Sujet B.5.3 Résolution d'un système linéaire
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Exercice a
$ \OPEL $ $ \VEC $Déterminer l'ensemble $\scr{S}$ des solutions dans $\bb{R}^3$ du système linéaire suivant :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \Syst{\,3\sp{1.5}x-7\sp{1.5}y+5\sp{1.5}z&=0\\\,-x+3\sp{1.5}y-2\sp{1.5}z&=0}$
système linéaire
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
solutions d'un système homogène
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
solutions d'un système linéaire
Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :
$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$
- Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité : $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
- Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$
opérations élémentaires sur un système linéaire
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
indication
Résoudre ce système en effectuant des opérations élémentaires sur les équations.
réponse
L'ensemble $\,\sc{S}\,$ des solutions de $(\sc E)$ est la droite $\,\op{Vect}\sp{-1.5}\big(\!-\i+\j+2\k\sp{1.5}\big)\sp{1.5},\,$ pour la base canonique
$\,\big(\sp{1.5}\i,\j,\k\sp{1.5}\big)\,$ de $\,\bb{R}^3.\,$
correction
Il s'agit d'un
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire à trois inconnues,
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
homogène ;
par conséquent, l'ensemble $\sc S$ de ses solutions est un sous-espace vectoriel de $\bb{R}^3.$
On va résoudre ce système par
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires sur les équations.
On commence par permuter les deux équations pour obtenir des équations plus simples :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{(\sc E)\sp{15}\ss{\sc E_1\,\leftrightarrow\, \sc E_2\stb1}\sp{15} &\Syst{-x+3\sp{1.5}y-2\sp{1.5}z&=0\\3\sp{1.5}x-7\sp{1.5}y+5\sp{1.5}z&=0}\\[1ex] \ \ss{\sc E_2\ot \sc E_2+3\sp{1.5}\sc E_1\stb{1}}&\Syst{-x+3\sp{1.5}y-2\sp{1.5}z&=0\\2\sp{1.5}y\,-\,z\,&=0}}$
Avec cette matrice
Soit $A=[a_{i,j}]\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $\,r\leq\min(m,n)\,$ tels que :
échelonnée,
ce système est de
$\displaystyle{}\Bigg\{\ \raise.5ex\tabl{{l}a_{i,\sp{1.5}j}=0 \ \txt{si} i < j\leq r\\[-.5ex] a_{i,\sp{1.5}j}\neq0\ \txt{si} i=j\leq r\\[-.5ex]a_{i,\sp{1.5}j}=0\ \txt{pour tout} i > r}$
Alors, la matrice $A$ ainsi échelonnée est de rang $\,r\sp{1.5}.\,$
Soit $(\sc E)$ un système linéaire : $\,A\,X=B\sp{1.5},\,$ et $(\sc E_0)$ le système homogène : $\,A\,X=0\sp{1.5}.\,$
Le rang de $(\sc E)$ est le nombre maximum d'équations de $(\sc E_0)$ linéairement indépendantes.
Ce rang coïncide avec celui de la matrice $A:$ $\,\op{rg}(\sc E)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$
rang
$\,2\,$ et on choisit deux inconnues principales et une auxiliaire. Afin d'éviter des fractions dans les résultats, on choisit plutôt $x$ et $z$ comme inconnues principales :
$\eqalign{(\sc E)\ \,\Ssi\sp{12}&\Syst{\ x+2\sp{1.5}z&=3\sp{1.5}y\\z&= 2\sp{1.5}y}\\[1ex]
\ss{\sc E_1\ot \sc E_1+2\sp{1.5}\sc E_2\stb{1}}\!&\Syst{\ x&=-y\\z&= \ 2\sp{1.5}y}}$
L'ensemble $\scr{S}$ des
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
solutions
est donc l'ensemble des vecteurs de la forme suivante, pour $y\app\bb R:$
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
$\displaystyle{}\matc{\sp{1.5}x\sp{1.5}\\y\\z}=\matr{\!-y\sp{1.5}\\y\sp{1.5}\\2\sp{1.5}y\sp{1.5}}= y\!\matr{\!-1\sp{1.5}\\1\sp{1.5}\\2\sp{1.5}}$
$\scr{S}$ est ainsi la
Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :
droite
vectorielle $\,\op{Vect}\sp{-1.5}\big(\!-\i+\j+2\k\sp{1.5}\big)\,$ relativement à la base canonique
$\,\big(\sp{1.5}\i,\j,\k\sp{1.5}\big)\,$ de $\bb{R}^3.$
$\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$
$\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
On peut aussi résoudre un tel système $\,AX=B,$ en
effectuant les mêmes opérations sur les lignes de la matrice augmentée
$(A|B)\sp{1.5}.$ Cette méthode, utile en programmation, est pourtant moins souple et moins concrète pour un calcul manuel.
