Sujet A.5.2 Forme trigonométrique
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Exercice
\\(\def\c#1{\surl{#1}}\\)
Pour $z\app\bb C\!\setminus\!\{0\}\sp{1.5},$ caractériser $\,f(z)\,$ en termes de module et d'argument lorsque $\,f:\bb C\to\bb C\,$ est définie par :
$\displaystyle{}f(z)=\smh1{\smb1{\dfrac{z\sp{1.5}|z|}{\c {z\,}}}}\txt{si}z\neq0\,\txt{et}\,f(0)=0$
En déduire $\,f(D)\,$ et $\,f^{-1}(D)\,$ lorsque $D$ est la droite vectorielle réelle engendrée par $\,u=\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}:\,$ $\displaystyle{}D=\bb R\sp{1.5}u=\ens{\lambda\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}}{\lambda\app\bb R}$
forme trigonométrique d'un nombre complexe
Tout complexe $\,z\neq0\,$ s'écrit sous forme trigonométrique :
$\,z=r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta},\,$ où :
- $\,r > 0\,$ est le module de $\,z:\,$ $\,r=|\sp{.75}z\sp{.75}|\,;\,$
- $\,\theta\app\bb R\,$ est un argument de $\,z:\,$ $\,\op{arg}(z)\equiv\theta\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Les arguments des nombres complexes vérifient les propriétés suivantes :
- $\,z\app\bb R\Ssi \op{arg}(z)\equiv 0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\,;\,$
- $\,\op{arg}(\sp{.75}\surl{z}\sp{.75})\equiv-\op{arg}(z)\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- $\,\op{arg}(z_1\sp{1.5}z_2)\equiv\op{arg}(z_1)+\op{arg}(z_2)\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\,$
- $\,\op{arg}(z_1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}z_2)\equiv\op{arg}(z_1)-\op{arg}(z_2)\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
relation de congruence dans $\bb R$
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
multiplication d'une relation de congruence
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
indication
1
Pour $\,z=r\e{i\sp{1.5}\theta},\,$ exprimer $f(z)$ en fonction de $\,r\,$ et $\,\theta\sp{1.5}.\,$
indication
2
Caractériser la droite $D$ privée de $\,0\sp{1.5},\,$ par la relation : $\,\op{arg}(z)\equiv\alpha\ [\pi]\sp{1.5}.\,$
figure
1
$\,D\,$ et $\,f(D)\,$
figure
2
$\,D\,$ et $\,f^{-1}(D)=\Delta_1\cup\Delta_2\,$
réponse
Pour $\,z\app\bb C\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\sp{1.5},\,$ $f(z)$ est caractérisé par :
$\,\big|f(z)\big|=|z|\txt{et}\op{arg}\big(f(z)\big)\equiv2\sp{1.5}\op{arg}(z)\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
L'image directe $f(D)$ est la demi-droite vectorielle engendrée par $\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}.\,$
L'image réciproque $f^{-1}(D)$ est la réunion des deux droites orthogonales engendrées par $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha/2}\,$ et $\,i\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha/2}.\,$
correction
On recourt ici à l'interprétation
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
géométrique
de l'ensemble $\,\bb C\,$ en tant que plan euclidien orienté.
