Sujet E.5.3 Développement en série entière
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Exercice a
Montrer que la fonction suivante admet un prolongement de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,\bb R:\,$
$\displaystyle{}f:x\mapsto\frac{\sin^2\!x}{x^2}$
En déduire l'expression des dérivées successives de ce prolongement en $\,x=0\sp{1.5}.\,$
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
produit de Cauchy des séries entières
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
théorème d'Abel radial
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
indication
En utilisant une formule de duplication pour linéariser $\,\sin^2\sp{-1.5}x\sp{1.5},\,$ développer $f$ en série entière.
réponse
La fonction $f$ se prolonge sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ comme la somme $\sc C^{\I}$ d'une série entière :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \,f(x)=\dsum_{n=0}^{+\I}(-1)^{n}\dfrac{2^{2\sp{1.5}n+1}x^{2\sp{1.5}n}}{(2\sp{1.5}n+2)!}$
Les dérivées successives de $f$ en $\,0\,$ sont alors, pour tout $\,n\app\bb N:\,$
$\displaystyle{}f^{(2\sp{1.5}n+1)}(0)=0\txt{et}f^{(2\sp{1.5}n)}(0)=\dfrac{(-4)^{n}}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}$
correction
On par la formule de
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication
d'un cosinus :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R^{\ast},\ f(x)=\frac{\sin^2\!x}{x^2}=\frac{1-\cos2\sp{1.5}x}{2\sp{1.5}x^2}$
On utilise alors le
Le cosinus est développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$
développement
en série entière du cosinus, de rayon de convergence $\,R=+\I:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\cos x=\sum_{p=0}^{+\I}(-1)^p\dfrac{x^{2\sp{.75}p}}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R^{\ast},\ f(x)=\frac1{2\sp{1.5}x^2}-\frac1{2\sp{1.5}x^2}\sum_{p=0}^{+\I}(-1)^p\frac{(2\sp{1.5}x)^{2\sp{1.5}p}}{(2\sp{1.5}p)!}$
On
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translate
les indices en posant $\,n=p-1\sp{1.5},\,$ et on obtient alors :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R^{\ast},\ f(x)=\dsum_{n=0}^{+\I}(-1)^{n}\dfrac{2^{2\sp{1.5}n+1}x^{2\sp{1.5}n}}{(2\sp{1.5}n+2)!}$
Cela nous prouve que $f$ se prolonge en une fonction
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
de classe
$\sc C^{\I}$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ et que cette fonction est
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que : $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$
paire.
En notant encore $f$ ce prolongement, par
- $f$ est paire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
- $f$ est impaire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
identification
à sa série de Taylor, on obtient pour tout $\,n\app\bb N:\,$
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\Syst{
&\!f^{(2\sp{1.5}n+1)}(0)&=0\\[-1.5ex]&\ \ f^{(2\sp{1.5}n)}(0)&=\smb1{(-1)^{n}\sp{1.5}\dfrac{2^{2\sp{1.5}n+1}\sp{1.5}(2\sp{1.5}n)!}{(2\sp{1.5}n+2)!}=\dfrac{(-4)^{n}}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}}}$
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Exercice b
Développer en série entière la fonction suivante de variable réelle, en précisant son intervalle de convergence.
$\displaystyle{}f:x\mapsto\dfrac{\ln(1-x)}{x-1}$
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
produit de Cauchy des séries entières
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
théorème d'Abel radial
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
indication
Envisager $\,f(x)\,$ comme la somme d'un produit de Cauchy de deux séries entières.
