exercices de mathématiques - prépa et université

Pour $\,r\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,\,\pi/2\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ la fonction tangente est continue sur $\,[0,r]\,$ et est la

Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\,$ pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ u(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

Alors la fonction $\,f:x\mapsto\ln|u(x)|\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :

$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=\smh{1.25}{\frac{u'(x)}{u(x)}}$

dérivée d'un logarithme, d'où par

Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$

$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

primitivation : Par continuité du

Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$

• Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
• Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

cosinus en $\,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\,$ et

La fonction logarithme vérifie :

$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$

limite du logarithme en $\,0\sp{1.5},\,$ on a donc : $\,\dint_0^r\tan x\d x\tend r{\pi/2}+\I\,.\,$

L'intégrale $\,\!\dint_0^{\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2}\!\!\!\tan x\d x\,$ étant

L'intégrale de $\,f\app\sc C_m\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\,$ est convergente  ssi $\,\smb{1}{{\dint_a^x}\!\! f(t)\d t}\,$ converge lorsque $\,x\to b\sp{1.5}.\,$

On écrit alors : $\,\dint_a^b\!\!\!f(t)\d t=\!\lim x{b}\dint_a^x\!\!\!f(t)\d t\sp{1.5}.\,$

On a la même chose si $\,f\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ avec : $\,\smh{1}{\lim x{a}\dint_x^b\!\!\!f(t)\d t\sp{1.5}.}\,$

divergente,  la fonction tangente, positive sur $\,[\sp{1.5}0,\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ n'est donc pas

Soit $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ avec $\,I=\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ ou $\,I=[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,;\,$ alors :

$\,f\,$ est intégrable sur $\,I\,$ ssi $\,\dint_a^b\!\big|\sp{-1.5}f(x)\sp{-1.5}\big|\d x\,$ est convergente.

On note $\,L^1(I,\bb K)\,$ l'ensemble des $\,f\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ intégrable sur $\,I.\,$

intégrable sur $[\sp{1.5}0,\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Il s'ensuit que la fonction tangente n'est a fortiori pas

Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable  ssi  pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$

$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] \txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$

intégrable sur l'intervalle $\,]\!-\sp{-1.5}\pi\sp{-1.5}\sp{-1.5}/2,\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

La fonction

Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

logarithme étant continue sur $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ son

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

carré $\,x\mapsto(\ln x)^2\!\,$ est aussi continu sur $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Par

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composition avec une

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle,  la fonction $\,x\mapsto\e{-(\op{ln}x)^2}\!\,$ est donc continue sur $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Il reste alors à étudier l'intégrabilité de la fonction $f$ en $\,+\I\,$ et en $\,0:\,$

• Pour $\,x\geq\e2 > 1\,$ on a,  par croissance du logarithme :
  $\displaystyle{}(\ln x)^2=\ln x\times\ln x\geq\ln(\e2)\times\ln x=2\ln x$
  On en déduit, par
  Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

  • continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
  • continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
  décroissance de la fonction  $\,y\mapsto\e{-y}:\,$
  $\displaystyle{}\ptt x\geq\e2,\ \ 0\leq f(x)\leq\e{-2\sp{1.5}\ln x}=\smh1{\frac1{x^2}}$
  Par
  Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

  $\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

  Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

  On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
  comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann, la fonction $f$ est donc intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}\e 2,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

• D'autre part, d'après la
  La fonction logarithme vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
  limite du logarithme en $0\sp{1.5},$ on a : $\,\lim x{0}(\ln x)^2=+\I\sp{1.5}.\,$
  Selon la
  La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
  limite de l'exponentielle en $\,-\I\sp{1.5},\,$ $f$ se prolonge par
  Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$

  Alors la fonction $f$ se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :

  $\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
  continuité en $\,0\,$ en posant $\,f(0)=0\sp{1.5},\,$
  Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5};\,$ alors :

  $\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\ f(x) = b \txt{et} \sp{-1.5}\lim y b\ g\sp{1.5}(y) = c\,\big)}\Imp\!\lim x a \,(g\circ f)(x) = c$
  puisque :
  $\displaystyle{}\lim x{0}\sp{1.5}f(x)=\lim y{+\I}\sp{1.5}\e{-y}=0$
  Par continuité sur un segment, la fonction $f$ est donc
  Si $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ on a $\,f\app L^1(I,\bb R)\,$ pour tout $\,I\!\subset\![\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
  intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,\sp{1.5}\e2\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ et a fortiori sur $\,]\,0,\sp{1.5}\e2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$

Finalement, la fonction $\,f:x\mapsto\e{-(\op{ln}x)^2}\!\,$ est

Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable  ssi  pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$

$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] \txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$

intégrable sur la réunion de ces deux intervalles, c'est-à-dire sur $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Avec $\,-1\,$ pour seul pôle, la fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle $\,x\mapsto\dfrac x{x+1}\,$ est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

continue sur $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Son

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit par la fonction

Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

logarithme est aussi continu sur $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ ainsi que la

