exercices de mathématiques - prépa et université

On commence par calculer le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique de $A:$

Avec $\,\chi_A(X)=(X-1)^2+1=(X-i-1)(X-i+1)\sp{1.5}\,$ on peut alors dire que :

• $\,A\,$ n'est pas
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

  $\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
  diagonalisable dans $\,\sc M_2(\bb R)\sp{1.5},\,$ car $\,\chi_A\,$ n'est pas scindé dans $\,\bb R[X]\,;\,$

• $\,A\,$ est
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable ssi la somme de ses sous-espaces propres est égale à $\bb K^n.$

  Si  $A$ a $n$ valeurs propres distinctes dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ alors  $A$ est diagonalisable.
  diagonalisable dans $\,\sc M_2(\bb C)\,$ car $\,A\,$ a deux
  Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

  • $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
  • $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
  valeurs propres distinctes dans $\,\bb C\sp{1.5}.\,$

Avec pour

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre sur $\,\bb C:\,$ $\,\op{Sp}_{\bb C}(A)=\{1+i,\,1-i\}\sp{1.5},\,$ on a dans $\,E=\bb C^2\,$ deux

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

droites propres

Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$  et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$

Si  les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes,  alors  la somme de leurs sous-espaces propres est directe :

$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$

supplémentaires.

La droite propre $\,E_{1+i}(A)\,$ est caractérisée par un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire homogène de matrice $\,\big(A-(1+i)\sp{1.5}I_2\big)\sp{1.5}.\,$

Avec deux valeurs propres distinctes en dimension $\,2\sp{1.5},\,$ ce système est nécessairement de

Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$

rang $\,1\sp{1.5}.\,$

Cela se confirme avec

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

l'opération élémentaire combinée : $\,\sc E_1\ot 2\sp{1.5}\sc E_1-(3-i)\sp{1.5}\sc E_2:\,$ On obtient ainsi une droite propre :  $\,E_{1+i}(A)=\op{Vect}(U)\sp{1.5},\,$ pour $\,U=\matc{3+i\\2}\sp{1.5}.\,$

La matrice $A$ étant réelle, on a par

Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est :  $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$

On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$

• $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
• $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$

conjugaison : $\,A\,X=(1+i)\sp{1.5}X\Imp A\,\surl{X}=(1-i)\sp{1.5}\surl{X}\,.\,$

On en déduit alors l'autre droite propre de $A:$  $\,E_{1-i}(A)=\op{Vect}(V)\sp{1.5},\,$ pour $\,V=\matc{3-i\\2}\sp{1.5}.\,$

On peut donc

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonaliser $\,A\,$ dans $\,\sc M_2(\bb C)\,$ sous la forme : $\,A=P\sp{1.5}D\,P^{-1}\sp{-1.5},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V]:\,$

$\,\sc C\,$ étant la base

L'espace vectoriel $\,\bb K^n\,$ est  de dimension $\,n\,$ et de base canonique $\,\sc{B}_c=(\delta_1,\dots,\delta_n)\sp{1.5},\,$ avec :

$\displaystyle{}\delta_j=[\delta_{i,j}]_{1\leq i\leq n}\,,\txt{pour}\! \syst{&\delta_{j,j}=1\\[-.5ex] &\delta_{i,j}=0\txt{si}\,i\neq j}$

canonique de $\,\bb R^n\,$ et $\,f_A\,$

L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :

$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$

Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$

l'endomorphisme de $\,\bb R^n\,$ associé à la matrice $A\sp{1.5},$ on a alors : $\,A=\op{M}_\sc C(f_A)\sp{1.5}.\,$

On peut alors appliquer à $\,f_A\,$ le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :

$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$

théorème du rang :

On en déduit que $\,0\,$ est une valeur

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

propre de $A$ et que son

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espace propre est

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$

Les hyperplans de $E$  sont  les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$

l'hyperplan : $\,E_0(A)=\op{Ker}(A)\sp{1.5}.\,$

En complétant une base de $\,\op{Ker}(A)\,$ par un vecteur $\,U\non\app\op{Ker}(A)\sp{1.5},\,$ on obtient une

Soient deux sous-espaces $F$ et $G$ d'un espace vectoriel $E,$ de bases $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ et $\,(e_{p+1},\dots,e_{p+q})\sp{1.5}.\,$

Si  la somme $\,F + G\,$ est directe,  alors $\,(e_1,\dots,e_p,e_{p+1},\dots,e_{p+q})\,$ est une base de $\,F\oplus G\sp{1.5}.\,$

base $\,\sc B\,$ de $\,\bb R^n\,$ telle que :

