Sujet A.5.3 Racines n-èmes
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Exercice
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ exprimer en fonction de $\,n\,$ le produit $\,P_n\,$ des racines $n$-èmes de l'unité.
racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe $\,z\,$ est un $\,\zeta\app\bb C\,$ tel que : $\,\zeta^n=z\sp{1.5}.\,$
racines $n\tiret$èmes de l'unité
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
indication
Transformer le produit d'exponentielles $\,P_n\,$ en exponentielle d'une somme.
réponse
On obtient comme produit des racines $n$-èmes de l'unité : $\,P_n=(-1)^{n-1}\sp{1.5}.\,$
correction
Les éléments de l'ensemble $\,\bb U_n\,$ des
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racines
$n$-èmes de l'unité sont les $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}\,$ pour $\,0\leq k\leq n-1,\,$ d'où leur produit :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\displaystyle{}P_n=\prod_{z\app\bb U_n}\!\!\!z\,=\prod_{k=0}^{n-1}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi/n}
=\prod_{k=0}^{n-1}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}(2\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi/n)}$
La fonction $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$
L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :
transforme
une somme en produit, si bien que $\,P_n=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}S_n},\,$ pour $\,S_n=\dsum_{k=0}^{n-1}\dfrac{2\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi}n\!\cdot\,$
On simplifie alors $\,S_n\,$ selon la formule relative aux
- $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
- $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
$\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$
La somme des $\,n+1\,$ premiers entiers naturels est :
sommes
d'entiers consécutifs :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}2$
$\displaystyle{}S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi}n=\frac{2\sp{1.5}\pi}n\sum_{k=0}^{n-1}k=
\frac{2\sp{1.5}\pi}n\cdot\frac{(n-1)\sp{1.5}n}2=\pi(n-1)$
On obtient finalement, par la formule de
L'application $\,t\mapsto\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t}\,$ de $\bb R$ vers $\bb U$ vérifie les formules suivantes :
Moivre :
$\,P_n=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi\sp{1.5}(n-1)}=\big(\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi}\big)^{n-1}=(-1)^{n-1}\sp{1.5}.\,$
- $\,\ptt (a,b)\app\bb R^2,\ \e{\sp{1.5}i(a+b)}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b},\,$ conduisant aux formules d'addition ;
- $\,\ptt t\app\bb R,\ \ptt k\app\bb Z,\ (\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}t})^{k}=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}t},\,$ équivalente à la formule de Moivre :
$\displaystyle{}\smb0{\big(\!\cos(t)+i\sp{1.5}\sin(t)\big)^{\!k}=\cos(k\sp{1.5}t)+i\sp{1.5}\sin(k\sp{1.5}t)}$
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Exercice
Déterminer les racines cubiques du nombre complexe $\,\alpha=2-2\sp{1.5}i\sp{1.5},\,$ sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique.
racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe $\,z\,$ est un $\,\zeta\app\bb C\,$ tel que : $\,\zeta^n=z\sp{1.5}.\,$
racines $n\tiret$èmes de l'unité
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
indication
1
Écrire $\,\alpha\,$ sous forme trigonométrique pour se ramener à une équation de la forme : $\,\Big(\dfrac z{\beta}\Big)^{\!3}=1\sp{1.5}.\,$
indication
2
Écrire algébriquement l'une des racines et en déduire l'expression algébrique des deux autres.
réponse
L'ensemble des racines cubiques de $\,\alpha=2-2\sp{1.5}i\,$ s'écrit :
- sous forme trigonométrique : $\,\big\{\sqrt2\sp{1.5}\e{-i\sp{1.5}\pi/12},\,\sqrt2\sp{1.5}\e{7\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/12},\,\sqrt2\sp{1.5}\e{-3\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/4}\big\}\,;\,$
- sous forme algébrique : $\,\smh{1.5}{\Big\{\dfrac{1+\sqrt3}2+i\,\dfrac{1-\sqrt3}2,\, \dfrac{1-\sqrt3}2+i\,\dfrac{1+\sqrt3}2,\,-1-i\Big\}}\!\cdot\,$
correction
On cherche à mettre $\,\alpha\,$ sous
Tout complexe $\,z\neq0\,$ s'écrit sous forme trigonométrique :
$\,z=r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta},\,$ où :
forme
trigonométrique ; on a d'abord son
- $\,r > 0\,$ est le module de $\,z:\,$ $\,r=|\sp{.75}z\sp{.75}|\,;\,$
- $\,\theta\app\bb R\,$ est un argument de $\,z:\,$ $\,\op{arg}(z)\equiv\theta\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
module :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}|\alpha|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2$
On en déduit l'expression de $\,\alpha\sp{1.5},\,$ compte tenu des
Les valeurs usuelles des fonctions trigonométriques sont :
Les autres valeurs résultent des symétries du cercle trigonométrique.
