Sujet A.6.6 Dissociation de sommes
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sp{1.5}k$
parité des entiers relatifs
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
dissociation d'une somme selon la parité des indices
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :
$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$
indication
1
Lorsque $\,n\,$ est pair, scinder $S_n$ en séparant les indices pairs des indices impairs, puis fusionner les sommes obtenues.
indication
2
Lorsque $\,n\,$ est impair, calculer $S_n$ à partir de l'expression obtenue dans le cas où $\,n\,$ est pair.
réponse
On obtient $\,S_{2p}=p\,$ pour $\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ et $\,S_{2p+1}=-p-1\,$ pour $\,p\app \bb{N}^{\ast}\sp{-1.5},\,$ c'est-à-dire :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N^{\ast}\!,\ S_n=(-1)^n\Big\lfloor\dfrac{n+1}{2}\Big\rfloor$
correction
On distingue deux cas selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de l'entier $\,n:\,$
- Lorsque $\,n\,$ est pair, on pose $\,n=2\sp{1.5}p\,$ et on
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :dissocie les indices pairs $\,k=2\sp{1.5}h\,$ des indices impairs $\,k=2\sp{1.5}h-1\sp{1.5}.\,$ On fusionne ensuite les deux sommes obtenues :$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$$\eqalign{S_{2\sp{1.5}p}&=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^{2\sp{1.5}p}(-1)^kk= \sum_{h=1}^p2\sp{.75}h-\sum_{h=1}^{p}(2\sp{.75}h-1)}\\[-.5ex]&= \sum_{h=1}^{p}\big(2\sp{.75}h-(2\sp{.75}h-1)\big)=\smb2{\sum_{h=1}^{p}\sp{1.5}1=p}}$On aurait aussi pu poser $\,k=2\sp{.75}h+1\,$ pour les indices impairs, avec $\,h\,$ variant de $\,0\,$ à $\,p-1\sp{1.5}.\,$ Cependant, il aurait fallu ensuiteDans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$translater les indices dans la somme correspondante pour fusionner les deux sommes.$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
- Si $\,n\,$ est impair avec $\,n=2\sp{1.5}p+1\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}S_{2\sp{1.5}p+1}=S_{2\sp{1.5}p}+(-1)^{2\sp{1.5}p+1}(2\sp{1.5}p+1)=p-(2\sp{1.5}p+1)=-p-1$
Pour tout $x\app\bb R\sp{1.5},$ il existe un plus grand $\,k\app\bb Z\,$ tel que $\,k\leq x\,.\,$
Cet entier unique noté $\lfloor x\rfloor$ est caractérisé par l'encadrement :
entière
de $\,\dfrac{n+1}{2}\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\lfloor x\rfloor\leq x < \lfloor x\rfloor +1$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\ \,S_n=(-1)^n\Big\lfloor\dfrac{n+1}{2}\Big\rfloor$
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sp{.75}k^2$
parité des entiers relatifs
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
dissociation d'une somme selon la parité des indices
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :
$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$
indication
1
Lorsque $\,n\,$ est pair, scinder $S_n$ en séparant les indices pairs des indices impairs, puis fusionner les sommes obtenues.
indication
2
Lorsque $\,n\,$ est impair, calculer $S_n$ à partir de l'expression obtenue dans le cas où $\,n\,$ est pair.
réponse
On obtient comme expression simplifiée :
$\,\ptt n\app\bb N^{\ast}\!,\ \,S_n=(-1)^n\,\dfrac{n(n+1)}{2}\!\cdot\,$
correction
On distingue deux cas selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de l'entier $\,n:\,$
- Lorsque $\,n\,$ est pair, on pose $\,n=2\sp{1.5}p\,$ et on
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :dissocie les indices pairs $\,k=2\sp{.75}h\,$ des indices impairs $\,k=2\sp{.75}h-1\sp{1.5}.\,$ On fusionne ensuite les deux sommes obtenues :$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$$\eqalign{S_{2\sp{.75}p}&=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^{2\sp{1.5}p}(-1)^k\sp{.75}k^2= \sum_{h=1}^p(2\sp{.75}h)^2-\sum_{h=1}^{p}(2\sp{.75}h-1)^2}\\[-.5ex] &= \sum_{h=1}^{p}\big(4\sp{.75}h^2-(4\sp{.75}h^2-4\sp{.75}h+1)\big)= \smb2{\sum_{h=1}^{p}(4\sp{.75}h-1)}}$On aurait pu aussi poser $\,k=2\sp{.75}h+1\,$ pour les indices impairs, avec $\,h\,$ variant de $\,0\,$ à $\,p-1\sp{1.5}.\,$ Cependant, il aurait fallu ensuiteEn décomposant cette somme, on obtient laDans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$translater les indices dans la somme correspondante pour fusionner les deux sommes.$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :somme des entier de $\,h=1\,$ à $\,p:\,$$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$$\eqalign{S_{2\sp{.75}p}&=\smh{1.5}{4\sum_{h=1}^{p}h-\sum_{h=1}^{p}\sp{1.5}1= 4\,\dfrac{p\sp{1.5}(p+1)}{2}-p}\\ &=p\sp{1.5}\big(\sp{1.5}2\sp{1.5}(p+1)-1\sp{.75}\big)=p\sp{1.5}(2\sp{1.5}p+1)}$
- Lorsque $\,n\,$ est impair, avec $\,n=2\sp{1.5}p+1,\,$ on a par ailleurs :
$\eqalign{S_{2\sp{1.5}p+1}&=S_{2\sp{1.5}p}+(-1)^{2\sp{1.5}p+1}(2\sp{1.5}p+1)^2\\&=p\sp{1.5}(2\sp{1.5}p+1)-(2\sp{1.5}p+1)^2= -(2\sp{1.5}p+1)(p+1)}$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N^{\ast}\!,\ \,S_n=(-1)^n\,\dfrac{n(n+1)}{2}$