Sujet D.5.4 Limites d'intégrales généralisées
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Exercice a
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $\,+\I\,$ des intégrales : $\,I_n=\dint_0^{1}\cos\dfrac xn\,\ln x\sp{1.5}\d x\sp{1.5}.\,$
convergence simple d'une suite de fonctions
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
fonctions continues par morceaux
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
Utiliser le théorème de convergence dominée.
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}I_n=\lim n{+\I}\dint_0^{1}\cos\dfrac xn\,\ln x\sp{1.5}\d x=-1\sp{1.5}.\,$
correction
Soient, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ les fonctions $\,f_n:x\mapsto\cos\dfrac xn\,\ln x\sp{1.5}.\,$
Par
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
produit
d'un
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$
cosinus
et d'un
- Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
- Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
logarithme,
les fonctions $f_n$ sont continues sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.\,$
De plus, par
Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :
majoration
du cosinus, la fonction $\,\phi:x\mapsto|\ln x|\,$ domine les fonctions $f_n:$
$\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{1.5}0,1],\ \big|f_n(x)\big|\leq|\ln x|=\phi(x)$
Par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
à la fonction $\,\phi\,$
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
La fonction logarithme népérien est intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.\,$
intégrable
sur $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5},\,$ les $f_n$ sont donc intégrables, d'où l'existence des intégrales $I_n\sp{1.5}.$
Enfin, le cosinus étant continu en $\,0\sp{1.5},\,$ les fonctions $f_n$ convergent
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
simplement
vers la fonction logarithme sur $\,]\sp{1.5}0,1]:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}f_n(x)=\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\!\!\cos\dfrac xn\Big)\ln x=\ln x$
$\sth{2}$Selon le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée, les fonctions $f_n$ sont donc telles que :
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_0^{1}f_n(x)\sp{1.5}\d x=\int_0^{1}\!\!\big(\,\lim n{+\I}f_n(x)\big)\d x=\int_0^{1}\ln x\d x$
La fonction $\sth{2}\,x\mapsto \ln x\sp{1.5}$ s'intègre
Soient $\,f,g\app\sc C^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5},\,$ $\,f\sp{1.5}g\,$ ayant des limites finies en $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$ Alors les intégrales de $\,f'g\,$ et $\,f\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}\,$ convergent simultanément, avec :
par parties
sur $]\sp{1.5}0,1],\sp{1.5}$ comme suit :
$\displaystyle{}\dint_{\stb{1}a}^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\d x$
$\displaystyle{}\int_0^{1}\ln x\d x=\big[x\,\ln x\big]_0^1-\int_0^1\d x$
Sachant, par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées que : $\,\big[x\,\ln x\big]_0^1=\lim x{0^{+}}\!\big(x\sp{1.5}\ln x\big)=0\sp{1.5},\,$ on en déduit la limite de la suite $\,(I_n)_{n\geq1}:\,$ $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\
x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}I_n=\lim n{+\I}\dint_0^{1}\cos\dfrac xn\,\ln x\sp{1.5}\d x=-\big[x\big]_0^1=-1$
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Exercice b
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $\,+\I\,$ des intégrales : $\,I_n=\dint_0^{+\I}\!\!\e{-x^n}\d x\sp{1.5}.\,$
convergence simple d'une suite de fonctions
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
fonctions continues par morceaux
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
Utiliser le théorème de convergence dominée.
