Sujet B.6.1 Éléments propres d'un endomorphisme
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Exercice a
Dans le $\bb R\tiret$espace vectoriel $E$ des suites réelles convergentes, on considère l'application :
$\displaystyle{}f:(u_n)_{n\app\bb N}\longmapsto (u_{n+1}+u_n)_{n\app\bb N}$
Montrer que $f$ définit un endomorphisme de $E\sp{1.5},$ puis déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
éléments propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
spectre d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces propres est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$
indication
Montrer que les vecteurs propres de $f$ sont des suites géométriques à déterminer.
réponse
L'application $f$ définit bien un endomorphisme de $E\sp{1.5}.$
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est l'intervalle $\,\big]0,2\big],\,$ avec les droites propres :
$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\big]0,2\big],\ \,E_{\lambda}(f)=\op{Vect}\big((\lambda^n)_{n\app\bb N}\big)$
correction
L'application $\,t:(u_n)_{n\app\bb N}\mapsto(u_{n+1})_{n\app\bb N}\,$ est un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $E$ puisque :
- L'application $\,t\,$ va de $E$ vers $E\sp{1.5},$ du fait que :
$\displaystyle{}\smb0{\lim n{+\I}u_n=\ell\app\bb R\Imp\lim n{+\I}u_{n+1}}=\ell\app\bb R$
- l'application $\,t\,$ est bien
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :linéaire ; en effet, avec :$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$$\eqalign{&\ptt n\app\bb N,\ (\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)_{n+1} =\alpha\sp{1.5}u_{n+1}+\beta\sp{1.5}v_{n+1},\txt{on a :}\\[.5ex]&\ptt \alpha,\beta\app\bb R,\ \ptt u,v\app E,\ t(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}t(u)+\beta\sp{1.5}t(v)}$
Pour deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E$ et $E',$ $\,\sc L(E,E')\,$ est un sous-espace vectoriel de $\,\sc F(E,E')\sp{1.5}.\,$
combinaison
linéaire d'endomorphismes.
$\lambda\app\bb R$ est une
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
valeur
propre de $f$ si et seulement si il existe $u\app E,\ u\neq0,$ tel que $\,f(u)=\lambda\sp{1.5}u\sp{1.5},\,$ soit :
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=\lambda\sp{1.5}u_n-u_n=(\lambda-1)\sp{1.5}u_n$
Cette suite $\,u\sp{1.5},\,$
Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite géométrique de raison $q\app\bb K^{\ast},$ ssi :
géométrique
de raison $\,\lambda -1\sp{1.5},\,$ est
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=q\,u_n$
Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite $(u_n)_{n\app\bb N}:$ $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0\,q^n.\,$
Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$
convergente
et non nulle si et seulement si :
$\,\lambda\app\big]0,2\big]\txt{et}u_0\neq 0\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est donc l'intervalle $\big]0,2\big]\sp{1.5}.$
Les
- $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
- $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
vecteurs
propres de $f$ sont les suites $\,(u_0\,\lambda^n)_{n\app\bb N}\,$ pour $\,0 < \lambda\leq 2\,$ et $\,u_0\neq0\sp{1.5},\,$ d'où les
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
droites
propres :
$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\big]0,2\big],\ \,E_{\lambda}(f)=\op{Vect}\big((\lambda^n)_{n\app\bb N}\big)$
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Exercice b
\\(\MAT\\)Dans l'espace vectoriel $\,E=\bb R_n[X]\,$ des polynomes à coefficients réels de degré au plus $n\geq1\sp{1.5},$ on considère l'application :
$\displaystyle{}f:P\longmapsto(X-1)\sp{1.5}P^{\sp{1.5}\prime}$
Montrer que $f$ définit un endomorphisme de $\bb R_n[X]\sp{1.5},$ puis déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
éléments propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
spectre d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces propres est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$
indication
Considérer les polynômes $\,P_k=(X-1)^k,\,$ pour $\,0\leq k\leq n\sp{1.5}.\,$
réponse
L'application $f$ définit bien un endomorphisme de $\,E=\bb R_n[X]\sp{1.5}.\,$
Cet endomorphisme a exactement $\,n+1\,$ valeurs propres : les $\,k\app\,[\![0,n]\!]\sp{1.5},\,$ correspondant à $\,n+1\,$ droites propres :
$\displaystyle{}\ptt k\app\,[\![0,n]\!]\sp{1.5},\ \,E_k(f)=\op{Vect}\big((X-1)^k\sp{1.5}\big)$
correction
L'application $\,f:P\longmapsto (X-1)\sp{1.5}P^{\sp{1.5}\prime}\,$ est bien un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\,E=\bb R_n[X]\,$ puisque :
- L'application $\,f\,$ va de $E$ vers $E\sp{1.5},$ du fait des
Pour tous polynômes $\,A,B\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ le degré a pour propriétés :degrés :
- $\,\op{deg}(A+B)\leq\max\big(\op{deg}(A),\op{deg}(B)\big),\,$ avec égalité lorsque $\,\op{deg}(A)\neq\op{deg}(B)\,;\,$
