exercices de mathématiques - prépa et université

On considère les développements en séries entières du

Le cosinus hyperbolique  est  développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$

$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\op{ch}x=\sum_{p=0}^{+\I}\dfrac{x^{2\sp{.75}p}}{(2\sp{1.5}p)\sp{1.5}!}$

sinus hyperbolique et du

Le sinus  est  développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$

$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \,\sin x=\sum_{p=0}^{+\I}(-1)^p\dfrac{x^{2\sp{.75}p+1}}{(2\sp{1.5}p+1)\sp{1.5}!}$

sinus usuel, pour tout $\,x\app\bb R:\,$

La

Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$

Leur somme $\,\sum (a_n+b_n)z^n\,$ est  une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$

Si  on a de plus : $\,R_a\neq R_b\sp{1.5},\,$ alors : $\,R=\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$

différence de ces deux séries entières de rayons de convergence infinis est alors une série entière de rayon : $\,R=+\I\sp{1.5}.\,$

Dans cette différence, seuls subsistent les termes d'indices

Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

impairs $\,p=2\sp{1.5}n-1\sp{1.5},\,$ pour $\,n\geq1:\,$

La somme $S(x)$ s'écrit donc, pour tout $\,x\app\bb R:\,$

On simplifie le coefficient de $\,x^{2\sp{1.5}n}\!\,$ en dissociant les indices

Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

pairs et impairs dans l'expression de la

Pour $n\app\bb N\sp{1.5},$ la factorielle de $\,n\,$ est  l'entier naturel défini par :

$\displaystyle{}0\sp{1.5}!=1 \ \txt{et} \ n\sp{1.5}!=\dprod_{k=1}^{n}k \txt{si} n\neq0$

factorielle de $\,(2\sp{1.5}n+1):\,$

La série entière, privée de son premier terme, peut alors s'écrire :

Cette expression correspond au

Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance  est  développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$

$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,(1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{+\I}\frac{\alpha\dots(\alpha-n+1)}{n\sp{1.5}!}\,x^n$

développement en série entière de :  $\,(1+u)^{-3/2}-1\,$  pour $\,u=-\sp{1.5}4\sp{1.5}x^2.\,$

Cette série entière étant de rayon $\,1\sp{1.5},\,$ la série étudiée a alors pour

Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence  ssi :

• tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
• et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.

rayon de convergence $\,R=1/2\sp{1.5},\,$ car :

• elle converge lorsque $\,|-4\sp{1.5}x^2| < 1\sp{1.5},\,$ c'est à dire lorsque $\,|x| < 1/2\sp{1.5},\,$
• et elle diverge
  Si  une série $\,\sum u_n\,$ est convergente,  alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$

  Si  $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série  est  grossièrement divergente.
  grossièrement lorsque $\,|x| > 1/2\sp{1.5}.\,$

La somme $S(x)$ s'écrit donc, pour tout $\,x\app\big]\!-\sp{-1.5}1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5},1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}\big[\sp{-1.5}:\,$

Cette série entière peut se décomposer en une

Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$

Leur somme $\,\sum (a_n+b_n)z^n\,$ est  une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$

Si  on a de plus : $\,R_a\neq R_b\sp{1.5},\,$ alors : $\,R=\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$

somme de trois séries entières :

• La deuxième série est une série entière
  Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge  ssi $\,|z| < 1:\,$

  $\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
  géométrique, convergente si et seulement si $\,|x| < 1:\,$
  $\displaystyle{}\sum_{n=1}^{+\I}\ x^n=\frac1{1-x}-1=\frac x{1-x}$
• la troisième série est le
  Le logarithme  est  développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$

  $\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\I}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
  développement en série entière d'un logarithme, de rayon de convergence $\,R=1:\,$
  $\displaystyle{}\sum_{n=1}^{+\I}\frac{x^n}n=-\ln(1-x)$
• la première série résulte de la
  Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$

  Sa somme $f$  est de classe  $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :

