Sujet A.6.3 Sommes géométriques
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}^{\ast}\sp{-1.5},\,$ simplifier la somme $\,S_n=\dsum_{k=0}^{3\sp{1.5}n-1}(-1)^kj^{k-1}\,$ lorsque $\,j\,$ désigne le nombre complexe $\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3}.\,$
somme géométrique
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
Faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\,-j\,.\,$
réponse
On obtient deux résultats distincts selon la parité de l'indice $\,n:\,$
$\displaystyle{}\big(\ptt p\app\bb N^{\ast},\ S_{2\sp{.75}p}=0\sp{1.5}\big)\,\txt{et}\,\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{.75}p+1}=-2\sp{1.5}\big)$
correction
Une fois factorisée l'expression de $\,S_n\sp{1.5},\,$ on y reconnaît une somme
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique
de raison $\,-j:\,$
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}S_n=\sum\limits_{k=0}^{3\sp{1.5}n-1}(-1)^kj^{\sp{1.5}k-1}=j^{-1}\sum\limits_{k=0}^{3\sp{1.5}n-1}(-j)^k=
\frac{1}{j}\cdot\frac{1-(-j)^{3\sp{1.5}n}}{1-(-j)}$
Le nombre $\,j\,$ est une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
cubique de l'unité distincte de $\,1\sp{1.5};\,$ on a donc : $\,j^{\sp{1.5}3}=1\,$ et $\,1+j+j^{\sp{1.5}2}=0\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\eqalign{S_n&=\sum_{k=0}^{3\sp{1.5}n-1}(-1)^kj^{\sp{1.5}k-1}= \frac{1}{j}\cdot\dfrac{1-(-1)^{3\sp{1.5}n}j^{\sp{1.5}3\sp{1.5}n}}{1+j}\\[-1ex]&= \frac{1-\big((-1)^{\sp{-1.5}3}\big)^{\!n}}{j+j^2}=-1+(-1)^n}$
On obtient donc deux résultats distincts selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de l'indice $\,n:\,$
$\displaystyle{}\big(\ptt p\app\bb N^{\ast},\ S_{2\sp{.75}p}=0\sp{1.5}\big)\,\txt{et}\,\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{.75}p+1}=-2\sp{1.5}\big)$
On pouvait aussi remarquer que $\,-j=\e{-i\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3}\,$ est une racine sixième de l'unité.
La suite $\,\smb0{\big((-j)^k\big)_{k\geq0}}\,$ est donc de période $\,6\sp{1.5},\,$ avec une somme nulle pour ses six premiers termes.
On effectue alors une somme par
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
paquets
de $\,6\,$ termes consécutifs :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
$\eqalign{\sum\limits_{k=0}^{6\sp{1.5}p-1}(-j)^k&=\sum_{q=0}^{p-1}\Big(\sum_{k=6\sp{1.5}q}^{6\sp{1.5}q+5}(-j)^k\Big)=\sum_{q=0}^{p-1}\Big(\sum_{k=0}^{5}(-j)^k\Big)=0\\[-.5ex]
\txt{d'où :}\ S_{2\sp{1.5}p}&=j^{-1}\smb{2}{\sum\limits_{k=0}^{6\sp{1.5}p-1}}(-j)^k=0\\
\txt{et :}\ S_{2\sp{1.5}p+1}&=S_{2\sp{1.5}p}+j^{-1}\smh{1.5}{\sum_{k=6\sp{1.5}p}^{6\sp{1.5}p+2}}(-j)^k\\[-.5ex]
&=0+j^{-1}(1-j+j^2)=j^{-1}-1+j=-2}$
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}\sp{1.5},\,$ simplifier la somme $\,S_n=\dsum_{k=1}^{3\sp{1.5}n+1}(-1)^{k+1}j^{2\sp{1.5}k+1}\,$ lorsque $\,j\,$ désigne le nombre complexe $\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3}.\,$
somme géométrique
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
Faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\,-j^{\sp{1.5}2}.\,$
réponse
On obtient deux résultats distincts selon la parité de l'indice $\,n:\,$
$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N,\ \big(S_{2\sp{.75}p}=-j-j^{\sp{1.5}2}=1\,\txt{et}S_{2\sp{.75}p+1}=j-j^{\sp{1.5}2}=i\sqrt3\,\big)$