- $\,\op{deg}(A\sp{1.5}B)=\op{deg}(A)+\op{deg}(B)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&P\app \bb R_n[X]\Imp f(P)\app \bb R_n[X]\sp{1.5},\txt{car :}\\ &\deg(f(P))=\deg(X-1)+\deg(P')\leq 1+(n-1)=n}$ - $f$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :linéaire car, par linéarité de la$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$ Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :dérivation, on a pour tous $\,\alpha,\beta\app\bb R,\ P,Q\app \bb R[X]:\,$
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{f(\alpha\sp{1.5}P+\beta\sp{1.5}Q)&=(X-1)(\alpha\sp{1.5}P+\beta\sp{1.5}Q)'\\&= (X-1)\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}P' + (X-1)\sp{1.5}\beta\sp{1.5}Q'\\&=\alpha\sp{1.5}f(P)+\beta\sp{1.5}f(Q)}$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
vecteurs
propres de $f:$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}f(P_k)=(X-1)\,k\sp{1.5}(X-1)^{k-1}=k\sp{1.5}(X-1)^k=k\sp{1.5}P_k$
Avec $\,P_k\neq0\sp{1.5},\,$ l'endomorphisme $f$ admet donc $\,n+1\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
valeurs
propres distinctes, à savoir tous les $\,k\app\,[\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
On a donc $\,n+1\,$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces
propres de dimension au moins $\,1\,$ et qui sont en somme
Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces propres est directe :
directe.
L'espace $\bb R_n[X]$ ayant pour
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$
L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$ est de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :
dimension
$\,n+1\sp{1.5},\,$ il s'ensuit que $f$ admet exactement $\,n+1\,$ droites propres :
$\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$
$\displaystyle{}\ptt k\app\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]\sp{1.5},\ E_k(f)=\op{Vect}\big((X-1)^k\big)$
$f$ est donc
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$
$f$ est diagonalisable ssi $E$ admet une base de vecteurs propres de $f.$
Autrement dit, il existe une base $\sc B$ de $E$ telle que $\,\op{M}_\sc B(f)\,$ soit diagonale.
diagonalisable,
avec pour
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$
spectre :
$\,\op{sp}(f)=[\![0,n]\!]\sp{1.5},\,$ et pour base de vecteurs propres : $\,(P_0,\dots,P_n)\sp{1.5}.\,$
Faute de trouver les polynômes $\,P_k=(X-1)^k,\,$ on peut aussi obtenir la matrice de $f$ dans la base
L'espace vectoriel $\,\bb K_n[X]\,$ est de dimension $\,n+1\sp{1.5},\,$ avec pour base canonique :
canonique
$\sc B$ de $\bb R_n[X]\sp{1.5}.$ On écrit, pour tout $\,k\app\,[\![0,n]\!]:\,$ $\,f(X^k)=k\sp{1.5}X^{k-1}(X-1)=k\sp{1.5}X^k-k\sp{1.5}X^{k-1},\,$ d'où : $\displaystyle{}\sc B_c=(1,X,\dots,X^n)$
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\matr{0&\!\!\!-1\\&1&\dd\\[-.5ex]&&\dd&\!\!\!-n\\[-.5ex]&&&n\,}$
On en déduit le polynôme
En dimension $n,$ $f\app\sc L(E)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_f(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$
Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}\op{Id}_E-f)\sp{1.5}.\,$
caractéristique :
de $f :$ - Les valeurs propres $\lambda$ de $f$ sont les racines de $\,\chi_f(X)\sp{1.5};\,$
- la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_f(X)$ vérifie :
$\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(f))\leq m(\lambda)$
$\displaystyle{}\chi_f(X)=X(X-1)\cdots(X-n)$
On obtient donc bien l'ensemble des valeurs propres : $\,\op{sp}(f)=\,[\![\sp{1.5}0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
On trouve enfin les vecteurs propres en résolvant, par exemple sur l'intervalle $]\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},$ les
Soient $\,a\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
équations
différentielles :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=0$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\sp{1.5},\,$ la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_0)\,$ est :
$\displaystyle{}\psi(x)= K\sp{1.5}\e{-A(x)}\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$\displaystyle{}f(P)(x)=(x-1)\sp{1.5}P'(x)=k\sp{1.5}P(x)$
On conclut en remarquant que pour $\,0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}k\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}n\sp{1.5},\,$ les solutions de ces équations sont bien
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiales
de degrés au plus $n\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
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Exercice c
Dans l'espace vectoriel $\,E=\bb R[X]\,$ des polynomes à coefficients réels on considère l'application :
$\displaystyle{}f:P\longmapsto X\sp{1.5}P-(X^2-1)P'$
Montrer que $f$ définit un endomorphisme de $\,\bb R[X]\sp{1.5},\,$ puis déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
éléments propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
spectre d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces propres est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$
indication
1
Montrer que les fonctions polynomiales associées aux vecteurs propres vérifient une équation différentielle et la résoudre.
