Sujet E.5.1 Rayon de convergence
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Exercice a
Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière suivante :
$\displaystyle{}\sum_{n\geq0}\dfrac{z^{\sp{1.5}3\sp{1.5}n+1}}{2^{\sp{1.5}n}}$
rayon de convergence d'une série entière
Soient une série entière $\sum a_n\sp{1.5}z^n$ et $\,I\,$ l'ensemble des $\,r\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\,$ tels que la suite $(a_n\sp{1.5}r^n)$ soit bornée.
Le rayon de convergence de cette série entière est la borne supérieure de $\,I\,$ dans $\,\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
caractérisation du rayon de convergence
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
comparaison des rayons de convergence
Soient des séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $\,R_a\,$ et $\,R_b:\,$
- si $\,\smh{.75}{\smb{1.5}{a_n\dl n{+\I}}}O(b_n),\,$ alors : $\,R_a\geq R_b\,;\,$
- si $\,a_n\eq n{+\I}b_n\sp{1.5},\,$ alors : $\,R_a= R_b\,.\,$
règle de d'Alembert des séries entières
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
indication
Faire apparaître cette série comme une série géométrique.
réponse
La série $\,\dsum_{n\geq0}\dfrac{z^{3n+1}}{2^n}\,$ est bien une série entière, et elle a pour rayon de convergence : $\,R=\sqrt[3]2\,.\,$
correction
Avec : $\,a_{3n+1}=\dfrac1{2^n}\,$ et $\,a_{3n}=a_{3n+2}=0\sp{1.5},\,$ la série $\,\Op{\sum}_{n\geq0}\dfrac{z^{\sp{1.5}3\sp{1.5}n+1}}{2^n}\,$ est bien une
Une série entière est une série de fonctions $\,z\mapsto\sum a_nz^n\sp{1.5},\,$
pour $\,(a_n)\app\bb C^{\bb N}\,$ et $\,z\app\bb C\sp{1.5}.\,$
série entière :
$\,\Op{\sum}_{p\sp{1.5}\geq\sp{1.5}0}a_p\,z^{\sp{1.5}p},\,$ avec :
$\displaystyle{}a_{3n+1}\,z^{3\sp{1.5}n+1}=\dfrac{z^{\sp{1.5}3\sp{1.5}n+1}}{2^n}=z\sp{1.5}\Big(\sp{-1.5}\dfrac{z^{\sp{1.5}3}}2\sp{-1.5}\Big)^{\!n}$
Dans ces conditions, pour $r\geq0\sp{1.5},$ la suite $\,(a_p\sp{1.5}r^{\sp{1.5}p})_{p\sp{1.5}\geq\sp{1.5}0}\,$ est bornée si et seulement si la
suite
Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$
géométrique
de raison $\,\dfrac{r^3}2\,$ converge.
La suite $\,(a_p\sp{1.5}r^{\sp{1.5}p})_{p\sp{1.5}\geq\sp{1.5}0}\,$ est donc bornée si et seulement $\,r^3\leq2\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire : $\,r\leq\sqrt[3]2\,.\,$
Par définition du
- $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
- $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$
Soient une série entière $\sum a_n\sp{1.5}z^n$ et $\,I\,$ l'ensemble des $\,r\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\,$ tels que la suite $(a_n\sp{1.5}r^n)$ soit bornée.
Le rayon de convergence de cette série entière est la borne supérieure de $\,I\,$ dans $\,\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
rayon
de convergence de $\,\Op{\sum}_{p\sp{1.5}\geq\sp{1.5}0}a_p\,z^{\sp{1.5}p}\sp{1.5},\,$ la série entière $\,\dsum_{n\geq0}\dfrac{z^{\sp{1.5}3\sp{1.5}n+1}}{2^n}\,$ a donc pour rayon : $\,R=\sqrt[3]2\,.\,$
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Exercice b
Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière suivante :
$\displaystyle{}\sum_{n\geq1}\sp{1.5}\sin\!\Big(\sp{-1.5}\dfrac1{\sqrt n}\sp{-1.5}\Big)\sp{1.5}z^n$
rayon de convergence d'une série entière
Soient une série entière $\sum a_n\sp{1.5}z^n$ et $\,I\,$ l'ensemble des $\,r\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\,$ tels que la suite $(a_n\sp{1.5}r^n)$ soit bornée.
