exercices de mathématiques - prépa et université

Soit  $\,f: (x,t)\mapsto\dfrac{1-\e{-x\,t}}{t\sp{1.5}\sqrt t}\,$ définie sur $\,\bb R\times\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ et pour $\,x\app\bb R\,$ les fonctions partielles $\,f_x: t\mapsto f(x,t)\sp{1.5}.\,$

Par

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

opérations usuelles entre une

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle et une

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée, chaque $f_x$ est continue sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,t\mapsto f(x,t)\,$ qui appartiennent à $\,L^1\big(]\sp{.75}a,b\sp{.75}[,\bb K\big)\sp{1.5}.\,$

Alors,  l'intégrale à paramètre  $\,g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!\!f(x,t)\d t\,$ est  définie sur $I\sp{1.5}.$

L'intégrale à paramètre $\,g\,$ est alors définie sur l'ensemble des $\,x\app\bb R\,$ tels que $f_x$ soit intégrable en $\,0\,$ et en $\,+\I:\,$

• Pour tout $\,x\neq0\sp{1.5},\,$ on a
  La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
  l'équivalent : $\,(\e{-x\sp{1.5}t}-1)\eq t0-x\,t\sp{1.5},\,$ d'où on déduit : $\,f_x(t)\eq t0\, x\big/\!{\sqrt t}\!\cdot\,$
  Par
  Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

  $\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

  Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

  On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
  comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann,  chaque $f_x$ pour $\,x\neq 0\,$ est donc intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.\,$

• Pour $x > 0\sp{1.5},$ on a : $\,f_x(t)\eq t{+\I}\,1\big/{t\sqrt t}=t^{-3\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}\sp{1.5};\,$ par comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann,  $f_x$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
  Pour $x < 0,$ on a par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
  croissances comparées : $\,f_x(t)\eq t{+\I}\!\!-{\e{-x\sp{1.5}t}}\!\big/\!{\sqrt t}\tend t{+\I}\!+\I\sp{1.5};\,$  $f_x$ n'est pas intégrable sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$

Avec aussi $\,f_0=0\sp{1.5},\,$ la fonction $f_x$ est donc

Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable  ssi  pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$

$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] \txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$

intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ si et seulement si $\,x\geq0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :  $\,\sc D_g=[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

On simplifie l'expression de $g(x)$ pour $\,x > 0\sp{1.5},\,$ par le

Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}\alpha,\beta\,[\sp{1.5},I\big)\,$ strictement croissante.

Si $\,\lim t\alpha\,\phi(t)=a\,$ et $\,\lim t\beta\,\phi(t)=b\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\eqalign{&f\app L^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\Ssi(f\circ\phi)\sp{1.5}\phi'\app L^1\big(]\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] &\txt{avec :}\int_{x=a}^{x=b}\!\!f(x)\d x\,=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!\!f\big(\phi(t)\big)\sp{1.5}\phi'(t)\d t}$

Idem avec $\,f\app L^1\big(]\sp{1.5}b,a\sp{1.5}[,\bb K\big)\,$ si $\phi$ est strictement décroissante.

changement de variable $\,u=x\sp{1.5}t:\,$ On a ainsi :  $\,g(x)=\sqrt x\dint_{0}^{+\I}\,\frac{1-\e{-u}}{u\sp{1.5}\sqrt u}\,\d u\sp{1.5},\,$  y compris lorsque $\,x=0\,$ car $\,g(0)=0\sp{1.5},\,$ d'où finalement :

Soit  $\,f: (x,t)\mapsto\sqrt t\,x^{t}\,$ définie sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[^2,\,$ et pour $\,x\geq0\,$ les fonctions partielles $\,f_x: t\mapsto f(x,t)\sp{1.5}.\,$

On a $\,f_0=0\,$ et pour $\,x\neq0\,$ chaque $f_x$ est continue sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ comme

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit d'une

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée par l'

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle : $\,t\mapsto\e{t\sp{1.5}\ln x}\!.\,$

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,t\mapsto f(x,t)\,$ qui appartiennent à $\,L^1\big(]\sp{.75}a,b\sp{.75}[,\bb K\big)\sp{1.5}.\,$