$A$ et $B$ sont alors deux matrices

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases de $E$ et $\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$

Pour $f\app\sc L(E),$ les matrices $A=\op M_{\sc B}(f)$ et $A'=\op M_{\sc B'}(f)$ sont semblables,  avec :

$\displaystyle{}A'=P^{-1}\!A\sp{1.5}P,\!\txt{soit :}\op M_{\sc B'}(f)=\op M_{\sc B'}(\sc B)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(f)\sp{1.5}.\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.$

semblables ; leurs

La trace de $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est  la somme de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\op{tr}(A)=\sum_{i=1}^na_{i,\sp{1.5}i}$

traces et leurs polynômes

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristiques sont donc les

Le rang, la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique sont des invariants de similitude.

Autrement dit,  si  deux matrices $A$ et $B$ sont semblables,  alors :

$\eqalign{\op{rg}(A)=\op{rg}(B)&\txt{et} \op{tr}(A)=\op{tr}(B)\\[-.5ex] \det(A)=\det(B)&\txt{et} \chi_A(X)=\chi_B(X)}$

mêmes :

On est donc conduit à distinguer deux cas selon la trace de $A:$

• Si $\,\lambda=\op{tr}(A)\neq0\sp{1.5},\,$ c'est une valeur propre de $A$ simple et non nulle, d'où : $\,\dim(E_{\op{tr}(A)}(A))=1\sp{1.5}.\,$
  On en déduit, avec $\,\dim(E_0(A))=n-1\sp{1.5},\,$ que $\,A\,$ est
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

  $\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
  diagonalisable.

• Si $\,\lambda=\op{tr}(A)=0\sp{1.5},\,$ elle est de multiplicité : $\,n>\dim(E_0(A))=n-1\,;\,$ $A$ n'est pas donc
  $A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

  $\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
  diagonalisable.

Finalement, une matrice $A$ de $\,\sc M_n(\bb R)\,$ de rang $\,1\,$ est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.

On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires et factorisation de $L_1$ par

Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :

$\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$

Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$

multilinéarité :

On obtient donc le déterminant d'une matrice

Si $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est triangulaire, $\det(A)$ est le produit de ses termes diagonaux :

$\displaystyle{}\det(A)=a_{1,1}\times\cdots\times a_{n,n}$

triangulaire :

On en déduit le

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre de $A:$  $\,\op{Sp}(A)=\{2,-1,-3\}\!\cdot\,$

La matrice $A$ ayant trois

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeurs propres réelles distinctes, elle est donc

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable ssi la somme de ses sous-espaces propres est égale à $\bb K^n.$

Si  $A$ a $n$ valeurs propres distinctes dans $\,\bb K\sp{1.5},\,$ alors  $A$ est diagonalisable.

diagonalisable dans $\sc M_3(\bb R)\sp{1.5}.$

Elle possède ainsi trois

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

droites propres $\,E_{\lambda}(A)\,$ pour $\,\lambda\sp{1.5}\app\,\{2,-1,-3\}\!\cdot\,$

Chacune d'entre elles est caractérisée dans $\,\bb R^3\,$ par un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire $\,(A-\lambda\,I_3)\sp{1.5}U=0\sp{1.5},\,$ avec pour

Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$

rang :

Toute solution non nulle d'un système linéaire homogène de matrice $\,(A-\lambda\,I_3)\,$ engendre donc la droite $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

On résout donc par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires les trois systèmes correspondant aux valeurs propres $\,2\sp{1.5}\,$ $\,-1\,$ et $\,-3:\,$

On trouve ainsi trois

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

vecteurs propres :  $\,U=\!\matr{\,1\,\\[-.5ex]-1\,\\[-.5ex] \!-1\,}\sp{1.5},\,$ $\,V=\!\matr{\,1\,\\[-.5ex]\,\!\!-1\,\\[-.5ex] 0\,}\,$  et  $\,W=\!\matr{1\,\\[-.5ex]0\,\\[-.5ex]\!-1\,}\!\sp{-1.5}\cdot\,$

On a ainsi une base de vecteurs propres, d'où la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisation de $A$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}D\,P^{-1}\sp{-1.5},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V,W]:\,$