indication
2
Sélectionner celles des solutions de cette équation différentielle qui sont polynomiales.
réponse
L'application $f$ définit bien un endomorphisme de $\,E=\bb R[X]\sp{1.5}.\,$
Cet endomorphisme a exactement deux valeurs propres : $\,-1\,$ et $\,+1\sp{1.5},\,$ correspondant à deux droites propres :
$\displaystyle{}E_{-1}(f)=\op{Vect}(X-1)\txt{et}E_{+1}(f)=\op{Vect}(X+1)$
correction
L'application $\,f:P\longmapsto X\sp{1.5}P-(X^2-1)P'\,$ est bien un
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $\,E=\bb R[X]\,$ puisque :
- L'application $\,f\,$ va de $E$ vers $E\sp{1.5},$ par somme et produit de
Pour les opérations usuelles, $\,(\bb K[X],+\sp{1.5},\times)\,$ est un anneau commutatif. Cet anneau commutatif est de plus intègre, c'est-à-dire que :polynômes, avec :$\displaystyle{}\ptt P,Q\app\bb K[X],\ \big(P\sp{1.5}Q=0\Imp(P=0\txt{ou}Q=0)\big)$$\displaystyle{} P\app \bb R[X]\Imp f(P)\app \bb R[X]$
- $f$ est
Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire ssi :linéaire car, par linéarité de la$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$ Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :dérivation, on a pour tous $\,\alpha,\beta\app\bb R,\ P,Q\app \bb R[X]:\,$
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&f(\alpha\sp{1.5}P+\beta\sp{1.5}Q)\\=&X\sp{1.5}(\alpha\sp{1.5}P+\beta\sp{1.5}Q)-(X^2-1)(\alpha\sp{1.5}P+\beta\sp{1.5}Q)'\\ =&\alpha\big(X\sp{1.5}P-(X^2-1)P'\big) + \beta\big(X\sp{1.5}Q-(X^2-1)Q'\big)\\=&\alpha\sp{1.5}f(P)+\beta\sp{1.5}f(Q)}$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
valeur
propre de $f\sp{1.5};$ alors il existe $P\app \bb R[X]$ avec $P\neq0\sp{1.5},$ tel que :
$\,X\sp{1.5}P-(X^2-1)P'=\lambda\sp{1.5}P\sp{1.5}.\,$
La fonction
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiale
$\widetilde P$ associée à $P$ vérifie donc
$\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
Soient $\,a\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,I:\,$
l'équation
différentielle :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=0$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\sp{1.5},\,$ la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_0)\,$ est :
$\displaystyle{}\psi(x)= K\sp{1.5}\e{-A(x)}\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$\displaystyle{}\ptt x\sp{1.5}\app\sp{1.5}\big]\!-1,1\big[,\ \widetilde P^{\sp{1.5}\prime}(x)+\frac{\lambda -x}{x^2-1}\,\widetilde P(x)=0$
La fraction $\,\dfrac{\lambda -x}{x^2-1}\sp{1.5},\,$ est une expression
Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$
pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$
rationnelle
en $\,x\sp{1.5},\,$
avec deux pôles simples : $\,1\,$ et $\,-1\sp{1.5}.\,$
Avec une partie entière nulle, elle a donc une
- Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$
- Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$
Soit $f$ une fonction rationnelle irréductible à pôles simples $\alpha_1,\dots,\alpha_p\sp{1.5}.$
Alors $f$ a une unique décomposition en éléments simples :
décomposition
en éléments simples de la forme :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}= E(x)+\dfrac{\lambda_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{\lambda_p}{x-\alpha_p}}$
- La partie entière $E$ est le quotient euclidien de $A$ par $B\sp{1.5};$
- après simplification par $(x-\alpha_k):$ $\,\lambda_k\!=\!\dfrac{\!A(x)(x-\alpha_k)\!}{B(x)}\Big|_{x=\alpha_k}\!\!\!\!\!\!\,$
$\displaystyle{}\frac{\lambda -x}{(x-1)(x+1)}=\frac a{x-1}+\frac b{x+1}$
On peut alors obtenir les coefficients $\,a\,$ et $\,b\,$ de cette décomposition selon deux méthodes :
