Sujet A.5.5 Équations algébriques
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Exercice
Résoudre dans $\bb C$ l'équation : $\,z^3-6\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2-12\sp{1.5}z+7\sp{1.5}i=0\sp{1.5}.\,$
racines carrées d'un nombre complexe
Les racines carrées de $\,z\app\bb C\,$ sont les $\,\zeta\app\bb C\,$ tels que : $\,\zeta^2=z\sp{1.5}.\,$
Pour $\,z=a+i\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ ce sont les $\,\zeta=\pm(\alpha+i\sp{1.5}\beta)\,$ caractérisés par :
$\displaystyle{}(\alpha,\beta)\app\bb R^2\txt{et}\Bigg\{\ \eqalign{\alpha^2-\beta^2 &= a\\[-.5ex] 2\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}\beta\ \ \, &= b\\[-.5ex] \alpha^2+\beta^2&=\smh0{\sqrt{a^2+b^2}}}$
équation du second degré dans $\bb C$
Soit, pour $\,(a,b,c)\app\bb C^{\ast}\times\bb C^2\sp{1.5},\,$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}z^2+b\sp{1.5}z+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\,\bb C\sp{1.5}:\,$
- une racine unique si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,z=\smh{1.2}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta \neq 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.2}{\dfrac{-b\pm\delta}{2\sp{1.5}a}}\sp{1.5},\,$ $\,\delta\,$ et $\,-\delta\,$ étant les deux racines carrées complexes de $\,\Delta\sp{1.5}.\,$
indication
1
Utiliser la formule du binôme pour mettre l'équation sous la forme :
$\displaystyle{}(z-\alpha)^3=\beta^{\sp{1.5}3},\,\txt{pour}\alpha,\beta\app\bb C\txt{fixés.}$
indication
2
On peut aussi trouver une racine complexe « évidente », puis résoudre une équation du second degré.
réponse
On obtient pour ensemble des solutions :
$\,\sc S=\Big\{\sp{1.5}i\sp{1.5},\,\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{5\sp{1.5}i}2\sp{1.5},\,-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac{5\sp{1.5}i}2\Big\}\!\cdot\,$
correction
Selon la formule du
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
binôme,
l'équation peut s'écrire :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{&z^3\!-6\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2\!-12\sp{1.5}z+7\sp{1.5}i=0\\ \Ssi & z^3+3\sp{1.5}(-2\sp{1.5}i)\sp{1.5}z^2+3\,(-2\sp{1.5}i)^2z+(-2\sp{1.5}i)^3=i\\ \Ssi&\big(z-2\sp{1.5}i)^3=(-i)^3\\[-.5ex] \Ssi&\Big(\frac{z-2\sp{1.5}i}{-i}\Big)^{\!3}=1}$
Connaissant l'ensemble $\,\bb U_3\,$ des
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racines
cubiques de l'unité, on obtient :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\eqalign{\sp{-1.5}z^3-6\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2-12\sp{1.5}z+7\sp{1.5}i=0\!&\Ssi\!\frac{z-2\sp{1.5}i}{-i}\app\big\{\sp{1.5}1\sp{1.5},\sp{1.5}j\sp{1.5},\sp{1.5}j^2\big\}=\bb U_3\\
&\Ssi\! z-2\sp{1.5}i\sp{1.5}\app\big\{\!\sp{-1.5}-i\sp{1.5},\sp{1.5}\sp{-1.5}-i\sp{1.5}j\sp{1.5},\sp{1.5}-i\sp{1.5}j^2\big\}\\[.5ex]
&\Ssi\! z\sp{1.5}\app\big\{\,i\sp{1.5},\sp{1.5}i\sp{1.5}(2-j)\sp{1.5},\sp{1.5}i\sp{1.5}(2-j^2)\sp{-1.5}\big\}}$
Avec les trois solutions : $\,z=i\,$ et $\,z=2\sp{1.5}i-i\sp{.75}\Big(-\dfrac 12\pm\dfrac{i\sp{1.5}\sqrt3}2\Big)\sp{1.5},\,$ l'équation a pour ensemble de solutions :
