exercices de mathématiques - prépa et université

On considère la fonction réelle  $\,f:(x,t)\mapsto\dfrac{\sin x\sp{1.5}t}{t\sp{1.5}(1+t^2)}\sp{1.5},\,$ définie sur $\,\bb R\times\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

Comme

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

quotients de fonctions

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$

• Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
• Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

sinus par une fonction

Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

polynomiale, les fonctions $\,t\mapsto f(x,t)\,$ sont continues sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

La

La fonction arc tangente est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \op{Arctan}'(x)=\smh{1}{\frac1{1+x^2}}$

dérivée de l'arc tangente, $\,\phi:t\mapsto\dfrac1{1+t^2}\sp{1.5},\,$ est continue et

Soit $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ avec $\,I=\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ ou $\,I=[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,;\,$ alors :

$\,f\,$ est intégrable sur $\,I\,$ ssi $\,\dint_a^b\!\big|\sp{-1.5}f(x)\sp{-1.5}\big|\d x\,$ est convergente.

On note $\,L^1(I,\bb K)\,$ l'ensemble des $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ intégrable sur $\,I.\,$

intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ car par

Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ;  alors :

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$

On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec :  $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$

primitivation : En

Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :

$\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$

majorant $\,|\sin(x\sp{1.5}t)|\sp{1.5},\,$ on en déduit par

Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$

comparaison que chaque fonction $\,t\mapsto f(x,t)\,$ est intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ car :

La fonction $f$ vérifie alors toutes les hypothèses du

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,f_x:t\mapsto f(x,t)\,$ appartenant à $\,L^1(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K)\sp{1.5}.\,$

• Si  chaque $\,x\mapsto f(x,t)\,$ est de classe $\sc C^1$ de classe sur $I\sp{1.5},$
• si  chaque $\,t\mapsto\partial f/\partial x(x,t)\,$ est continue par morceaux,
• et  si  il existe $\,\phi\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[, \bb R)\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ avec :
  $\displaystyle{}\ptt (x,t)\app I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \smb1{\Big|\big(\partial f/\partial x\big)(x,t)\Big|}\leq\phi(t)$

alors  la fonction $\,\smh{.5}{g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!f(x,t)\d t}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ et :

$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ g'(x)=\smh{.5}{\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\d t}$

théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :

• pour tout $\,t\app\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ fixé, les fonctions $\,x\mapsto f(x,t)\,$ sont
  $\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

  $\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
  de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R\,$ comme multiples des :
  Les fonctions cosinus et sinus sont de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

  $\eqalign{&\ptt x\app\bb R,\ \big(\cos'(x)=-\sin x\txt{et} \sin'(x)=\cos x\big) \ \txt{d'où :}\\[-1ex] &\cos^{(k)}(x)=\cos\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)\txt{et}\sin^{(k)}(x)=\sin\big(x+\dfrac{k\sp{1.5}\pi}2\big)}$
  $\,x\mapsto\sin(x\sp{1.5}t)\sp{1.5};\,$
• pour tout $\,x\app\bb R\,$ fixé, les $\,t\mapsto\smash{\dfrac{\partial f}{\partial x}}(x,t)=\dfrac{\cos x\sp{1.5}t }{1+t^2}\,$ sont continues sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ comme produits de $\,\phi\,$ par les $\,t\mapsto\cos(x\sp{1.5}t)\sp{1.5};\,$
• par
  Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :

  $\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$
  majoration de $\,|\cos(x\sp{1.5}t)|\sp{1.5},\,$ces dérivées partielles sont majorées en module par la fonction $\,\phi\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$
  $\displaystyle{}\ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \,\bigg|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigg|=\frac{|\cos x\sp{1.5}t\sp{1.5}|}{1+t^2}\leq\frac{1}{1+t^2}=\phi(t)$

Il s'ensuit que la fonction  $\,g:x\mapsto\dint_0^{+\I}\!\!\frac{\sin x\sp{1.5}t }{t\sp{1.5}(1+t^2)}\,\d t\,$  est

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$

de classe $\sc C^1$ sur $\,\bb R\sp{1.5},\,$ avec :