Alors,  l'intégrale à paramètre  $\,g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!\!f(x,t)\d t\,$ est  définie sur $I\sp{1.5}.$

L'intégrale à paramètre $\,g\,$ est alors définie sur l'ensemble des $\,x\app\bb R\,$ tels que $f_x$ soit intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$

• Pour $\,x\geq1\sp{1.5},\,$ on a : $\,f_x(t)\geq\sqrt t\tend t{+\I}\!+\I\,:\,$  la fonction $f_x$ n'est pas intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
• Pour $\,x< 1\sp{1.5},\,$ on a, soit $\,x=0\,$ et alors $\,f_0=0\,$ est intégrable, soit $\,\ln x < 0\,$ et par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
  croissances comparées :
  $\displaystyle{}t^2\sp{1.5}f_x(t)=t^{5\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}\e{t\sp{1.5}\ln x}\tend t{+\I}0\Imp\phi_x(t)\dl t{+\I}o\Big(\dfrac1{t^2}\Big)$
  Par
  Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

  $\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

  Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

  On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
  comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann,  les $f_x$ pour $\,0\sp{-1.5}<\sp{-1.5} x\sp{-1.5} <\sp{-1.5}1\,$ sont donc intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

La fonction $f_x$ est donc intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si et seulement si $\,0\leq x<1\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :  $\,\sc D_g=[\sp{1.5}0,1[\sp{1.5}.\,$

On simplifie l'expression de $\,g(x)\,$ pour $\,x\app\,]\sp{1.5}0,1[\,$ en effectuant le

Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}\alpha,\beta\,[\sp{1.5},I\big)\,$ strictement croissante.

Si $\,\lim t\alpha\,\phi(t)=a\,$ et $\,\lim t\beta\,\phi(t)=b\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\eqalign{&f\app L^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\Ssi(f\circ\phi)\sp{1.5}\phi'\app L^1\big(]\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] &\txt{avec :}\int_{x=a}^{x=b}\!\!f(x)\d x\,=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!\!f\big(\phi(t)\big)\sp{1.5}\phi'(t)\d t}$

Idem avec $\,f\app L^1\big(]\sp{1.5}b,a\sp{1.5}[,\bb K\big)\,$ si $\phi$ est strictement décroissante.

changement de variable : On a ainsi :  $\,g(x)=|\ln x|^{-3\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}\dint_0^1\sqrt{|\ln u|}\d u,\,$ et en particulier $\,g(\e{})=\dint_0^1\sqrt{|\ln u|}\d u,\,$ d'où finalement :

Soit  $\,f: (x,t)\mapsto\dfrac{t^x}{(1+t)^2}\,$ définie sur $\,\bb R\times\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ et pour $\,x\app\bb R\,$ les fonctions partielles $\,f_x: t\mapsto f(x,t)\sp{1.5}.\,$

Avec $\,(1+t)^2\geq1\sp{1.5},\,$ comme

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

quotient d'une fonction

Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance  $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :

• continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
• continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$

puissance par une fonction

Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

polynomiale, chaque $f_x$ est continue sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,t\mapsto f(x,t)\,$ qui appartiennent à $\,L^1\big(]\sp{.75}a,b\sp{.75}[,\bb K\big)\sp{1.5}.\,$

Alors,  l'intégrale à paramètre  $\,g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!\!f(x,t)\d t\,$ est  définie sur $I\sp{1.5}.$

L'intégrale à paramètre $\,g\,$ est alors définie sur l'ensemble des $\,x\app\bb R\,$ tels que $f_x$ soit intégrable en $\,0\,$ et en $\,+\I:\,$

• Avec $\,_x(t)\eq t{0^+}\dfrac1{t^{-x}}\sp{1.5},\,$ par
  Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

  $\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

  Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

  On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
  comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann, $f_x$ est intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,1]\,$ si et seulement si $\,-x <1\,;\,$
• avec $\,f_x(t)\eq t{+\I}\dfrac1{t^{2-x}}\sp{1.5},\,$ par comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann, $f_x$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,$ si et seulement si $\,2-x > 1\sp{1.5}.\,$

