vecteur propre de $A$ associé à $\,c\sp{1.5},\,$ vérifiant donc : $\,A\sp{1.5}w=c\sp{1.5}w\sp{1.5}.\,$

$A$ étant

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisable dans $\,\sc M_3(\bb C)\sp{1.5},\,$

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme $\,g_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\,$ de $\,\bb C^3\,$ est

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

$f$ est diagonalisable  ssi  $E$ admet une base de vecteurs propres de $f.$

Autrement dit, il existe une base $\sc B$ de $E$ telle que $\,\op{M}_\sc B(f)\,$ soit diagonale.

diagonalisable.

La famille $\,(u,\surl u,w)\,$ est donc dans $\,\bb C^3\,$ une base de vecteurs propres de $\,g_A\sp{1.5}.\,$

La famille $\,(v_1,v_2,w)\,$ est alors une famille

Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi  pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$

$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$

Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres.

• Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
• Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.

libre de $\,\bb R^3\,$ car pour $\,(x,y,z)\app\bb R^3,\,$ on a :

$\,\sc B=(v_1,v_2,w)\,$ est donc une

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base de $\,\bb R^3\,$ et $\,f_A\,$ a pour

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice dans cette base une matrice diagonale

Une matrice carrée $A$ est diagonale par blocs  ssi  elle est formée de blocs $A_{i,\sp{1.5}j}:$

• tous carrés lorsqu'ils sont diagonaux, c'est-à-dire pour $\,i=j\,;\,$
• et tous nuls sinon, c'est-à-dire pour $\,i\neq j\,.\,$

par blocs :

$\,A\,$ étant la matrice de $\,f_A\,$ relativement à la base canonique de $\,\bb R^3,\,$ les matrices $\,A\,$ et $\,B\,$ sont

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$

Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables,  avec :

$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$

semblables dans $\,\sc M_3(\bb R)\sp{1.5}.\,$