  $\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
  dérivation de la série géométrique, d'où le même
  La dérivée et les primitives d'une série entière $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $\,R\,$ ont le même rayon.
  rayon $\,R=1:\,$
  $\displaystyle{}\sum_{n=1}^{+\I}\ n\sp{1.5}x^n=x\,\frac {\d}{\d x}\Big(\frac1{1-x}\Big)=\frac x{(1-x)^2}$

Leur somme a alors pour

Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence  ssi :

• tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
• et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.

rayon de convergence $\,R=1\sp{1.5},\,$ puisque :

• elle converge pour tout $\,|x| < 1\sp{1.5},\,$
• et elle diverge
  Si  une série $\,\sum u_n\,$ est convergente,  alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$

  Si  $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série  est  grossièrement divergente.
  grossièrement pour tout $\,|x|\geq1\sp{1.5},\,$ car on a alors :
  $\displaystyle{}\frac{n^2+n+1}{n}\,|x|^{n}\geq n\,\tend n{+\I}\!+\I$

La somme $S(x)$ s'écrit donc, pour tout $\,x\app\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[ \,:\,$

Avec une partie entière nulle et deux pôles simples $\,-1\,$ et $\,-1/2\sp{1.5},\,$ la

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

fraction $\,\dfrac{1}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}\,$ a une

Soit $f$ une fonction rationnelle irréductible à pôles simples $\alpha_1,\dots,\alpha_p\sp{1.5}.$

Alors $f$ a une unique décomposition en éléments simples :

$\displaystyle{}\smh{1.5}{f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}= E(x)+\dfrac{\lambda_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{\lambda_p}{x-\alpha_p}}$

• La partie entière $E$ est le quotient euclidien de $A$ par $B\sp{1.5};$
• après simplification par $(x-\alpha_k):$ $\,\lambda_k\!=\!\dfrac{\!A(x)(x-\alpha_k)\!}{B(x)}\Big|_{x=\alpha_k}\!\!\!\!\!\!\,$

décomposition de la forme :

• On peut évaluer directement $a$ et $b$ par les formules :
  $\displaystyle{}a=\frac1{2\sp{1.5}n+1}\Big|_{n\,=\,-1}\!=-1\ \txt{et}\ b=\frac1{n+1}\Big|_{n=-1/2}\!=2$
• ou
  Si $\,A,B\app\bb K_n[X]\,$ ont plus de $\,n\,$ valeurs en commun,  alors $\,A=B\sp{1.5}.\,$

  On peut donc identifier leurs coefficients : $\,\ptt k\app\sp{1.5}[\![\sp{1.5}0\sp{.75},n\sp{1.5}]\!]\sp{1.5},\ a_k=b_k\sp{1.5}.\,$
  identifier les coefficients $a$ et $b$ dans :
  $\eqalign{\frac1{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}=&\frac{(2\sp{1.5}a+b)\sp{1.5}n+a+b}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}\\[.5ex] \txt{d'où :}&\Big\{\eqalign{\,2\sp{1.5}a+b=0\\[-.5ex]a+b=1}}$

La série entière $\,\dsum_{n\geq 0}\dfrac{(-1)^n\,x^{2\sp{1.5}n+1}}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}\,$ peut alors s'écrire comme une

Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$

Leur somme $\,\sum (a_n+b_n)z^n\,$ est  une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$

Si  on a de plus : $\,R_a\neq R_b\sp{1.5},\,$ alors : $\,R=\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5}.\,$

somme :

• On a d'une part, le quotient par $\,-x\,$ du
  Le logarithme  est  développable en série entière en $\,1\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$

  $\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1,1\sp{1.5}[\,,\ \,\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\I}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}$
  développement d'un logarithme, de rayon $\,R=1\sp{1.5},\,$ d'où pour $\,x\neq0:\,$
  $\displaystyle{}-\frac1x\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(-1)^n\,(x^2)^{n+1}}{n+1}=-\frac{\ln(1+x^2)}{x}$
• et d'autre part, le
  L'arc tangente  est  développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=1:\,$

