Sujet A.6.4 Formule du binôme
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}:\,$
$\displaystyle{}S_n=\sum_{k=0}^{n}\binome{n+1\\k}\frac{(-1)^k}{2^{k-1}}$
coefficients binomiaux
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
symétrie des coefficients binomiaux
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
formule du binôme
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
indication
1
Faire apparaître une expression de la forme $\,(a+b)^{n+1}.\,$
indication
2
Poser $\,a=1\,$ et $\,b=-\dfrac{1}{2}\!\cdot\,$
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ S_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2^n}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :
$\displaystyle{}\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{1.5}p}=\smh{1}{\frac1{2^{2\sp{1.5}p-1}}}\sp{1.5}\big)\,\txt{et}\,\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{1.5}p+1}=0\sp{1.5}\big)$
correction
On commence par simplifier la fraction pour faire apparaître le terme $\,\Big(\!\!-\dfrac{1}{2}\sp{-1.5}\Big)^{\!k}\!:\,$
$\displaystyle{}S_n=\smh2{\frac{1}{2^{-1}}\sum_{k=0}^{n}\binome{n+1\\k}\frac{(-1)^k}{2^k}
=2\sum_{k=0}^{n}\binome{n+1\\k}\Big(\!\!-\dfrac{1}{2}\sp{-1.5}\Big)^{\!k}}$
On reconnaît la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme,
appliquée à $\,\Big(1-\dfrac{1}{2}\Big)^{\!n+1}\!\!,\,$ sans le
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
terme
$\,\binome{n+1\\n+1}\Big(\!\!-\dfrac{1}{2}\sp{-1.5}\Big)^{\!n+1}:\,$
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
$\eqalign{S_n&=2\sp{1.5}\bigg(\!\Big(1-\dfrac{1}{2}\Big)^{\!n+1}-\binome{n+1\\n+1}\Big(\!\!-\dfrac{1}{2}\sp{-1.5}\Big)^{\!n+1}\bigg)\\
&=2\sp{1.5}\Big(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\Big)
=\dfrac{1+(-1)^n}{2^n}}$
On obtient finalement deux expressions distinctes selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de $\,n:\,$
$\displaystyle{}\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{1.5}p}=\smh1{\frac1{2^{2\sp{1.5}p-1}}}\sp{1.5}\big)\,\txt{et}\,\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{1.5}p+1}=0\sp{1.5}\big)$
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\!:\,$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{h=1}^{n}(-3)^h\bigg(\!\sp{-1.5}\binome{2\sp{1.5}n\\2\sp{.75}h}-\dfrac{i}{\sqrt3}\binome{2\sp{1.5}n\\2\sp{.75}h-1}\!\sp{-1.5}\bigg)$
coefficients binomiaux
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
symétrie des coefficients binomiaux
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
formule du binôme
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
indication
1
Faire apparaître une expression de la forme $\,(a+b)^{2\sp{1.5}n}.\,$
indication
2
Poser $\,a=1\,$ et $\,b=i\,\sqrt3\,.\,$
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\app\bb N^{\ast},\ S_n=\big(1+i\,\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}2\sp{1.5}n}-1\,.\,$
correction
On remarque d'abord que : $\,(-3)^h=\big(i\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}h}\,$ et
$\,-\dfrac{i\sp{1.5}(-3)^h}{\sqrt3}=
\dfrac{(-3)^h}{i\sqrt3}=\big(i\sqrt3\big)^{2\sp{1.5}h-1}\!,\,$ si bien que :
$\displaystyle{}S_n=\sum_{h=1}^{n}\binome{2\sp{1.5}n\\2\sp{.75}h}\big(i\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}h}+\displaystyle\sum_{h=1}^{n}\binome{2 \sp{1.5}n\\2\sp{.75}h-1}\big(i\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}h-1}$
On
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :
regroupe
alors en une même somme les indices de
$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parités
différentes : $\,k=2\sp{.75}h\,$ et $\,k=2\sp{.75}h-1\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}S_n=\sum_{k=1}^{2\sp{1.5}n}\binome{2\sp{1.5}n\\k}\big(i\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}k}$