réponse
La fonction $f$ est bien la somme d'une série entière, sur l'intervalle $\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \,f(x)= \dsum_{n=1}^{+\I}H_n\sp{1.5}x^n,\txt{avec :}H_n=\dsum_{k=1}^{n}\dfrac1k$
correction
La fonction $f$ est l'opposée du produit de deux fonctions
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
développables
en série entière :$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
- la
Le logarithme est développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$fonction $\,x\mapsto\ln(1-x)\sp{1.5},\,$ pour un rayon de convergence égal à $\,1\,;\,$$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\I}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
- la fonction $\,x\mapsto\smb0{\dfrac1{1-x}}\,$ somme de la série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$géométrique, de même rayon :$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f(x)=-\frac{\ln(1-x)}{1-x}=\Big(\sum_{n=1}^{+\I}\frac{x^n}n\Big)\Big(\sum_{n=0}^{+\I}x^n\!\Big)$
On a ainsi un
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
produit
de Cauchy de deux séries entières, et ce produit a alors un rayon de convergence : $\,R\geq1\sp{1.5}.\,$
En notant $\,a_0=0,\,$ $\,a_n=\smb1{\dfrac1n}\,$ pour $n\geq1,$ et $\,b_n=1\,$ pour tout $n\app\bb N,$ on a donc :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\I}\Big(\sum_{k=0}^{n}a_k\,b_{n-k}\Big)x^n$
En désignant par $H_n$ les sommes
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
partielles
de la série
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$
harmonique
divergente, on peut alors écrire :
$\displaystyle{} \ptt x\app\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f(x)=\sum_{n=1}^{+\I}\Big(\sum_{k=1}^{n}\frac1k\Big)x^n=\sum_{n=1}^{+\I}H_n\sp{1.5}x^n$
- Cette série entière est convergente pour tout $\,x\,$ tel que $\,|x| < 1\sp{1.5},\,$
- et avec $\,\lim n{+\I}H_n=+\I\sp{1.5},\,$ cette série diverge
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$ Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.grossièrement lorsque $\,x=\pm1\sp{1.5}.\,$
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
rayon
de convergence vaut donc $\,R=1\sp{1.5},\,$ et l'intervalle de convergence est exactement : $\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
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Exercice c
Développer en série entière la fonction suivante de variable réelle, en précisant son intervalle de convergence.
$\displaystyle{}f:x\mapsto\ln\big(8-2\sp{1.5}x-x^2\big)$
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
produit de Cauchy des séries entières
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
théorème d'Abel radial
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
indication
1
Factoriser $\,8-2\sp{1.5}x-x^2,\,$ puis utiliser le développement en série entière de $\,u\mapsto\ln(1+u).\,$
indication
2
Utiliser le théorème d'Abel radial pour prouver la continuité de la somme obtenue sur l'intervalle $[-2,2\sp{1.5}[\sp{1.5}.$
réponse
La fonction $f$ est la somme d'une série entière, sur l'intervalle $\,[-2\sp{.75},2\sp{1.5}[\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[-2\sp{.75},2\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \,f(x)=3\sp{1.5}\ln2-\sum_{n=1}^{+\I}\bigg(\!\frac1{2^n} +\frac{(-1)^n}{4^n}\!\bigg)\frac{x^n}n$
correction
L'expression polynomiale $\,8-2\sp{1.5}x-x^2\,$ apparaît comme une différence de
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
carrés
que l'on peut donc
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
factoriser :
$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$
$\displaystyle{}8-2\sp{1.5}x-x^2=9-(x+1)^2=(2-x)(4+x)$
Le
Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
logarithme
de cette expression est donc continu sur l'intervalle $\,]\!-4\sp{.75},2\sp{1.5}[\,$ et s'écrit comme une
Le logarithme est un morphisme de $\,(\bb R_+^{\ast}\sp{1.5},\times)\,$ vers $\,(\bb R\sp{1.5},+)\sp{1.5},\,$ soit :
somme :
$\displaystyle{}\ptt x,\,y >0\sp{1.5},\ \ln(x\sp{1.5}y)=\ln x+\ln y\txt{et}\ln(x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}y)=\ln x-\ln y$
On a de plus : $\,\ln 1=0\,$ et $\,\ptt x >0\sp{1.5},\,\ptt \alpha\app\bb R\sp{1.5},\ \ln(x^\alpha)=\alpha\ln x\,.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-4\sp{.75},2\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f(x)=\ln8+\ln\Big(1-\frac x2\Big)+\ln\Big(1+\frac x4\Big)$
La fonction $\,u\mapsto\ln(1+u)\,$ est
Le logarithme est développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$
développable
en une série entière de rayon de convergence $\,1\sp{1.5}.\,$
$\,f(x)\,$ est ainsi la
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\I}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur somme $\,\sum (a_n+b_n)z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$
Si on a de plus : $\,R_a\neq R_b\sp{1.5},\,$ alors : $\,R=\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$
somme
de deux séries entières de rayons $\,R_1=2\,$ et $\,R_2=4\sp{1.5},\,$ d'où une série entière de rayon $\,R=2:\,$
$\displaystyle{}f(x)=\ln(2^3)-\sum_{n=1}^{+\I}\frac{1}{n}\Big(\frac x2\Big)^{\!n}+\sum_{n=1}^{+\I}\frac{(-1)^{n-1}\!\!}{n}\Big(\frac x4\Big)^{\!n}$
La fonction $f$ coïncide donc sur l'intervalle $\,]\!-2\sp{.75},2\sp{1.5}[\,$ avec la somme $S$ de ces deux séries entières :
$\displaystyle{}S(x)=3\sp{1.5}\ln2-\sum_{n=1}^{+\I}\Big(\sp{-1.5}\frac1{2^n} +\frac{(-1)^n}{4^n}\sp{-1.5}\Big)\frac{x^n}n$
- En $\,x=2\sp{1.5},\,$ la première des deux séries est
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$harmonique divergente et l'autre converge ; leur somme diverge donc.
