exercices de mathématiques - prépa et université

Cette matrice $A$ a pour polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique :

On en déduit que le

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre de $A$ est un singleton :  $\,\op{Sp}(A)=\{-2\sp{1.5}\}\!\cdot\,$

Étant donné que $\,A\neq -2\sp{1.5}I_2\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que la matrice $A$ n'est pas

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisable.

En effet, il n'existe pas de $\,P\app\op{GL}_2(\bb R)\,$ telle que $\,A=P\sp{1.5}(-2\sp{1.5}I_2)\sp{1.5}P^{-1}=-2\sp{1.5}I_2\sp{1.5}.\,$

En revanche, $\,\chi_A(X)=(X+2)^2\,$ étant

Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$  ssi  il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$

$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$

scindé, la matrice $\,A\,$ est

Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ de polynôme caractéristique $\,\chi_A(X)\sp{1.5}.\,$

$\,A\,$ est trigonalisable  ssi $\,\chi_A(X)\,$ est scindé dans $\,\bb K[X]\sp{1.5}.\,$

trigonalisable.

On obtient le

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espace propre associé à la

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre $\,-2\,$ par un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire homogène de matrice $\,(A+2\sp{1.5}I_3):\,$ On en déduit : $\,E_{-2}(A)=\op{Vect}(U)\,$ pour $\,U=\!\matr{\sp{1.5}1\sp{1.5}\\ \sp{1.5}1\sp{1.5}}\sp{1.5},\,$ et on considère $\,V=\!\smash[b]{\matr{\,1\,\\ \,0\,}}\sp{1.5},\,$ non

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaire à $\,U\sp{1.5}.\,$

On a ainsi défini une

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$

• une famille libre de $E$ a  au plus $\,n\,$ vecteurs ;
• une famille libre de $E$ est une base de $E$  ssi  elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.

base $\,\sc B=(U,V)\,$ de $\,\bb R^2\sp{1.5};\,$ on sait que $\,A\sp{1.5}U=-2U\,$ et on exprime $\,A\sp{1.5}V\,$ dans la base $\sc B:$

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

L'endomorphisme de $\,\bb R^2\,$ canoniquement associé à la matrice $\,A\,$ a donc pour

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice relativement à $\,\sc B:\,$

On a alors une

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est trigonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice triangulaire $\,T:\,$

$\,A=P\,T\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

trigonalisation de $\,A\,$ dans $\,\sc M_2(\bb R)\,$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}TP^{-1},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V]:\,$ Pour tout $\,\sth{2}n\app\bb N^{\ast},\,$ on a alors, par

Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

• $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
• $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.

associativité puis simplification des produits $\,P^{-1}P=I_2:\,$

Le système linéaire $\,P\sp{-1.5}\matc{x\\y}=\matc{u\\v}\,$ d'inconnues $\,x\,$ et $\,y\,$ pour $\,(u,v)\app\bb R^2,\,$ nous fournit le

$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible  ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$

$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$

Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$

calcul de $\,P^{-1}:\,$ Avec $\,T=-2\sp{1.5}I_2+N\,$ pour $\,N=\matr{0&1\\0&0}\,$ telle que $\,I_2N=NI_2\,$ et $\,N^2=0\sp{1.5},\,$ on a, selon la

Pour $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N,$ on a :

$\displaystyle{}(A+B)^p=\sum_{k=0}^{p}\binome{p\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,p-k}$

On en déduit en particulier les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2\sp{-1.5}B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$

formule du binôme :

On calcule ensuite le

Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$  est  $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :

$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$

produit des trois matrices $\,P\sp{1.5},\,$ $\,N\,$ et $\,P^{-1}:\,$

On peut enfin en déduire l'expression de $\,A^n:\,$

On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires et factorisation de $C_1$ par

Pour $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ soient $\,A=[C_1,\dots,C_n]\app\sc M_n(\bb K)\,$ et $\sc C$ la base canonique de $\bb K^n\sp{-1.5}.$

Le déterminant de $A$ est le déterminant de $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ relativement à $\sc C:$

$\displaystyle{}\det(A)=\det\nolimits_{\sc C}(C_1,\dots,C_n)$

Le déterminant de $A$ est donc multilinéaire et alterné vis à vis des colonnes de $A\sp{1.5}.$

multilinéarité : On obtient enfin, par

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développement selon $L_1:$

On en déduit le

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre de $\,A:\,$  $\,\op{Sp}(A)=\{-1,\sp{1.5}2\sp{1.5}\}\sp{1.5},\,$ la

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre $\,2\,$ étant de multiplicité $\,2\sp{1.5}.\,$

On détermine les

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espaces propres par des

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

systèmes linéaires homogènes de matrices $\,(A+\sp{1.5}I_3)\,$ et $\,(A-2\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}.\,$

En procédant par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires, on obtient successivement :

On trouve alors : $\,E_{-1}(A)\,=\, \op{Vect}(U)\,$ pour $\,U=\matr{\ 1\,\\[-.5ex]1\,\\[-.5ex] 1\,},\,$  ainsi que : $\,E_{2}(A)\,=\op{Vect}(V)\,$ pour $\,V=\matr{\,0\,\\[-.5ex] 1\,\\[-.5ex] \!-1\,}\!\cdot\,$

La valeur propre $\,2\,$ est double, mais : $\,\dim(E_2(A)) < 2\sp{1.5};\,$ la matrice $A$ n'est donc pas

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$

diagonalisable.

En revanche, le polynôme $\,\chi_A(X)=(X+1)(X-2)^2\,$ est

Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$  ssi  il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$

$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$

scindé ; la matrice $A$ est donc

Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ de polynôme caractéristique $\,\chi_A(X)\sp{1.5}.\,$

$\,A\,$ est trigonalisable  ssi $\,\chi_A(X)\,$ est scindé dans $\,\bb K[X]\sp{1.5}.\,$

trigonalisable.