Soit $\,z=r\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta}\,$ la
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
Tout complexe $\,z\neq0\,$ s'écrit sous forme trigonométrique :
$\,z=r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta},\,$ où :
forme
trigonométrique d'un $\,z\app\bb C\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\sp{1.5},\,$ pour $\,r > 0\,$ et $\,\theta\app\bb R\sp{1.5};\,$ on a alors :
- $\,r > 0\,$ est le module de $\,z:\,$ $\,r=|\sp{.75}z\sp{.75}|\,;\,$
- $\,\theta\app\bb R\,$ est un argument de $\,z:\,$ $\,\op{arg}(z)\equiv\theta\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}f(z)=\dfrac{r^2\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta}}{r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}-i\,\theta}}=r\,\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta}$
On en déduit la caractérisation de $\,f(z)\,$ pour $\,z\neq0\,$ par égalité des modules et
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
congruence
des arguments :
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\big|f(z)\big|=|z|\txt{et}\op{arg}\big(f(z)\big)\equiv2\sp{1.5}\op{arg}(z)\ [2\sp{1.5}\pi]$
On utilise les
Les arguments des nombres complexes vérifient les propriétés suivantes :
arguments
pour caractériser la droite $\,D=\bb R\sp{1.5}u\,$ par la mesure de
- $\,z\app\bb R\Ssi \op{arg}(z)\equiv 0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\,;\,$
- $\,\op{arg}(\sp{.75}\surl{z}\sp{.75})\equiv-\op{arg}(z)\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- $\,\op{arg}(z_1\sp{1.5}z_2)\equiv\op{arg}(z_1)+\op{arg}(z_2)\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\,$
- $\,\op{arg}(z_1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}z_2)\equiv\op{arg}(z_1)-\op{arg}(z_2)\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
Soient dans un plan euclidien orienté $P,$ $\,\vec u,\vec v,\vec w\,$ non nuls ; alors :
l'angle
$(u\sp{1.5},z):$
- $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})+(\sp{1.5}\vec v,\vec w)\equiv(\sp{1.5}\vec u,\vec w)\ [2\sp{1.5}\pi]:\,$ relation de Chasles ;
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont colinéaires ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv0\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$
- $\,\vec u\,$ et $\,\vec v\,$ sont orthogonaux ssi : $\,(\sp{1.5}\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\dfrac{\pi}2\ [\sp{1.5}\pi\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{z\app D\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}&\Ssi z/u\app\bb R\\&\Ssi(u,z)\equiv\op{arg}(z/u)\equiv 0\ [\pi\sp{.75}]\\
&\Ssi\op{arg}(z)\equiv\op{arg}(u)\equiv\alpha\ [\pi\sp{.75}]}$
Il s'ensuit que l'image
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,A\subset E\sp{1.5},\,$ l'image directe de $A$ par $f$ est l'ensemble des images par $f$ des éléments de $A:$
directe
$f\big(D\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\big)$ est l'ensemble des $Z\app\bb C\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}$ tels que :
$\,\op{arg}(Z)\equiv2\sp{1.5}\op{arg}(z)\equiv 2\sp{1.5}\alpha\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$
Avec $\,f(0)=0,\,$ on en déduit que $f(D)$ est la
$\displaystyle{}f(A)=\ens{y\app F}{\iex x\app A,\ y=f(x)}$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
demi-droite
vectorielle engendrée par $\,v=\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}:\,$
$\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$
$\displaystyle{}f(D)=(\bb R_+\sp{-1.5})\sp{1.5}v=\ens{\lambda\sp{1.5}\e{\sp{1.5}2\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha}}{\lambda\app\bb R_+}$
Inversement, l'image
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,B\subset F\sp{1.5},\,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B:$
réciproque
$f^{-1}\big(D\!\setminus\!\sp{-1.5}\{0\}\big)$ est l'ensemble des $w\app\bb C$ tels que :
$\,\op{arg}\big(f(w)\big)\equiv2\sp{1.5}\op{arg}(w)\equiv \alpha\ [\pi]\sp{1.5}.\,$
Après
$\displaystyle{}f^{-1}(B)=\ens{x\app E}{f(x)\app B}$
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
division
par $2$ de cette relation de congruence (modulo compris), cela équivaut à : $\,\op{arg}(w)\equiv\alpha/2\ [\pi/2\sp{.75}]\,.\,$
En vue de son interprétation géométrique, on dissocie cette congruence en deux cas :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
$\displaystyle{}\op{arg}(w)\equiv\alpha/2\ [\pi\sp{.75}]\,\txt{ou}\,\op{arg}(w)\equiv\alpha/2+\pi/2\ [\pi\sp{.75}]$
Avec $\,f(z)=0\Ssi z=0,\,$ $\,f^{-1}(D)\,$ est donc la réunion de deux droites
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un espace préhilbertien réel $E\,.$
$A$ et $B$ sont orthogonales ssi $\,B\subset A^{\perp}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :
orthogonales :
$\displaystyle{}A\perp B\Ssi\big(\ptt u\app A\sp{1.5},\ \ptt v\app B\sp{1.5},\ u\perp v\,\big)$
$\displaystyle{}\Delta_1=
\bb R\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha/2}\,\txt{et}\ \Delta_2=\bb R\,i\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\alpha/2}$
|
$\,D\,$ et $\,f(D)\,$
|
$\,D\,$ et $\,f^{-1}(D)=\Delta_1\cup\Delta_2\,$
|
On observe que l'application $f$ est
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjective,
car tout $\,Z=\rho\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\omega}\app\bb C\,$ a pour antécédent $\,z=\rho\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\omega/2}\sp{1.5},\,$ y compris $\,Z=0\sp{1.5}.\,$
En revanche, avec $\,f(z)=f(-z)\,$ pour tout $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ l'application $f$ n'est pas
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$
Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$
injective.