$\displaystyle{}\sc S=\Big\{\,i\sp{1.5},\,\frac{\sqrt3}2+\frac{5\sp{1.5}i}2\sp{1.5},\,-\frac{\sqrt3}2+\frac{5\sp{1.5}i}2\Big\}$
On pouvait aussi remarquer que $\,i\,$ est une racine « évidente » de l'équation, et
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
factoriser
alors en conséquence :
$\displaystyle{}z^3-6\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2-12\sp{1.5}z+7\sp{1.5}i=(z-i)(z^2-5\sp{1.5}i\sp{1.5}z-7)$
Cela nous aurait alors conduit à résoudre une équation du second degré :
$\eqalign{z^2-5\sp{1.5}i\sp{1.5}z-7=0&\Ssi\smh{1.}{\Big(z-\frac{5\sp{1.5}i}2\Big)^2=7-\frac{25}4=\frac34}\\[-1ex]
&\Ssi\Big(z-\frac{5\sp{1.5}i}2-\frac{\sqrt3}2\Big)\Big(z-\frac{5\sp{1.5}i}2+\frac{\sqrt3}2\Big)=0\\[-.5ex]
&\Ssi z=\frac{\sqrt3}2+\frac{5\sp{1.5}i}2\,\txt{ou}\,z=-\frac{\sqrt3}2+\frac{5\sp{1.5}i}2}$
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Exercice
\\(\GREC\\)
Résoudre dans $\bb C$ l'équation : $\,2\sp{1.5}z^2+(1-2\sp{1.5}i)\sp{1.5}z+3-5\sp{1.5}i=0\sp{1.5}.\,$
racines carrées d'un nombre complexe
Les racines carrées de $\,z\app\bb C\,$ sont les $\,\zeta\app\bb C\,$ tels que : $\,\zeta^2=z\sp{1.5}.\,$
Pour $\,z=a+i\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ ce sont les $\,\zeta=\pm(\alpha+i\sp{1.5}\beta)\,$ caractérisés par :
$\displaystyle{}(\alpha,\beta)\app\bb R^2\txt{et}\Bigg\{\ \eqalign{\alpha^2-\beta^2 &= a\\[-.5ex] 2\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}\beta\ \ \, &= b\\[-.5ex] \alpha^2+\beta^2&=\smh0{\sqrt{a^2+b^2}}}$
équation du second degré dans $\bb C$
Soit, pour $\,(a,b,c)\app\bb C^{\ast}\times\bb C^2\sp{1.5},\,$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}z^2+b\sp{1.5}z+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\,\bb C\sp{1.5}:\,$
- une racine unique si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,z=\smh{1.2}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta \neq 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.2}{\dfrac{-b\pm\delta}{2\sp{1.5}a}}\sp{1.5},\,$ $\,\delta\,$ et $\,-\delta\,$ étant les deux racines carrées complexes de $\,\Delta\sp{1.5}.\,$
indication
Commencer par déterminer les racines carrées du discriminant de cette équation.
réponse
On obtient pour ensemble des solutions : $\,\sc S=\Big\{-1-i\sp{1.5},\ \dfrac12+2\sp{1.5}i\sp{1.5}\Big\}\!\cdot\,$
correction
Cette équation, de la forme $\,a\sp{1.5}z^2+b\sp{1.5}z+c=0\sp{1.5},\,$ a pour
Soit, pour $\,(a,b,c)\app\bb C^{\ast}\times\bb C^2\sp{1.5},\,$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}z^2+b\sp{1.5}z+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\,\bb C\sp{1.5}:\,$
discriminant :
- une racine unique si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,z=\smh{1.2}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta \neq 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.2}{\dfrac{-b\pm\delta}{2\sp{1.5}a}}\sp{1.5},\,$ $\,\delta\,$ et $\,-\delta\,$ étant les deux racines carrées complexes de $\,\Delta\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c&=(1-2\,i)^2-8\sp{1.5}(3-5\sp{1.5}i)\\
&=1-4\sp{1.5}i-4-24+40\sp{1.5}i\\&=-27+36\sp{1.5}i=9\sp{1.5}(-3+4\sp{1.5}i)}$
On recherche alors les
