exercices de mathématiques - prépa et université

Il s'agit d'un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire à  trois inconnues,

Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$

homogène si bien que l'ensemble $\sc S$ de ses solutions forme un sous-espace vectoriel de $\bb{R}^3.$

On détermine le

Soit $(\sc E)$ un système linéaire : $\,A\,X=B\sp{1.5},\,$ et $(\sc E_0)$ le système homogène : $\,A\,X=0\sp{1.5}.\,$

Le rang de $(\sc E)$ est le nombre maximum d'équations de $(\sc E_0)$ linéairement indépendantes.

Ce rang coïncide avec celui de la matrice $A:$ $\,\op{rg}(\sc E)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$

rang de ce système linéaire par des

Le rang d'une matrice $A$ est inchangé par les opérations élémentaires :

• $\,C_k\ot C_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\sp{1.5},\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,C_i\tot C_j\sp{1.5},\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :  

$\displaystyle{}C_k\ot \lambda_k\,C_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,C_j$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires sur sa matrice $A\sp{1.5}.$

En convenant de noter $\,A\sim B\,$ l'équivalence de deux matrices, c'est-à-dire la relation : $\,\op{rg}(A)=\op{rg}(B)\sp{1.5},\,$ on obtient :

Le système $(\sc E)$ est donc

Soit $A=[a_{i,j}]\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $\,r\leq\min(m,n)\,$ tels que :

$\displaystyle{}\Bigg\{\ \raise.5ex\tabl{{l}a_{i,\sp{1.5}j}=0 \ \txt{si} i < j\leq r\\[-.5ex] a_{i,\sp{1.5}j}\neq0\ \txt{si} i=j\leq r\\[-.5ex]a_{i,\sp{1.5}j}=0\ \txt{pour tout} i > r}$

Alors, la matrice $A$ ainsi échelonnée  est de rang $\,r\sp{1.5}.\,$

de rang $\,2\sp{1.5},\,$ et l'espace $\,\sc S\,$ de ses solutions dans $\,\bb{R}^3\,$ a alors pour

Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$

dimension :

L'ensemble des solutions de ce système linéaire est ainsi une

Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

• lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
• lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.

droite vectorielle.

Il s'agit de l'intersection des quatre plans vectoriels de $\bb R^3$

Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n) \,$ et $\,(a_1,\dots,a_n)\app\bb K^n\sp{1.5}.\,$

• L'ensemble des $\,u\app E\,$ tes que $\,X=\op{M}_\sc B(u)\,$ vérifie :
  $\displaystyle{}a_1\sp{1.5}x_1+\cdots+a_n\sp{1.5}x_n=0$
  est un hyperplan de $E$ si $\,(a_1,\dots,a_n)\neq(0,\dots,0)\sp{1.5}.\,$
• Tout hyperplan de $E$ est caractérisé dans $\sc B$ par une telle équation.

caractérisés par les équations du système.

Il s'agit d'un

Un système linéaire $(\sc E)$ est un ensemble de $m$ équations linéaires :

$\displaystyle{}(\sc E_k):\ a_{k,1}\sp{1.5}x_1+\cdots+a_{k,n}\sp{1.5}x_n=b_k$

Pour $\,X=[x_j]\app\bb K^n,\,$c e système s'écrit matriciellement : $\,A\sp{1.5}X=B\sp{1.5}.\,$

• $\,\sc S=\ens{X\app\bb K^n}{A\,X\!=\!B}\,$ est  son ensemble de solutions.
• Le système $(\sc E)$ est dit compatible  ssi $\,\sc S\,$ n'est pas vide.

système linéaire à  quatre inconnues, non

Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$

homogène ; l'ensemble $\,\sc S\!\subset\!\bb R^4\,$ pourrait donc être vide.

On détermine le

Soit $(\sc E)$ un système linéaire : $\,A\,X=B\sp{1.5},\,$ et $(\sc E_0)$ le système homogène : $\,A\,X=0\sp{1.5}.\,$

Le rang de $(\sc E)$ est le nombre maximum d'équations de $(\sc E_0)$ linéairement indépendantes.

