Sujet A.5.4 Applications géométriques
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Exercice
Soient trois nombres complexes $\,a,\sp{.75}b,\sp{.75}c\,$ tels que : $\,a+j\,b+j^2\sp{1.5}c=0\sp{1.5},\,$ où $\,j\,$ désigne le complexe $\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/3}\sp{1.5}.\,$
Démontrer que le triangle formé par $\,(a,b,c)\,$ est équilatéral.
structure géométrique du plan complexe
$\bb C$ est un $\bb R\tiret$plan vectoriel ; les complexes sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
- pour deux points $\,a\sp{1.5},b\app\bb C\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\app\bb C\,$ est défini par : $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}=b-a\,;\,$
- pour un point $\,a\app\bb C\,$ et un vecteur $\,\vec u\app\bb C\sp{1.5},\,$ le point $\,b=a+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{-1.5}.\,$
structure euclidienne du plan complexe
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
indication
Utiliser la relation $\,1+j+j^2=0\,$ pour comparer $\,|b-a|\,$ et $\,|c-a|\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient : $\,|b-a|=|c-a|=|c-b|\,;\,$ le triangle $\,(a,b,c)\,$ est donc bien équilatéral.
correction
Le nombre $\,j\,$ est une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
cubique de l'unité distincte de $\,1,\,$ et vérifie donc :
$\,j^{\sp{1.5}3}=1\ \txt{et} 1+j+j^{\sp{1.5}2}=0\,.\,$
On peut alors établir une relation entre $\,b-a\,$ et $\,c-a:\,$
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\eqalign{a+j\,b+j^2c&=a\sp{1.5}(-j-j^2\sp{1.5})+j\,b+j^2\sp{1.5}c\\[-.5ex]&=j\sp{1.5}(\sp{.75}b-a)+j^2\sp{.75}(c-a)=0}$
Dans le
$\bb C$ est un $\bb R\tiret$plan vectoriel ; les complexes sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
plan
complexe, les différences de deux nombres correspondent à des vecteurs.
Avec les propriétés du
- pour deux points $\,a\sp{1.5},b\app\bb C\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\app\bb C\,$ est défini par : $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}=b-a\,;\,$
- pour un point $\,a\app\bb C\,$ et un vecteur $\,\vec u\app\bb C\sp{1.5},\,$ le point $\,b=a+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{-1.5}.\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
module,
on conclut alors à l'égalité des distances de $\,a\,$ à $\,b\,$ et de $\,a\,$ à $\,c\,$ dans le plan
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
euclidien
$\,\bb C:\,$
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
$\eqalign{\big\|\vec{a\sp{1.5}b}\sp{-1.5}\big\|&=|b-a|=\big|-j\sp{1.5}(c-a)\big|\\[-.5ex]&=|-j\sp{1.5}|\,|c-a|=|c-a|=\big\|\vec{a\sp{1.5}c}\sp{-1.5}\big\|}$
On a ainsi établi que le triangle $\,(a,b,c)\,$ est isocèle de sommet $\,a\sp{1.5}.\,$
Il nous reste à comparer la distance de $\,b\,$ à $\,c\,$ à la longueur des deux autres côtés.
Cela peut s'obtenir en reprenant un calcul similaire au précédent, mais il y a plus simple en remarquant que :
$\displaystyle{}j\sp{1.5}(a+j\,b+j^2c)=j\,a+j^2\sp{1.5}b+j^3\sp{1.5}c=c+j\sp{1.5}a+j^2\sp{1.5}b=0$
Les conclusions précédentes appliquées au triplet $\,(c,a,b)\,$ au lieu de $\,(a,b,c)\,$ nous donnent alors directement :
$\displaystyle{}\smh1{\big\|\vec{c\sp{1.5}a}\sp{-1.5}\big\|=|a-c\sp{.75}|=|b-c\sp{.75}|=\big\|\vec{c\sp{1.5}b}\sp{-1.5}\big\|}$
On a ainsi complètement prouvé que le triangle $\,(a,b,c)\,$ est équilatéral.
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Exercice
\\(\def\c#1{\surl{#1}}\\)
Démontrer que, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2,\,$ on a :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2\sp{1.5}\big(|z_1|^2+|z_2|^2\big)$
Soit $\,m=\smh1{\smb{0}{\dfrac{b+c}2}}\,$ pour $\,(a,b,c)\app\bb C^3\,;\,$ démontrer alors la relation :
$\displaystyle{}2\,|m-a|^2+\smh{1.5}{\frac{|b-c|^2}2}=|b-a|^2+|c-a|^2$
Interpréter géométriquement cette relation lorsque $\,(a,b,c)\,$ forme un triangle.