- En $\,x=-2\sp{1.5},\,$ on a la somme de deux séries convergentes, car la série harmonique
Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$ Alors pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est convergente. Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$alternée $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\smh{1}{\dfrac{(-1)^n\!}{n}}\,$ converge.
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
théorème d'Abel
radial appliqué à $\,S(-x)\sp{1.5},\,$ la somme $S$ est donc continue sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}-2\sp{.75},2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ étant elle aussi continue sur cet intervalle, on en déduit par
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$ ou si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :
passage
à la limite en $\,x=-2:\,$
$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}-2\sp{.75},2\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f(x)=3\sp{1.5}\ln2-\sum_{n=1}^{+\I}\bigg(\!\frac1{2^n} +\frac{(-1)^n}{4^n}\!\bigg)\frac{x^n}n$
Si on ne connaît pas le théorème d'Abel radial, on peut cependant montrer la
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
continuité
de la somme $S$ sur $\,[\sp{1.5}-2\sp{.75},2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$ En effet, la série $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\smh{1.5}{\dfrac{(x\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2)^n}n}\,$ converge
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
uniformément
sur $\,[\sp{1.5}-2\sp{.75},0\sp{1.5}]\,$ par
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Alors pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$
est convergente.
Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$
majoration
de son reste, d'où la continuité de $S\sp{1.5}.$
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Exercice d
On considère la fonction suivante, de variable réelle :
$\displaystyle{}f: x\mapsto\e{x^2}\!\!\dint_0^x\!\!\e{-t^2}\d t$
Développer cette fonction en série entière en $0$ au moyen d'une équation différentielle.
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
produit de Cauchy des séries entières
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
théorème d'Abel radial
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
indication
1
Montrer que $f$ est dérivable sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ et exprimer $\,f'(x)\,$ en fonction de $\,x\,$ et de $\,f(x)\sp{1.5}.\,$
indication
2
Écrire une relation de récurrence vérifiée par les coefficients d'une série entière dont $\,f(x)\,$ serait la somme.
réponse
Cette fonction $f$ est développable en série entière de rayon $\,R=+\I\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \,f(x)=\sum_{p=0}^{+\I}\frac{4^p\sp{1.5}p\sp{1.5}!}{(2\sp{1.5}p+1)!}\,x^{2\sp{1.5}p+1}$
correction
$f$ est dérivable sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ comme
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$
Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
produit
d'une
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :
exponentielle
par une
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$
Toute fonction continue $\,f:I\to\bb K\,$ admet des primitives sur $I\sp{1.5}.$Pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ $\,F:x\mapsto\!\dint_a^x\!\! f(t)\d t\,$ est une de ces primitives.