valeurs
usuelles des fonctions trigonométriques :
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tabl{{|c|c|c|c|c|c|}\hline \theta&\ 0\ \sth{1.5}\stb{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}6\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}4\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}3\sp{1.5}&\sp{1.5}\dfrac{\pi}2\sp{1.5}\\ \hline \cos\theta&1&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\sp{1.5}\dfrac12\sp{1.5}&0\\ \hline \sin\theta&0&\!\!\dfrac12\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt2}2\!\!&\!\!\dfrac{\sqrt3}2\!\!&1\\ \hline \tan\theta&0&\!\!\dfrac{\sqrt3}3\!\!&1&\!\!\sqrt3\!\!&\infty\\ \hline}$}$ |
$\displaystyle{}\alpha=2\sqrt2\sp{1.5}\Big(\frac{\sqrt2}2-\frac{i\sqrt2}2\Big)=2\sqrt2\,\e{-i\sp{1.5}\pi/4}
=\Big(\sqrt2\sp{1.5}\e{-i\sp{1.5}\pi/12}\Big)^{\!3}$
Le nombre $\,\beta=\sqrt2\,\e{-i\sp{1.5}\pi/12}\,$ est ainsi une
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe $\,z\,$ est un $\,\zeta\app\bb C\,$ tel que : $\,\zeta^n=z\sp{1.5}.\,$
racine
cubique de $\,\alpha\sp{1.5};\,$ il nous faut donc résoudre l'équation : $\,z^3=\alpha=\beta^{\sp{1.5}3}\sp{1.5}.\,$
On y parvient en utilisant les
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racines
cubiques de l'unité, engendrées par $\,j=\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/3}:\,$
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\eqalign{ z^3=\alpha&\Ssi\Big(\frac z{\beta}\Big)^{\!3}=1\\[-.5ex]
&\Ssi\frac{z}{\beta}\app\big\{1,\,j,\,j^2\sp{.75}\big\}=\bb U_2\\
&\Ssi z\app\big\{\beta,\,j\,\beta,\,j^{\sp{1.5}2}\beta\sp{1.5}\big\}}$
On en déduit l'ensemble $\,\sc R\,$ des racines cubiques de $\,\alpha\sp{1.5},\,$ écrites sous forme trigonométrique :
$\displaystyle{}\sc R=\big\{\sqrt2\,\e{-i\sp{1.5}\pi/12},\,\sqrt2\,\e{7\,i\sp{1.5}\pi/12},\,\sqrt2\,\e{-3\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/4}\sp{1.5}\big\}$
Seule la dernière de ces solutions se met directement sous forme algébrique :
$\displaystyle{}j^{\sp{1.5}2}\beta=\sqrt2\sp{1.5}\e{-3\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/4}=\sqrt2\sp{1.5}\Big(\frac{-\sqrt2}2-\frac{i\sqrt2}2\Big)=-1-i$
Compte tenu de la relation $\,j^{\sp{1.5}3}=1,\,$ on en déduit les deux autres solutions :
$\eqalign{&\beta\ =\ j\sp{1.5}(j^{\sp{1.5}2}\beta)&=\Big(-\frac12+\frac{i\sp{1.5}\sqrt3}2\Big)\big(-1-i\big)\\[-.5ex]&&=\frac{1+\sqrt3}2+i\,\frac{1-\sqrt3}2\\
&j\sp{1.5}\beta=j^{\sp{1.5}2}(j^{\sp{1.5}2}\beta)&=\Big(-\frac12-\frac{i\sp{1.5}\sqrt3}2\Big)\big(-1-i\big)\\[-.5ex]&&=\frac{1-\sqrt3}2+i\,\frac{1+\sqrt3}2}$
Les expressions algébriques des racines cubiques de $\,\alpha\,$ sont donc :
$\displaystyle{}\sc R=\Big\{\dfrac{1+\sqrt3}2+i\,\dfrac{1-\sqrt3}2,\,
\dfrac{1-\sqrt3}2+i\,\dfrac{1+\sqrt3}2,\,-1-i\Big\}$
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Exercice
\\(\GREC\\)
Pour $\,\a=\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}\pi/7},\,$ calculer les nombres $\,u\,$ et $\,v\,$ définis par :
$\,u=\a+\a^2+\a^4\txt{et}v=\a^3+\a^5+\a^6.\,$
racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe
Pour $\,n\app\bb N^{\ast}\sp{-1.5},\,$ une racine $n\tiret$ème d'un nombre complexe $\,z\,$ est un $\,\zeta\app\bb C\,$ tel que : $\,\zeta^n=z\sp{1.5}.\,$
racines $n\tiret$èmes de l'unité
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
indication
1
Commencer par calculer $\,u+v\,$ et $\,u\sp{1.5}v\sp{1.5}.\,$
indication
2
Développer le polynôme $\,(X-u)(X-v)\sp{1.5},\,$ puis factoriser l'expression qui en résulte.