- soit en évaluant directement $a$ et $b$ par les formules :
$\displaystyle{}\Syst{&\smh0{a=\frac{\lambda -x}{x+1}\Big|_{u\,=\,1}\!=\frac{\lambda -1}2}\\ & \smb0{b=\frac{\lambda -x}{x-1}\Big|_{u=-1}\!=\frac{-\lambda -1}2}}$
- soit en
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$ On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$identifiant les coefficients $a$ et $b$ au numérateur de :$\eqalign{&\dfrac{\lambda -x}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{(a+b)\sp{1.5}x+a-b}{(x-1)(x+1)}\\[1ex] &\!\txt{d'où :}\Big\{\eqalign{\ a+b&=-1\\[-.5ex]a-b&=\ \lambda}}$
$\eqalign{\widetilde P(x)&= K\,\e{\tfrac{1-\lambda}2\sp{1.5}\ln|x-1|}\ \e{\tfrac{1+\lambda}2\sp{1.5}\ln|x+1|}\\[-1ex]&= K\,(1-x)^{\tfrac{1-\lambda}2} (1+x)^{{\textstyle\frac{1+\lambda}2}}}$
Ces solutions sont
Pour $\,A=a_n\sp{1.5}X^n+\cdots+a_0\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ on a la fonction polynomiale :
polynomiales
si et seulement si : $\displaystyle{}\smh0{\widetilde A}:\bb K\to\bb K\sp{1.5},\ \,x\mapsto A(x)=a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0$
Les fonctions polynomiales caractérisent les polynômes : $\displaystyle{}A=B\Ssi \big(\ptt x\app\bb K,\ \smh0{A(x)= B(x)}\big)$
$\displaystyle{}p=\dfrac{1-\lambda}2\app\bb N\sp{1.5},\ q=\dfrac{1+\lambda}2\app\bb N \,\txt{et}\,p+q=1$
On a ainsi : $\,(p,q)\app\big\{(1,0),(0,1)\big\}\sp{1.5},\,$ d'où $\,\lambda\app\big\{-1,+1\big\}\,$ et les
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces
propres
$\,E_{-1}(f)\,$ et $\,E_{+1}(f)\,$ tels que :
$\displaystyle{}E_{-1}(f)\subset\op{Vect}(X-1)\,\txt{et}\, E_{+1}(f)\subset\op{Vect}(X+1)$
Réciproquement, on a bien : $\,\Syst{&f(X-1)=X\sp{1.5}(X-1)-(X^2 -1)=-(X-1)\sp{1.5},\\ &f(X+1)=X\sp{1.5}(X+1)-(X^2 -1)=\ X+1\sp{1.5}.\stb{1}}\,$
L'endomorphisme $f$ a donc exactement deux valeurs propres : $\,-1\,$ et $\,+1\sp{1.5},\,$ et deux droites propres :
$\displaystyle{}E_{-1}(f)=\op{Vect}(X-1)\,\txt{et}\,E_{+1}(f)=\op{Vect}(X+1)$
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Exercice d
Soit $E$ l'ensemble des fonctions de $\,\sc C^{\I}(\bb R,\bb R)\sp{1.5},\,$ bornées ainsi que toutes leurs dérivées. Montrer que $E$ forme un $\bb R\tiret$espace vectoriel et que l'application $\,\Delta:f\longmapsto f''\,$ définit un endomorphisme de $E\sp{1.5}.$
Déterminer ensuite les valeurs propres et les sous-espaces propres de cet endomorphisme $\Delta\,.$
éléments propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
spectre d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces propres est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$
indication
1
Montrer que les vecteurs propres de $\Delta$ vérifient une équation différentielle et la résoudre.
indication
2
Sélectionner les solutions de cette équation différentielle qui sont bornées ainsi que leurs dérivées.
réponse
$E$ est bien un $\bb R\tiret$espace vectoriel, pour lequel : $\,\Delta\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des valeurs propres de $\Delta$ est l'intervalle $\,\big] \! -\I,\sp{1.5}0\sp{1.5}\big],\,$ avec pour sous-espaces propres :
- si $\,\lambda < 0:\,$ le plan vectoriel engendré par les fonctions $\,\phi_\lambda:x\mapsto\smh0{\cos\sqrt{\!-\lambda}\,x}\,$ et $\,\psi_\lambda:x\mapsto\smh0{\sin\sqrt{\!-\lambda}\,x}\sp{1.5};\,$
- si $\,\lambda = 0:\,$ la droite vectorielle engendrée par la fonction constante $\,\phi_0:x\mapsto 1\sp{1.5}.\,$
correction
Par
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire, le caractère borné d'une fonction et de toutes ses dérivées est stable par combinaisons linéaires.
