exercices de mathématiques - prépa et université

Avec deux

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $\,n\geq1\sp{1.5}.\,$

Les hyperplans de $E$  sont  les sous-espaces de $E$ de dimension $\,n-1\sp{1.5}.\,$

hyperplans $\,H_1\neq H_2\sp{1.5},\,$ la somme $\,H_1+H_2\,$ contient au moins un vecteur $\,x\app H_2\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}H_1\sp{1.5}.\,$

On a donc : $\,H_1\subsetneq (H_1+H_2)\subset E\sp{1.5},\,$ d'où la relation entre leurs

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

dimensions :

Ceci nous prouve que : $\,\dim(H_1+H_2)=n\sp{1.5},\,$ et donc que : $\,H_1+H_2=E\sp{1.5}.\,$

D'après la formule de

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Alors  leur somme $F+G$  est  de dimension finie, et on a la formule :

$\displaystyle{}\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$

Grassmann, on en déduit que :

L'intersection de deux hyperplans distincts d'un espace de dimension $n$ est donc toujours de dimension $n-2\sp{1.5}.$

Soient maintenant trois hyperplans de $E$ deux à deux distincts $H_1,\sp{1.5}H_2,\sp{1.5}H_3\sp{1.5};$  on a alors :

La

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Alors  leur somme $F+G$  est  de dimension finie, et on a la formule :

$\displaystyle{}\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$

formule de Grassman appliquée à $\,(H_1\cap H_2)+ H_3\sp{1.5},\,$ nous permet d'écrire :

Par

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

• $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
• $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$

croissance des dimensions vis à vis de l'inclusion, on a : $\,\dim\big((H_1\cap H_2)+H_3\big)\leq n\sp{1.5},\,$ et on obtient donc :

La dimension de $\,H_1\cap H_2\cap H_3\,$ peut alors prendre l'une des deux valeurs $\,n-2\,$ ou $\,n-3:\,$

• le cas où $\,\sth1\dim(H_1\cap H_2\cap H_3)=n-2\,$ correspond, par égalité des
  Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :

  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
  dimensions, aux identités :
  $\displaystyle{}H_1\cap H_2=H_1\cap H_3=H_2\cap H_3$
• le cas où $\,\dim(H_1\cap H_2\cap H_3)=n-3\,$ suppose que : $\,H_1\cap H_2\non\subset H_3\,$ et $\,H_1\cap H_3\non\subset H_2\sp{1.5},\,$ d'où :
  $\displaystyle{}\Syst{H_1\cap H_2\neq H_1\cap H_3\\H_1\cap H_2\neq H_2\cap H_3 \\H_1\cap H_3\neq H_2\cap H_3}$

Il s'ensuit que les sous-espaces $H_1\cap H_2\sp{1.5},$ $H_1\cap H_3$ et $H_2\cap H_3$ sont soit tous confondus, soit deux à deux distincts.

\\(\GREC\\)Avec $\,E=\sc M_n(\bb R)\sp{1.5},\,$ pour toute matrice $A\app E\sp{1.5},$ on considère l'application $\,\phi_A:\syst{&E&\to\ \,\bb R\,,\\[-.5ex]&M&\mapsto\op{tr}(A\sp{.75}M)\sp{1.5}.}\,$

Par

Soient $A,A'\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},$ $B,B'\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ $C\app\sc M_{p,q}(\bb K)$ et $\alpha,\beta\app\bb K\sp{1.5};$ alors :

• $\,\smh{.5}{(A\sp{1.5}B)\sp{1.5}C=A\sp{1.5}(B\sp{1.5}C)}:\,$  le produit matriciel est associatif ;
• $\,\Syst{(\alpha\sp{1.5}A+\beta\sp{1.5}A')B\sp{1.5}&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A'\!\sp{1.5}B\\[-.5ex] \,A(\alpha\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}B\sp{1.5}')&=\alpha\sp{1.5}A\sp{1.5}B+\beta\sp{1.5}A\sp{1.5}B\sp{1.5}'}\,:\,$  le produit matriciel est bilinéaire.

bilinéarité du produit matriciel, l'application $\,M\mapsto A\sp{.75}M\,$ est linéaire.