primitive
de
$\,x\mapsto\e{-x^2}\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ f'(x)=2\sp{1.5}x\,\e{x^2}\!\!\int_0^x\!\!\e{-t^2}\!\d t+\e{x^2}\!\e{-x^2}=2\sp{1.5}xf(x)+1$
$f$ est donc
Soient $\,a,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
l'unique
solution de l'équation
$\displaystyle{}(\sc E_f)\ \ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour $\,(x_0,y_0)\app I\times\bb K\,$ fixé, il existe une unique solution $\,\phi\,$ de $\,(\sc E_f)\,$ telle que : $\,\phi(x_0)=y_0\sp{1.5}.\,$
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,1\,$ est :
différentielle
linéaire $\,y'-2\sp{1.5}x\sp{1.5}y=1\,$ telle que $\,f(0)=0\sp{1.5}.\,$
Supposons que $f$ soit
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,f\app\sc C(I,\bb K)$
Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi'(x)+a(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
développable
en une série entière : $\,f(x)=\dsum_{n=1}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R > 0\sp{1.5}.\,$
Par
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
dérivation
terme à terme de la somme d'une telle série, on a alors sur $\,]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
$\displaystyle{}f'(x)-2\sp{1.5}x\sp{1.5}f(x)=\sum_{n=0}^{+\I}n\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^{n-1}-2\sp{1.5}x\!\sum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^{n}=1$
En
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translatant
les indices en $\,p=n-1\,$ dans une somme, et en $\,p=n+1\,$ dans l'autre, on obtient alors :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ a_1+\sum_{p=1}^{+\I}\big((p+1)\sp{1.5}a_{p+1}-2\sp{1.5}a_{p-1}\big)\sp{1.5}x^p=1$
Par
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
unicité
du développement en série entière, on en déduit les relations :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}a_0=f(0)=0\sp{1.5},\ \,a_1=1\txt{et}\ptt n\geq1\sp{1.5},\ a_{n+1}=\frac{2}{n+1}\,a_{n-1}$
On distingue alors deux cas selon la parité l'indice $\,n:\,$- D'une part, si $\,n\,$ est pair, on a par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :récurrence : $\,\ptt p\geq0\sp{1.5},\ a_{2\sp{1.5}p}=0\sp{1.5},\,$ car $\,a_0=0\,$ ainsi que, pour tout $\,p\geq1:\,$
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
$\displaystyle{}a_{2\sp{1.5}p}=0\Imp a_{2\sp{1.5}p+2}=\dfrac{2}{2\sp{1.5}p+1}\,a_{2\sp{1.5}p}=0$ - D'autre part, si $\,n\,$ est impair, on a $\,a_1=1\sp{1.5},\,$ et par produit
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :télescopique :$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$On a alors : $\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.$\eqalign{\ptt p\app\bb N,\ a_{2\sp{1.5}p+1}&=a_1\prod_{k=1}^{p}\frac{a_{2\sp{1.5}k+1}}{a_{2\sp{1.5}k-1}}= \prod_{k=1}^{p}\frac{2}{2\sp{1.5}k+1}\\ &=\,\prod_{k=1}^{p}\frac{4\sp{1.5}k}{(2\sp{1.5}k)(2\sp{1.5}k+1)}=\frac{4^p\sp{1.5}p\sp{1.5}!}{(2\sp{1.5}p+1)!}}$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \ f(x)=\sum_{p=0}^{+\I}\frac{4^p\sp{1.5}p\sp{1.5}!}{(2\sp{1.5}p+1)!}\,x^{2\sp{1.5}p+1}$
Réciproquement, par la règle de
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert,
cette série converge pour tout $\,x\app\bb R\,$ car :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
$\displaystyle{}\lim p{+\I}\,\bigg|\frac{a_{2\sp{1.5}p+1}\,x^{2\sp{1.5}p+1}}{a_{2\sp{1.5}p-1}\,x^{2\sp{1.5}p-1}}\bigg|=\lim p{+\I}\,\frac{2\sp{1.5}x^2}{2\sp{1.5}p+1}=0$
On en déduit que la série entière obtenue a pour
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
rayon
de convergence : $\,R=+\I\sp{1.5}.\,$
Les calculs précédents prouvent que sa somme vérifie l'équation différentielle $\,y'-2\sp{1.5}x\sp{1.5}y=1\,$ et s'annule en $\,x=0\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit alors du théorème de
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
Soient $\,a,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
Cauchy
linéaire, que la fonction $f$ coïncide sur $\bb R$ avec cette somme :
$\displaystyle{}(\sc E_f)\ \ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour $\,(x_0,y_0)\app I\times\bb K\,$ fixé, il existe une unique solution $\,\phi\,$ de $\,(\sc E_f)\,$ telle que : $\,\phi(x_0)=y_0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \,f(x)=\sum_{p=0}^{+\I}\frac{4^p\sp{1.5}p\sp{1.5}!}{(2\sp{1.5}p+1)!}\,x^{2\sp{1.5}p+1}$
On aurait pu aussi développer $\,x\mapsto\e{x^2}\,$ en série entière, ainsi que la primitive de $\,x\mapsto\e{-x^2}\,$ qui s'annule en $\,0\sp{1.5}.\,$ Avec le
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
produit
de Cauchy de ces deux séries entières, on obtient une autre expression de $\,f(x)\sp{1.5}\,$ nettement moins explicite.$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
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Exercice e
On considère la fonction suivante de variable réelle :
$\displaystyle{}f:x\mapsto(\op{Arcsin}x)^2$
Développer cette fonction en série entière en $\,0\,$ au moyen d'une équation différentielle, puis préciser son intervalle de convergence.