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Exercice b
\\(\OPEL\\)Déterminer selon le réel $\,a\,$ l'ensemble $\,\sc{S}\,$ des solutions dans $\,\bb{R}^3\,$ du système linéaire suivant :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \Syst{a\sp{1.5}x-y\,+\,z\,\,&=\ph{-}a\\[-.5ex]x\,+\,z\,\,&=\ph{-}1\\[-.5ex]x-a\sp{1.5}z&=-1}$
système linéaire
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
solutions d'un système homogène
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
solutions d'un système linéaire
Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :
$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$
- Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité : $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
- Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$
opérations élémentaires sur un système linéaire
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
indication
1
Il est préférable de réécrire les équations en modifiant l'ordre des inconnues :
$\,(x,y,z)\,\leftarrow\,(y,x,z).\,$
indication
2
Résoudre ensuite le système obtenu par des opérations élémentaires sur les équations.
réponse
On obtient deux cas pour l'ensemble $\,\sc{S}\,$ des solutions de $(\sc E):$
- l'ensemble vide lorsque $\,a=-1:\,$ $\,\smh{0}{\sc S=\vide}\sp{1.5};\,$
- un singleton lorsque $\,a\neq-1:\,$
$\displaystyle{}\sc S=\smh{1}{\Big\{\Big(\dfrac{a-1}{a+1},-\dfrac{2(a-1)}{a+1}, \dfrac{2}{a+1}\Big)\Big\}}$
correction
Il s'agit d'un
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire à trois inconnues, non
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
homogène ;
l'ensemble $\,\sc S_a\subset\bb R^3\,$ peut donc être vide.
Utiliser comme pivot le coefficient $a$ de $x$ dans la première équation
apporte des complications dans le cas $\,a=0\sp{1.5}.\,$
On modifie donc l'ordre des inconnues avant d'effectuer des opérations
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
élémentaires
combinées sur les équations :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{(\sc E)\ :&\Syst{-y+a\sp{1.5}x\,+\,z&=\ph{-}a\\x\,+\,z\,&=\ph{-}1\\x-a\sp{1.5}z&=-1}\\[.5ex] \ss{\sc E_3\ot -\sc E_3+\sc E_2} \ &\Syst{-y+a\sp{1.5}x+z&=a\\x+z&=1\\(a+1)z&=2}}$
- Lorsque $\,a=-1\sp{1.5},\,$ ce système est
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :incompatible, c'est-à-dire que : $\,\sc S=\vide\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
- Dans le cas général $\,a\neq-1\sp{1.5},\,$ avec cette matrice
Soit $A=[a_{i,j}]\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $\,r\leq\min(m,n)\,$ tels que :triangulaire, le système est de$\displaystyle{}\Bigg\{\ \raise.5ex\tabl{{l}a_{i,\sp{1.5}j}=0 \ \txt{si} i < j\leq r\\[-.5ex] a_{i,\sp{1.5}j}\neq0\ \txt{si} i=j\leq r\\[-.5ex]a_{i,\sp{1.5}j}=0\ \txt{pour tout} i > r}$Alors, la matrice $A$ ainsi échelonnée est de rang $\,r\sp{1.5}.\,$Soit $(\sc E)$ un système linéaire : $\,A\,X=B\sp{1.5},\,$ et $(\sc E_0)$ le système homogène : $\,A\,X=0\sp{1.5}.