Par composition avec la

La trace : $\,A\mapsto \op{tr}(A)\,$ est  une forme linéaire sur $\,\sc M_n(\bb K)\sp{1.5},\,$ et :

$\displaystyle{}\ptt A,B\app\sc M_n(\bb K),\ \op{tr}(A\sp{1.5}B)=\op{tr}(B\sp{1.5}A)$

trace, qui est elle aussi linéaire, toutes les applications $\phi_A$ sont donc des

Une forme linéaire sur un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$  est une application linéaire de $E$ vers $\,\bb K\sp{1.5}.\,$

formes linéaires sur $E\sp{1.5}.$

Montrons alors que l'application $\,\Phi:E\to\sc L(E,\bb R)\sp{1.5},\,$ qui à toute matrice $A\app E$ associe $\,\phi_A\sp{.75},\,$ est elle aussi linéaire.

Soient $\,A,B\app E\,$ et $\,\a,\b\app\bb R\,;\,$ on a alors, pour toute matrice $M\app E:$

Il s'ensuit que : $\,\Phi(\a\sp{1.5}A+\b\sp{1.5}B)=\a\sp{1.5}\Phi(A)+\b\Phi(B)\sp{1.5},\,$ ce qui nous prouve que $\,\Phi\,$ est bien

Une application $\,f:E\to E'\,$ entre deux $\,\bb{K}\tiret$espaces vectoriels est linéaire  ssi :

$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \ptt \alpha,\beta\app \bb{K},\ f(\alpha\sp{1.5}u+\beta\sp{1.5}v)=\alpha\sp{1.5}f(u)+\beta\sp{1.5}f(v)$

On note $\sc L(E,E')$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ vers $E'.$

linéaire.

Déterminons le noyau de $\Phi\sp{1.5};$  pour toute $\,A\app E\,$ telle que $\,\Phi(A)=0\sp{1.5},\,$ on a en particulier :

Par définition de la

La transposée de $\,A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\,$  est  $\,A^T\app\sc M_{p,n}(\bb K)\,$ telle que :

$\eqalign{&A=\smb{1}{[\sp{1.5}a_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}}\txt{et}A^T=\smb1{[\sp{1.5}b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} i\sp{1.5}\leq\sp{1.5} p}{1\sp{1.5}\leq\sp{1.5} j\sp{1.5}\leq\sp{1.5} n}}\\ &\!\!\txt{avec :}\ptt (i,j)\app\,[\![1,p]\!]\!\times\![\![1,n]\!],\ b_{\sp{1.5}i,\sp{1.5}j}=a_{j,\sp{1.5}i}}$

• $A\mapsto A^T$ est un isomorphisme entre $\sc M_{n,p}(\bb K)$ et $\sc M_{p,n}(\bb K)\sp{1.5}.$
• On a de plus :  $\,\ptt A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},\ (A^T)^T=A\sp{1.5}.\,$

transposée et du

Pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb{K})\,$ et $\,B\app\sc M_{n,p}(\bb{K})\sp{1.5},\,$ le produit $A\sp{1.5}B$  est  $\,C\app\sc M_{m,p}(\bb{K})\,$ définie par :

$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,m]\!],\ \ptt j\app\,[\![1,p\sp{.75}]\!],\ c_{i,\sp{1.5}j}=\smh{1.5}{\sum_{k=1}^n}a_{i,\sp{1.5}k}\,b_{k,\sp{1.5}j}$

produit matriciel, le produit $AA^T$ a pour termes diagonaux les $\,\smb2{\tst{\sum}_{j=1}^na_{i,j}^2}\sp{1.5},\,$ d'où :

On en déduit que le

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5}.\,$

Le noyau de $f$ est l'ensemble des $u\app E$ tels que $\,f(u)=0_{E\sp{1.5}'}:\,$

$\displaystyle{}\op{Ker}f=\ens{u\app E}{f(u)=0_{E\sp{.75}'}}$

$\,\op{Ker}f\,$ est  un sous-espace vectoriel de l'espace de départ $E\sp{1.5}.$

noyau de $\Phi$ est réduit à $\,\{0\}\sp{1.5},\,$ d'où

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors $f$ est injective  ssi :