On considère la fonction réelle  $\,f:(x,t)\mapsto\e{x\sp{1.5}t^2},\,$ définie sur $\,\bb R\times[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Comme

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composées du

Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

carré $\,t\mapsto t^2\,$ par une

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle,  les $\,t\mapsto f(x,t)\,$ sont continues et donc

Si $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ on a $\,f\app L^1(I,\bb R)\,$ pour tout $\,I\!\subset\![\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Pour tout $\,a\app\bb R\,$ fixé, la restriction de $f$ à $\,]\!-\I,a\sp{1.5}]\times[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ vérifie les hypothèses du

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,f_x:t\mapsto f(x,t)\,$ appartenant à $\,L^1(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K)\sp{1.5}.\,$

• Si  chaque $\,x\mapsto f(x,t)\,$ est de classe $\sc C^1$ de classe sur $I\sp{1.5},$
• si  chaque $\,t\mapsto\partial f/\partial x(x,t)\,$ est continue par morceaux,
• et  si  il existe $\,\phi\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[, \bb R)\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ avec :
  $\displaystyle{}\ptt (x,t)\app I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \smb1{\Big|\big(\partial f/\partial x\big)(x,t)\Big|}\leq\phi(t)$

alors  la fonction $\,\smh{.5}{g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!f(x,t)\d t}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ et :

$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ g'(x)=\smh{.5}{\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\d t}$

théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :

• pour tout $\,t\app\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ fixé, les composées d'
  La fonction exponentielle est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

  $\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \exp'(x)=\exp(x)$
  exponentielles : $\,x\mapsto f(x,t)=\e{x\sp{1.5}t^2}\,$ sont
  $\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

  $\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
  de classe $\sc C^1$ sur $\,]\!-\I,a\sp{1.5}]\,;\,$
• pour tout $\,x\leq a\,$ fixé, les $\,t\mapsto\smb{1.25}{\dfrac{\partial f}{\partial x}}(x,t)=t^2\sp{1.5}\e{x\sp{1.5}t^2}\,$ sont continues sur $\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ comme
  $\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

  • stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
  • et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
  produits des $\,t\mapsto f(x,t)\,$ par $\,t\mapsto t^2\sp{1.5};\,$
• ces dérivées partielles sont
  Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

  • continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
  • continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
  majorées par $\,\phi_a:t\mapsto \smh{1.25}{\dfrac{\partial f}{\partial x}}(a,t)=t^2\sp{1.5}\e{a\sp{1.5}t^2},\,$ qui est continue et donc
  Si $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ on a $\,f\app L^1(I,\bb R)\,$ pour tout $\,I\!\subset\![\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
  intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]:\,$
  $\displaystyle{}\ptt x\leq a,\ \,\bigg|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigg|=t^2\sp{1.5}\e{x\sp{1.5}t^2}\leq t^2\sp{1.5}\e{a\sp{1.5}t^2}=\phi_a(t)$

Il s'ensuit que la fonction $\,g:x\mapsto{\dint_0^1}\e{x\sp{1.5}t^2}\d t\,$ est de classe  $\sc C^1$ sur chacun des intervalles $\,]\!-\I,a\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ avec :

On en conclut que la fonction $\,g\,$ est

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$

de classe $\sc C^1$ sur la

Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$

réunion des intervalles $\,]\!-\I,a\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$

On peut alors procéder, pour tout $\,x\neq0\sp{1.5},\,$ à une intégration

Soient $\,f,\sp{1.5}g\app\sc C^1(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}\int_a^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g'(x)\d x$

par parties :

On a ainsi :  $\,2\sp{1.5}x\sp{1.5}g'(x)+g(x)=\e{x}\sp{1.5},\,$  y compris pour $\,x=0\,$ car : $\,0\times g'(0)+g(0)=1=\e{0}.\,$

On a de cette manière établi que la fonction $\,g\,$ est une solution sur $\bb R$ de l'équation

Une équation différentielle d'ordre 1 est de la forme :

$\displaystyle{}(\sc E):\ \ g(x,y,y\sp{1.5}')=0 \txt{pour} g\app\sc F(I\times\bb K^2,\bb K)$