Le rayon de convergence de cette série entière est la borne supérieure de $\,I\,$ dans $\,\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
caractérisation du rayon de convergence
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
comparaison des rayons de convergence
Soient des séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $\,R_a\,$ et $\,R_b:\,$
- si $\,\smh{.75}{\smb{1.5}{a_n\dl n{+\I}}}O(b_n),\,$ alors : $\,R_a\geq R_b\,;\,$
- si $\,a_n\eq n{+\I}b_n\sp{1.5},\,$ alors : $\,R_a= R_b\,.\,$
règle de d'Alembert des séries entières
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
indication
Comparer le rayon de cette série entière à celui de la série entière : $\,\dsum_{n\geq1}\dfrac{z^n}{\sqrt n}\!\cdot\,$
réponse
La série entière $\,\dsum_{n\geq1}\sp{1.5}\sin\!\Big(\sp{-1.5}\dfrac1{\sqrt n}\sp{-1.5}\Big)\sp{1.5}z^n\,$ a pour rayon de convergence : $\,R=1\sp{1.5}.\,$
correction
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ vérifie :
Sachant
que $\,\lim n{+\I}\sqrt n=+\I\sp{1.5},\,$ on a par
$\displaystyle{}\lim x{+\I}\sqrt x=+\I\ \txt{et}\,\big(\sqrt{1+x}-1\big)\eq x0 \,\frac x2$
Soient des suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ de limites $\ell_1,\ell_2\app\surl{\sp{1.5}\bb R}\sp{1.5};$ alors :
inversion :
$\,\lim n{+\I}\dfrac1{\sqrt n}=0\sp{1.5},\,$ d'où un
- $\,\smb{1}{\smh0{\lim n{+\I} \big(\alpha\sp{1.5}u_n+\beta\,v_n\big)}}=\alpha\sp{1.5}\ell_1+\beta\sp{1.5}\ell_2\sp{1.5},\,$ si $\,(\alpha,\beta)\app\bb R^2,\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I}\ \big(u_n\,v_n\big)}=\ell_1\,\ell_2\sp{1.5},\,$
- $\,\smb{1}{\lim n{+\I} \big({u_n}\big/{v_n}\big)}= {\ell_1}\big/{\ell_2}\sp{1.5},\,$ si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq N,\,$
Les fonctions cosinus et sinus vérifient :
équivalent
de $\,{\sin\!\Big(\sp{-1.5}\dfrac1{\sqrt n}\sp{-1.5}\Big)}\,$ en $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}(\cos x-1)\,\eq x0-\smh{1.5}{\dfrac{x^2}2}\ \txt{et}\,\sin x\,\eq x0\,x$
$\displaystyle{}\sin\!\Big(\sp{-1.5}\dfrac1{\sqrt n}\sp{-1.5}\Big)\eq n{+\I}\dfrac1{\sqrt n}=b_n$
Par
Soient des séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $\,R_a\,$ et $\,R_b:\,$
comparaison,
la série entière $\,\dsum_{n\geq1}\sp{1.5}\sin\!\Big(\sp{-1.5}\dfrac1{\sqrt n}\sp{-1.5}\Big)\sp{1.5}z^n\,$ a le même rayon de convergence que : $\,\dsum_{n\geq1}b_n\,z^n=\dsum_{n\geq1}\dfrac{z^n}{\sqrt n}\!\cdot\,$
- si $\,\smh{.75}{\smb{1.5}{a_n\dl n{+\I}}}O(b_n),\,$ alors : $\,R_a\geq R_b\,;\,$
- si $\,a_n\eq n{+\I}b_n\sp{1.5},\,$ alors : $\,R_a= R_b\,.\,$
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
Avec :
$\,(n+1)\eq n{+\I} n\sp{1.5},\,$ et par continuité de la
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine
carrée, on trouve la limite du quotient de deux coefficients consécutifs :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\bigg|\frac{b_{n+1}}{b_n}\bigg|=\lim n{+\I}\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}}=\lim n{+\I}\sqrt{\frac n{n+1}}=1$
Selon la règle de
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
d'Alembert,
la série entière $\,\dsum_{n\geq1}\sp{1.5}\sin\!\Big(\sp{-1.5}\dfrac1{\sqrt n}\sp{-1.5}\Big)\sp{1.5}z^n\,$ a finalement pour rayon de convergence : $\,R=1\sp{1.5}.\,$
