Sujet A.6.2 Sommes arithmétiques
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Exercice
Exprimer en fonction de $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ la somme $\,S_n\,$ des $\,n\,$ premiers entiers impairs.
somme d'entiers consécutifs
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
Se ramener à l'expression connue d'une somme d'entiers consécutifs.
réponse
On obtient pour la somme des $\,n\,$ premiers entiers impairs :
$\displaystyle{}S_n=1+3+\cdots+(2\sp{1.5}n-1)=\smh{1.5}{\sum_{k=0}^{n-1}}\sp{1.5}(2\sp{1.5}k+1)=n^2$
correction
Les $\,n\,$ premiers entiers
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
impairs
s'écrivant $\,(2\sp{1.5}k+1)\,$ pour $\,k\,$ de $\,0\,$ à $\,n-1,\,$ on cherche : $\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=0}^{n-1}\sp{1.5}(2\sp{1.5}k+1)$
En décomposant cette somme, on obtient la
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
somme
des entiers de $\,0\,$ à $\,m=n-1:\,$
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
$\eqalign{S_n&=\sum_{k=0}^{n-1}(2\sp{1.5}k+1)=2\sum\limits_{k=0}^{n-1}k+\sum_{k=0}^{n-1}1\\[-.5ex]
&=2\cdot\sp{-1.5}\frac{(n-1)\sp{1.5}n}{2}+n=n^2}$
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Exercice
Exprimer en fonction de $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ la somme $\,S_n\,$ des $\,n\,$ premiers entiers naturels qui précédent un multiple de $\,3\sp{1.5}.\,$
somme d'entiers consécutifs
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
Se ramener à l'expression connue d'une somme d'entiers consécutifs.
réponse
On obtient pour la somme des $\,n\,$ premiers entiers naturels précédant un multiple de $\,3:\,$
$\displaystyle{}S_n=2+5+\cdots+(3\sp{1.5}n-1)=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^{n}(3\sp{1.5}k-1)}=\dfrac{n\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+1)}{2}$
correction
Les entiers naturels précédant un
$\,a\app\bb Z\,$ est un diviseur de $\,b\app\bb Z\,$ ssi $\,b\,$ est un multiple de $\,a\sp{1.5},\,$ soit :
multiple
de $\,3\,$ s'écrivant $\,(3\sp{1.5}k-1)\,$ pour $\,k\,$ de $\,1\,$ à $\,n\sp{1.5},\,$ on cherche :
$\displaystyle{}\iex q\app\bb Z,\ b=a\sp{1.5}q$
On écrit : $\,a\sp{1.5}\big|\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ et $\,a\sp{1.5}\bb Z\,$ désigne l'ensemble des multiples de $\,a\,$ dans $\bb Z\sp{1.5}.$
$\displaystyle{}S_n=\dsum_{k=1}^{n}(3\sp{1.5}k-1)$
En décomposant cette somme, on obtient la
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
somme
des entiers de 1 à $\,n\geq1:\,$
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
$\eqalign{S_n=\sum_{k=1}^{n}(3\sp{1.5}k-1)&=3\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}1\\&=
3\cdot\sp{-1.5}\dfrac{n\sp{1.5}(n+1)}{2}-n\\&=\frac{n\big(3\sp{1.5}(n+1)-2\big)}{2}\\&=
\frac{n\sp{1.5}(3\sp{1.5}n+1)}{2}}$
Il s'ensuit que tous les nombres de cette forme sont des entiers, c'est-à -dire que $\,n(3\sp{1.5}n+1)\,$ est toujours un entier
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
pair.
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Exercice
Exprimer en fonction de $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ la somme $\,S_n\,$ des nombres strictement positifs de la forme $\,n-\dfrac{k}{2}\,$ pour $\,k\in\bb{N}\sp{1.5}.\,$
somme d'entiers consécutifs
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
1
Commencer par effectuer le retournement d'indice $\,h=2\sp{1.5}n-k\,$ dans l'expression de $\,S_n\sp{1.5}.\,$
indication
2
Utiliser ensuite l'expression d'une somme d'entiers consécutifs.
réponse
On obtient pour la somme des nombres strictement positifs de la forme $\,n-\dfrac{k}{2}:\,$
$\displaystyle{}S_n=\smh{1.5}{\sum_{k=0}^{2n-1}\Big(n-\frac{k}{2}\Big)=\frac{n\sp{1.5}(2\sp{1.5}n+1)}{2}}$
correction
Pour des nombres
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ; on a alors l'équivalence :
entiers,
on a l'équivalence : $\displaystyle{}a > b\Ssi a\geq b+1$
$\displaystyle{}n-\frac{k}{2} >0\Ssi k\leq2n-1$
on cherche donc à évaluer la somme suivante :
$\displaystyle{}S_n=\sum_{k=0}^{2n-1}\Big(n-\frac{k}{2}\Big)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2\sp{1.5}n-1}(2n-k)$
On
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
retourne
alors les indices en posant $\,h=2\sp{1.5}n-k\sp{1.5},\,$ d'où une
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
somme
d'entiers de $\,1\,$ à $\,2\sp{.75}n:\,$
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
$\eqalign{S_n&=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2\sp{1.5}n-1}(2n-k)
=\frac{1}{2}\sum_{h=1}^{2\sp{1.5}n}h\\[-.5ex]&= \frac12\cdot\frac{2\sp{1.5}n\sp{.75}(2\sp{1.5}n+1)}{2}=\frac{n\sp{.75}(2\sp{1.5}n+1)}{2}}$
On pouvait aussi développer $\,S_n\,$ de la manière suivante :
$\eqalign{S_n&=\sum\limits_{k=0}^{2\sp{1.5}n-1}\Big(n-\frac{k}{2}\Big)=
\sum\limits_{k=0}^{2\sp{1.5}n-1}n-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{2\sp{1.5}n-1}k\\[-.5ex]&=2\sp{.75}n^2-\frac{n\sp{.75}(2\sp{.75}n-1)}2=\frac{n\sp{.75}(2\sp{1.5}n+1)}{2}}$
Cependant, le retournement d'indice effectué ci-dessus donne un calcul plus rapide.