\,$ Le rang de $(\sc E)$ est le nombre maximum d'équations de $(\sc E_0)$ linéairement indépendantes. Ce rang coïncide avec celui de la matrice $A:$ $\,\op{rg}(\sc E)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$rang $\,3\sp{1.5},\,$ et on obtient :$\eqalign{(\sc E)&\sp{20}\ss{\sc E_2\ot (a+1)\sp{1.5}\sc E_2-\sc E_3\stb{1.5}}&\Syst{-y+a\sp{1.5}x+z&=a\\(a+1)\sp{1.5}x&=a-1\\(a+1)z&=2}\\[1ex] &\ss{\sc E_1\ot -(a+1)\sp{1.5}\sc E_1+a\sp{1.5}\sc E_2+\sc E_3\stb{1.5}}&\Syst{(a+1)\sp{1.5}y&=-2\sp{1.5}a+2\\(a+1)\sp{1.5}x&=a-1\\(a+1)z&=2}}$L'ensemble des solutions est alors un singleton, à savoir :$\displaystyle{}\sc{S}=\Big\{\Big(\dfrac{a-1}{a+1},-\dfrac{2(a-1)}{a+1}, \dfrac{2}{a+1}\Big)\Big\}$
La méthode de résolution d'un système linéaire par opérations élémentaires sur les équations montre ici sa souplesse. On peut en effet y changer l'ordre des inconnues, ce qui ne peut pas se faire aussi simplement dans la méthode matricielle.
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Exercice c
\\(\OPEL\\)Déterminer selon les réels $\,a,b,c\,$ l'ensemble $\sc{S}$ des solutions dans $\bb{R}^3$ du système linéaire suivant :
$\displaystyle{}(\sc E):\ \Syst{x-2\sp{1.5}y+z&=a\\[-.5ex]2\sp{1.5}x\,\sp{1.5}-\,\sp{1.5}y+z&=b\\[-.5ex] -x-4\sp{1.5}y+z&=c}$
système linéaire
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
solutions d'un système homogène
Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$
Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
solutions d'un système linéaire
Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :
$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$
- Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité : $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
- Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$
opérations élémentaires sur un système linéaire
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
indication
1
Procéder par opérations élémentaires pour déterminer d'abord à quelle condition on a : $\,\sc{S}\neq\vide\sp{1.5}.\,$
indication
2
Poursuivre alors la résolution en chosissant deux inconnues à déterminer en fonction de la troisième.
réponse
On obtient deux cas pour l'ensemble des solutions de $(\sc E)\sp{1.5},$ dans la base canonique $\,\big(\vec{ \imath},\vec{ \jmath},\vec{ k}\big)\,$ de $\bb{R}^3:$
- l'ensemble vide : $\,\sc S=\vide\sp{1.5},\,$ lorsque $\,c\neq 3\sp{1.5}a-2\sp{1.5}b\,;\,$
- la droite affine $\,\sc S=A+\op{Vect}(\vec{v})\sp{1.5},\,$ pour $\,{\vec{ v}=-\vec{ \imath}+\vec{ \jmath}+3\vec{ k}}\,$ et $\,A\,(-a+b\sp{1.5},\sp{1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}2\sp{1.5}a-b)\sp{1.5},\,$ lorsque $\,c= 3\sp{1.5}a-2\sp{1.5}b\sp{1.5}.\,$
correction
Il s'agit d'un
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :
système
linéaire à trois inconnues, a priori non homogène ; l'ensemble $\,\sc S\subset\bb R^3\,$ peut donc être vide.
On réduit ce système par des
$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$
Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
Soit $(\sc E)$ un système d'équations numériques ou vectorielles.