fonctions développables en série entière
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
unicité du développement en série entière
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
produit de Cauchy des séries entières
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
théorème d'Abel radial
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
indication
1
Exprimer $f''(x)$ en fonction de $x$ et $f'(x),$ et en déduire une relation de récurrence vérifiée par les coefficients d'une série entière dont $f(x)$ serait la somme.
indication
2
Utiliser la formule de Stirling pour étudier la convergence sur $[-1,1]$ de la série entière obtenue.
réponse
On obtient un développement en série entière de la fonction $f$ sur tout le segment $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\,,\ \,f(x)=\sum_{p=0}^{+\I}\dfrac{2^{2\sp{1.5}p-1}\big((p-1)\sp{1.5}!\big)^2}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}\,x^{2\sp{1.5}p}$
correction
L'
Les fonctions arc sinus et arc cosinus sont de classe $\sc C^{\I}$ sur $]-1,1\sp{1.5}[\sp{1.5},$ avec :
arc sinus,
a pour dérivée $\,x\mapsto\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}=(1-x^2)^{-1/2}\sp{1.5},\,$ qui est
$\displaystyle{}\ptt x\app\,\sp{1.5}]\!-1,1\sp{1.5}[,\ \op{Arcsin}'(x)=\smb{2}{\frac1{\sqrt{1-x^2}}}=-\op{Arccos}'(x)$
On alors : $\,\ptt x\app\,[-1,1\sp{1.5}],\ \op{Arcsin}x+\op{Arccos}x=\dfrac{\pi}2\!\cdot\,$
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance est développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$
développable
en série entière de rayon $\,R=1\sp{1.5}.\,$
Par
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,(1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{+\I}\frac{\alpha\dots(\alpha-n+1)}{n\sp{1.5}!}\,x^n$
La dérivée et les primitives d'une série entière $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $\,R\,$ ont le même rayon.
primitivation,
la fonction $\,g:x\mapsto\op{Arcsin}x\,$ est elle aussi développable en série entière de même rayon. Son carré $\,f=g^2\,$ est alors développable comme
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$
Leur produit $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
produit
de Cauchy de deux séries entières de rayon $\,R=1\sp{1.5}.\,$
En dérivant deux fois la fonction $f$ sur l'intervalle $\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
$\eqalign{f'(x)&=\frac{2\op{Arcsin}x}{\sqrt{1-x^2}}\\f''(x)&=\frac2{\big(\sqrt{1-x^2}\,\big)^{\!2}}+2\op{Arcsin}x\ \frac{(-1/2)(-2\sp{1.5}x)}{(1-x^2)^{3/2}}\\[-.5ex] &=\frac2{1-x^2}+\frac{x\sp{1.5}f'(x)}{1-x^2}}$
$f$ est donc
Soient $\,a,b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
l'unique
solution de l'équation
$\displaystyle{}(\sc E_f)\ \ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour $\,(x_0,y_0,z_0)\app I\times\bb K^2\,$ fixé, il existe une unique solution $\,\phi\,$ de $\,(\sc E_f)\,$ telle que : $\displaystyle{}\phi(x_0)=y_0\txt{et}\phi'(x_0)=z_0$
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire d'ordre $\,2\,$ est :
différentielle
linéaire $\,(1-x^2)\sp{1.5}y''-\sp{1.5}x\sp{1.5}y'-2=0\,$ telle que $\,f(0)=f'(0)=0\sp{1.5}.\,$
Son développement en série entière : $\,f(x)=\smb{2}{\dsum_{n=0}^{+\I}a_n\sp{1.5}x^n}\,$ vérifie donc,
par
$\displaystyle{}(\sc E)\ \ \ y\sp{1.5}''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)\sp{1.5}, \txt{pour} a,b,f\app\sc C(I,\bb K)$