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Exercice
Exprimer en fonction de $\,n\app \bb{N}^{\ast}\,$ la double somme : $\,S_n=\dsum_{k=1}^n\bigg(\dsum_{h=k}^n\ \dfrac{k}{h}\bigg)\!\cdot\,$
somme d'entiers consécutifs
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
translation des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
retournement des indices dans une somme
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut retourner
les indices avec $\,h=p-k\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=p-n}^{p-m}\!\!x_{p-h}$
calcul d'une somme par paquets
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
indication
1
$S_n$ est la somme par paquets des $\,\dfrac kh\,$ pour un certain ensemble $\,T\,$ de couples $\,(k,h)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Calculer $S_n$ en intervertissant les deux sommes figurant dans son expression initiale.
figure
Les $\,{\it colonnes}\,$ et les $\,{\it lignes}\,$ de $\,T\,$
réponse
On obtient pour cette double somme :
$\displaystyle{}S_n=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n\bigg(\sum_{h=k}^n\ \frac{k}{h}\bigg)=\frac{n(n+3)}{4}}$
correction
Cette somme $\,S_n\,$ est la somme par
Les décompositions de $\,T\,$ en colonnes ou en lignes s'expriment dans la double égalité :
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
paquets
des $\,\dfrac kh\,$ pour un ensemble $\,T\,$ de couples $\,(k,h):\,$
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
$\eqalign{S_n&=\sum_{k=1}^n\Big(\sp{1.5}{\sum_{h=k}^n\ \frac{k}{h}}\Big)=\!\!\!\!
\,\sum_{\scriptstyle(k,h)\app T}\frac{k}{h}\\[-.5ex]
\txt{pour}\,T&=\ens{(k,h)\app \bb{N}^2}{1\leq k\leq h\leq n}}$
Cet ensemble $\,T\,$ est formé des points à coordonnées entières du triangle
de sommets $\,(1,1),\,$ $\,(1,n)\,$ et $\,(n,n):\,$
|
Les $\,{\it colonnes}\,$ et les $\,{\it lignes}\,$ de $\,T\,$
|
$\displaystyle{}\union_{k=1}^n\ens{(k,h)}{h\app\sp{1.5}[\![k,n]\!]}=T=\union_{h=1}^n\ens{(k,h)}{k\app\sp{1.5}[\![1,h]\!]}$
La décomposition de $\,T\,$ en lignes nous fournit une autre somme par
Dans une somme indexée par $I,$ fini et union disjointe des $(I_j)_{j\app J}\sp{1.5},$ on somme par paquets :
paquets,
plus propice au calcul de $\,S_n:\,$
$\displaystyle{}\sum_{i\app I}x_i=\sum_{j\app J}\bigg(\sum_{i\app I_j}x_i\!\bigg)$
$\displaystyle{}S_n=\sum_{k=1}^n\Big(\,{\sum_{h=k}^n\ \frac{k}{h}}\Big)=\!\!\!\!
\ \sum_{\scriptstyle(k,h)\app T}\frac{k}{h}=
\sum_{h=1}^n\Big(\sp{1.5}{\sum_{k=1}^h\,\dfrac{k}{h}}\Big)$
En effet, en factorisant la dernière somme, et avec la
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
somme
des entiers de 1 à $\,h\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
$\eqalign{S_n&=\sum_{h=1}^n\dfrac{1}{h}\Big(\sum_{k=1}^h\ k\Big)\\&=\sum_{h=1}^n\ \frac{1}{h}\cdot\dfrac{h(h+1)}{2}=\frac{1}{2}\sum_{h=1}^n(h+1)}$
On retrouve une somme d'entiers consécutifs qu'on simplifie par la
Dans une somme indexée par $\,k\app\,[\![m,n]\!]\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,h=k+p\,$ et $\,p\app \bb Z:\,$
translation
d'indice $\,\ell=h+1:\,$
$\displaystyle{}\smh{2}{\sum_{k=m}^{n}x_k=\sum_{h=m+p}^{n+p}\!\!x_{h-p}}$
$\eqalign{S_n&=\frac{1}{2}\sum_{\ell=2}^{n+1}\ell=\frac{1}{2}\Big(\sum_{\ell=1}^{n+1}\ell-1\Big)\\ &=\frac{1}{2}\Big(\frac{(n+1)(n+2)}{2}-1\Big)=\frac{n(n+3)}{4}}$