La fonction $f_x$ est donc

Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable  ssi  pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$

$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] \txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$

intégrable sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,$ si et seulement si $\,-1 < x < 1\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que : $\,\sc D_g=]\!-1,1[\sp{1.5}.\,$

Le sens de variation de l'

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle $\,x\mapsto t^x=\e{x\sp{1.5}\ln t}\,$ s'inverse selon que $\,t\leq 1\,$ ou $\,t\geq 1\sp{1.5}.\,$

Pour étudier les variations de $\,g\sp{1.5},\,$ on dissocie alors ces deux cas dans l'intégrale définissant $\,g(x):\,$ Par le

Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}\alpha,\beta\,[\sp{1.5},I\big)\,$ strictement croissante.

Si $\,\lim t\alpha\,\phi(t)=a\,$ et $\,\lim t\beta\,\phi(t)=b\sp{1.5},\,$ on a  alors :

$\eqalign{&f\app L^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\Ssi(f\circ\phi)\sp{1.5}\phi'\app L^1\big(]\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] &\txt{avec :}\int_{x=a}^{x=b}\!\!f(x)\d x\,=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!\!f\big(\phi(t)\big)\sp{1.5}\phi'(t)\d t}$

Idem avec $\,f\app L^1\big(]\sp{1.5}b,a\sp{1.5}[,\bb K\big)\,$ si $\phi$ est strictement décroissante.

changement de variable $\,t=\dfrac1u\sp{1.5},\,$ avec $\,\d t=-\dfrac{\d u}{u^2}\sp{1.5},\,$ on transforme la première intégrale :

On obtient ainsi une expression de $\,g(x)\,$ par une intégrale sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,:\,$ Avec $\,\ptt x\app\,]\!-1,1[\sp{1.5}\, g(-x)=g(x)\sp{1.5},\,$ la fonction $\,g\,$ est

Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que :  $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$

• $f$ est paire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
• $f$ est impaire  ssi :  $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$

paire ; on étudie donc ses variations sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}0,1[\sp{1.5}.\,$

Pour tout $\,t\geq1\,$ fixé, on pose : $\,t^x+t^{-x}=\gamma(t^x)\,$ pour : $\,v=t^x\geq1\,$ et $\,\gamma(v)=v+\dfrac1v\!\cdot\,$

Avec $\,\gamma'(v)=1-\dfrac1{v^2}\geq0\sp{1.5},\,$ la fonction $\,x\mapsto t^x+t^{-x}=\gamma(t^x)\,$ est

Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$

• $f$ est croissante sur $I$  ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
• avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.

Mêmes conclusions avec $f'(x)$ négatif et $f$ décroissante.

croissante sur $\,[\sp{1.5}0,1[\,$ par

Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors : leur composée $g\circ f$  est :

• croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
• décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.

$g\circ f$ est strictement monotone si $f$ et $g$ sont strictement monotones.

composition de fonctions croissantes.

Pour tous $\,x,y\app\,[\sp{1.5}0,1[\,$ tels que $\,x\leq y\,\,$ on a alors :

La fonction $\,g\,$ est donc paire et

Soit $\,f:I\to\bb R\,;\,$ pour $x$ et $y$ appartenant à l' intervalle $I\sp{1.5}, $ $f$ est dite :

• croissante  ssi : $\,\big(x\leq y\Imp f(x)\leq f(y)\big)\,;\,$
• strictement croissante  ssi : $\,\big(x < y\Imp f(x) < f(y)\big)\sp{1.5}.\,$

$f$ est de même décroissante ou strictement décroissante avec :

$\displaystyle{} \big(x\leq y\Imp f(x)\geq f(y)\big)\txt{ou}\big(x < y\Imp f(x) > f(y)\big)$

croissante sur $\,[\sp{1.5}0,1[\sp{1.5};\,$ elle présente alors un

$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$

• un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
• un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$

Il est global lorsque $\,A\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega\,$ et il est local si $A$ est un voisinage de $a\sp{1.5}.$

minimum global en $\,x=0\sp{1.5},\,$ de valeur :