correction
Une fois factorisée l'expression de $\,S_n\sp{1.5},\,$ on y reconnaît une somme
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique
de raison $\,-j^2:\,$
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}S_n=\smb2{\sum\limits_{k=1}^{3\sp{1.5}n+1}(-1)^{k+1}j^{\sp{1.5}2\sp{1.5}k+1}=
-j\sum\limits_{k=1}^{3\sp{1.5}n+1}(-j^{\sp{1.5}2})^k}$
On factorise cette somme géométrique par $\,-j^{\sp{1.5}2},\,$ puis on effectue la
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice $\,h=k-1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\displaystyle{}S_n=-j\!\sum_{k=1}^{3\sp{1.5}n+1}(-j^{\sp{1.5}2})^{k}=-j\,(-j^2)\!\!\sum_{k=1}^{3\sp{1.5}n+1}(-j^{\sp{1.5}2})^{k-1}=\sum_{h=0}^{3\sp{1.5}n}(-j^{\sp{1.5}2})^{h}$
On aurait pu aussi exprimer cette somme géométrique pour $\,k\,$ de $\,0\,$ à $\,3\sp{.75}n+1\,$ et lui soustraire ensuite $\,(-j^2)^0=1\sp{1.5}.\,$
Cependant, les calculs sont plus directs en factorisant par $\,-j^2\,$ comme on l'a fait ci-dessus.
Le nombre $\,j\,$ est une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
cubique de l'unité distincte de $\,1\sp{1.5};\,$ on a donc : $\,j^{\sp{1.5}3}=1\,$ et $\,1+j+j^{\sp{1.5}2}=0\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\eqalign{S_n&=\dfrac{1-(-j^{\sp{1.5}2})^{3\sp{1.5}n+1}}{1-(-j^{\sp{1.5}2})}=\frac{1-(-1)^{3\sp{1.5}n+1}(j^{\sp{1.5}2})^{3\sp{1.5}n+1}}{1+j^{\sp{1.5}2}}\\&= \frac{1+(-1)^nj^{\sp{1.5}2}}{-j}=-j^{\sp{1.5}2}+(-1)^{n+1}j}$
On obtient donc deux résultats distincts selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de l'indice $\,n:\,$
$\displaystyle{}\ptt p\app\bb N,\ \big(S_{2\sp{.75}p}=-j-j^{\sp{1.5}2}=1\,\txt{et}S_{2\sp{.75}p+1}=j-j^{\sp{1.5}2}=i\sqrt3\,\big)$
On pouvait aussi remarquer que $\,-j^2=\e{i\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}3}\,$ est une racine sixième de l'unité.
La suite $\,\smh0{\smb0{\big((-j^2)^h\big)_{h\geq0}}}\,$ est donc de période $\,6\sp{1.5},\,$ avec une somme nulle pour ses six premiers termes.
On effectue alors une somme par
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
paquets
de $\,6\,$ termes consécutifs :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
$\eqalign{\sum\limits_{h=0}^{6\sp{1.5}p-1}(-j^2)^h&=\sum_{q=0}^{p-1}\Big(\sum_{h=6\sp{1.5}q}^{6\sp{1.5}q+5}(-j^2)^h\Big)=\sum_{q=0}^{p}\Big(\sum_{h=0}^{5}(-j^2)^h\Big)=0\\[-.5ex]
\txt{d'où :}S_{2\sp{1.5}p}&=\smb{2}{\sum\limits_{h=0}^{6\sp{1.5}p}(-j^2)^h=\sum\limits_{h=0}^{6\sp{1.5}p-1}}(-j^2)^h+(-j^2)^{6\sp{1.5}p}=1\\
\txt{et :}S_{2\sp{1.5}p+1}&=S_{2\sp{1.5}p}+\smb{2.5}{\smh{1.5}{\sum_{h=6\sp{1.5}p+1}^{6\sp{1.5}p+3}}(-j^2)^h}\\&=1+(-j^2+j^4 -j^6)=j-j^2}$
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Exercice
Pour $\,n\app \bb{N}^{\ast},\,$ simplifier la somme $\,S_n=\dsum_{k=1}^{5\sp{1.5}n}\alpha^{3\sp{1.5}k-5}\,$ lorsque $\,\alpha\,$ désigne le nombre complexe $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}5}.\,$
somme géométrique
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
1
Faire apparaître la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\,\alpha^3.\,$
indication
2
Utiliser une formule d'Euler pour simplifier la valeur de $\,S_n\,$ dans le cas où $\,n\,$ est impair.