Considérons la famille $\,(U,V,W)\,$ définie par sa

Soit $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ relativement à $\sc{B}$ est :

$\eqalign{&\op M_{\sc B}(\sc U)=[X_1,\dots,X_p]\app\sc M_{n,p}(\bb K)\\ &\txt{avec :}\ptt j\app\,[\![1,n]\!],\ X_j=\op{M}_{\sc B}(u_j)}$

matrice dans la base canonique $\sc C$ de $\,\bb R^3\sp{-1.5}:\,$

La matrice $P$ étant

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

triangulaire, on a : $\,\det(P)=1\neq0\sp{1.5},\,$ si bien que $\,\sc B=(U,V,W)\,$ est une

Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$

Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$  ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$

base de $\bb R^3.$

On peut alors facilement identifier les coordonnées du vecteur $\,A\sp{1.5}W\,$ dans cette base $\sc B:$

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

L'endomorphisme de $\bb R^3$ canoniquement associé à la matrice $\,A\,$ a donc pour

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice relativement à la base $\sc B:$ On a alors une

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est trigonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice triangulaire $\,T:\,$

$\,A=P\,T\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

trigonalisation de $\,A\,$ dans $\,\sc M_3(\bb R)\stb{1}\,$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}T\sp{1.5}P^{-1}\sp{1.5},\,$ avec :

On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires factorisation de $L_1$ par

Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :

$\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$

Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$

multilinéarité : On obtient enfin, par

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développement selon $L_3:$

On en déduit que le

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre de $A$ est un singleton :  $\,\op{Sp}(A)=\{\sp{1.5}3\sp{1.5}\}\sp{-1.5}\cdot\,$

Étant donné que $\,A\neq 3\sp{1.5}I_3\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que la matrice $A$ n'est pas

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisable.

En effet, il n'existe pas de $\,P\app\op{GL}_3(\bb R)\,$ telle que $\,A=P\sp{1.5}(3\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}P^{-1}=3\sp{1.5}I_3\sp{1.5}.\,$

En revanche, le polynôme $\,\chi_A(X)=(X-3)^3\,$ étant

Un polynôme $A\app\bb K[X]$ non constant est scindé sur $\bb K$  ssi  il se décompose en facteurs de degré $1$ dans $\bb K[X]:$

$\displaystyle{}A=\lambda\sp{1.5}\smh{1.3}{\prod_{i=1}^n}(X-\alpha_i)\sp{1.5},\,\txt{pour}\lambda\app\bb K^{\ast}\!\txt{et}(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\app\bb K^n.$

scindé, la matrice $A$ est

Soit $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ de polynôme caractéristique $\,\chi_A(X)\sp{1.5}.\,$

$\,A\,$ est trigonalisable  ssi $\,\chi_A(X)\,$ est scindé dans $\,\bb K[X]\sp{1.5}.\,$

trigonalisable.

On obtient le

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espace propre associé à la

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre $\,3\,$ par un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire homogène de matrice $\,(A-3\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}.\,$

On résout ce système linéaire par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires:

On obtient ainsi : $\,E_{3}(A)\,=\, \op{Vect}(U)\,$ pour $\,U=\matr{\,1\,\\[-.5ex] \!-1\,\\[-.5ex] 0\,}\,$ que l'on va compléter en une

Toute famille libre d'un espace $E$ de dimension finie peut être complétée en une base.

base $\,\sc B=(U,V,W)\,$ de $\,\bb R^3\sp{1.5}.\,$

On peut choisir $V$ et $W$ pour que

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme de $\bb R^3$ canoniquement associé à la matrice $A$ ait pour

Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :

$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$

• $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
• $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$

matrice dans $\sc B:$ En effet, le polynôme caractéristique étant un

Le rang, la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique sont des invariants de similitude.

Autrement dit,  si  deux matrices $A$ et $B$ sont semblables,  alors :

$\eqalign{\op{rg}(A)=\op{rg}(B)&\txt{et} \op{tr}(A)=\op{tr}(B)\\[-.5ex] \det(A)=\det(B)&\txt{et} \chi_A(X)=\chi_B(X)}$

invariant de similitude, on a : $\,\chi_T(X)=\chi_A(X)=(X-3)^3.\,$

On trouve alors le vecteur $V$ en résolvant le système linéaire $\,(A-3\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}V=a\sp{1.5}U\,$ par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires :

En choisissant par exemple $\,a=5\sp{1.5},\,$ ce système admet la solution : $\,V=\matr{\,1\,\\[-.5ex] 0\,\\[-.5ex] \sp{-1.5}-1\,}\sp{-1.5}\!\cdot\,$

On trouve aussi $W$ en résolvant de même le système $\,(A-3\sp{1.5}I_3)\sp{1.5}W=b\sp{1.5}U+c\sp{1.5}V:\,$ En choisissant par exemple $\,b=0\,$ et $\,c=-5\sp{1.5},\,$ ce système admet la solution : $\,W=\matr{\,0\,\\[-.5ex] 2\,\\[-.5ex] 3\,}\sp{-1.5}\!\cdot\,$

La famille $\,\sc B=(U,V ,W)\,$ forme bien une

Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$

Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$  ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$

base de $\bb R^3$ selon son déterminant dans la base canonique :

On obtient donc la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est trigonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice triangulaire $\,T:\,$

$\,A=P\,T\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

trigonalisation suivante de $A$ dans $\sc M_3(\bb R)$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}T\sp{1.5}P^{-1},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V,W]:\,$