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}I_n=\lim n{+\I}\dint_0^{+\I}\!\!\e{-x^n}\d x=1\sp{1.5}.\,$
correction
Soient, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ les fonctions $\,f_n:x\mapsto\e{-x^n}\!.\,$
Par
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
composition
d'une fonction
Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est continue sur $\bb R\sp{1.5}.$
polynomiale
par une fonction
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle,
les $f_n$ sont positives et continues sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
De plus, compte tenu de la
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
décroissance
de $\,x\mapsto\e{-x},\,$ on a pour tout $\,n\geq1:\,$
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
- lorsque $\,x\app\,[\sp{1.5}0,1]:\,$ $\,x^n\geq0\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f_n(x)=\e{-x^n}\leq\e{-0}=1\sp{1.5};\,$
- lorsque $\,x\app\,[\sp{1.5}1,+\I[\,\sp{1.5}:\,$ $\,x^n=x^{n-1}\sp{1.5}x\geq x\sp{1.5},\,$ d'où : $\,f_n(x)=\e{-x^n}\leq\e{-x}\sp{1.5}.\,$
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
par morceaux :
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
$\displaystyle{}\phi:x\mapsto\Big\{\eqalign{\,1\ \ \ &\txt{si} \ x < 1\\[-.5ex] \, \e{-x}&\txt{si} \ x\geq 1}$
Cette fonction $\,\phi\,$ est
Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable ssi pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$
intégrable
sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ par intégrabilité de $\,x\mapsto1\,$ sur $\,[\sp{1.5}0,1]\,$ et
$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex]
\txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,x\mapsto\e{-a\sp{1.5}x}\,$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ ssi $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
intégrabilité
de $\,x\mapsto\e{-x}\,$ sur $\,[1,+\I[\sp{1.5}.\,$
Par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
à $\,\phi\sp{1.5},\,$ les fonctions $f_n$ sont donc intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[,\sp{1.5}\,$ d'où l'existence des intégrales $I_n\sp{1.5}.$
En composant par l'exponentielle des
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$
limites
de suites géométriques, on obtient la limite
- $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
- $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
simple
des fonctions $f_n$ sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}f_n(x)=f(x)=\Bigg\{\eqalign{\,&1\ \ &\txt{si} \ x < 1\\[-.6ex]
&\e{-1}\!\!&\txt{si} \ x=1\\[-.4ex] &0\ \ &\txt{si} \ x > 1}$
La fonction $f$ étant continue
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
par morceaux,
on a donc selon le
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée :
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
$\displaystyle{}\!\lim n{+\I}\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!f_n(x)\sp{1.5}\d x=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\big(\,\lim n{+\I}f_n(x)\big)\d x=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!f(x)\d x$
La fonction $f$ est nulle en dehors de l'intervalle $\,[\sp{1.5}0,1]\sp{1.5},\,$ et on en déduit alors la limite de la suite $\,(I_n)_{n\geq1}:\,$ $\displaystyle{}\lim n{+\I}I_n=\lim n{+\I}\dint_0^{+\I}\!\!\e{-x^n}\d x=\int_0^1f(x)\d x=1$
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Exercice c
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $\,+\I\,$ des intégrales : $\,I_n=\dint_0^{+\I}\!\!\!n\sp{1.5}\cos x\,\e{-n\sp{1.5}x}\d x\sp{1.5}.\,$
convergence simple d'une suite de fonctions
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
fonctions continues par morceaux
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Remarquer que le théorème de convergence dominée ne s'applique pas directement.
indication
2
Effectuer un changement de variable simple pour y remédier.
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}\dint_0^{+\I}\!\!\!n\sp{1.5}\cos x\,\e{-n\sp{1.5}x}\d x=1\sp{1.5}.\,$
correction
Soient, pour $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ les fonctions $\,f_n:x\mapsto n\sp{1.5}\cos x\,\e{-n\sp{1.5}x}\sp{1.5}.\,$
Par
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
produit
de la fonction
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$
cosinus
par une fonction
- Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
- Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle,
les $f_n$ sont continues sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
De plus, par
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Pour tout $x\app\bb R,$ on a les majorations suivantes :
majoration
du cosinus, on peut majorer comme suit les fonctions $\,|f_n|:\,$
$\displaystyle{}|\cos x|\leq 1\sp{1.5},\ \ |\sin x|\leq 1\,\txt{et} \,|\sin x|\leq |x|$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}0,+\I[,\ \big|f_n(x)\big|=n\sp{1.5}|\cos x|\,\e{-n\sp{1.5}x}\leq n\,\e{-x}=\phi_n(x)$
Par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
avec la
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,x\mapsto\e{-a\sp{1.5}x}\,$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ ssi $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
fonction
$\,x\mapsto \e{-x}\sp{1.5},\,$ les $f_n$ sont intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ et les réels $I_n$ sont donc bien définis.
Cependant, la présence du facteur $\,n\,$ dans l'expression de $\,\phi_n(x)\,$ nous empêche d'appliquer le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée.
$\sth{1}$On peut toutefois transformer l'expression des $I_n$ par le
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}\alpha,\beta\,[\sp{1.5},I\big)\,$ strictement croissante.
