Sujet B.6.2 Éléments propres d'une matrice
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Exercice a
\\(\MAT\\)Soit pour $\,n\geq2\sp{1.5},\,$ la matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb R)\,$ dont tous les coefficients valent $\,1\sp{1.5}.\,$
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\,A\sp{1.5};\,$ que peut-on en conclure ?
éléments propres d'une matrice carrée
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$ ssi il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
- $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
spectre d'une matrice carrée
L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$ est le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$
sous-espaces propres d'une matrice carrée
Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$
Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'une matrice carrée
Soient $A$ une matrice de $\sc M_n(\bb K)$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $A\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces-propres $E_{\lambda_i}(A)$ est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(A)+\cdots+E_{\lambda_p}(A)=E_{\lambda_1}(A)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(A)$
indication
1
Considérer, dans la base canonique $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ de $\,\bb R^n,\,$ le vecteur $\,U=e_1+\cdots+e_n\sp{1.5}.\,$
indication
2
Déterminer le rang de $\,A\,$ ainsi que le noyau $\,\op{Ker}(A)=E_0(A)\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient pour $A$ deux valeurs propres distinctes : $\,n\,$ et $\,0\sp{1.5},\,$ avec dans la base canonique $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ de $\,\bb R^n:\,$
- $\,E_n(A)=\op{Vect}(U)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire la droite engendrée par $\,U=e_1+\cdots+e_n\sp{1.5};\,$
- $\,E_0(A)=\op{Ker}(A)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire l'hyperplan d'équation : $\,x_1+\cdots+x_n=0\sp{1.5}.\,$
correction
Soit $\,(e_1,\dots,e_n)\,$ la base
L'espace vectoriel $\,\bb K^n\,$ est de dimension $\,n\,$ et de base canonique $\,\sc{B}_c=(\delta_1,\dots,\delta_n)\sp{1.5},\,$ avec :
canonique
de $\,\bb R^n\,$ et $\,U\app\bb R^n\,$ le vecteur $\,U=e_1+\cdots+e_n\sp{1.5};\,$ on a alors le
$\displaystyle{}\delta_j=[\delta_{i,j}]_{1\leq i\leq n}\,,\txt{pour}\! \syst{&\delta_{j,j}=1\\[-.5ex] &\delta_{i,j}=0\txt{si}\,i\neq j}$
Pour $A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})$ et $X\app\bb{K}^n,$ le produit $\,A\sp{1.5}X=Y\app\bb{K}^m\!\,$ vérifie :
produit :
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!]\sp{1.5},\ \,y_{i}=\smh{1.5}{\sum_{j=1}^n} a_{i,\sp{1.5}j}\,x_{j}$
$\displaystyle{}A\,U=\matc{1&\hh&\hh&1\\[-.25ex] \vv&&&\vv\\ \vv&&&\vv\\1&\hh&\hh&1}\matc{1\\[.25ex] \vv\\ \vv\\1}=\matc{n\\[.25ex] \vv\\ \vv\\n}=n\sp{1.5}U$
Étant donné que $\,U\neq0\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que $\,n\,$ est une
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$
valeur
propre de $\,A\sp{1.5},\,$ avec $U$ comme
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$ ssi il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
- $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$
vecteur
propre associé.