On reconnaît la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme
appliquée à
$\,\big(1+i\,\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}2\sp{1.5}n}\!,\,$ sans le
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
terme
$\,\binome{2\sp{1.5}n\\0}\big(i\,\sqrt3\big)^{\!0}=1\sp{1.5}.\,$
On obtient finalement, pour tout $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5}:\,$ $\,S_n=\big(1+i\,\sqrt3\big)^{\sp{-1.5}2\sp{1.5}n}-1\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
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Exercice
Donner une expression simplifiée de la somme suivante, pour $\,n\app \bb{N}:\,$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{h=0}^{n}\binome{2\sp{.75}n+1\\2\sp{.75}h}\big(2^h-2^{n-h}\sqrt2\big)$
coefficients binomiaux
Pour tout $n\app\bb N\sp{1.5},$ les coefficients binomiaux sont :
- $\,\binome{\,n\,\\k}=\dfrac{n\sp{1.5}!}{k\sp{1.5}!\sp{1.5}(n-k)\sp{1.5}!}\,,\,$ si $\,0\leq k\leq n\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1}{\binome{\,n\,\\k}}=0\,,\,$ pour tout $\,k\app\bb Z\!\setminus\![\![0,n]\!]\sp{1.5}.\,$
symétrie des coefficients binomiaux
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
formule du binôme
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
indication
1
Faire apparaître une expression de la forme $\,(a+b)^{2\sp{1.5}n+1}.\,$
indication
2
Poser $\,a=1\,$ et $\,b=-\sqrt2\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient comme expression simplifiée : $\,\ptt n\app\bb N\sp{1.5},\ S_n=\big(1-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2\sp{1.5}n+1}.\,$
correction
On remarque d'abord que : $\,2^h=\big(-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}h}\,$ et
$\,-2^{n-h}\sqrt2=\big(-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2(n-h)+1},\,$ si bien que :
$\displaystyle{}S_n=\!\sum_{h=0}^{n}\binome{2\sp{1.5}n+1\\ 2\sp{.75}h}\big(\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}h}\!+\!
\sum_{h=0}^{n}\binome{2\sp{1.5}n+1\\2\sp{.75}h}\big(\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2(n-h)+1}$
Avec la
Pour tous $\,n\app\bb N\,$ et $\,k\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on a les relations :
relation :
$\,\binome{2\sp{1.5}n+1\\2\sp{.75}h}=\binome{2\sp{1.5}n+1\\(2\sp{1.5}n+1)-2\sp{.75}h},\,$
on
$\displaystyle{}\binome{\,n\,\\0}=1\sp{1.5},\ \binome{\,n\,\\1}=n\ \txt{et}\sp{1.5}\binome{n\\\sp{1.5}n-k\sp{1.5}}=\binome{\,n\,\\k}$
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
retourne
les indices de la deuxième somme par $\,\ell=n-h:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
$\displaystyle{}S_n=\sum_{h=0}^{n}\binome{2\sp{1.5}n+1\\2\sp{.75}h}\big(-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}h}+ \sum_{\ell=0}^{n}\binome{2\sp{1.5}n+1\\2\sp{.75}\ell+1}\big(-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2\sp{.75}\ell+1}$
On
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :
regroupe
alors en une seule somme les indices de
$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parités
différentes : $\,k=2\sp{.75}h\,$ et $\,k=2\sp{1.5}\ell+1\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}S_n= \sum_{k=0}^{2\sp{1.5}n+1}\binome{2\sp{1.5}n+1\\k}\big(-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}k}$
On reconnaît la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme,
appliquée au développement de $\,\big(1-\sqrt2\big)^{\sp{-1.5}2\sp{1.5}n+1}\!.\,$
On obtient finalement, pour tout $\,n\app\bb N:\,$ $\,S_n=\big(1-\sqrt2\sp{1.5}\big)^{\sp{-1.5}2\sp{1.5}n+1}.\,$
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$