$\displaystyle{}\op{Ker} f=\{0_{E}\}$

l'injectivité de l'application linéaire $\,\Phi\sp{1.5}.\,$

Il s'ensuit que $\Phi$ est un

Soit $\,f\app \sc L(E,E')\sp{1.5},\,$ entre deux espaces vectoriels de même dimension finie :

• $f$ est un isomorphisme  ssi $f$ est injective ;
• $f\,$ est un isomorphisme  ssi $f$ est surjective.

isomorphisme en tant qu'application linéaire entre espaces de mêmes dimensions, car :

• l'espace $\,E=\!\sc M_n(\bb R)\,$ a pour
  L'espace vectoriel $\sc M_{n,p}(\bb K)$  est  de dimension $\,n\sp{.75}p\sp{1.5},\,$ de base canonique $\,\sc B_c=(E_{1,1},\dots,E_{n,p})\sp{1.5},\,$ avec :

  $\displaystyle{}E_{k,\ell}=[\sp{1.5}e_{i,\sp{1.5}j}\sp{1.5}]_\indices{1\leq i\leq n}{1\leq j\leq p}\,,\txt{pour}\syst{&{e_{k,\sp{1.5}\ell}}=1\\[-.5ex] &{e_{i,\sp{1.5}j}}=0\txt{si}(i,j)\neq(k,\ell)}$
  dimension :  $\,\dim\big(\sc M_n(\bb R)\big)=n\times n=n^2\,;\,$
• l'espace $\,\sc L(E,\bb R)\,$ a pour
  Soient $E$ et $E'$ deux espaces vectoriels de dimensions finies.

  Alors  l'espace $\,\sc L(E,E')\,$ est de dimension finie, avec :

  $\displaystyle{}\dim\big(\sc L(E,E')\big)=\dim(E)\times\dim(E')$
  dimension :  $\,\dim\big(\sc L(E,\bb R)\big)=n^2\times1=n^2\sp{1.5}.\,$

Toute forme linéaire $\,\phi\app\sc L(E,\bb R)\,$ a donc un unique antécédent $\,A\app E\,$ par $\,\Phi\sp{1.5},\,$ tel que : $\,\phi=\Phi(A)=\phi_A\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire :

On va démontrer cette équivalence en deux temps :

• Supposons que $\,\phi\,$ appartienne au
  Soient, dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ et :

  $\displaystyle{}\op{Vect}(\sc U)=\big\{\alpha_1\sp{1.5}u_1+\cdots+\alpha_p\sp{1.5} u_p\,\big|\,(\alpha_1,\dots,\alpha_p)\app \bb{K}^p\big\}$

  $\,\op{Vect}(\sc U)\,$ est  un sous-espace vectoriel de $E\sp{1.5},$ engendré par les $\,u_i\sp{1.5}.\,$
  sous-espace $\,\op{Vect}(\phi_1,\phi_2)\,;\,$ il existe alors $\,(\a,\b)\app\bb K^2,\,$ tel que : $\,\phi=\a\sp{1.5}\phi_1+\b\sp{1.5}\phi_2\sp{1.5}.\,$
  On en déduit que pour tout $\,x\app E\,$ tel que $\,\phi_1(x)=\phi_2(x)=0:\,$
  $\displaystyle{}\phi(x)=\a\sp{1.5}\phi_1(x)+\b\sp{1.5}\phi_2(x)=0$
  Cela établit
  Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$  ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$