Ses solutions sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ deux fois dérivables, telles que :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \phi''(x)+a(x)\sp{1.5}\phi'(x)+b(x)\sp{1.5}\phi(x)=f(x)$
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$
Sa somme $f$ est de classe $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
dérivation
terme à terme :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
$\displaystyle{}\smh{2}{(1-x^2)\sum_{n=0}^{+\I}n\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^{n-2}-x\sum_{n=0}^{+\I}n\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^{n-1}-2=0}$
Après dissociation de la première somme, puis en
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translatant
l'indice $\,n\,$ en $\,p=n-2\sp{1.5},\,$ on obtient :
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\eqalign{&\sum_{n=2}^{+\I}n\sp{1.5}(n-1)\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^{n-2}-\sum_{n=0}^{+\I}n^2\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^n-2=0\\[-.5ex]
&\sum_{p=0}^{+\I}(p+2)\sp{1.5}(p+1)\sp{1.5}a_{p+2}\sp{1.5}x^{p}-\sum_{n=0}^{+\I}n^2\sp{1.5}a_n\sp{1.5}x^n-2=0\sp{1.5},\,\txt{soit :}\\[-1ex]
&(2\sp{1.5}a_2-2)+\sum_{n=1}^{+\I}\big((n+2)(n+1)\,a_{n+2}-n^2\sp{1.5}a_n\big)x^n=0}$
Par
Une fonction $f$ développable en série entière en $\,0\,$ a un unique développement $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\sp{1.5},\,$ avec :
unicité
du développement en série entière, on en déduit les relations :
$\displaystyle{}\ptt n\app\bb N,\ a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n\sp{1.5}!}$
$\eqalign{a_0=f(0)=0\sp{1.5},\ \ a_1=f'(0)=0\sp{1.5},\ \ a_2=\frac{f''(0)}2=1\\[-1ex] \txt{et :} \,\ptt n\geq1\sp{1.5},\ \,a_{n+2}=\frac{n^2}{(n+2)(n+1)}\,a_n}$
On distingue alors deux cas selon la parité de l'indice $\,n:\,$- D'une part, si $\,n\,$ est impair, on a par
Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $\,n\geq n_0\,$ telle que :récurrence : $\,\ptt p\geq0\sp{1.5},\ a_{2\sp{1.5}p+1}=0\,,\,$ car $\,a_1=0\,$ ainsi que, pour tout $\,p\geq1:\,$
- $P(n_0)$ soit vraie,
- et $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ \big(P(n)\!\Imp\! P(n+1)\big).\,$
$\displaystyle{}a_{2\sp{1.5}p-1}=0\Imp a_{2\sp{1.5}p+1}=\dfrac{(2\sp{1.5}p-1)^2}{(2\sp{1.5}p+1)(2\sp{1.5}p)}\,a_{2\sp{1.5}p-1}=0$ - D'autre part, si $\,n\,$ est pair, on a par produit
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ un produit télescopique est un produit du type :télescopique :$\displaystyle{}P_{n,\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\dprod_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k+p}}{a_k}}$On a alors : $\,P_{n,\sp{1.5}1}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+1}}{a_0}}\sp{1.5},\,$ $\,P_{n,\sp{1.5}2}=\smh{1}{\dfrac{a_{n+2}\,a_{n+1}}{a_1\sp{1.5}a_0}}\sp{1.5},\,$ etc.$\eqalign{\ptt p\app\bb N,\ a_{2\sp{1.5}p}=&a_2\prod_{k=1}^{p-1}\frac{a_{2\sp{1.5}k+2}}{a_{2\sp{1.5}k}}= \prod_{k=1}^{p-1}\frac{4\sp{1.5}k^2}{(2\sp{1.5}k+2)(2\,k+1)}\\=&\frac{4^{p-1}\big((p-1)\sp{1.5}!\big)^2}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!/2}= \frac{2^{2\sp{1.5}p-1}\big((p-1)\sp{1.5}!\big)^2}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}}$
$\,f:I\to\bb R \,$ est développable en série entière en $\,\alpha\,$ ssi il existe une série entière
$\,\sum a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon $\,R\geq r > 0\,$ telle que :
développement
en série entière de rayon de convergence $\,R=1:\,$