Les solutions de $\,(\sc E)\,$ sont les $\,\phi:I\to\bb K\,$ dérivables, telles que :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ g\sp{1.5}(x,\phi(x),\phi'(x))=0$

différentielle :

On considère la fonction $\,f:(x,t)\mapsto\dfrac{\cos t}{t+x}\sp{1.5},\,$ définie sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}\times\sp{1.5}[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Comme

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

quotient du

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$

• Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
• Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

cosinus par les

Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

fonctions $\,t\mapsto t+x\geq x > 0\sp{1.5},\,$ les $\,t\mapsto f(x,t)\,$ sont continues et donc

Si $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ on a $\,f\app L^1(I,\bb R)\,$ pour tout $\,I\!\subset\![\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Pour tout $\,a\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ fixé, la restriction de $f$ à $\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5}\times\sp{1.5}[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\,$ vérifie les hypothèses du

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,f_x:t\mapsto f(x,t)\,$ appartenant à $\,L^1(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K)\sp{1.5}.\,$

• Si  chaque $\,x\mapsto f(x,t)\,$ est de classe $\sc C^1$ de classe sur $I\sp{1.5},$
• si  chaque $\,t\mapsto\partial f/\partial x(x,t)\,$ est continue par morceaux,
• et  si  il existe $\,\phi\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[, \bb R)\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ avec :
  $\displaystyle{}\ptt (x,t)\app I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \smb1{\Big|\big(\partial f/\partial x\big)(x,t)\Big|}\leq\phi(t)$

alors  la fonction $\,\smh{.5}{g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!f(x,t)\d t}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ et :

$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ g'(x)=\smh{.5}{\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\d t}$

théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :

• pour tout $\,t\app\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\,$ fixé, les fonctions
  Une fonction rationnelle $\,f\,$ est de classe $\sc C^\I$ sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$
  rationnelles $\,x\mapsto f(x,t)\,$ sont
  $\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

  $\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
  de classe $\sc C^1$ sur $\,[\sp{1.5}a,+\I[\,;\,$
• pour tout $\,x\geq a\,$ fixé, les $\,t\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)=-\dfrac{\cos t}{(t+x)^2}\,$ sont continues sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\,$ au même titre que les $\,t\mapsto f(x,t)\sp{1.5};\,$
• ces dérivées partielles sont
  L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :

  • $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
  • $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
  majorées par $\,\phi_a:t\mapsto\dfrac{\cos t}{(t+a)^2}\sp{-1.5},\,$ qui est continue et donc
  Si $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ on a $\,f\app L^1(I,\bb R)\,$ pour tout $\,I\!\subset\![\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
  intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]:\,$
  $\displaystyle{}\ptt x\geq a,\ \,\bigg|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigg|=\frac{\cos t}{(t+x)^2}\leq\frac{\cos t}{(t+a)^2}=\phi_a(t)$

Il s'ensuit que la fonction $\,g:x\mapsto\dint_0^{\pi/2}\frac{\cos t}{t+x}\d t\,$ est de classe  $\sc C^1$ sur tous les $\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5},\,$ avec :

On en conclut que la fonction $\,g\,$ est

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$

de classe $\sc C^1$ sur la

Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$

réunion des intervalles $\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$

Les fonctions $\,t\mapsto\dfrac{\cos t}{(t+x)^2}\,$ sont positives et non identiquement nulles sur le segment $\,[\sp{1.5}0,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2]\sp{1.5}.\,$

Leurs intégrales y sont donc positives et

Pour $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue  avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$

non nulles ;  $\,g\,$ est alors strictement

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ puisque :

Avec : $\,\ptt t\app\,[\sp{1.5}0,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2]\sp{1.5},\ \cos''(t)=-\cos t\leq 0\sp{1.5},\,$ la fonction cosinus est

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ dérivable ; alors $f$ est convexe  ssi  $f'$ est croissante.

Si $f$ est deux fois dérivable, alors $f$ est convexe  ssi  $f''$ est positive.