  $\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$

  On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$

  On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
  l'inclusion : $\,\big(\op{Ker}(\phi_1)\cap\op{Ker}(\phi_2)\big) \ \sp{1.5}\subset\op{Ker}(\phi)\sp{1.5};\,$ on a ainsi démontré l'implication :
  $\displaystyle{}\phi\app\op{Vect}(\phi_1,\phi_2)\Imp H_1\cap H_2 \subset H$
• Supposons réciproquement que : $\,H_1\cap H_2 \subset H\sp{1.5},\,$ ce qui implique que : $\,H_1\cap H_2\cap H=H_1\cap H_2\sp{1.5}.\,$
  Dans une base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ de $E\sp{1.5},$ $\,\phi_1\sp{1.5},\,$ $\,\phi_2\,$ et $\,\phi\,$ sont caractérisées par des
  Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de base $\,\sc B=(e_1,\dots,e_n)\,$ et :

  $\displaystyle{}\Phi:\phi\mapsto\smh0{\op{M}^{\sc B}_{(1)}(\phi)}=\big[\phi(e_1),\dots,\phi(e_n)\big]$

  $\Phi$  est  un isomorphisme entre les espaces $\,\sc L(E,\bb K)\,$ et $\sc M_{1,n}(\bb K)\sp{1.5}.$
  matrices-lignes $L_1\sp{1.5},$ $L_2$ et $L\sp{1.5}.$
  L'application $\op M_\sc B$ qui à toute $\,\phi\app\sc L(E,\bb K)\,$ associe sa matrice $\,L\app\sc M_{1,n}(\bb K)\,$ dans $\,\sc B\,$ est un isomorphisme.
  Pour $\,X\app\bb K^n\sp{1.5},\,$ le sous-espace $\,H_1\cap H_2\cap H=H_1\cap H_2\,$ est donc caractérisé par deux
  Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

  Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

  $\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
  systèmes linéaires équivalents :
  $\displaystyle{}\Syst{L_1X=0\\[-.75ex]\,L_2X=0}\ \Ssi\ \Syst{L_1X=0\\[-.75ex]\,L_2X=0\\[-.75ex]L\,X=0}$
  $(\phi_1,\phi_2)$ étant libre dans $\,\sc L(E,\bb K)\sp{1.5},\,$ la famille $(L_1,L_2)$ est libre dans $\sc M_{1,n}(\bb K)$ en vertu de l'isomorphisme $M_{\sc B}\sp{1.5}.$
  Ces deux systèmes linéaires
  Un système linéaire homogène s'écrit : $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\,$  pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

  Il a pour ensemble de solutions un sous-espace vectoriel $\sc S$ de $\bb K^n$ de dimension :

  $\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
  homogènes ont le même
  Le rang de $A\app\sc M_{n,p}(\bb K)\sp{1.5},$ de lignes $L_i$ et colonnes $C_j\sp{1.5},$  est à la fois :

  • le nombre maximal des $C_j$ linéairement indépendantes
  • et le nombre maximal des $L_i$ linéairement indépendantes :

  $\displaystyle{}\op{rg}(A)=\op{rg}(C_1,\dots,C_p)=\op{rg}(L_1,\dots,L_n)$

  Le rang est donc invariant par transposition : $\,\op{rg}(A^T)=\op{rg}(A)\sp{1.5}.\,$
  rang que leurs matrices, et ce rang vaut donc $2\sp{1.5}.$
  On peut alors en déduire que : $\,L\app\op{Vect}(L_1,L_2)\,$ d'où, par
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app\sc L(E,E')\sp{1.5};\,$ alors, pour tout $\,(u_1,\dots,u_p)\app E^p:\,$

  $\displaystyle{}f\big(\!\op{Vect}(u_1,\dots,u_p)\big)=\op{Vect}\!\big(f(u_1),\dots,f(u_p)\big)$
  linéarité de $\,(\sp{-1.5}M_\sc B\sp{-1.5})^{-1}\!:\,$ $\,\phi\app\op{Vect}(\phi_1,\phi_2)\sp{1.5}.\,$

Avec cette réciproque de l'implication déjà établie, on a finalement démontré l'équivalence :

Lorsque $E$ n'est pas de dimension finie, la démonstration de la première implication tient toujours.