$\displaystyle{}]\!-r,r\sp{1.5}[\,\subset I\,\txt{et :}\ptt x\app\,]\!-r,r\sp{1.5}[\,,\ f(\alpha+x)=\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}}\,a_n\sp{1.5}x^n$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\!-1,\sp{1.5}1[\,,\ \ (\op{Arcsin}x)^2=\dsum_{p=0}^{+\I}\dfrac{2^{\sp{1.5}2\sp{1.5}p-1}\big((p-1)\sp{1.5}!\big)^2}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}\,x^{2\sp{1.5}p}$
Il reste à évaluer cette formule pour $\,x=\pm1\sp{1.5};\,$ grâce à la formule de
La factorielle de $n$ a pour équivalent lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I:\,$
Stirling,
on a par
$\displaystyle{}n\sp{1.5}!\eq n{+\I}\!\sqrt{2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}n}\,\Big(\dfrac n{\e{}}\Big)^{\!n}$
Soient des suites numériques avec $\,\smb0{u_n\eq n{+\I}x_n}\,$ et $\,\smb0{v_n\eq n{+\I}y_n}\sp{1.5};\,$ alors :
quotient
d'équivalents :
- $\,u_n\,v_n\smb{1}{\eq n{+\I}}x_n\,y_n\sp{1.5};\,$
- $\,u_n/v_n\eq n{+\I}x_n/y_n\sp{1.5},\,$ lorsque $\,v_n\neq 0\sp{1.5}\,$ et $\,y_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\,.\,$
$\eqalign{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!&\eq{p}{+\I}\,\sqrt{4\sp{1.5}\pi\sp{1.5}p}\,\Big(\sp{-1.5}\dfrac{2\sp{1.5}p}{\e{}}\sp{-1.5}\Big)^{\!2\sp{1.5}p}\\[-.5ex]
\big((p-1)\sp{1.5}!\big)^2&\eq{p}{+\I}\,2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}(p-1)\,\Big(\sp{-1.5}\dfrac{p-1}{\e{}}\sp{-1.5}\Big)^{\!2\sp{1.5}p-2}\\[.5ex]
\txt{d'où :}\ a_{2\sp{1.5}p}&
\eq{p}{+\I}\,\frac{\e{2}\sqrt{\pi}}{2\,p^{3/2}}\Big(\dfrac{p-1}{p}\Big)^{\!2\sp{1.5}p-1}}$
On en déduit que : $\,a_{2\sp{1.5}p}\eq{p}{+\I}\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\,p^{3/2}}\sp{1.5},\,$ car on a : $\,\Big(\dfrac{p-1}{p}\Big)^{\!2\sp{1.5}p-1}\!\!\tend p{+\I}\ \e{-2}\sp{1.5},\,$ du fait de
La fonction logarithme vérifie :
l'équivalent
suivant :
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}\ln\Big(\sp{-1.5}\Big(\dfrac{p-1}{p}\Big)^{\!2\sp{1.5}p-1}\Big)=(2\sp{1.5}p -1)\sp{1.5}\ln\Big(1-\frac1p\Big)\eq{p}{+\I}-2$
Par comparaison à une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann,
il s'ensuit que la série entière converge
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
normalement
sur $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Il s'ensuit que la somme $S$ de cette série entière est
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
continue
sur $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\,$ tout comme le
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
carré
$f$ de la fonction
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
L'arc sinus est impair, continu et strictement croissant sur $\,[-1,1]\sp{1.5}.\,$
arc sinus.
Par
Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$ ou si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :
passage
à la limite lorsque $\,x\,$ tend vers $\,\pm1\sp{1.5},\,$ on obtient finalement :
$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\,,\ \,f(x)=\dsum_{p=0}^{+\I}\dfrac{2^{2\sp{1.5}p-1}\big((p-1)\sp{1.5}!\big)^2}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}\,x^{2\sp{1.5}p}$
On peut aussi établir la continuité de la somme $S$ en $\,x=\pm1\sp{1.5},\,$ en utilisant le
Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.
Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge, alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
théorème d'Abel
radial.$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$