$\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$
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Exercice
Soit l'application $f$ de $\,\bb C\,$ dans $\,\bb C\,$ définie par :
$\,\ptt z\app\bb C,\ f(z)=z+|z|\sp{1.5}.\,$
Déterminer l'ensemble $\,\Delta=f^{-1}\big(\{0\}\big),\,$ puis exprimer $\,\op{arg}\big(f(z)\big)\,$ en fonction de $\,\op{arg}(z)\,$ lorsque $\,z\notin\Delta\sp{1.5}.\,$
En déduire, lorsque $\,z\notin\bb R\sp{1.5},\,$ une construction géométrique de $\,f(z)\,$ à partir de $\,z\,;\,$ $f$ est-elle surjective ?
forme trigonométrique d'un nombre complexe
Tout complexe $\,z\neq0\,$ s'écrit sous forme trigonométrique :
$\,z=r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta},\,$ où :
- $\,r > 0\,$ est le module de $\,z:\,$ $\,r=|\sp{.75}z\sp{.75}|\,;\,$
- $\,\theta\app\bb R\,$ est un argument de $\,z:\,$ $\,\op{arg}(z)\equiv\theta\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
propriétés de l'argument d'un nombre complexe
Les arguments des nombres complexes vérifient les propriétés suivantes :
- $\,z\app\bb R\Ssi \op{arg}(z)\equiv 0\ [\sp{.75}\pi\sp{.75}]\,;\,$
- $\,\op{arg}(\sp{.75}\surl{z}\sp{.75})\equiv-\op{arg}(z)\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- $\,\op{arg}(z_1\sp{1.5}z_2)\equiv\op{arg}(z_1)+\op{arg}(z_2)\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5};\,$
- $\,\op{arg}(z_1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}z_2)\equiv\op{arg}(z_1)-\op{arg}(z_2)\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
relation de congruence dans $\bb R$
$\,x\sp{1.5},y\app\bb R\,$ sont congrus modulo $\,T > 0\sp{1.5},\,$ soit : $\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}],\,$ ssi :
$\displaystyle{}\iex k\app\bb Z\sp{1.5},\ x-y=k\,T$
La congruence modulo $\,T\,$ est une relation d'équivalence sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
multiplication d'une relation de congruence
On peut multiplier les congruences modulo $\,T\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ par tout $\,\lambda\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0:\,$
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\bb R^2,\ \big(\,x\equiv y\,[\sp{1.5}T\sp{1.5}]\Ssi \lambda\sp{.75}x\equiv \lambda\sp{.75}y\,[\sp{1.5}\lambda\sp{.75}T\sp{1.5}]\sp{1.5}\big)$
indication
1
Pour $\,z=r\e{i\sp{1.5}\theta},\,$ exprimer $\,f(z)\,$ en fonction de $\,r\,$ et $\,\theta\sp{1.5}.\,$
indication
2
Pour $\,z\non\app\bb R\sp{1.5},\,$ comparer $\,\op{Im}\!\big(f(z)\big)\,$ et $\,\op{Im}(z)\sp{1.5}.\,$
figure
Construction de $f(z)$ à partir de $z\!\notin\!\bb R$
réponse
On obtient : $\,\Delta=f^{-1}\big(\{0\}\big)=\bb R_{-}\sp{1.5},\,$ si bien que $f$ n'est pas injective.