$E$ est non vide car il contient la fonctions nulle ; c'est donc un $\bb R\tiret$espace vectoriel en tant que
$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
de $\,\sc C^{\I}(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
La double dérivation $\,\Delta:f\longmapsto f''\,$ est alors un
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $E$ puisque :- $\,f\app E\Imp f''\app E\sp{1.5},\,$ car la fonction $f''$ est $\sc C^{\I}$ et les $\,(f'')^{(k)}=f^{(k+2)}\,$ sont bornées pour tout $\,k\app\bb N\,;\,$
- $\Delta$ est linéaire par
Soient trois $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels $E\sp{1.5},$ $E'$ et $E''\sp{1.5};$ si $f\app\sc L(E,E')$ et $g\app\sc L(E',E'')\sp{1.5},$ alors :composition avec elle-même de la dérivation qui est$\displaystyle{}g\circ f\app\sc L(E,E'')$Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$ Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :linéaire : $\,f\mapsto f'\mapsto(f')'=f''.\,$
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
valeur
propre de $\Delta$ si et seulement si il existe $\,f\app E,\ f\neq0\sp{1.5},\,$ telle que $\,\Delta(f)=\lambda\sp{1.5}f.\,$
En d'autres termes, il faut et il suffit que
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
Soient $\,(a,b)\app\bb R^2\,$ et l'équation différentielle homogène sur $\,\bb R:\,$
l'équation
différentielle : $\,y''-\lambda\sp{1.5}y=0\,$ admette une solution non nulle dans $E\sp{1.5}.$
De polynôme caractéristique $\,X^2-\lambda\sp{1.5},\,$ cette équation a selon $\lambda\sp{1.5},$ les solutions suivantes paramétrées par $\,(K,L)\app\bb R^2\,$ :
$\displaystyle{}(\sc E_0):\ \ y''+a\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b\sp{1.5}y=0\sp{1.5}$
Alors, $\,(\sc E_0)\,$ a comme solution générale, pour $\,(K,L)\app\bb K^2:\,$
- $\,\psi(x)=K\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}+L\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\beta\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\, \alpha\neq\beta\,;\,$
- $\,\psi(x)=(K\sp{1.5}x+L)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}x}\,$ lorsque $\,\alpha=\beta\app\bb R\,;\,$
- $\,\psi(x)= \e{\sp{1.5}\rho\sp{1.5}x}\big(K\sp{1.5}\cos(\omega\sp{1.5}x)+L\,\sin(\omega\sp{1.5}x)\big)\,$ lorsque $\,\alpha=\smh0{\surl{\beta\,}}=\rho+i\sp{1.5}\omega\sp{1.5},\,$ avec $\,\rho > 0\,$ et $\,\omega\app\bb R^{\ast}.\,$
$\displaystyle{}\Syst{&\!\!\txt{si} \lambda > 0:\ f(x)=K\,\e{\sqrt{\lambda}\,x}+L\,\e{-\sqrt{\lambda}\,x}\\
&\!\!\txt{si} \lambda=0:\ f(x)=K\sp{1.5}x+L\\[-.5ex]
&\!\!\txt{si} \lambda < 0:\ f(x)=K\,\cos\sqrt{\!-\lambda}\,x+L\,\sin\sqrt{\!-\lambda}\,x}$
On peut alors déterminer quelles sont les valeurs propres de $\Delta:$
-
Les $\,\lambda > 0\,$ ne sont pas valeurs propres de $\Delta\sp{1.5},$ car : $\displaystyle{} \Syst{&K\neq 0&\Imp\!\!\!\lim x{+\I}f(x)=\pm\I\\[-.5ex] &\sp{1.5}L\neq 0&\Imp\!\!\!\smb0{\lim x{-\I}}f(x)=\pm\I}$
- $\,\lambda=0\,$ est valeur propre de $\Delta$ car les $\,f:x\mapsto L\neq0\,$ et elles seules, sont bornées ainsi que toutes leurs dérivées.