Si $\,\lim t\alpha\,\phi(t)=a\,$ et $\,\lim t\beta\,\phi(t)=b\sp{1.5},\,$ on a alors :
changement
de variable $\,u=n\sp{1.5}x:\,$
$\eqalign{&f\app L^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\Ssi(f\circ\phi)\sp{1.5}\phi'\app L^1\big(]\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex]
&\txt{avec :}\int_{x=a}^{x=b}\!\!f(x)\d x\,=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!\!f\big(\phi(t)\big)\sp{1.5}\phi'(t)\d t}$
Idem avec $\,f\app L^1\big(]\sp{1.5}b,a\sp{1.5}[,\bb K\big)\,$ si $\phi$ est strictement décroissante.
$\displaystyle{}I_n=\int_0^{+\I}\!\!n\sp{1.5}\cos x\,\e{-n\sp{1.5}x}\d x=\int_0^{+\I}\!\!\cos\frac un\,\e{-u}\d u$
Par
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
composition,
les fonctions $\,g_n:u\mapsto\cos\Big(\dfrac un\Big)\e{-u}=\dfrac1n\sp{1.5}f_n\Big(\dfrac un\Big)\,$ sont continues sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ avec : $\,\lim n{+\I}g_n(u)=\e{-u}\sp{1.5}.\,$
La fonction $\,\psi:u\mapsto\e{-u}\,$ est donc la limite
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
simple
des fonctions $g_n$ sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
$\displaystyle{}\ptt u\app\,[\sp{1.5}0,+\I[,\ \big|g_n(u)\big|=\Big|\cos\dfrac un\Big|\,\e{-u}\leq \e{-u}=\psi(u)$
La fonction continue $\,\psi\,$ étant
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,x\mapsto\e{-a\sp{1.5}x}\,$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ ssi $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
intégrable
sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée s'applique, d'où :
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
$\displaystyle{}\!\lim n{+\I}\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!g_n(u)\sp{1.5}\d u=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\big(\,\lim n{+\I}g_n(u)\big)\d u=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!\e{-u}\d u$
On en déduit alors, par
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivation,
la limite de la suite $\,(I_n)_{n\geq1}\sp{1.5},\,$
connaissant la
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
limite
de $\,u\mapsto\e{-u}\,$ en $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}I_n=
\lim n{+\I}\dint_0^{+\I}\!\!\!n\sp{1.5}\cos x\,\e{-n\sp{1.5}x}\d x=\Big[-\e{-u}\,\Big]_0^{+\I}=1$
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Exercice d
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $\,+\I\,$ des intégrales : $\,I_n=\dint_0^{+\I}\!\dfrac{\e{-x/n}}{\sqrt{1+x}}\,\d x\sp{1.5}.\,$
convergence simple d'une suite de fonctions
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
fonctions continues par morceaux
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Remarquer d'abord que le théorème de convergence dominée ne s'applique pas.
indication
2
Minorer chaque intégrale $\,I_n\,$ par une intégrale définie le segment $\,[\sp{1.5}0,n\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient : $\,\lim n {+\I}\dint_0^{+\I}\!\dfrac{\e{-x/n}}{\sqrt{1+x}}\,\d x=+\I\sp{1.5}.\,$
correction
Soient, pour $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ les fonctions $\,f_n:x\mapsto \dfrac{\e{-x/n}}{\sqrt{1+x}}\!\cdot\,$
Comme
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
quotient
d'une
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle
par une fonction
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine
carrée, les fonctions $f_n$ sont continues sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
Par
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
inversion
de l'inégalité $\,\sqrt{1+x}\geq 1\sp{1.5},\,$ on a de plus pour tout $\,x\geq 0:\,$ $\,0\leq f_n(x)\leq\e{-x/n}.\,$
Les fonctions $f_n$ sont donc intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ par
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
avec la
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,x\mapsto\e{-a\sp{1.5}x}\,$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ ssi $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
fonction
$\,x\mapsto \e{-x/n}\sp{1.5},\,$ d'où l'existence des réels $I_n\sp{1.5}.$
$\sth{2}$Par continuité de l'exponentielle en $\,0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\lim n{+\I}\e{-x/n}=1\sp{1.5},\,$ et la suite $(f_n)_{n\geq 1}$ converge
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
simplement
vers $\,f:x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\!\cdot\,$