Pour la réciproque, on ne peut plus utiliser la base $\sc B,$ mais on peut néanmoins dire que :

• $(\phi_1,\phi_2)$ étant libre, $\phi_1$ est non nulle et $H_1$ est un
  Un hyperplan d'un espace vectoriel $E$  est  le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $E\sp{1.5}.$
  hyperplan de $E\sp{1.5},$
  Soient $H$ un hyperplan et $D$ une droite d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Alors  $H$ et $D$ sont supplémentaires  ssi  $D$ n'est pas incluse dans $H.$
  d'où :  $\,v\non\app H_1\Imp E=H_1\oplus \op{Vect}(v)\sp{1.5}.\,$
• Avec $\,H_2\subset H_1\sp{1.5},\,$ on aurait : $\,\phi_2\restr{H_1}=\phi_1\restr{H_1}\,$ et $\,\phi_2(v)=\dfrac{\phi_2(v)}{\phi_1(v)}\,\phi_1(v)\sp{1.5},\,$ et
  Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, et $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces de $E$ tels que $\,E=F_1\oplus F_2\sp{1.5}.\,$

  Si $\,f_1\app\sc L(F_1,E')\,$ et $\,f_2\app\sc L(F_2,E')\sp{1.5},\,$  alors  il existe une unique $f\app\sc L(E,E')$ telle que :

  $\displaystyle{}f\restr{F_1}=f_1\txt{et}f\restr{F_2}=f_2$

  Cette propriété s'étend aux cas de $\,p\,$ sous-espaces supplémentaires : $\,E=F_1\oplus\cdots\oplus F_p\sp{1.5}.\,$
  alors : $\,\phi_2=\dfrac{\phi_2(v)}{\phi_1(v)}\,\phi_1\app\op{Vect}(\phi_1)\sp{1.5};\,$
  c'est contradictoire, car $(\phi_1,\phi_2)$ est libre ; on a donc $\,H_2\non\subset H_1\sp{1.5},\,$ et on peut ainsi choisir $v$ dans $\,H_2\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}H_1\sp{1.5}.\,$

• Dans ces conditions, $\phi_2\restr{H_1}$ est une forme linéaire non nulle sur $H_1\sp{1.5},$ et $\,H_1\cap H_2=\ker(\phi_2\restr{H_1}\sp{-1.5})\,$ est un
  Un hyperplan d'un espace vectoriel $E$  est  le noyau d'une forme linéaire non nulle sur $E\sp{1.5}.$
  hyperplan de $H_1\sp{1.5}.$
  Il existe
  Soient $H$ un hyperplan et $D$ une droite d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

  Alors  $H$ et $D$ sont supplémentaires  ssi  $D$ n'est pas incluse dans $H.$
  alors un $u\app H_1\!\sp{-1.5}\setminus\!\sp{-1.5}H_2$ tel que : $\,H1=(H_1\cap H_2)\oplus \op{Vect}(u)\sp{1.5},\,$ et donc finalement :
  $\displaystyle{}E=(H_1\cap H_2)\oplus \op{Vect}(u)\oplus \op{Vect}(v)$

En supposant que : $\,H_1\cap H_2\subset H\sp{1.5},\,$ il existe alors deux scalaires $\alpha$ et $\beta$ tels que :

Il s'ensuit que $\,\phi\,$ et $\,\alpha\sp{1.5}\phi_1+\beta\sp{1.5}\phi_2\,$ sont égales car elles

Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels, et $F_1$ et $F_2$ deux sous-espaces de $E$ tels que $\,E=F_1\oplus F_2\sp{1.5}.\,$

Si $\,f_1\app\sc L(F_1,E')\,$ et $\,f_2\app\sc L(F_2,E')\sp{1.5},\,$  alors  il existe une unique $f\app\sc L(E,E')$ telle que :

$\displaystyle{}f\restr{F_1}=f_1\txt{et}f\restr{F_2}=f_2$

Cette propriété s'étend aux cas de $\,p\,$ sous-espaces supplémentaires : $\,E=F_1\oplus\cdots\oplus F_p\sp{1.5}.\,$

coïncident respectivement sur $\,H_1\cap H_2\sp{1.5},\,$ $\op{Vect}(u)$  et $\,\op{Vect}(v)\sp{1.5}.\,$

On a ainsi prouvé que, même en dimension infinie :