Avec $f'$ décroissante ou $\,f''\leq0\sp{1.5},\,$ on a de même la concavité de $f\sp{1.5}.$

concave sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]\,.\,$

Par

$\,f:I\to\bb R\,$ est convexe  ssi  pour tout $\,(x,y)\app I^2\!:\,$

$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\,[\sp{1.5}0,1],\ f\big((1-\lambda)\sp{1.5}x+\lambda\sp{1.5}y\big)\leq (1-\lambda)\sp{1.5}f(x)+\lambda\sp{1.5}f(y)$

C'est-à-dire que le graphe de $f$ est situé sous la corde $[\![M(x),M(y)]\!]\sp{1.5}.$

La fonction $\,f:I\to\bb R\,$ est concave  ssi  la fonction $\,-f\,$ est convexe.

définition de la concavité, le cosinus est minoré sur ce segment par la fonction affine $\alpha$ telle que $\,\Big\{\eqalign{\alpha(0)\ \sp{1.5}=1\\\,\alpha(\pi/2)=0}\,:\,$ On en déduit une minoration de $\,f(x,t)\sp{1.5},\,$ puis de $\,g(x)\sp{1.5},\,$ par

Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$

$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$

croissance de l'intégrale : Par

Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$

 Si  on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$  alors :

• $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
• $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$

minoration, on en déduit que : $\,\lim x{0^+}g(x)=+\I\sp{1.5}.\,$

par

Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$

$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$

croissance de l'intégrale, on obtient aussi aussi $\,\!\lim x{+\I}g(x)\,$ par

Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$

Si  au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$  alors :

$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$

encadrement :

On peut finalement dresser le tableau des variations et limites de $\,g:\,$

$\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\rr\rr0&&\i+\hl &\i+\ss\sl g(x)&&\dec\sl & &&\ss0}$}$

La fonction $\,\omega:t\mapsto\dfrac{t-1}{\ln t}\,$ se prolonge par

Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$

Alors la fonction $f$ se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :

$\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$

continuité à $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ en posant $\,\omega(1)=1\sp{1.5},\,$ car par

La fonction logarithme vérifie :

$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$

équivalent : On considère alors la fonction $\,f:(x,t)\mapsto \dfrac{t-1}{\ln t}\,t^{x-1}=\omega(t)\ t^{x-1},\,$ définie sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}\times\sp{1.5}]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Comme produits de $\,\omega\,$ par des fonctions

Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance  $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :

• continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
• continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$

puissances, les fonctions $\,t\mapsto f(x,t)\,$ sont continues sur $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.\,$

Avec $\,f(x,t)\eq t{0}-\dfrac{t^{x-1}}{\ln t}\dl t{0}o\big(t^{x-1}\big)\sp{1.5},\,$ elles sont de plus intégrables sur $\,]\sp{1.5}0,1]\,$ par

Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$

comparaison à une intégrale de

Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

• intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
• intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$

Riemann.

Pour tout $\,a\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ fixé, la restriction de $f$ à $\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5}\times\sp{1.5}\sp{1.5}]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ vérifie les hypothèses du

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,f_x:t\mapsto f(x,t)\,$ appartenant à $\,L^1(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K)\sp{1.5}.\,$

• Si  chaque $\,x\mapsto f(x,t)\,$ est de classe $\sc C^1$ de classe sur $I\sp{1.5},$
• si  chaque $\,t\mapsto\partial f/\partial x(x,t)\,$ est continue par morceaux,
• et  si  il existe $\,\phi\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[, \bb R)\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ avec :
  $\displaystyle{}\ptt (x,t)\app I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \smb1{\Big|\big(\partial f/\partial x\big)(x,t)\Big|}\leq\phi(t)$

alors  la fonction $\,\smh{.5}{g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!f(x,t)\d t}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ et :

$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ g'(x)=\smh{.5}{\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\d t}$

théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :

• pour tout $\,t\app\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ fixé, les $\,x\mapsto f(x,t)= \smb{1.5}{\dfrac{t-1}{t\,\ln t}}\,\e{x\ln t} \,$ sont
  $\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