structure géométrique du plan complexe
$\bb C$ est un $\bb R\tiret$plan vectoriel ; les complexes sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
- pour deux points $\,a\sp{1.5},b\app\bb C\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\app\bb C\,$ est défini par : $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}=b-a\,;\,$
- pour un point $\,a\app\bb C\,$ et un vecteur $\,\vec u\app\bb C\sp{1.5},\,$ le point $\,b=a+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{-1.5}.\,$
structure euclidienne du plan complexe
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
indication
1
Décomposer chaque carré de module d'un complexe à l'aide de la relation : $\,|Z|^2=Z.\sp{-1.5}\surl{Z\,}\sp{.75}.\,$
indication
2
Poser $\,z_1=b-a\,$ et $\,z_2=c-a\sp{1.5},\,$ et exprimer $\,z_1+z_2\,$ en fonction de $\,a\,$ et de $\,m\sp{1.5}.\,$
figure
Le triangle $\,(a,b,c)\,$ et sa médiane $\,[\![\sp{.75}a,m\sp{.75}]\!]\,$
réponse
On a bien la relation :
$\,\ 2\,|m-a|^2+\dfrac{|b-c\sp{.75}|^2}2=|b-a|^2+|c-a|^2\sp{1.5}.\,$
Cette relation nous fournit la longueur $\,|m-a|\,$ de la médiane du triangle $\,(a,b,c)\,$ issue de $\,a\sp{1.5}.\,$
correction
Par définition du
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
module
et propriétés de la
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
conjugaison,
on a pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{&|z_1\sp{-1.5}+\sp{-1.5}z_2|^2+|z_1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}z_2|^2\\[-.5ex]
=&(z_1\sp{-1.5}+\sp{-1.5}z_2)\sp{1.5}\c{(z_1\sp{-1.5}+\sp{-1.5}z_2)\sp{-1.5}}+(z_1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}z_2)\sp{1.5}\c{(z_1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}z_2)\sp{-1.5}}\\
=&(z_1\sp{-1.5}+\sp{-1.5}z_2)\big(\c{z_1\!}\sp{1.5}\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\c{z_2\!}\sp{1.5}\big)+
(z_1\sp{-1.5}-\sp{-1.5}z_2)\big(\c{z_1\!}\sp{1.5}\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\c{z_2\!}\,\big)\\
=&2\sp{1.5}z_1\sp{1.5}\c{z_1\!}\sp{1.5}+2\sp{1.5}z_2\sp{1.5}\c{z_2\!}\,=\,2\sp{1.5}\big(|z_1|^2+|z_2|^2\big)}$
Pour $\,(a,b,c)\app\bb C^3\,$ et $\,m=\dfrac{b+c}2,\,$ on peut alors poser $\,z_1=b-a\,$ et $\,z_2=c-a\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\syst{\ z_1+z_2&=b+c-2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}(m-a)\\[-.5ex] \ z_1-z_2&=b-c}$
On peut alors en déduire la formule attendue :
$\eqalign{2\,|m-a|^2+\dfrac{|b-c|^2}2&=\dfrac12\big(|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2\big)\\&=|z_1|^2+|z_2|^2\\&=|b-a|^2+|c-a|^2}$
Dans le
$\bb C$ est un $\bb R\tiret$plan vectoriel ; les complexes sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
plan
complexe, la moyenne $\,m=\dfrac{b+c}2\,$ caractérise le
- pour deux points $\,a\sp{1.5},b\app\bb C\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\app\bb C\,$ est défini par : $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}=b-a\,;\,$
- pour un point $\,a\app\bb C\,$ et un vecteur $\,\vec u\app\bb C\sp{1.5},\,$ le point $\,b=a+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{-1.5}.\,$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ deux points $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$
Le milieu du couple de points $(A,B)$ est le point :
milieu
des points $\,b\,$ et $\,c\sp{1.5}.\,$
Le plan $\bb C$ étant
$\displaystyle{}m(A,B)={\dfrac12(A+B)=A+\dfrac12\,\Vec{AB}}$
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
euclidien,
cette formule correspond plus précisément au théorème de la médiane.