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Exercice c
Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière suivante :
$\displaystyle{}\sum_{n\geq1}\dfrac{\op{sh}n}{n^2}\,z^n$
rayon de convergence d'une série entière
Soient une série entière $\sum a_n\sp{1.5}z^n$ et $\,I\,$ l'ensemble des $\,r\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\,$ tels que la suite $(a_n\sp{1.5}r^n)$ soit bornée.
Le rayon de convergence de cette série entière est la borne supérieure de $\,I\,$ dans $\,\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
caractérisation du rayon de convergence
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
comparaison des rayons de convergence
Soient des séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $\,R_a\,$ et $\,R_b:\,$
- si $\,\smh{.75}{\smb{1.5}{a_n\dl n{+\I}}}O(b_n),\,$ alors : $\,R_a\geq R_b\,;\,$
- si $\,a_n\eq n{+\I}b_n\sp{1.5},\,$ alors : $\,R_a= R_b\,.\,$
règle de d'Alembert des séries entières
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
indication
Déterminer un équivalent du coefficient $\,a_n=\dfrac{\op{sh}n}{n^2}\,$ lorsque $n$ tend vers $\,+\I\sp{1.5}.\,$
réponse
la série entière $\,\dsum_{n\geq1}\dfrac{\op{sh}n}{n^2}\,z^n\,$ a pour rayon de convergence : $\,R=\dfrac1{\e{}}\!\cdot\,$
correction
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
Avec
$\,\e{-n}\!\!\dl n{+\I}\!o\big(\e n\big)\sp{1.5},\,$ on obtient un
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
équivalent
de $\,\dfrac{\op{sh}n}{n^2}\,$ lorsque $n$ tend vers $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
$\displaystyle{}\frac{\op{sh}n}{n^2}=\frac{\e n+\e{-n}}{2\,n^2}\eq n{+\I}\frac{\e n}{2\,n^2}=b_n$
Par
Soient des séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $\,R_a\,$ et $\,R_b:\,$
comparaison,
la série entière $\,\dsum_{n\geq1}\dfrac{\op{sh}n}{n^2}\,z^n\,$ a le même rayon de convergence que : $\,\dsum_{n\geq1}b_n\,z^n=\dsum_{n\geq1}\frac{\e n}{2\,n^2}\,z^n\sp{1.5}.\,$
- si $\,\smh{.75}{\smb{1.5}{a_n\dl n{+\I}}}O(b_n),\,$ alors : $\,R_a\geq R_b\,;\,$
- si $\,a_n\eq n{+\I}b_n\sp{1.5},\,$ alors : $\,R_a= R_b\,.\,$
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
Sachant
que : $\,(n^2+2\sp{1.5}n+1)\,\eq n{+\I}\sp{1.5}n^2\sp{1.5},\,$ on trouve la limite du quotient de deux coefficients consécutifs :
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
$\displaystyle{}\bigg|\frac{b_{n+1}}{b_n}\bigg|=\frac{\e{n+1}\,n^2}{\e{n}\,(n+1)^2}=\frac{\e{}\,n^2}{n^2+2\sp{1.5}n+1}\,\tend n{+\I}\,\e{}$
Selon la règle de
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
d'Alembert,
la série entière $\,\dsum_{n\geq1}\dfrac{\op{sh}n}{n^2}\,z^n\,$ a finalement pour rayon de convergence : $\,R=\dfrac1{\e{}}\!\cdot\,$
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Exercice d
Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière suivante :
$\displaystyle{}\sum_{n\geq0}n\sp{.75}!\,z^{\sp{1.5}n^2}$
rayon de convergence d'une série entière
Soient une série entière $\sum a_n\sp{1.5}z^n$ et $\,I\,$ l'ensemble des $\,r\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\,$ tels que la suite $(a_n\sp{1.5}r^n)$ soit bornée.