Cependant, cette fonction $f$ n'est pas intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5};\,$ en effet, par
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivation
d'une fonction
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
La fonction racine carrée : $\,r:x\mapsto\sqrt x\,$ est de classe $\sc C^{\I}$ sur
$\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ avec :
puissance,
on aurait :
$\displaystyle{}\ptt x > 0\sp{1.5},\ r'(x)=\frac1{2\sp{1.5}\sqrt x}$
$\displaystyle{}\int_0^{+\I}\frac{\d x}{\sqrt{1+x}}=\Big[2\,\sqrt{1+x}\,\Big]_0^{+\I}\!=+\I$
Le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée ne s'applique pas, car une relation comme $\,|f_n|\leq\phi\,$ avec $\phi$ intégrable impliquerait l'intégrabilité de $f.$
$\sth{2}$On conjecture alors que la suite $(I_n)_{n\geq 1}$ diverge, ce qu'on va vérifie en minorant $I_n\sp{1.5}.$
En effet, par
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
décroissance
de $\,x\mapsto \e{-x/n}\sp{1.5},\,$ on a : $\,x\leq n\Imp \e{-x/n}\geq \e{-1},\,$ d'où avec la
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable ssi pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$
relation
de Chasles :
$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex]
\txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$
$\displaystyle{}I_n=\int_0^{+\I}\!\dfrac{\e{-x/n}}{\sqrt{1+x}}\,\d x\geq\int_0^{n}\dfrac{\e{-x/n}}{\sqrt{1+x}}\,\d x\geq\int_0^{n}\dfrac{\e{-1}}{\sqrt{1+x}}$
On a finalement $\,\lim n {+\I}I_n=+\I\sp{1.5},\,$ par
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$
Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :
minoration
de cette suite, puisque :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}I_n\geq\e{-1}\Big[2\,\sqrt{1+x}\,\Big]_0^{n}=2\,\e{-1}\,\big(\sqrt{1+n}-1\big)\,\tend n{+\I}+\I$
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Exercice e
Soit $\,f:[\sp{1.5}0,+\I[\to\bb C\,$ une fonction continue, admettant une limite finie $\,\ell\,$ en $\,+\I\sp{1.5}.\,$
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $\,+\I\,$ des intégrales : $\,I_n(f)=\dint_0^{+\I}\dfrac{f(x^n)}{1+x^2}\,\d x\sp{1.5}.\,$
convergence simple d'une suite de fonctions
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
fonctions continues par morceaux
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Commencer par montrer que la fonction $f$ est bornée sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
indication
2
Utiliser ensuite le théorème de convergence dominée.
réponse
On obtient : $\,\lim n {+\I}\dint_0^{+\I}\dfrac{f(x^n)}{1+x^2}\,\d x=\dfrac\pi4\big(f(0)+\ell\big)\sp{1.5}.\,$
correction
De $\smash[b]{\lim x{+\I}}f(x)=\ell,$ on conclut par définition des
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ sur un intervalle $I$ tel que : $\,\sup I=+\I\sp{1.5}.\,$
La fonction $f$ admet le nombre $\,\ell\app\bb K\,$ pour limite en $\,+\I\,$ ssi :
limites
à l'existence de $\,\alpha > 0\,$ tel que :
$\displaystyle{}\ptt\eps > 0,\ \iex A\app \bb R,\ \ptt x\app I,\ \big(x\geq A\Imp |f(x)-\ell| \leq \eps\big)$
La limite$\,\ell\,$ est unique ; on écrit :
$\!\lim x {+\I} f(x)=\ell$ ou $\,f(x)\tend x {+\I}\ell\sp{1.5}.\,$
On définit de même $\,\!\lim x {-\I}\,f(x)\,$ avec $\,x\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5}A\,$ au lieu de $\,x\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} A\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\bb R,\ \big(x\geq\alpha\Imp |f(x)-\ell|\leq1\big)$
On a alors, par
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
inégalité
triangulaire : $\,\ptt x\geq\alpha,\ |f(x)|\leq|f(x)-\ell|+|\ell|\leq 1+|\ell|\sp{1.5}.\,$
Selon le
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue ; alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
théorème
des bornes atteintes, la fonction continue $f$ est bornée sur $\,[\sp{1.5}0,\alpha]\,$ et $\,|f|\,$ est donc majorée sur $\bb R$ par : $\eqalign{&M=\max\Big(|\ell| + 1, \Op{\max}_{x\app[\sp{1.5}0,\alpha]}|f(x)|\Big)\\[-1ex]
\txt{d'où :}&\ptt x\app\bb R,\ \,\bigg|\frac{f(x^n)}{1+x^2}\bigg|\leq\frac{M}{1+x^2}=\phi(x)}$
La fonction $\,\phi\,$ est alors
Soit $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ avec $\,I=\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ ou $\,I=[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,;\,$ alors :
$\,f\,$ est intégrable sur $\,I\,$ ssi $\,\dint_a^b\!\big|\sp{-1.5}f(x)\sp{-1.5}\big|\d x\,$ est convergente.