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composée de ce produit par une

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle :

Il reste alors à étudier l'intégrabilité de la fonction $f$ en $\,0\,$ et en $\,+\I:\,$

• $f$ se prolonge par
  Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$

  Alors la fonction $f$ se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :

  $\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
  continuité en $\,0\,$ en posant : $\,f(0)=\lim x{0}f(x)=1\,;\,$ en effet, on a par
  Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

  $\,f\,$ est  equivalente à  $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$

  $\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\delta(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\delta(x)=1$

  On écrit : $\,{f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)}\sp{1.5},\,$ et  si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=1$
  équivalents et par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
  croissances comparées :
  $\displaystyle{}\frac{x\ln x}{x+1}\,\eq x{0}\,x\ln x\,\tend x{0}\,0$
  La fonction $f$ devenant ainsi continue sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ elle est
  Si $\,f\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ on a $\,f\app L^1(I,\bb R)\,$ pour tout $\,I\!\subset\![\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
  intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,\sp{1.5}1]\sp{1.5},\,$ et a fortiori sur $\,]\,0,\sp{1.5}1]\sp{1.5}.\,$

• Cependant,  avec : $\,\dfrac x{x+1}=1-\dfrac1{x+1}\sp{1.5},\,$ on a :  $\,f(x)=x^{\raise 3mu{-1\sp{1.5}+\sp{1.5}}\textstyle\frac 1{x+1}} =\dfrac1x\ \e{\raise 5mu{\textstyle\frac{\ln x}{x\sp{1.5}+\sp{1.5}1}}}\!\cdot\,$
  Par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
  croissances comparées, puis continuité de
  Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

  • continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
  • continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
  l'exponentielle en $\,0\sp{1.5},\,$ on a alors :
  $\eqalign{&\frac{\ln x}{x+1}\ \eq x{+\I}\,\frac{\ln x}x\tend x{+\I}0\sp{1.5}, \txt{d'où :}\ \\ &f(x)=\dfrac1x\ \e{\raise 5mu{\textstyle\frac{\ln x}{x\sp{1.5}+\sp{1.5}1}}}\eq x{+\I}\ \frac1x}$
  Par
  Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

  $\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

  Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

  On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
  comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann, la fonction $f$ n'est donc pas intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $f$ n'est pas

Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable  ssi  pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$

$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] \txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$

intégrable sur la réunion de ces deux intervalles, c'est-à-dire sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Par

Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$

Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$

composition d'une fonction

Pour tout $\,P\app\bb K[X]\sp{1.5},\,$ la fonction polynomiale $\,x\mapsto \widetilde P(x)\,$ est  continue sur $\bb R\sp{1.5}.$

polynomiale avec la fonction

La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$

racine carrée, la fonction $\,x\mapsto\displaystyle\sqrt{x^2-x}\,$ est continue sur $\,[\sp{1.5}1,\,+\I\sp{1.5}[\,$ car : En la composant ensuite par une fonction

Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :

• continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
• continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$

exponentielle, on obtient la continuité de la fonction $\,f:x\mapsto \e{-\sqrt{x^2-x}}\,$ sur $\,[\sp{1.5}1,\,+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Pour étudier l'intégrabilité de $f$ en $\,+\I\sp{1.5},\,$ on va d'abord développer $\,\displaystyle\sqrt{x^2-x}=x\,\sqrt{1-\smb{0}{1/x}}\,$  en $\,+\I\sp{1.5}.\,$

Pour cela,  on considère la formule relative au

La fonction $\,x\mapsto(1+x)^\alpha\,$ a pour développement limité en $\,0:\,$

$\displaystyle{}(1+x)^\alpha\dl x0 \ 1+\alpha\sp{1.5}x+\cdots+\smh{1.75}{\frac{\alpha\dots(\alpha-n+1)}{n\sp{1.5}!}}\,x^n+\o xn$

développement limité d'une puissance : Avec $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x\,$ qui tend vers $\,0\,$ en $\,+\I\sp{1.5},\,$ on peut substituer $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}x\,$ à $\,y\,$ dans ce développement,  d'où :

On peut alors

Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

$\,f\,$ est  dominée par $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi  on a, au voisinage de $\,a:\,$

$\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\phi(x)\sp{1.5}, \txt{avec}\!\phi\!\txt{bornée au voisinage de}\!a$

On écrit : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xa\sp{1.5}O\big(g(x)\big)\sp{1.5},\,$ et  si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :

$\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}\!\txt{est bornée au voisinage de}\!a$

comparer $\,f:x\mapsto \e{-\sqrt{x^2-x}}\,$ à la fonction $\,x\mapsto\e{-x}\,$

Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,x\mapsto\e{-a\sp{1.5}x}\,$ est  intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ ssi $\,a > 0\sp{1.5}.\,$

intégrable en $\,+\I:\,$

Par

Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$

comparaison à une fonction intégrable, la fonction $f$ est donc intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,\,+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Avec $\,-1\,$ et $\,+1\,$ pour seuls pôles, la fonction

