Sujet A.6.5 Télescopages
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Exercice
Donner une expression simplifiée du produit suivant, pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}P_n=\dprod_{k=1}^n\dfrac{2\sp{.75}k+3}{2\sp{.75}k-1}$
somme télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
produit télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
indication
Exprimer $\,\dfrac{2\sp{.75}k+3}{2\sp{.75}k-1}\,$ comme le quotient de deux termes d'une même suite arithmétique.
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ P_n=\dfrac{(2\sp{1.5}n+3)(2\sp{1.5}n+1)}{3}\!\cdot\,$
correction
Avec : $\,2\sp{.75}k+3=2\sp{1.5}(k+2)-1\sp{1.5},\,$ le produit $P_n$ apparaît comme un produit
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
télescopique.
On le simplifie par une
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
Dans un produit indexé par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice, en posant $\,h=k+2\,$ au numérateur :
$\displaystyle{}\smh{2}{\prod_{k=m}^{n}x_k=\prod_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\displaystyle{}P_n=\prod_{k=1}^n\dfrac{2\sp{.75}k+3}{2\sp{.75}k-1}=
\frac{\tst{\prod}_{k=1}^n\big(2\sp{1.5}(k+2)-1\big)}{\tst{\prod}_{k=1}^n(2\sp{.75}k-1)}=\frac{\tst{\prod}_{h=3}^{n+2}(2\sp{.75}h-1)}{\tst{\prod}_{k=1}^n(2\sp{.75}k-1)}$
En simplifiant haut et bas par les termes identiques, on obtient finalement :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\ P_n=\dfrac{(2\sp{1.5}n+3)(2\sp{1.5}n+1)}{3}$
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}:\,$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=0}^n\Big(k^2+k+\dfrac{1}{3}\Big)$
somme télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
produit télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
indication
Exprimer $\,k^2+k+\dfrac{1}{3}\,$ à l'aide d'une différence de deux cubes.
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\app\bb N,\ \,S_n=\dfrac{(n+1)^3}{3}\!\cdot\,$
correction
Compte tenu du développement de $\,(k+1)^3\,$ par la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
binôme,
on peut écrire :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\displaystyle{}\ k^2+k+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sp{.75}k^2+3\sp{.75}k+1}{3}=\dfrac{(k+1)^3-k^3}{3}$
$S_n$ devient ainsi une somme
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
télescopique ;
on la simplifie par une
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice, en posant $\,h=k+1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\eqalign{\sum_{k=0}^n\Big(k^2+k+\dfrac{1}{3}\Big)&= \dfrac{1}{3}\Big(\sum_{k=0}^n(k+1)^3-\sum_{k=0}^nk^3\Big)\\[-.5ex]&= \dfrac{1}{3}\Big(\sum_{h=1}^{n+1}h^3-\sum_{k=0}^nk^3\Big)}$
En éliminant les termes identiques des deux sommes on obtient finalement :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ \,S_n=\dfrac{(n+1)^3}{3}$
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour un entier $\,n\geq2:\,$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=2}^n\dfrac{1}{(k+1)(k-1)\sp{1.5}!}$
somme télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
produit télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
indication
Exprimer $\,\dfrac{1}{(k+1)(k-1)\sp{1.5}!}\,$ sous forme d'une différence de deux inverses de factorielles.