On trouve aussi : $\,\op{arg}\big(f(z)\big)\equiv\op{arg}(z)\!\sp{1.5}/2\ [2\sp{1.5}\pi]\,$ pour $\,z\notin\Delta\,.\,$
Lorsque $\,z\notin\bb R\sp{1.5},\,$ $f(z)$ est à l'intersection de la droite horizontale passant par $z$ et de la demi-droite oblique d'argument $\,\op{arg}(z)\!\sp{1.5}/2\sp{1.5}.\,$
Enfin, $f$ n'est pas surjective, car on a : $\,f(\bb C)\subset\ens{z\app\bb C}{\op{Re}(z)\geq0}\!\cdot\,$
correction
On recourt ici à l'interprétation
Tous les $f(z)$ semblent alors de partie réelle positive ; cela se confirme par
Pour $\,(x,y,x',y')\app\bb R^4\,$ et $\,z=x+i\sp{1.5}y,\ z'=x'+i\sp{1.5}y'\sp{1.5},\,$ on a un produit scalaire :
géométrique
de l'ensemble $\,\bb C\,$ en tant que plan euclidien orienté.
On cherche à caractériser les
$\displaystyle{}\big\langle z\sp{1.5}|\sp{1.5}z'\big\rangle=\op{Re}\!\big(\sp{1.5}\surl{\sp{.75}z\sp{1.5}}.\sp{-1.5}z'\sp{1.5}\big)=x\,x'+y\,y',\txt{et}\|z\|=|z\sp{.75}|=\smh{.5}{\sqrt{x ^2+y^2}}$
On munit ainsi $\,\bb C\,$ d'une structure de plan euclidien orienté avec :
- la distance $\,\smh{.5}{\big\|\sp{-1.5}\vec{a\sp{1.5}b\,}\sp{-1.5}\big\|}=|b-a|\,$ entre deux points $\,a,b\app\bb C\sp{1.5};\,$
- le choix d'une base directe $\,(1,i)\sp{1.5},\,$ d'où la mesure de l'angle de $\,\vec u,\vec v\app\bb C\sp{1.5}^{\ast}:\,$
$\displaystyle{}(\vec u,\vec v\sp{1.5})\equiv\op{arg}(v/u)\ [2\sp{1.5}\pi]$
Une application $\,f:E\to F,\ x\mapsto y=f(x)\,$ entre deux ensembles $E$ et $F\sp{1.5},$ associe à tout $\,x\app E\,$ un et un seul $\,y\app F\sp{1.5}.\,$
antécédents
de $\,0\,$ par l'application $f\,;$ on a :
- Si $x\app E,$ l'unique $y\app F\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est l'image de $x\,;$
- si $y\app F,$ un $x\app E\,$ tel que $\,y=f(x)\,$ est un antécédent de $y\sp{1.5}.$
- d'une part : $\,f(z)=0\Imp z=-|z|\app\bb R_{-}\,,\,$
- et d'autre part : $\,x\app\bb R_{-}\Imp f(x)=x+|x|=x-x=0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f:E\to F\,$ et $\,B\subset F\sp{1.5},\,$ l'image réciproque de $B$ par $f$ est l'ensemble des antécédents par $f$ des éléments de $B:$
l'ensemble
des antécédents de $\,0\,$ par $f$ est la demi-droite : $\,\Delta=f^{-1}\big(\{0\}\big)=\bb R_{-}\,.\,$
$\displaystyle{}f^{-1}(B)=\ens{x\app E}{f(x)\app B}$
Le nombre complexe $\,0\,$ a ainsi une infinité d'antécédents : l'application $f$ n'est pas
Soit $\,z=r\sp{1.5}\op{e}^{i\sp{1.5}\theta},\,$ avec $\,r > 0\,$ et $\,\theta\app\,]\!-\pi,\pi\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ la
Une application $\,f:E\to F\,$ est injective si et seulement si tout élément de $F$ a au plus un antécédent par $f$ dans $E:$
injective.