On obtient un système équivalent par les opérations élémentaires :
opérations
élémentaires successives sur les équations :
- $\,\sc E_k\ot \sc E_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}\sc E_j\,,\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
- $\,\sc E_i\tot \sc E_j\,,\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
- $\,\sc E_k\ot \lambda\sp{1.5}\sc E_k\,,\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc E_k\ot \lambda_k\,\sc E_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,\sc E_j$
$\eqalign{(\sc E)\ :&\Syst{x-2\sp{1.5}y+z&=a\\ 2\sp{1.5}x\,\sp{1.5}-\,\sp{1.5}y+z&=b\\ \llap{-}x-4\sp{1.5}y+z&=c}\sp{18}\\ \ss{\sc E_2\ot \sc E_2-2\sp{1.5}\sc E_1\\ \sc E_3\ot \sc E_3+\sc E_1\stb{1}}\ &\Syst{x-2\sp{1.5}y\,+\,z\,&=\ph{-}a\\ 3\sp{1.5}y\,-\,z\,&=-2\sp{1.5}a+b\\ -6\sp{1.5}y+2\sp{1.5}z\sp{1.5}&=\ph{-}a+c}\\[.5ex] \ss{\sc E_3\ot \sc E_3+2\sp{1.5}\sc E_2\stb{1}}\ &\Syst{x-2\sp{1.5}y+z&=\ph{-}a\\3\sp{1.5}y-z&=-2\sp{1.5}a+b\\0&=-3\sp{1.5}a+2\sp{1.5}b+c}}$
- Lorsque $\,c\neq3\sp{1.5}a-2\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ ce système est
Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :incompatible, c'est-à-dire que : $\,\sc S=\vide\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$
- $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est son ensemble de solutions.
- Le système $(\sc E)$ est dit compatible ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.
- Lorsque $\,c=3\sp{1.5}a-2\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ avec une telle matrice
Soit $A=[a_{i,j}]\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $\,r\leq\min(m,n)\,$ tels que :échelonnée, on a un système de$\displaystyle{}\Bigg\{\ \raise.5ex\tabl{{l}a_{i,\sp{1.5}j}=0 \ \txt{si} i < j\leq r\\[-.5ex] a_{i,\sp{1.5}j}\neq0\ \txt{si} i=j\leq r\\[-.5ex]a_{i,\sp{1.5}j}=0\ \txt{pour tout} i > r}$Alors, la matrice $A$ ainsi échelonnée est de rang $\,r\sp{1.5}.\,$Soit $(\sc E)$ un système linéaire : $\,A\,X=B\sp{1.5},\,$ et $(\sc E_0)$ le système homogène : $\,A\,X=0\sp{1.5}.\,$ Le rang de $(\sc E)$ est le nombre maximum d'équations de $(\sc E_0)$ linéairement indépendantes. Ce rang coïncide avec celui de la matrice $A:$ $\,\op{rg}(\sc E)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$rang $\,2.\,$On évite les fractions dans les résultats, en choisissant $x$ et $z$ comme inconnues principales :$\eqalign{(\sc E)\ \,\Ssi\sp{11}&\Syst{\ x+z&=a+2\sp{1.5}y\\z&= 2\sp{1.5}a-b+ 3\sp{1.5}y}\\[1ex] \ss{\sc E_1\ot \sc E_1-\sc E_2\stb{1}}&\Syst{\ x&=-a+b-y\\z&= \,2\sp{1.5}a-b+ 3\sp{1.5}y}}$On en déduit l'expression générale des solutions, dans le cas $\,c=3\sp{1.5}a-2\sp{1.5}b:\,$$\displaystyle{}\matr{x\sp{1.5}\\y\sp{1.5}\\z\sp{1.5}}=\matc{-a+b\,\\\,0\\2\sp{1.5}a-b\sp{1.5}}+y\matr{\!-1\,\\1\,\\3\,}$En utilisant l'interprétationEn géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :géométrique de l'espace vectoriel $\bb R^3,$ on considère la base canonique $\,\big(\sp{1.5}\vec{ \imath},\vec{ \jmath},\vec{ k}\sp{1.5}\big)\,$ de $\bb{R}^3\sp{1.5}.$ $\,\sc S\,$ est alors une droite
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :affine $\,\sc S=A+\op{Vect}(\vec{v})\sp{1.5},\,$ a priori non vectorielle, dirigée par le vecteur $\,\vec{ v}=-\vec{ \imath}+\vec{ \jmath}+3\vec{ k}\,$ et passant par le point $\,A\,(-a+b\sp{1.5},\sp{1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}2\sp{1.5}a-b)\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$- Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité : $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
- Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$