D'autre part, avec toutes ses colonnes identiques et égales à $\,U,\,$ la matrice $\,A\,$ est de
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$ ssi il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
- $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
Le rang de $A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ de lignes $L_i$ et colonnes $C_j\sp{1.5},$ est à la fois :
rang
$\,1\sp{1.5}.\,$
En désignant par $f_A$
- le nombre maximal des $C_j$ linéairement indépendantes
- et le nombre maximal des $L_i$ linéairement indépendantes :
$\displaystyle{}\op{rg}(A)=\op{rg}(C_1,\dots,C_p)=\op{rg}(L_1,\dots,L_n)$
Le rang est donc invariant par transposition : $\,\op{rg}(A^T)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$
L'endomorphisme de $\bb K^n$ canoniquement associé à $\,A\app\sc M_{n}(\bb K)\,$ est :
l'endomorphisme
de $\,\bb R^n\,$ $\,f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5},\,$ on peut alors lui appliquer le
$\displaystyle{}f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X$
Relativement à la base canonique $\sc B$ de $\bb K^n\sp{1.5},$ on a : $\,A=\op M_{\sc B}(f_A)\sp{1.5}.\,$
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$
Si $E$ est de dimension finie, alors l'image de $f$ est de dimension finie et :
théorème
du rang :
$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$
$\eqalign{\dim(\op{Ker}(A))&=\dim(\op{Ker}(f_A))\\&=n-\dim(\op{Im}(f_A))=n-\op{rg}(A)=n-1}$
On en déduit que $\,0\,$ est une valeur propre de $\,A\,$ et que son
Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$
Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$
sous-espace
propre est
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$
Les hyperplans de $E$ sont les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$
l'hyperplan :
$\,E_0(A)=\op{Ker}(A)\sp{1.5}.\,$
Celui-ci est caractérisé dans la base canonique par
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$
l'équation :
$\,x_1+\cdots+x_n=0\sp{1.5}.\,$
Les sous-espaces propres $\,E_0(A)\,$ et $\,E_n(A)\,$ étant en somme
- L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie : $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
- Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.
Soient $A$ une matrice de $\sc M_n(\bb K)$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $A\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces-propres $E_{\lambda_i}(A)$ est directe :
directe
on en conclut que $\,E_n(A)=\op{Vect}(U)\sp{1.5},\,$ avec : $\displaystyle{}E_{\lambda_1}(A)+\cdots+E_{\lambda_p}(A)=E_{\lambda_1}(A)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(A)$
$\displaystyle{}\bb R^n=E_0(A)\oplus E_n(A)$
Une base de $\,E_0(A)\,$ complétée par $U$ est ainsi une base de vecteurs propres de $\,f_A\sp{1.5},\,$ si bien que $\,f_A\,$ est
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$
$f$ est diagonalisable ssi $E$ admet une base de vecteurs propres de $f.$
Autrement dit, il existe une base $\sc B$ de $E$ telle que $\,\op{M}_\sc B(f)\,$ soit diagonale.
diagonalisable.
On a ainsi établi que la matrice $\,A\,$ est
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est diagonalisable ssi elle est semblable à une matrice diagonale $\,D:\,$
$\,A=P\,D\sp{1.5}P^{-1}\,$ pour $\,P=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ où $\,(C_1,\dots,C_n)\,$ est une base de $\,\bb K^n\sp{1.5}.\,$
diagonalisable,
avec pour
L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$ est le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$
spectre :
$\,\op{sp}_\bb R(A)=\{0,\sp{1.5}n\}\!\cdot\,$
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Exercice b
Soit, pour $n\geq1\sp{1.5},$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb R)\,$ à coefficients $\,a_{i,\sp{1.5}j}\geq 0\,$ tels que :
$\,\smb{2.5}{\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ \dsum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}=1\sp{1.5}.}\,$
Démontrer que le spectre complexe de $A$ est non vide et inclus dans le disque $\,\ens{z\app\bb C}{|z|\leq 1}\!\cdot\,$
éléments propres d'une matrice carrée
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$ ssi il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
- $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
spectre d'une matrice carrée
L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$ est le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$
sous-espaces propres d'une matrice carrée