$\displaystyle{}\ptt x,x'\app E,\ \big(f(x)=f(x')\Imp x=x'\sp{1.5}\big)$
Tout complexe $\,z\neq0\,$ s'écrit sous forme trigonométrique :
$\,z=r\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}\theta},\,$ où :
forme
trigonométrique d'un $\,z\app\bb C\!\setminus\!\Delta\,.\,$
On obtient alors, selon la technique de l'angle
- $\,r > 0\,$ est le module de $\,z:\,$ $\,r=|\sp{.75}z\sp{.75}|\,;\,$
- $\,\theta\app\bb R\,$ est un argument de $\,z:\,$ $\,\op{arg}(z)\equiv\theta\ [\sp{.75}2\sp{1.5}\pi\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$
Pour tous $a,b\app\bb R\sp{1.5},$ on factorise $\,\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}\,$ avec l'angle moitié :
moitié :
$\displaystyle{}\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\pm\e{\sp{1.5}i\sp{1.5}b}=\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a+b}2}\Big(\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{a-b}2}\pm\e{\,i\sp{1.5}\textstyle\frac{b-a}2}\Big)$
$\eqalign{f(z)&= z+|z|\\&=r\big(\e{\sp{1.5}i\,\theta}+1\big)\\
&=r\sp{1.5}\op{e}^{\sp{1.5}i\,\theta/2}\!\big(\e{\sp{1.5}i\,\theta/2}+\e{-i\,\theta/2}\big)\\
&=2\,r\cos(\theta/2)\sp{1.5}\e{\sp{1.5}i\,\theta/2}}$
Étant donné que $\,\theta/2\app\,]-\pi/2,\pi/2\sp{1.5}[,\,$ on a : $\,\cos(\theta/2) > 0,\,$ d'où $\,\big|f(z)\big|=2\,r\cos(\theta/2),\,$ et donc :
$\displaystyle{}\op{arg}\big(f(z)\big)\equiv\op{arg}(z)\!\sp{1.5}/2\ [2\sp{1.5}\pi]$
Soit $\,z_0=x_0+i\sp{1.5}y_0=r\,\e{i\sp{1.5}\theta_0}\app\bb C{\setminus}\bb R\,;\,$ on remarque que :
$\,\op{Im}\!\big(f(z_0)\big)=\op{Im}(z_0+|z_0|)=\op{Im}(z_0)=y_0\,.\,$
Par conséquent, le nombre complexe $f(z_0)$ est situé à
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
l'intersection :
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
- de la droite horizontale $D$ passant par $\,z_0\sp{1.5},\,$ d'équation : $\,y=y_0\sp{1.5},\,$
- et de la
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La demi-droite affine $\sc D\sp{-1.5}_+$ issue du point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :demi-droite oblique caractérisée par : $\,\op{arg}(z)\equiv\theta_0\sp{-1.5}\sp{1.5}/\sp{-1.5}\sp{1.5}2\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5}.\,$$\displaystyle{}\sc D\sp{-1.5}_+=A+\bb R_+\sp{-1.5}\vec u=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\sp{1.5}[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}}$
|
Construction de $f(z)$ à partir de $z\!\notin\!\bb R$
|
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
comparaison
de $\big|\!\op{Re}(z)\big|$ avec $|z|\sp{-1.5}:$
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt z\app\bb C\sp{1.5},\ \op{Re}\big(f(z)\big)=\op{Re}(z)+|z|\geq |z|-\big|\op{Re}(z)\big|\geq0$
On peut en déduire l'inclusion : $\,f(\bb C)\subset \ens{Z\app\bb C}{\op{Re}(Z)\geq0}\sp{1.5},\,$ qui nous prouve que l'application $f$ n'est pas
Une application $\,f:E\to F\,$ est surjective si et seulement si tout élément de $F$ a au moins un antécédent par $f$ dans $E:$
surjective.
$\displaystyle{}\ptt y\app F,\ \iex x\app E,\ y=f(x)$