Il s'agit d'une relation entre la longueur du
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
Pour deux points $A$ et $B$ d'un espace vectoriel réel $E,$ le segment $[\![A,B\sp{1.5}]\!]$ est l'ensemble :
segment
$\,[\![\sp{.75}a,m]\!]\,$
et les longueurs des trois côtés du triangle :
$\displaystyle{}[\![A,B\sp{1.5}]\!]=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\smh1{\Vec{AB}}}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,1]}$
|
Le triangle $\,(a,b,c)\,$ et sa médiane $\,[\![\sp{.75}a,m\sp{.75}]\!]\,$
|
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Exercice
\\(\def\c#1{\surl{#1}}\\)
Caractériser géométriquement l'ensemble $\,\Gamma\,$ des $\,z\app\bb C\,$ tels que :
$\,|\sp{.75}z-2\sp{1.5}|=2\sp{1.5}|\sp{.75}z-i\sp{1.5}|\sp{1.5}.\,$
structure géométrique du plan complexe
$\bb C$ est un $\bb R\tiret$plan vectoriel ; les complexes sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
- pour deux points $\,a\sp{1.5},b\app\bb C\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\app\bb C\,$ est défini par : $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}=b-a\,;\,$
- pour un point $\,a\app\bb C\,$ et un vecteur $\,\vec u\app\bb C\sp{1.5},\,$ le point $\,b=a+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{-1.5}.\,$
structure euclidienne du plan complexe
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
indication
1
Mettre au carré la relation : $\,|\sp{.75}z-2\sp{1.5}|=2\sp{1.5}|\sp{.75}z-i\sp{1.5}|\sp{1.5},\,$ et l'exprimer en fonction de $\,z\,$ et $\,\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}\sp{1.5}.\,$
indication
2
Mettre la relation obtenue sous la forme : $\,(z-\omega)\sp{1.5}\surl{(z-\omega)}=r^2\sp{1.5},\,$ pour un $\,\omega\app\bb C\,$ et un $\,r>0\sp{1.5}.\,$
figure
Le cercle d'Apollonius : $\,\Gamma=\sc C(\omega,r)\,$
réponse
On obtient pour $\,\Gamma\,$ le cercle $\,\sc C(\omega,r)\sp{1.5},\,$ de centre $\,\omega=\dfrac{-2+4\sp{1.5}i}3\,$ et de rayon $\,r=\dfrac{2\sqrt5}3\!\cdot\,$
correction
Par définition du
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
module
et propriétés de la
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
conjugaison,
la relation définissant $\,\Gamma\,$ peut s'écrire de manière équivalente :
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{z\app\Gamma&\Ssi|z-2|^2=4\sp{1.5}|z-i|^2\\[-.5ex] &\Ssi (z-2)\sp{1.5}\c{(z-2)}=4\,(z-i)\c{(z-i)}\\
&\Ssi (z-2)\big(\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}-2\big)=4(z-i)\big(\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}+i\big)\\
&\Ssi z\sp{1.5}\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}-2\sp{1.5}z-2\sp{1.5}\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}+4=4\big(z\sp{1.5}\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}+i\sp{1.5}z-i\,\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}+1)\\
&\Ssi3\sp{1.5}z\sp{1.5}\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}+(2+4\sp{1.5}i)\sp{1.5}z+(2-4\sp{1.5}i)\sp{1.5}\c{\sp{.75}z\sp{1.5}}=0\\[-.5ex]
&\Ssi\Big(z+\frac{2-4\sp{1.5}i}3\Big)\c{\Big(z+\dfrac{2-4\sp{1.5}i}3\Big)}=
\bigg|\frac{2-4\sp{1.5}i}3\bigg|^2\\[-.75ex]
&\Ssi\bigg|z-\frac{-2+4\sp{1.5}i}3\bigg|=\frac{2\sqrt5}3}$
Dans le
$\bb C$ est un $\bb R\tiret$plan vectoriel ; les complexes sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
plan
complexe, $\,\omega=\smb{1}{\dfrac{-2+4\sp{1.5}i}3}= i+\dfrac13\sp{1.5}(i-2)\,$ représente un point de la
- pour deux points $\,a\sp{1.5},b\app\bb C\sp{1.5},\,$ le vecteur $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\app\bb C\,$ est défini par : $\,\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}=b-a\,;\,$
- pour un point $\,a\app\bb C\,$ et un vecteur $\,\vec u\app\bb C\sp{1.5},\,$ le point $\,b=a+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\vec{a\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{-1.5}.\,$
Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$
droite
affine passant par les points $\,i\,$ et $\,2\sp{1.5}.\,$
Le plan $\bb C$ étant
$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
euclidien,
la relation obtenue signifie alors que la distance de $\,z\,$ à ce point $\,\omega\,$ est égale à $\,r=\dfrac{2\sqrt5}3\!\cdot\,$
L'ensemble $\,\Gamma\,$ des points $\,z\,$ deux fois plus près de $\,i\,$ que de $\,2\,$ est donc le
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
cercle
$\,\sc C(\omega,r),\,$ de centre $\,\omega\,$ et de rayon $\,r\sp{1.5};\,$
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
Plus généralement, on considère dans un plan euclidien, deux points $A$ et $B$ distincts et un réel strictement positif $\,k\neq1\sp{1.5}.\,$
Alors l'ensemble des points $M$ tels que $\,M\sp{-1.5}A=k\sp{1.5}M\sp{-1.5}B\,$ est un cercle centré sur la droite $(AB):$ c'est un cercle d'Apollonius.
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Le cercle d'Apollonius : $\,\Gamma=\sc C(\omega,r)\,$
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