réponse
On obtient deux résultats distincts selon la parité de l'indice $\,n:\,$
- $\,\ptt p\app\bb N^{\ast},\ S_{2\sp{.75}p}=0\,;\,$
- $\,\ptt p\app\bb N\,,\ S_{2\sp{.75}p+1}=\smh0{\dfrac 2{\alpha^2+1}=1-i\sp{.75}\tan\dfrac{\pi}5}\!\cdot\,$
correction
On factorise $\,S_n\,$ et on y effectue on effectue la
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice $\,h=k-1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\displaystyle{}S_n=
\alpha^{-5}\sum_{k=1}^{5\sp{1.5}n}(\alpha^3)^{k}=\alpha^{-5}\sum_{h=0}^{5\sp{1.5}n-1}(\alpha^3)^{h+1}=\alpha^{-2}\sum_{h=0}^{5\sp{1.5}n-1}(\alpha^3)^{h}$
On reconnaît dans cette expression une somme
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
géométrique
de raison $\,\alpha^3:\,$
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\displaystyle{}S_n=\alpha^{-2}\,\dfrac{1-(\alpha^3)^{5\sp{1.5}n}}{1-\alpha^3}=\dfrac{1-\alpha^{15\sp{1.5}n}}{\alpha^2-\alpha^5}=
\dfrac{1-(-1)^{n}}{\alpha^2+1}$
En effet, $\,\alpha\,$ est une
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe $\,z\,$ est un $\,\zeta\app\bb C\,$ tel que : $\,\zeta^n=z\sp{1.5}.\,$
racine
cinquième de $\,-1\sp{1.5};\,$ on a donc : $\,\alpha^5=\e{i\sp{1.5}\pi}=-1\sp{1.5},\,$ d'où : $\displaystyle{}\alpha^{15\sp{1.5}n}=(\alpha^5\sp{-1.5})^{3\sp{1.5}n}=(-1)^{3\sp{1.5}n}=(-1)^n$
On obtient donc deux résultats distincts selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de l'indice $\,n:\,$
$\displaystyle{}\big(\ptt p\app\bb N^{\ast},\ S_{2\sp{.75}p}=0\sp{1.5}\big)\,\txt{et}\,\big(\ptt p\app\bb N,\ S_{2\sp{.75}p+1}=\smh0{\frac 2{\alpha^2+1}}\,\big)$
Il reste à expliciter l'expression obtenue lorsque $\,n\,$ est impair grâce à la formule
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
d'Euler :
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
$\eqalign{S_{2\sp{.75}p+1}&=\frac 2{\alpha^2+1}=\frac{2\,\alpha^{-1}}{\alpha+\alpha^{-1}}=\dfrac{\e{-i\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}5}}{\cos\dfrac{\pi}5}\\[-3ex]&=\dfrac{\cos\dfrac{\pi}5-i\sp{.75}\sin\dfrac{\pi}5}{\cos\dfrac{\pi}5}=1-i\sp{.75}\tan\frac{\pi}5}$
On pouvait aussi trouver $\,S_{2\sp{1.5}p}\,$ en remarquant que $\,\alpha^3\,$ est une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
dixième de l'unité.
La suite $\,\smh0{\smb0{\big((\alpha^3)^h\big)_{h\geq0}}}\,$ est donc de période $\,10\sp{1.5},\,$ avec une somme nulle pour ses dix premiers termes.
On obtient alors une somme par
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
paquets
de $\,10\,$ termes consécutifs :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
$\displaystyle{}\alpha^2S_{2\sp{.75}p}\!=\!\!\sum\limits_{h=0}^{10\sp{1.5}p-1}\!(\alpha^3)^h\!=\!\sum_{q=0}^{p-1}\Big(\sum_{h=10\sp{1.5}q}^{10\sp{1.5}q+9}\!(\alpha^3)^h\sp{-1.5}\Big)\!=\!\sum_{q=0}^{p}\Big(\sum_{\ell=0}^{9}((\alpha^3)^k\Big)\!=0$