Soit pour $n\app\bb N^{\ast}$ une matrice carrée $A$ de $\sc M_n(\bb K)$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $A\sp{1.5}.$
Le sous-espace vectoriel $\,\op{Ker}(A-\lambda\sp{1.5}I_n)\,$ est le sous-espace propre de $A$ associé à $\lambda\sp{1.5},$ noté : $\,E_{\lambda}(A)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'une matrice carrée
Soient $A$ une matrice de $\sc M_n(\bb K)$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $A\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces-propres $E_{\lambda_i}(A)$ est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(A)+\cdots+E_{\lambda_p}(A)=E_{\lambda_1}(A)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(A)$
indication
1
Utiliser le vecteur $U$ de $\,\bb R^n\,$ dont toutes les coordonnées valent $\,1\sp{1.5}.\,$
indication
2
Pour $\,\lambda\app\op{sp}_\bb C(A)\,$ et $\,Z\app\bb C^n\,$ tel que $\,A\sp{1.5}Z=\lambda\sp{1.5}Z\sp{1.5},\,$ majorer $\,|\lambda\sp{1.5}z_k|\,$ lorsque $\,k\app\,[\![1,n]\!]\,$ est tel que : $\,|z_k|=\Op{max}_{1\leq j\leq n}|z_j|\sp{1.5}.\,$
réponse
Le spectre complexe de $A$ est non vide car il contient la valeur propre $\,1\sp{1.5}.\,$
D'autre part toute valeur propre $\,\lambda\app\bb C\,$ vérifie bien $\,|\lambda| \leq 1\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\op{sp}_\bb C(A)\subset \ens{z\app\bb C}{|z|\leq 1}\!\cdot\,$
correction
Soit$\,U=[u_i]_{1\leq i\leq n}\,$ le vecteur de $\bb R^n$ dont toutes les coordonnées valent $\,1\sp{1.5};\,$ alors le
Pour $A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})$ et $X\app\bb{K}^n,$ le produit $\,A\sp{1.5}X=Y\app\bb{K}^m\!\,$ vérifie :
produit
$\,A\sp{1.5}U=[v_i]_{1\leq i\leq n}\,$ vérifie :
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!]\sp{1.5},\ \,y_{i}=\smh{1.5}{\sum_{j=1}^n} a_{i,\sp{1.5}j}\,x_{j}$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ v_i=\dsum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\,u_j=\dsum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}=1$
On a ainsi un $\,U\neq0\,$ tel que $\,A\sp{1.5}U=U\sp{1.5}\,$ c'est-à dire que $U$ est un
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$
vecteur
propre de $A\sp{1.5},$ associé à la valeur propre $\,1\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que le
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$ ssi il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
- $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des valeurs propres de $A\app \sc M_n(\bb K)$ est le spectre de $A$ dans $\bb K\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}_{\bb K}(A).\,$
spectre
de la matrice $A$ dans $\,\bb C\,$ est non vide car il contient au moins une
Soit, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une matrice carrée $\,A\app\sc M_n(\bb K):\,$
valeur
propre : $\,1\app\op{sp}_\bb C(A)\sp{1.5}.\,$
Considérons maintenant un vecteur propre $\,Z=[z_i]_{1\leq i\leq n}\app\bb C^n\,$ de $A\sp{1.5},$ associé à une valeur propre $\,\lambda\app\bb C\sp{1.5}.\,$
On a alors $\,A\sp{1.5}Z=\lambda\sp{1.5}Z\,$ ce qui se traduit pour tout $\,i\app\,[\![1,n]\!]\,$ par la relation suivante et
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $A$ ssi il existe $\,X\app \bb K^n\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5};\,$
- $\,X\app \bb K^n\,$ est un vecteur propre de $A$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,X\neq0\,$ et $\,A\sp{1.5}X=\lambda\sp{1.5}X\sp{1.5}.\,$
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
l'inégalité
qui en résulte :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
$\displaystyle{}\lambda\sp{1.5}z_i=\sum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\,z_j\sp{1.5},\txt{d'où :}|\lambda\sp{1.5}z_i|=\Bigg|\sum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\,z_j\Bigg|\leq\sum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}|z_j|$
Il existe un indice $\,k\app\,[\![1,n]\!]\,$ tel que : $\,|z_k|=\smb{1.5}{\Op{max}_{1\leq j\leq n}|z_j|}\sp{1.5},\,$ et avec $\,Z\neq0\sp{1.5},\,$ on a : $\,|z_k|\neq0\sp{1.5};\,$ on en déduit :
$\displaystyle{} |\lambda\sp{1.5}z_k|\leq\sum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}|z_j|\leq \sum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}|z_k|=\bigg(\!\sum_{j=1}^n a_{i,\sp{1.5}j}\!\bigg)|z_k|=|z_k|$
Avec $\,|z_k| > 0\sp{1.5},\,$ on peut conclure que toute valeur propre complexe $\lambda$ vérifie : $\,|\lambda|\leq1,\,$ c'est-à-dire que : $\displaystyle{}\op{sp}_\bb C(A)\subset \ens{z\app\bb C}{|z|\leq 1}\cdot$