Le rayon de convergence de cette série entière est la borne supérieure de $\,I\,$ dans $\,\surl{\sp{1.5}\bb R\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
caractérisation du rayon de convergence
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.
comparaison des rayons de convergence
Soient des séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $\,R_a\,$ et $\,R_b:\,$
- si $\,\smh{.75}{\smb{1.5}{a_n\dl n{+\I}}}O(b_n),\,$ alors : $\,R_a\geq R_b\,;\,$
- si $\,a_n\eq n{+\I}b_n\sp{1.5},\,$ alors : $\,R_a= R_b\,.\,$
règle de d'Alembert des séries entières
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
indication
Appliquer, pour tout $z$ fixé, la règle de d'Alembert relative aux séries numériques.
réponse
La série $\,\dsum_{n\geq0}n\sp{.75}!\,z^{\sp{1.5}n^2}\,$ est bien une série entière, et elle a pour rayon de convergence : $\,R=1\sp{1.5}.\,$
correction
Avec $\,a_p=n\sp{.75}!\,$ si $\,p=n^2\sp{1.5},\,$ et $\,a_{p}=0\,$ si $\,p\,$ n'est pas un carré, la série $\,\Op{\sum}_{n\geq0}n\sp{.75}!\,z^{n^2}\,$ est bien une
Une série entière est une série de fonctions $\,z\mapsto\sum a_nz^n\sp{1.5},\,$
pour $\,(a_n)\app\bb C^{\bb N}\,$ et $\,z\app\bb C\sp{1.5}.\,$
série entière :
$\,\Op{\sum}_{p\geq0}a_p\,z^p.\,$
Cette série entière étant lacunaire, on ne peut pas lui appliquer la règle de
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.
Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors
elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
d'Alembert
relative aux séries entières.
On peut cependant calculer, pour tout $z$ fixé, la limite suivante obtenue par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées :
$\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
$\eqalign{\lim n{+\I}\Bigg|\frac{(n+1)\sp{.75}!\,z^{(n+1)^2}\!\!}{n\sp{.75}!\,z^{n^2}}\Bigg|&=\!\lim n{+\I}\!(n+1)\sp{1.5}z^{2n+1}\\[-.5ex]&=\syst{0\ \,&\txt{si}|z| < 1\\[-.5ex]+\I\!&\txt{si}|z|\geq1}}$
D'après la règle de
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert
relative aux séries numériques, cette série entière :- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
- converge absolument lorsque $\,|z| < 1\sp{1.5},\,$
- et diverge
Si une série $\,\sum u_n\,$ est convergente, alors : $\,\lim n{+\I}u_n=0\sp{1.5}.\,$ Si $(u_n)$ ne tend pas vers $\,0\sp{1.5},\,$ la série est grossièrement divergente.grossièrement lorsque $\,|z|\geq1\sp{1.5}.\,$
Une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ a $\,R\,$ pour rayon de convergence ssi :
rayon
de convergence, la série entière $\,\dsum_{n\geq0}n\sp{.75}!\,z^{\sp{1.5}n^2}\,$ a donc pour rayon : $\,R=1\sp{1.5}.\,$
- tant que $\,\sth{.5}|z| < R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est absolument convergente,
- et dès que $\,\sth{.5}|z| > R:\,$ $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ est grossièrement divergente.