- Les $\,\lambda < 0\,$ sont des valeurs propres de $f$ car, avec $\,A=\sqrt{K^2+L^2\sth{.52}} > 0\,$ et $\,d\app\bb R\sp{1.5},\,$ les solutions
Pour tout $(a,b)\app\bb R^2,$ il existe $\phi\app\bb R$ tel que, avec $\,A=\sqrt{a^2+b^2\sth{.35}}:\,$s'écrivent :$\displaystyle{}\ptt t\app\bb R\sp{1.5},\ a\cos t+b\sp{1.5}\sin t=A\sp{1.5}\cos(t+\phi)$$\displaystyle{}\smh{.5}{f(x)=A\,\cos\big(\sqrt{-\lambda}\,x+d\big)}$et pour $\,A\neq0\sp{1.5},\,$ ces solutions sont non nulles et bornées ainsi que toutes leurs dérivées.
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espace
propre $\,E_{\lambda}(\Delta)=\op{Vect}(\phi_\lambda,\psi_\lambda)\,$ pour les fonctions suivantes :
$\displaystyle{}\phi_\lambda:x\mapsto\cos\smh0{\sqrt{\!-\lambda}\,x}\,\txt{et}\,\psi_\lambda:x\mapsto\sin\smh0{\sqrt{\!-\lambda}\,x}$
$\,(\phi_\lambda,\psi_\lambda)\,$ est alors une
Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n:$
base
de $\,E_{\lambda}(\Delta)\sp{1.5};\,$ en effet ce couple est
- une famille libre de $E$ a au plus $\,n\,$ vecteurs ;
- une famille libre de $E$ est une base de $E$ ssi elle a exactement $\,n\,$ vecteurs.
Soit dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$
$\,\sc U\,$ est une famille libre de $E$ ssi pour tout $\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\!:\,$
libre,
car :
$\displaystyle{}\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5}u_p=0\Imp \alpha_1=\cdots=\alpha_p=0$
Autrment dit, aucun des $u_i$ n'est combinaison linéaire des autres. - Toute sous-famille d'une famille libre de $E$ est libre.
- Les familles liées sont les familles qui ne sont pas libres.
$\displaystyle{}A=\sqrt{K^2+L^2}=0\Imp(K,L)=(0,0)$
L'ensemble des valeurs propres de $\Delta$ est donc l'intervalle $\,\big] \! -\I,\sp{1.5}0\sp{1.5}\big],\,$ avec pour sous-espaces propres :
- le plan vectoriel : $\,E_{\lambda}(\Delta)=\op{Vect}(\phi_\lambda,\psi_\lambda)\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\lambda < 0\,;\,$
- la droite vectorielle : $\,E_{0}(\Delta)=\op{Ker}(\Delta)=\op{Vect}(\phi_0)\sp{1.5}\,$ pour $\,\phi_0:x\mapsto 1\sp{1.5},\,$ lorsque $\,\lambda = 0\sp{1.5}.\,$
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Exercice e
\\(\GREC\\)Montrer que l'ensemble $E$ des fonctions complexes continues et bornées sur $\,\bb R\,$ forme un $\bb C\tiret$espace vectoriel.
Établir que l'application $\,\tau\,$ qui à toute $\,f\app E\,$ associe la fonction $\,\tau(f):x\mapsto f(x+1)\sp{1.5},\,$ est un endomorphisme de $E\sp{1.5}.$
Déterminer ensuite les valeurs propres et les sous-espaces propres de l'endomorphisme $\,\tau\sp{1.5}.\,$
éléments propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
spectre d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
L'ensemble des valeurs propres de $f$ est le spectre de $f\sp{1.5},$ noté : $\,\op{Sp}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
somme de sous-espaces propres d'un endomorphisme
Soient $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ et $\,\lambda_1,\dots,\lambda_p\,$ des valeurs propres de $f\sp{1.5}.$
Si les $\lambda_i$ sont deux à deux distinctes, alors
la somme de leurs sous-espaces propres est directe :
$\displaystyle{}E_{\lambda_1}(f)+\cdots+E_{\lambda_p}(f)=E_{\lambda_1}(f)\oplus\cdots\oplus E_{\lambda_p}(f)$
indication
1
Considérer, pour un vecteur propre $f$ de $\,\tau\,$ et un $x_0$ tel que $\,f(x_0)\neq0,\,$ les suites $\,n\mapsto f(x_0+n)\,$ et $\,n\mapsto f(x_0-n)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Après avoir montré que $\bb U$ est l'ensemble des valeurs propres de $\,\tau\sp{1.5},\,$ poser $\,\l=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta}\,$ pour $\,\theta\app\bb R\,$ et utiliser $\,g_\l:x\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta\sp{1.5}x}.\,$
réponse
$E$ est bien un $\bb C\tiret$espace vectoriel, pour lequel : $\,\tau\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$
L'ensemble des valeurs propres de $\,\tau\,$ est : $\,\bb U=\ens{\l\app \bb C}{|\l|= 1}\sp{1.5},\,$ les $\,g_\l:x\mapsto\e{\l\sp{1.5}x}\,$ en étant des vecteurs propres.