  $\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{-1.5}-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\,,\ \,\op{Arctan} x=\sum_{p=0}^{+\I}(-1)^{p}\sp{1.5}\frac{x^{2\sp{.75}p+1}}{2\sp{1.5}p+1}$
  développement de l'arc tangente, lui aussi de rayon $\,R=1\sp{1.5},\,$ avec :
  $\displaystyle{}2\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(-1)^n\,x^{2\sp{1.5}n+1}}{2\sp{1.5}n+1}=2\sp{1.5}\op{Arctan}x$

Cette somme a alors pour

Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence  ssi :

• tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
• et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.

rayon de convergence $\,R=1\sp{1.5},\,$ puisque :

• elle converge pour tout $\,|x| < 1\sp{1.5},\,$
• et elle diverge
  Si  une série $\,\sum u_n\,$ est convergente,  alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$

  Si  $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série  est  grossièrement divergente.
  grossièrement pour tout $\,|x|>1\sp{1.5},\,$ car on a alors par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
  croissances comparées :
  $\displaystyle{}\dfrac{|x|^{2\sp{1.5}n+1}}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}\tend n{+\I}+\I$

On obtient donc comme somme de cette série entière, pour tout $\,x\neq0\,$ appartenant à l'intervalle $\,]\!-1\sp{.75},1\sp{1.5}[\,:\,$

Soit la fonction  $\,f:x\mapsto2\sp{1.5}\op{Arctan}x-{\dfrac{\ln(1+x^2)}{x}}\sp{1.5},\,$ continue sur $\bb R^{\ast}$ par

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

opérations entre un

L'arc tangente est impair, continu et strictement croissant sur $\bb R\sp{1.5}.$

arc tangente et un

Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

logarithme.

• D'une part, la fonction $f$ se
  Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$

  Alors la fonction $f$ se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :

  $\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
  prolonge en une fonction continue sur $\,\bb R\,$ en posant $\,f(0)=0\sp{1.5},\,$ étant donné que :
  $\displaystyle{}\dfrac{\ln(1+x^2)}{x}\eq x0 x$
• d'autre part, par
  Soient des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ 0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} u_n\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} v_n\sp{1.5}.\,$

  Si  la série $\,\sum v_n\,$ converge,  alors  la série $\,\sum u_n\,$ converge  et :

  $\displaystyle{}0\leq \sum_{n=n_0}^{+\I}u_n\leq\sum_{n=n_0}^{+\I}v_n$
  comparaison à une série de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge  ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
  Riemann, la série entière converge
  Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$

  la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement  ssi  $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.

  $\,\sum\!f_n\,$ converge  alors  uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
  normalement sur $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\,$ car :
  $\displaystyle{}\bigg|\frac{(-1)^n\,x^{2\sp{1.5}n+1}}{(n+1)(2\sp{1.5}n+1)}\bigg|\leq\frac1{2\sp{1.5}n^2}$

La somme $S$ de la série entière, uniformément convergente, est donc

Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$

Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$  alors  $S$ est continue sur $I.$

continue sur l'intervalle $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ comme la fonction $\,f\sp{1.5}.\,$

Par

Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$  ou  si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :

$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$

passage à la limite lorsque $\,x\,$ tend vers $\,\pm1\sp{1.5},\,$ les fonctions $S$ et $f$ coïncident donc sur le segment $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ d'où :

Le coefficient $\,a_n=\dfrac1n\,\cos\sp{-1.5}\big(\dfrac{\pi}4+n\,\dfrac{\pi}2\big)\,$ vérifie : $\,|a_n|=\dfrac1{n\,\sqrt2}\sp{1.5};\,$ avec

Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :

$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$

l'équivalence : $\,(n+1)\eq n{+\I} n\sp{1.5},\,$ on a alors :

Selon la règle de

Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.

Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors  elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$

d'Alembert, cette série entière a donc pour rayon de convergence $\,R=1\sp{1.5}.\,$

Sur l'intervalle $\,]\!-1\sp{.75},\sp{1.5}1[\,,\,$ la somme $S$ de cette série entière se

Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$

Sa somme $f$  est de classe  $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :

$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$

dérive terme à terme : On a aussi, par propriété de

L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :

• $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
• $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
  $\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$

l'exponentielle :

Il s'ensuit que $\,S'(x)\,$ s'obtient à l'aide de la somme d'une série

Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge  ssi $\,|z| < 1:\,$

$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$

géométrique :

Sachant que $\,S(0)=0\sp{1.5},\,$ on peut alors calculer $\,S(x)\,$ sur $\,]\!-1\sp{.75},\sp{1.5}1\sp{1.5}[\,$ par

Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

primitivation :

Étant donné que $\,R=1\sp{1.5},\,$ on considère les sommes partielles d'indice

Un entier relatif $a$ est pair  ssi  il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire  ssi  il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$

Les entiers non pairs  sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$

pair de la série $\,\sum a_n\sp{1.5}R^n:\,$ $\,\sigma_{2\sp{1.5}p}=\smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=1}^{2\sp{1.5}p}}a_n\sp{1.5}.\,$

Avec $\,\cos\sp{.75}(\sp{.75}\pm\sp{.75}\pi/4+k\sp{1.5}\pi)=(-1)^k\!/\sp{-1.5}\sqrt2\sp{1.5},\,$ on obtient alors en

Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$

Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :

$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$

dissociant les indices pairs des indices impairs : La suite des $\,|a_{2\sp{1.5}p-1}+a_{2\sp{1.5}p}|\,$ étant décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5},\,$ on peut appliquer le théorème spécial des séries

Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$

Alors  pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$  est  convergente.

Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$

alternées.

Les $\sigma_{2\sp{1.5}p}$ convergent alors, ainsi que les $\,\sigma_{2\sp{1.5}p+1}=\sigma_{2\sp{1.5}p}+a_{2\sp{1.5}p+1}\,$ vers la même limite, car : $\,\lim p{+\I}a_{2\sp{1.5}p+1}=0\sp{1.5}.\,$

Par

Soient $\suit un$ une suite numérique ;  pour $\,\ell\app\bb C\,$ ou $\,\ell=\pm\I\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\displaystyle{}\lim p{+\I}\!u_{2\sp{1.5}p}=\!\!\lim p{+\I}\!u_{2\sp{1.5}p+1}=\ell\Imp\!\!\lim n{+\I}\!u_n=\ell$

réunion de deux suites extraites complémentaires et de même limite, la série $\,\sum a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge donc.

D'après le

Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.

Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge,  alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$

$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$

théorème d'Abel radial, il s'ensuit que la somme $S$ est continue sur l'intervalle $\,]\!-1\sp{.75},\sp{1.5}1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

On applique ensuite ce théorème à la série entière $\,\sum_{n\geq1} a_n(-x)^n,\,$ de somme $S(-x)\sp{1.5},$  avec : On montre alors de la même manière la continuité de la somme $S$ en $\,-1\sp{1.5},\,$ et finalement sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}-1\sp{.75},\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,.\,$

Soit  $\,f:x\mapsto-\dfrac1{\sqrt 2}\Big(\sp{-1.5}\op{Arctan}x+\dfrac{\ln(1+x^2)}2\Big),\,$ continue sur $\bb R$ par

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

somme d'un

L'arc tangente est impair, continu et strictement croissant sur $\bb R\sp{1.5}.$

arc tangente et d'un

Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

logarithme.

Par

Soient $\,f,g:I\!\setminus\!\{a\}\to\bb R\,$ ayant des limites finies ou non en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

Si $\,f(x)\!=\! g(x)\,$ au voisinage de $a$  ou  si : $\,f(x)\eq xa g(x),\,$ alors :

$\displaystyle{}\lim x a\ f(x)= \lim x a \ g(x)$

passage à la limite lorsque $\,x\,$ tend vers $\,\pm1\sp{1.5},\,$ les fonctions $S$ et $f$ coïncident donc sur le segment $\,[-1\sp{.75},1\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ d'où :