  $\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$
  de classe $\sc C^1$ sur $\,[\sp{1.5}a,+\I[\,$ comme multiples d'
  La fonction exponentielle est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\bb R\sp{1.5},$ avec :

  $\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \exp'(x)=\exp(x)$
  exponentielles ;
• pour tout $\,x\geq a\,$ fixé, les $\,t\mapsto\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)=(t-1)\sp{1.5}t^{x-1}\,$ sont continues sur $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ par produit de la
  Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$
  fonction $\,t\mapsto t-1\,$ par des
  Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance  $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :

  • continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
  • continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
  puissances ;
• avec : $\,|t-1|=1-t\leq1\sp{1.5},\,$ ces dérivées partielles sont
  Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance  $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :

  • continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
  • continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
  majorées en module par $\,\phi_a:t\mapsto t^{a-1},\,$ qui est
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,1]:\,$
  $\displaystyle{}\ptt x\geq a,\ \bigg|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,t)\bigg|\leq t^{x-1}\leq t^{a-1}=\phi_a(t)$

Il s'ensuit que $\,g:x\mapsto\smb{1.5}{\dint_0^{1}\frac{t-1}{\ln t}\,t^{x-1}\d t}\,$ est de classe  $\sc C^1$ sur tous les$\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5},\,$ avec :

La fonction $\,g\,$ est donc

$\,f:I\to\bb K\,$ est de classe $\,\sc C^1\,$ ssi  $f$ est dérivable sur $I,$ avec $\,f'\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5}.\,$

$\,\sc C^1(I,\bb K)\,$ est l'ensemble des fonctions de classe $\sc C^1$ sur $I.$

de classe $\sc C^1$ sur la

Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$  est  l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$

$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$

réunion des $\,[\sp{1.5}a,+\I[\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ avec pour tout $\,x >0:\,$

On a ainsi une somme de dérivées de

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\,$ pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ u(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

Alors la fonction $\,f:x\mapsto\ln|u(x)|\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=\smh{1.25}{\frac{u'(x)}{u(x)}}$

logarithmes,  d'où par

$F$ est une primitive de $\,f:I\to\bb K\,$  ssi  $F$ est dérivable sur $I$ et $\,F'=f.\,$

Les primitives de $f$ sont alors les $\,G:x\mapsto F(x)+C,\,$ pour $\,C\app\bb K\sp{1.5}.\,$

primitivation une expression de $\,g(x)\,$ pour $\,C\app\bb R:\,$ Avec : $\,\ptt t > 0\sp{1.5},\ -\ln''(t)=\dfrac1{t^2} >0\sp{1.5},\,$ la fonction $\,t\mapsto -\ln t\,$ est

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ dérivable ; alors $f$ est convexe  ssi  $f'$ est croissante.

Si $f$ est deux fois dérivable, alors $f$ est convexe  ssi  $f''$ est positive.

Avec $f'$ décroissante ou $\,f''\leq0\sp{1.5},\,$ on a de même la concavité de $f\sp{1.5}.$

convexe sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,.\,$

Le graphe de $\,t\mapsto -\ln t\,$ est donc situé

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ dérivable et convexe ; alors pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{} \ptt x\app I,\ f(x)\geq f(a)+f'(a)\sp{1.5}(x-a)$

c'est-à-dire que son graphe est situé au dessus de toutes ses tangentes.

au dessus de sa tangente en $\,t=1\sp{1.5},\,$ d'où les inégalités, pour tout $\,t\app\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}[:\,$ On obtient alors, par

Pour $\,f,g\app L^1(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ sur un intervalle $I$ de bornes $\,a \sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\dint_a^bf(x)\d x\,\leq \int_a^bg(x)\d x$

croissance de l'intégrale, la limite de $\,g\,$ en $\,+\I:\,$ ce qui permet par

Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$

Si  au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$  alors :

$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$

encadrement, de déterminer la constante $\,C:\,$

On a donc finalement comme expression de $\,g(x):\,$  $\,\ptt x > 0,\ \,g(x)=\dint_0^{1}\frac{t-1}{\ln t}\,t^{x-1}\d t=\ln\Big(1+\frac1x\Big)\!\cdot\,$