Pour chaque $\,\l=\e{i\,\theta}\sp{1.5},\,$ le sous-espace propre $E_\l(\tau)$ est l'ensemble des $\,h\sp{1.5}g_\l\sp{1.5},\,$ pour $\,h:\bb R\to\bb C\,$ continues et de période $\,1\sp{1.5}.\,$
correction
Par
Soient $\,x,\sp{1.5}y\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire, le caractère borné d'une fonction est stable par combinaisons linéaires.
$E$ est non vide car il contient la fonctions nulle ; c'est donc un $\bb R\tiret$espace vectoriel en tant que
$\displaystyle{}|x+y\sp{.75}|\sp{1.5}\leq|x| + |y\sp{.75}|\ \txt{et}\ \big||x|-|y\sp{.75}|\big|\sp{1.5}\leq\ |x-y\sp{.75}|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi $\,x\,$ et $\,y\,$ ont le même signe.
Soient $\,(E,+,\sp{1.5}\cdot\sp{1.5})\,$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel et $F$ une partie de $E\sp{1.5}.$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ ssi $F$ est non vide et stable par combinaisons linéaires :
sous-espace
de $\,\sc C(\bb R,\bb R)\sp{1.5}.\,$
L'application $\,\tau:f\longmapsto \tau(f)\,$ est bien un
$\displaystyle{}\ptt u,v\app F,\ \ptt\alpha,\beta\app \bb{K},\ \alpha\sp{1.5}u+\beta\,v\app F$
$F$ est alors un $\bb K\tiret$espace vectoriel pour la restriction des lois de $\,E\,$ à $\,F\!\times\! F\,$ et $\,\bb K\!\times\!F\sp{1.5}.\,$
Un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E\sp{1.5}.$
On note $\sc L(E)$ l'espace vectoriel des endomorphismes de $E:$ $\,\sc L(E)=\sc L(E,E)\sp{1.5}.\,$
endomorphisme
de $E$ puisque :- pour tout $f\app E:$ $\,\tau(f)\app\sc C(\bb R,\bb C)\,$ par
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$composition, et que l'ensemble $\,\tau(f)(\bb R)\subset f(\bb R)\,$ est borné ;
- $\tau$ est linéaire car en considérant $\,\a,\b\app\bb C\,$ et $\,f,g\app E\sp{1.5},\,$ on a pour tout $\,x\app\bb R:\,$
$\eqalign{\tau(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x)&=(\a\sp{1.5}f+\b\sp{1.5}g)(x+1)\\ &=\a\sp{1.5}f(x+1)+\b\sp{1.5}g(x+1)\\&=\a\sp{1.5}\tau(f)(x)+\b\sp{1.5}\tau(g)(x).}$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
valeur
propre de $f\,;$ alors il existe $\,f\app E\sp{1.5},\,$ $\,f\neq0\sp{1.5},\,$ telle que $\,\tau(f)=\l\sp{1.5}f\,$ soit :
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app \bb R,\ f(x+1)=\l\sp{1.5}f(x)$
Il existe donc un $\,x_0\app\bb R\,$ tel que $\,f(x_0)\neq 0\sp{1.5},\,$ et $\,\big(f(x_0+n)\big)_{n\app\bb N}\,$ est alors une suite
Une suite $(u_n)_{n\app\bb N}$ est une suite géométrique de raison $q\app\bb K^{\ast},$ ssi :
géométrique :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ u_{n+1}=q\,u_n$
Alors $\,u_0\,$ détermine toute la suite $(u_n)_{n\app\bb N}:$ $\,\ptt n\app\bb N,\ u_n=u_0\,q^n.\,$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ f(x_0+n)=f(x_0)\,\l^n$
D'autre part, en substituant $\,x-1\,$ à $\,x\,$ on obtient la relation :$\displaystyle{}\ptt x\app \bb R,\ f(x)=\l\sp{1.5}f(x-1)$
On en déduit que $\,\l\neq0,\sp{1.5}\,$ et que $\,\big(f(x_0-n)\big)_{n\app\bb N}\,$ est une suite géométrique de raison $\,1/\l:\,$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ f(x_0-n)=\smh{1}{\frac{f(x_0)}{\l^n}}$
Enfin, on a les
Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$
limites
suivantes : $\,\Syst{\ |\l| > 1 &\Imp\!\!\lim n{+\I}|\l^n|=+\I\sp{1.5},\\[-.5ex] \ |\l| < 1 &\Imp\!\!\smb0{\lim n{-\I}}1/|\l^n|=+\I\sp{1.5}.}\,$
On en conclut que la valeur propre $\,\lambda\,$ vérifie : $\,|\l|=1\sp{1.5},\,$ car la condition $\,f\app E\,$ implique que $f$ soit bornée.