Ce rang coïncide avec celui de la matrice $A:$ $\,\op{rg}(\sc E)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$

rang de ce système linéaire par des

Le rang d'une matrice $A$ est inchangé par les opérations élémentaires :

• $\,C_k\ot C_k+\smb0{\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\sp{1.5}C_j\sp{1.5},\,$ pour des $\,\lambda_j\app\bb K\,;\,$
• $\,C_i\tot C_j\sp{1.5},\,$ pour des indices $\,i\neq j\,;\,$
• $\,C_k\ot \lambda\sp{1.5}C_k\sp{1.5},\,$ pour $\,\lambda\app\bb K\,$ et $\,\lambda\neq0\sp{1.5}.\,$

Lorsque $\,\lambda_k\neq0\sp{1.5},\,$ il en va de même avec l'opération combinée :  

$\displaystyle{}C_k\ot \lambda_k\,C_k+\smb0{\textstyle\sum_{j\neq k}}\,\lambda_j\,C_j$

Les opérations élémentaires sur les lignes $L_k$ de $A$ ont le même effet.

opérations élémentaires sur sa matrice $A\sp{1.5}.$

En convenant de noter $\,A\sim A'\,$ l'équivalence de deux matrices, c'est-à-dire la relation : $\,\op{rg}(A)=\op{rg}(A')\sp{1.5},\,$ on obtient :

Le système $(\sc E)$ étant ainsi

Soit $A=[a_{i,j}]\app\sc M_{m,n}(\bb K)$ et $\,r\leq\min(m,n)\,$ tels que :

$\displaystyle{}\Bigg\{\ \raise.5ex\tabl{{l}a_{i,\sp{1.5}j}=0 \ \txt{si} i < j\leq r\\[-.5ex] a_{i,\sp{1.5}j}\neq0\ \txt{si} i=j\leq r\\[-.5ex]a_{i,\sp{1.5}j}=0\ \txt{pour tout} i > r}$

Alors, la matrice $A$ ainsi échelonnée  est de rang $\,r\sp{1.5}.\,$

de rang $\,3\sp{1.5},\,$ l'application linéaire $\,f_A:X\mapsto AX\,$ de $\,\bb{R}^4\,$ vers $\,\bb{R}^3\,$ est aussi

L'image de $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\,$ est l'image de l'application linéaire $f_A:X\mapsto A\sp{1.5}X\sp{1.5}.$

$\displaystyle{}\op{Im}(A)=\ens{Y\app \bb K^m}{\iex X\app \bb K^n,\ Y=A\sp{1.5}X}$

Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ alors :  $\,\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)\,$ et $\,\op{rg}(A)=\op{rg}(f_A)\sp{1.5}.\,$

de rang $\,3\sp{1.5}.\,$

L'application $f_A$ est donc

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est surjective  ssi :

$\displaystyle{}\op{Im} f=E'$

surjective, et le second membre $\,B\,$ du système a alors au moins un antécédent $\,X_1\,$ par $\,f_A\sp{1.5}.\,$

En d'autres termes, le système $(\sc E)$ est

Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :

$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$

• Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité :
  $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
• Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
  $\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$

compatible, avec :  $\,X_1\app\sc{S} =f_A^{-1}\big(\{B\}\big)\neq\vide\sp{1.5}.\,$

D'autre part, l'espace $\sc S_0$ des solutions du système homogène associé a pour

Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$

dimension :

Finalement, l'ensemble $\,\sc S\,$ des

Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :

$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$

• Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité :
  $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
• Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
  $\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$

solutions de $(\sc E)$ dans $\bb R^4$ est un sous-espace

Soit un point $A$ et un sous-espace vectoriel $F$ dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Le sous-espace affine de $E$ de direction $F$ et passant par le point $A$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc F=\ens{\,M\app E}{\iex \vec u\app F,\ M=A+\vec u\sp{1.5}}=A+F$

Si $\,\dim(F)=1\sp{1.5},\,$ $\sc F$ est une droite affine ; si $\,\dim(F)=2\sp{1.5},\,$ $\sc F$ est un plan affine.

affine, dirigé par la droite vectorielle $\,\sc{S}_0:\,$

Dans l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrique de $\,\bb R^4,\,$  $\sc{S}$ est une

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine de $\,\bb{R}^4\,$ passant par le point $X_1\sp{1.5},$ non vectorielle car : $\,0\non\app\sc S.\,$