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\geq 2,\ \,S_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+1)\sp{1.5}!}\!\cdot\,$
correction
On fait apparaître la
Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est l'entier naturel défini par :
factorielle
$\,(k+1)\sp{1.5}!\,$ au dénominateur du terme général de $S_n:$
$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$
$\displaystyle{}\frac{1}{(k+1)(k-1)!}= \frac{k}{(k+1)\,k\,(k-1)\sp{1.5}!}=\frac{k}{(k+1)\sp{1.5}!}$
Ce terme général peut ensuite se décomposer en une différence de deux inverses de factorielles :
$\displaystyle{}\frac{k}{(k+1)\sp{1.5}!}=\frac{(k+1)-1}{(k+1)\sp{.75}!}= \frac{1}{k\sp{1.5}!}-\frac{1}{(k+1)\sp{.75}!}$
$S_n$ devient ainsi une somme
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
télescopique ;
on la simplifie par une
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice, en posant $\,h=k+1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\eqalign{S_n=\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{(k+1)(k-1)\sp{.75}!}&= \sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k\sp{1.5}!}-\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{(k+1)\sp{.75}!}\\&= \sum_{k=2}^n\dfrac{1}{k\sp{1.5}!}-\sum_{h=3}^{n+1}\dfrac{1}{h\sp{1.5}!}}$
En éliminant les termes identiques des deux sommes on obtient finalement :
$\displaystyle{}\ptt n\geq2\sp{1.5},\ \,S_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+1)\sp{1.5}!}$
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k\sp{1.5}(k+2)}$
somme télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
produit télescopique
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :
$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$
On a alors :
$\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.
indication
Décomposer la fraction $\,\dfrac{1}{k\sp{1.5}(k+2)}\,$ en éléments simples.
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\app\bb N^{\ast}\!,\ \,S_n=\dfrac{n\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+5)}{4\sp{1.5}(n+1)(n+2)}\!\cdot\,$
correction
Le terme général de la somme est une expression
Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$
pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$
rationnelle
en $\,k\sp{1.5},\,$ avec deux pôles simples : $\,0\,$ et $\,-2\sp{1.5}.\,$
Avec une partie entière nulle, il a donc une
- Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$
- Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$
Soit $f$ une fonction rationnelle irréductible à pôles simples $\alpha_1,\dots,\alpha_p\sp{1.5}.$
Alors $f$ a une unique décomposition en éléments simples :
décomposition
en éléments simples de la forme :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}= E(x)+\dfrac{\lambda_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{\lambda_p}{x-\alpha_p}}$
- La partie entière $E$ est le quotient euclidien de $A$ par $B\sp{1.5};$
- après simplification par $(x-\alpha_k):$ $\,\lambda_k\!=\!\dfrac{\!A(x)(x-\alpha_k)\!}{B(x)}\Big|_{x=\alpha_k}\!\!\!\!\!\!\,$
$\displaystyle{}\frac{1}{k\sp{1.5}(k+2)}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k+2}$
On peut alors obtenir les coefficients $\,a\,$ et $\,b\,$ de cette décomposition selon deux méthodes :
- soit en évaluant directement $\,a\,$ et $\,b\,$ par les formules :
$\displaystyle{}\smb1{a=\frac{1}{k+2}\Big|_{k=0}=\frac12\ \txt{et} \ b=\frac{1}{k}\Big|_{k=-2}=-\frac12}$
- soit en
Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun, alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$ On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$identifiant les coefficients $\,a\,$ et $\,b\,$ au numérateur de :$\eqalign{\dfrac{1}{k\sp{1.5}(k+2)}=&\dfrac{(a+b)\sp{1.5}k+2\sp{1.5}a}{k\sp{1.5}(k+2)}\\ \txt{d'où :}&\Big\{\eqalign{\,a+b=0\\[-.5ex]2\sp{.75}a=1}}$
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
télescopique ;
on la simplifie par une
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice, en posant $\,h=k+2:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\eqalign{S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+2)}&= \frac{1}{2}\Big(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+2}\Big)\\[-.5ex]&= \frac{1}{2}\Big(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\sum_{h=3}^{n+2}\frac{1}{h}\Big)\\[-.5ex]
&= \frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\Big)}$
On en déduit, pour tout $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ l'expression simplifiée :
$\displaystyle{}S_n=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}-\dfrac{2\sp{1.5}n+3}{(n+1)(n+2)}\Big)=
\dfrac{n\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+5)}{4\sp{1.5}(n+1)(n+2)}$