Réciproquement, considérons $\,\l=\e{\,i\,\theta}\sp{1.5}\app\bb U\,$ pour $\,\theta\app\bb R\,;\,$ on définit alors la fonction :
$\,g_{\l}:x\longmapsto \e{\l\sp{1.5}x}=\e{\,i\sp{1.5}\theta\sp{1.5}x}\sp{1.5}.\,$
La fonction $\,g_\l\,$ étant continue et bornée sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ on a $\,g_\l\app E\,;\,$ c'est donc un
- $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
- $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E:$
vecteur
propre car $\,g_\l\neq0\,$ et :
- $\,\lambda\app\bb K\,$ est une valeur propre de $f$ ssi il existe $\,x\app E\!\setminus\!\{0\}\,$ tel que : $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\,;\,$
- $\,x\app E\,$ est un vecteur propre de $f$ associé à $\,\lambda\app\bb K\,$ ssi : $\,x\neq0\,$ et $\,f(x)=\lambda\sp{1.5}x\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ g_\l(x+1)=\e{\,i\sp{1.5}\theta\sp{1.5}(x+1)}=\e{\,i\sp{1.5}\theta}\,\e{\,i\sp{1.5}\theta\sp{1.5}x}=\l\,g_\l(x)$
On a démontré que l'ensemble des valeurs propres de $\tau$ est : $\,\bb U=\ens{\l\app \bb C}{|\l|= 1}\!\cdot\,$
Soit pour $\,\l\app\bb U\sp{1.5},\,$ la fonction $\,f\app E_\l(\tau)\,;\,$ alors le quotient $\,h=f/g_\l\,$ appartient à $E$ et vérifie pour tout $\,x\app\bb R:\,$
$\displaystyle{}h(x+1)=\frac{f(x+1)}{g_\l(x+1)}=\frac{\l\sp{1.5}f(x)}{\l\,g_\l(x)}=\frac{f(x)}{g_\l(x)}=h(x)$
Il s'ensuit que $f$ est le produit de $\,g_\l\,$ par une fonction $\,h:\bb R\to\bb C\sp{1.5},\,$ continue et de
Soit $\,f:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,;\,$ $f$ est de période $\,T\app\bb R^{\ast}\,$ ssi :
période
$\,1\sp{1.5}.\,$
Réciproquement, toute $\,h\sp{1.5},\,$ continue et de période $\,1\sp{1.5},\,$ est bornée car l'ensemble $\,|h|(\bb R)=|h|([0,1])\,$ est un
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \big(x+T\app\Omega\txt{et}f(x+T)=f(x)\big)$
L'image d'un segment $\,[a,b]\,$ par une fonction réelle continue est un segment.
segment.
La fonction $\,h\sp{1.5}g_\l\,$ appartient donc à $E$ et vérifie :
$\,\ptt x\app\bb R,\ (h\sp{1.5}g_\l)(x+1)=\l\,(h\sp{1.5}g_\l)(x)\sp{1.5}.\,$
Le
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ et $\lambda\app\bb K$ une valeur propre de $f\sp{1.5}.$
Le sous-espace $\,\op{Ker}(f-\lambda\op{Id}_E)\,$ est le sous-espace propre de $f$ associé à $\lambda:$ $\,E_{\lambda}(f)\sp{1.5}.\,$
sous-espace
propre $\,E_\l(\tau)\,$ est donc l'ensemble des produits $\,h\sp{1.5}g_\l\,$ pour toute $\,h\app\sc C(\bb R,\bb C)\,$ de période $\,1\sp{1.5}.\,$
On peut aussi en conclure que les sous-espaces propres $\,E_\l(\tau)\,$ sont tous de dimension infinie. Plus précisément, ils sont tous isomorphes à l'espace vectoriel des fonctions continues sur $\bb R$ et de période $\,1\sp{1.5}.\,$