Les racines carrées de $\,z\app\bb C\,$ sont les $\,\zeta\app\bb C\,$ tels que : $\,\zeta^2=z\sp{1.5}.\,$
Pour $\,z=a+i\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ ce sont les $\,\zeta=\pm(\alpha+i\sp{1.5}\beta)\,$ caractérisés par :
racines
carrées $\,\delta\,$ de $\,\Delta\,$ sous la forme $\,\,3\sp{1.5}(\a+i\sp{1.5}\b):\,$
$\displaystyle{}(\alpha,\beta)\app\bb R^2\txt{et}\Bigg\{\ \eqalign{\alpha^2-\beta^2 &= a\\[-.5ex] 2\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}\beta\ \ \, &= b\\[-.5ex] \alpha^2+\beta^2&=\smh0{\sqrt{a^2+b^2}}}$
$\eqalign{(\a+i\sp{1.5}\b)^2=-3+4\sp{1.5}i&\Ssi\Bigg\{\,\eqalign{\smh0{a^2-\b^2}&=-3\\[-.5ex]2\sp{1.5}\a\sp{1.5}\b\ \ \ &=\ph{-}4\\[-.5ex]
\, \a^2+\b^2&=|-3+4\sp{1.5}i|=5}\\[.5ex]
&\Ssi\Bigg\{\,\eqalign{\smh0{\a^2}&=1\\[-.5ex]\b^2&=4\\[-.5ex]\,\a\sp{1.5}\b &> 0}\\[1ex]
&\Ssi\ \ \ \delta=\pm\,3\sp{1.5}(1+2\sp{1.5}i)}$
Les deux
Soit, pour $\,(a,b,c)\app\bb C^{\ast}\times\bb C^2\sp{1.5},\,$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}z^2+b\sp{1.5}z+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\,\bb C\sp{1.5}:\,$
racines
de l'équation s'en déduisent :
- une racine unique si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,z=\smh{1.2}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta \neq 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.2}{\dfrac{-b\pm\delta}{2\sp{1.5}a}}\sp{1.5},\,$ $\,\delta\,$ et $\,-\delta\,$ étant les deux racines carrées complexes de $\,\Delta\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{z=\frac{-b\pm\delta}{2\sp{1.5}a}=\Syst{\,\smh{1}{\frac{-(1-2\sp{1.5}i)+3\sp{1.5}(1+2\sp{1.5}i)}4=\frac12+2\sp{1.5}i}\\
\smb{1}{\frac{-(1-2\sp{1.5}i)-3\sp{1.5}(1+2\sp{1.5}i)}4=-1-i}}}$
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Exercice
Utiliser la formule du binôme pour résoudre dans $\,\bb C\,$ l'équation :
$\displaystyle{}z^4+4\sp{1.5}(1+i)\sp{1.5}z^3+4\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2+8\sp{1.5}(-1+i)\sp{1.5}z-4=0$
racines carrées d'un nombre complexe
Les racines carrées de $\,z\app\bb C\,$ sont les $\,\zeta\app\bb C\,$ tels que : $\,\zeta^2=z\sp{1.5}.\,$
Pour $\,z=a+i\sp{1.5}b\sp{1.5},\,$ ce sont les $\,\zeta=\pm(\alpha+i\sp{1.5}\beta)\,$ caractérisés par :
$\displaystyle{}(\alpha,\beta)\app\bb R^2\txt{et}\Bigg\{\ \eqalign{\alpha^2-\beta^2 &= a\\[-.5ex] 2\sp{1.5}\alpha\sp{1.5}\beta\ \ \, &= b\\[-.5ex] \alpha^2+\beta^2&=\smh0{\sqrt{a^2+b^2}}}$
équation du second degré dans $\bb C$
Soit, pour $\,(a,b,c)\app\bb C^{\ast}\times\bb C^2\sp{1.5},\,$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}z^2+b\sp{1.5}z+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\,\bb C\sp{1.5}:\,$
- une racine unique si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,z=\smh{1.2}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta \neq 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.2}{\dfrac{-b\pm\delta}{2\sp{1.5}a}}\sp{1.5},\,$ $\,\delta\,$ et $\,-\delta\,$ étant les deux racines carrées complexes de $\,\Delta\sp{1.5}.\,$
indication
1
Mettre en évidence le terme $\,(z+1+i)^4\,$ dans l'équation proposée.
indication
2
Faire apparaître ensuite dans cette équation une différence de deux carrés.