réponse
On obtient : $\,u=-\dfrac12+i\,\dfrac{\sqrt7}2\,$ et : $\,v=\surl{\sp{1.5}\Space{0ex}{1ex}{0ex}u\sp{1.5}}=-\dfrac12-i\,\dfrac{\sqrt7}2\!\cdot\,$
correction
Le nombre $\,\a\,$ étant une
Pour $n\app\bb N^{\ast}\!,$ l'ensemble des racines $n\tiret$èmes de l'unité est l'ensemble :
racine
septième de l'unité distincte de $\,1\,,\,$ on obtient alors $\,\a^7=1\,$ et :
$\displaystyle{}\bb U_n=\ens{\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}k\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n}}{k\app\,[\![0,n-1]\!]\sp{1.5}}$
Pour toute racine $n\tiret$ème de l'unité $\,\alpha\,$ distincte de $1\sp{1.5},$ on a alors :
$\displaystyle{}1+\alpha+\dots+\alpha^{n-1}=0$
$\displaystyle{}1+u+v =1+\a+\a^{\sp{1.5}2}+\a^{\sp{1.5}3}+\a^{\sp{1.5}4}+\a^{\sp{1.5}5}+\a^{\sp{1.5}6}=0$
On peut aussi calculer le produit $\,u\sp{1.5}v\sp{1.5},\,$ compte tenu de $\,\a^7=1:\,$
$\eqalign{u\sp{1.5}v&=\big(\a+\a^2+\a^4\big)\big(\a^3+\a^5+\a^6\big)\\
&=\big(\a^4+\a^6+\a^7\big)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\big(\a^5+\a^7+\a^8\big)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\big(\a^7+\a^9+\a^{10}\big)\\
&=\big(\a^4+\a^6+1\big)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\big(\a^5+1+\a\big)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\big(1+\a^2+\a^3\big)\\
&=2+\big(1+\a+\a^2+\a^3+\a^4+\a^5+\a^6\big)=2}$
Les nombres $\,u\,$ et $\,v\,$ sont donc les
Une racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ est un $\,\alpha\app\bb K\,$ tel que $\,P(\alpha)=0\,.\,$
$\,\alpha\app\bb K\,$ est racine de $\,P\app\bb K[X]\,$ ssi $\,(X\!-\!\alpha)\,$ divise le polynôme $P.$
racines
du polynôme :
$\eqalign{(X-u)(X-v)&=X^2-(u+v)X+u\sp{1.5}v\\ &=X^2+X+2\\ &=\Big(X+\frac12\Big)^2+\frac74\\
&=\Big(X+\frac12+i\,\frac{\sqrt7}2\Big)\Big(X+\frac12-i\,\frac{\sqrt7}2\Big)}$
On en déduit, à l'ordre près, les valeurs prises par $\,u\,$ et $\,v:\,$
$\displaystyle{}\big\{u,v\big\}=\Big\{-\frac12-i\,\frac{\sqrt7}2,\,-\frac12+i\,\frac{\sqrt7}2\Big\}$
De plus, compte tenu des
Par symétries du cercle trigonométrique d'axes $\,Oy\,$ et $\,y=x\sp{1.5},\,$ on a :
symétries
du cercle trigonométrique d'axe $\,Oy\,$
et de centre $\,O:\,$
- $\,\sth{.5}\cos(\pi-x)=-\cos x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi-x)=\ \,\sin x\ \sp{1.5};\,$ $\,\sth{.5}\tan(\pi-x)=-\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\stb{1.25}\,$
- $\,\cos(\pi/2-x)=\sin x\sp{1.5};\,$ $\,\sin(\pi/2-x)=\cos x\sp{1.5};\,$$\,\sth{.5}\tan(\pi/2-x)=1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}\tan x\,$ si $\,x\non\equiv0\ [\sp{.75}\pi/2\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\op{Im}(u)&=\sin(2\sp{1.5}\pi/7)+\sin(4\sp{1.5}\pi/7)+\sin(8\sp{1.5}\pi/7)\\
&=\sin(2\sp{1.5}\pi/7)+\sin(3\sp{1.5}\pi/7)-\sin(\pi/7)}$
On a donc : $\,\op{Im}(u) \geq 0,\,$ car le sinus est
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$
croissant
sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}]:\,$
- Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
- Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sin(2\sp{1.5}\pi/7) \geq \sin(0)=0\txt{et}\sin(3\sp{1.5}\pi/7) \geq \sin(\pi/7)$
On obtient finalement : $\,u=-\dfrac12+i\,\dfrac{\sqrt7}2\,$ et : $\,v=\surl{\sp{1.5}\Space{0ex}{1ex}{0ex}u\sp{1.5}}=-\dfrac12-i\,\dfrac{\sqrt7}2\!\cdot\,$