On calcule le polynôme

$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$

• Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
• la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
  $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$

caractéristique de $A$ par

Effet des opérations élémentaires sur le déterminant de $A\app\sc M_n(\bb K):$

• $\,C_k\ot C_k+\smb{0}{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\,:\,$ laisse $\det(A)$ invariant ;
• $\,C_i\tot C_j\,:\,$ change le signe de $\det(A),$ pour $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\,:\,$ multiplie $\det(A)$ par $\,\lambda\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires et factorisation de $L_1$ par

Soit $\,n\app\bb N^{\ast};\,$ pour toute matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ on a la relation :

$\displaystyle{}\det(A^T\sp{1.5})=\det(A)$

Le déterminant de $A$ est donc aussi multilinéaire et alterné vis à vis des lignes de $A\sp{1.5}.$

multilinéarité :

Par

Le déterminant d'une matrice carrée $\,A=[a_{i,\sp{1.5}j}]\app\sc M_n(\bb K)\,$ peut être développé :

• suivant une colonne $C_j:$ $\,\det(A)={\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})}\sp{1.5},\,$
• ou suivant une ligne $L_i:$ $\,\det(A)=\smb{1}{\sum_{j=1}^n}(-1)^{i+j}\sp{1.5}a_{i,j}\sp{1.5}\det(A_{i,j})\sp{1.5},\,$

où $A_{i,j}$ désigne la matrice $A$ privée de sa $i\tiret$ème ligne et de sa $j\tiret$ème colonne.

Les $\,\det(A_{i,j})\,$ sont les mineurs de $A$ et les $\,(-1)^{i+j}\det(A_{i,j})\,$ sont ses cofacteurs.

développement selon la ligne $L_1,$ on obtient $\chi_A(X)$ que l'on factorise :

On en déduit le

L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$  est  le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$

spectre de $A:$ $\,\op{Sp}(A)=\big\{-3,\,1\big\}\!\cdot\,$

Le

Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$

Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est  le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$

sous-espace propre $\,E_1(A)\,$ est caractérisé dans $\,\bb R^3\,$ par le

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire homogène de matrice $\,(A-I_3):\,$

Il s'agit de

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$

• L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie :
  $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$
  est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
• Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.

l'équation d'un plan vectoriel, c'est-à-dire que : $\,\dim(E_1(A))=2\sp{1.5}.\,$

Avec $\,\dim(E_{-3}(A))=1\,$ pour la

Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$

• $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$  ssi  il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
• $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$

valeur propre simple $\,-3\sp{1.5},\,$ on a donc prouvé que $A$ est

$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :

$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$

diagonalisable dans $\,\sc M_3(\bb R)\sp{1.5}.\,$

On obtient une base de la droite $\,E_{-3}(A)\sp{1.5},\,$ par une solution $\,U\,$ non nulle du système linéaire de matrice $\,(A+3\sp{1.5}I_3):\,$

On choisit $\,U\!=\!\matr{\,1\,\\[-.5ex]\!-1\,\\[-.5ex] \sp{-1.5}-1\,}\,$ complété par $\,V\!=\!\matc{\ \,0\ \\[-.5ex] \,1\\[-.5ex]\,1}\,$ et $\,W\!=\!\matr{1\,\sp{1.5}\\[-.5ex]0\,\sp{1.5}\\[-.5ex] \sp{-1.5}-1\,\sp{1.5}},\,$ non

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires et vérifiant l'équation de $\,E_1(A)\,.\,$

On a ainsi une base de vecteurs propres, d'où la

$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable  ssi  elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$

$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$

diagonalisation de $A$ sous la forme $\,A=P\sp{1.5}D\,P^{-1}\sp{-1.5},\,$ pour $\,P=[\sp{1.5}U,V,W]:\,$

Pour tout $\,n\app\bb N^{\ast},\,$ on a alors, par

Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

• $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
• $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.

associativité puis simplification des produits $\,P^{-1}P=I_3:\,$

On

$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible  ssi $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une unique solution $X$ dans $\bb{K}^n:$

$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$

Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$

calcule $\,P^{-1}\,$ en résolvant par

Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.

On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :

• $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :

$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$

opérations élémentaires le système suivant :

On trouve alors $\,P^{-1}=\smh3{\matr{\,1&\!\!-1&\ 1\\1&0&1\\0&1&\!\!-1}}\,$ en prélevant les coefficients de $\,u,v,w\,$ dans les expressions de $\,x,y,z\sp{1.5}.\,$

On obtient finalement, par

Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$  est  $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :

$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$

produits de matrices l'expression de $\,A^n=P\sp{1.5}D^nP^{-1}:\,$