réponse
L'équation proposée admet pour ensemble de solutions dans $\,\bb C:\,$
$\displaystyle{}\!\sc S\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\big\{\!-1+i\sp{1.5},\sp{1.5}1-i\sp{1.5},\sp{1.5}(-2+\!\sqrt3)(1+i),\sp{1.5}(-2-\!\sqrt3)(1+i)\big\}$
correction
On désigne par $\,P(z)\,$ le terme de gauche de cette équation :
On développe alors $\,(z+u)^4\,$ par la formule du
$\displaystyle{}P(z)=z^4+4\sp{1.5}(1+i)\sp{1.5}z^3+4\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2+8\sp{1.5}(-1+i)\sp{1.5}z-4$
En posant $\,u=1+i\sp{1.5},\,$ on reconnaît dans $\,P(z)\,$ certaines des puissances successives de $\,u:\,$
$\eqalign{u^2&=(1+i)^2=1+2\sp{1.5}i+i^2=2\sp{1.5}i\\ u^3&=u^2(1+i)=2\sp{1.5}i\sp{1.5}(1+i)=2\sp{1.5}(-1+i)\\u^4&=(u^2)^2=(2\sp{1.5}i)^2=-4}$
On obtient par un triangle de
Pour tous $\,n\app\bb N^{\ast}\,$ et $\,k\app\bb Z\,$ on a les formules :
Pascal
les coefficients binomiaux $\,\binome{\sp{1.5}4\sp{1.5}\\p}\,$ pour $\,0\leq p\leq4:\,$
$\displaystyle{}\binome{\sp{1.5}n\sp{1.5}\\0}=1\txt{et}\binome{\,n\,\\k}=\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k}+\binome{\sp{1.5}n-1\sp{1.5}\\k-1}$
Les coefficients binomiaux appartiennent tous à $\bb N\sp{1.5}.$
On en déduit ligne par ligne le triangle de Pascal.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\eqalign{\lower 1ex{n}\ \raise .5ex{p}&\tabl{{|c|c|c|c|c|}\hline 0&1&2&3&4\\ \hline}\\[-.75ex] \tabl{{|c|}\hline \sp{1.5}0\sp{1.5}\\ \hline 1\\ \hline 2\\ \hline 3\\ \hline 4\\\hline}&\tabl{{|r|r|r|r|r|}\hline1&&&&\\\hline1&1&&&\\\hline1&2&1&&\\\hline1&3&3&1&\\\hline1&4&6&4&1\\\hline}}$}$ |
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
binôme :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
$\eqalign{(z+u)^4&=z^4+4\sp{1.5}u\sp{1.5}z^3+6\sp{1.5}u^2z^2+4\sp{1.5}u^3z+u^4\\
&= z^4+4\sp{1.5}(1+i)\sp{1.5}z^3+12\sp{1.5}i\sp{1.5}z^2 +8\sp{1.5}(-1+i)\sp{1.5}z-4}$
$\,P(z)\,$ apparaît ainsi comme une
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
différence
de deux carrés, eux-mêmes différences de carrés.
On peut alors décomposer l'expression polynomiale $\,P(z)\,$ en quatre facteurs du premier degré :
$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$
$\eqalign{P(z)&=(z+u)^4-4\sp{1.5}u^2\sp{-1.5}z^2\\[-.5ex]
&=\big((z+u)^2-2\sp{1.5}u\sp{1.5}z\big)\big((z+u)^2+2\sp{1.5}u\sp{1.5}z\big)\\[-.5ex]
&=(z^2+u^2)(z^2+4\sp{1.5}u\sp{1.5}z+u^2)\\[-.5ex]
&=(z-i\sp{1.5}u)(z+i\sp{1.5}u)\big((z+2\sp{1.5}u)^2-3\sp{1.5}u^2\big)\\[-.5ex]
&=(z-i\sp{1.5}u)(z+i\sp{1.5}u)\big(z+(2-\!\sqrt3)\sp{1.5}u\big)\big(z+(2+\!\sqrt3)\sp{1.5}u\big)}$
On obtient donc finalement l'ensemble des solutions de l'équation $\,P(z)=0:\,$
$\eqalign{\!\sc S\sp{-1.5}&=\sp{-1.5}\big\{\,i\sp{1.5}u\sp{1.5},\,-i\sp{1.5}u\sp{1.5},\,(-2+\!\sqrt3)\sp{1.5}u\sp{1.5},\,(-2-\!\sqrt3)\sp{1.5}u\,\big\}\\[-.5ex]
&=\sp{-1.5}\big\{\!-1+i\sp{1.5},\sp{1.5}1-i\sp{1.5},\sp{1.5}(-2+\!\sqrt3)(1+i),\sp{1.5}(-2-\!\sqrt3)(1+i)\big\}}$