On note $\,L^1(I,\bb K)\,$ l'ensemble des $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ intégrable sur $\,I.\,$
intégrable
sur $\,[0,+\I[\,$ puisque par
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivation
et selon les
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
La fonction arc tangente vérifie :
limites
de l'arc tangente en $\,0\,$ et $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}\op{Arctan}y\eq y0\, y\ \txt{et}\ \lim y{+\I}\op{Arctan}y=\frac\pi2$
$\displaystyle{}\int_0^{+\I}\!\!\frac{\d x}{1+x^2} = \Big[\op{Arctan}x\Big]_0^{+\I}=\frac\pi2$
Par
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
composition
par $f$ d'une fonction
Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est continue sur $\bb R\sp{1.5}.$
polynomiale,
puis par
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
quotient,
les fonctions $\,g_n:x\mapsto \dfrac{f(x^n)}{1+x^2}\,$ sont continues sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
Elles sont d'autre part intégrables sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ par
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
à la fonction $\,\phi\sp{1.5},\,$ ce qui nous garantit l'existence des $\,I_n(f)\sp{1.5}.\,$
Enfin, par
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Pour $\,q\app\bb K\sp{1.5},\,$ $\,\smb{1}{(q^n)_{n\app\bb N}}\,$ est convergente ssi $\,\big(|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\txt{ou} q=1\big):\,$
limites
de suites géométriques et limites de $f$ en $\,0\sp{1.5},\,$ $\,1\,$ et $\,+\I\sp{1.5},\,$ les fonctions $\,g_n\,$ ont pour limite
- $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}q^n=0}\,$ lorsque $\,|\sp{1.5}q\sp{1.5}| < 1\sp{1.5};\,$
- $\,\lim n{+\I}q^n=1\,$ lorsque $\,q\,=\,1\sp{1.5}.\,$
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
simple :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
$\displaystyle{}g:x\mapsto\frac{h(x)}{1+x^2}, \txt{avec}\,h(x)=\Bigg\{\eqalign{\,f(0) &\txt{si} \ x < 1\\[-.5ex]
\, f(1)&\txt{si} \ x=1\\[-.5ex] \,\ell\ \ \ &\txt{si} \ x > 1}$
Cette fonction $\,g\,$ est continue
$\,f:I\to\bb K\,$ est continue par morceaux ssi pour tout $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\subset I\sp{1.5},\,$
il existe une subdivision $\,(a_0,\dots,a_n)\,$ de $\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ telle que :
par morceaux
sur $[\sp{1.5}0,+\I[$ et les fonctions $\,g_n\,$ sont dominées par la fonction intégrable $\,\phi\sp{1.5}.\,$
Le
- la restriction $\,f_k\,$ de $f$ à chaque $\,]\sp{1.5}a_{k-1},a_{k}\sp{1.5}[\,$ soit continue ;
- chaque restriction $\,f_k\,$ ait des limites finies en $\,a_{k-1}\,$ et en $\,a_{k}\,.\,$
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée s'applique donc, d'où :
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
$\displaystyle{}\!\lim n{+\I}\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!g_n(x)\sp{1.5}\d x=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\big(\,\lim n{+\I}g_n(x)\big)\d x=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!g(x)\d x$
On en déduit, par la
Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable ssi pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$
relation
de Chasles, la limite des $\,I_n(f):\,$
$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex]
\txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$
$\eqalign{\lim n {+\I}I_n(f)&=\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!\!g(x)\sp{1.5}\d x=
f(0)\!\int_0^{1}\!\!\frac{\d x}{1+x^2\!}+\ell\!\int_1^{+\I}\!\!\!\!\!\frac{\d x}{1+x^2\!}\\[-.5ex]
&=f(0)\Big[\op{Arctan}x\Big]_0^1+\ell\Big[\op{Arctan}x\Big]_1^{+\I}\\
&=f(0)\sp{1.5}\frac\pi4+\ell\Big(\frac\pi2-\frac\pi4\Big)=\frac\pi4\big(f(0)+\ell\big)}$