Une fonction rationnelle est de la forme : $\,\Big\{\eqalign{&\!\bb K\!\setminus\!\{\alpha_1,\dots,\alpha_p\}\to\bb K\\[-.5ex]&\!x\mapsto f(x)\!=\!A(x)\sp{-1.5}/\sp{-1.5}B(x)}\,$

pour $\,\sth1A\app\bb K[X]\,$ et $\,B\app\bb K[X]\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\,$ de racines : $\,\alpha_1,\dots,\alpha_p\app\bb K\sp{1.5}.\,$

• Si les $A(\alpha_k)$ sont non nuls, $f$ est iréductible de pôles les $\,\alpha_k\sp{1.5}.\,$

• Un pôle $\alpha_k$ est un pôle simple ssi  $\alpha_k$ est racine simple de $B\sp{1.5}.$

rationnelle  $\,x\mapsto\dfrac 1{x^2-1}\,$ est

Une fonction rationnelle $\,f\,$ est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$

continue sur les intervalles $\, ]\,0,\sp{1.5}1\sp{1.5}[\,$ et $\,]\sp{1.5}1,\,+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$

Son

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

produit $\,f:x\mapsto\dfrac{\ln x}{x^2-1}\,$ par la fonction

Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$

logarithme est donc lui aussi continu sur ces deux intervalles.

Il s'agit alors d'étudier l'intégrabilité de $f$ en $\,0\sp{1.5},\,$ en $\,1\,$ et  en $\,+\I:\,$

• On commence par étudier $f$ au voisinage de $\,x=1\,$ en posant $\,h=x-1\sp{1.5},\,$ qui tend vers $\,0\,$ lorsque $\,x\to1\sp{1.5}.\,$
  Par
  La fonction logarithme vérifie :

  $\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
  équivalent de $\,\ln(1+h)\,$ et
  Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$

  Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a  alors :

  • $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
  • $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
  quotient d'équivalents on obtient :
  $\displaystyle{}f(1+h)=\frac{\ln(1+h)}{h^2+2\sp{1.5}h}\ \eq h0\ \frac h{h\sp{1.5}(h+2)}=\frac1{h+2}$
  $f$ devient continue sur l'intervalle $\,]\,0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\,$ si on la prolonge par
  Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$

  Alors la fonction $f$ se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :

  $\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
  continuité en $\,x=1\sp{1.5},\,$ en posant :
  $\displaystyle{}f(1)=\lim x1\,f(x)=\lim h0\,f(1+h)=\smh{1}{\dfrac12}$
• Par
  Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$

  $\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$

  Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.

  On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
  comparaison à la fonction
  La fonction logarithme népérien  est  intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.\,$
  logarithme, la fonction $f$ est alors intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ par
  Soient $\,f\,$ et $\,g\,$ deux fonctions réelles définies au voisinage de $\,a\app\surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$

  $\,f\,$ est  equivalente à  $\,g\,$ en $\,a\sp{1.5}\,$ ssi on a, au voisinage de $\,a:\,$

  $\displaystyle{}\sth{.5}f(x)=g(x)\,\delta(x)\sp{1.5}, \txt{avec :}\lim xa\delta(x)=1$

  On écrit : $\,{f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)}\sp{1.5},\,$ et  si $\,g(x)\neq0\,$ pour $\,x\neq a\sp{1.5},\,$ alors :

  $\displaystyle{}f(x)\sp{1.5}\eq xa \,g(x)\!\Ssi\!\lim xa\,\smh{1}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=1$
  équivalent, car :
  $\displaystyle{}f(x)=\frac{\ln x}{x^2-1}\ \eq x{0}-\ln x$
• D'autre part, on a par équivalent
  Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$

  En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :

  $\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
  polynomial :  $\,f(x)=\smh{.5}{\dfrac{\ln x}{x^2-1}\ \eq x{+\I}\ \dfrac{\ln x}{x^ 2}}\,$  d'où,  par
  Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :

  $\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\ x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
  croissances comparées :
  $\displaystyle{}f(x)\dl x{+\I}o\smh1{\Big(\dfrac{\sqrt x}{x^2}\Big)}=o\big(x^{-3/2}\big)$
  Par comparaison à une intégrale de
  Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :

  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
  Riemann, la fonction $f$ est aussi intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$

Finalement, la fonction $f$ est

Soit $\,f\app\sc C_m\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5};\,$ $f$ est intégrable  ssi  pour un $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[:\,$

$\eqalign{&f\restr{]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]}\app L^1\big(]\sp{1.5}a,c\sp{1.5}],\bb K\big)\txt{et}f\restr{[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[}\app L^1\big([\sp{1.5}c,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex] \txt{avec :}&\int_a^b\!\! f(x)\d x = \int_a^c\!\! f(x)\d x\, + \int_c^b \!\!f(x)\d x}$

intégrable sur la réunion des intervalles $\,]\sp{1.5}0,1\sp{1.5}]\,$ et $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}+\I\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$