Sujet A.5.1 Module et conjugaison
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Exercice
\\(\def\c#1{\surl{#1}}\\)
Pour trois nombres complexes $\,a\sp{1.5},b\sp{1.5},c\,$ de module $\,1\sp{1.5},\,$ démontrer que :
$\displaystyle{}|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a\sp{1.5}|=|\sp{1.5}a+b+c\sp{1.5}|$
conjugué d'un nombre complexe
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
parties réelle et imaginaire
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
module d'un nombre complexe
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
inégalités triangulaires dans $\bb C$
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
indication
Commencer par écrire :
$\,\big|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a\sp{1.5}\big|=\dfrac{\big|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a\sp{1.5}\big|}{|\sp{1.5}a\sp{1.5}|\,|\sp{1.5}b\sp{1.5}|\,|\sp{1.5}c\sp{1.5}|}\!\cdot\,$
réponse
On a bien, quels que soient les nombres complexes $\,a\sp{1.5},b\,$ et $\,c:\,$
$\displaystyle{}|a|=|b|=|c|=1\Imp|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a\sp{1.5}|=|\sp{1.5}a+b+c\sp{1.5}|$
correction
Selon les
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
propriétés
du module, on a d'abord :
$\,|\sp{1.5}a\,b\,c\sp{1.5}|=|\sp{1.5}a\sp{1.5}|\,|\sp{1.5}b\sp{1.5}|\,|\sp{1.5}c\sp{1.5}|=1\sp{1.5},\,$
et on déduit de ces mêmes propriétés que :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\big|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\,a\sp{1.5}\big|&=\frac{\big|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a\sp{1.5}\big|}{|\sp{1.5}a\,b\,c\sp{1.5}|}\\
&=\bigg|\frac{a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a}{a\,b\,c}\bigg|\\
&=\bigg|\frac1c+\frac1a+\frac1{b}\bigg|}$
D'autre part, selon
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
définition
du module, on sait que l'inverse d'un complexe de module $\,1\,$ est son conjugué :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\big|\sp{1.5}z\sp{1.5}\big|^2=z\ \c{z\,}=1\Imp \frac1z=\c{z\,}$
On en déduit, d'après par les propriétés du
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
conjugué
d'un nombre complexe et de son
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
module,
que :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\,a\sp{1.5}|&=\big|\sp{1.5}\c{\sp{1.5}c\,}+\c{\sp{1.5}a\sp{1.5}}+\c{\sp{1.5}b\sp{1.5}}\sp{1.5}\big|\\
&=\big|\sp{1.5}\c{\sp{1.5}c+a+b\,}\sp{1.5}\big|\\ &=|\,c+a+b\,|}$
On a bien établi finalement que, pour tout $\,(a,b,c)\app\bb C^3:\,$
$\displaystyle{}|a|=|b|=|c|=1\Imp|\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b\sp{1.5}c+c\sp{1.5}a\sp{1.5}|=|\sp{1.5}a+b+c\sp{1.5}|$
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Exercice
\\(\def\c#1{\surl{#1}}\\)
Démontrer que pour deux nombres complexes $\,z_1\sp{1.5},z_2\sp{1.5},\,$ on a toujours :
$\displaystyle{}|z_1-z_2|^2\leq\big(1+|z_1|^2\big)\big(1+|z_2|^2\big)$
conjugué d'un nombre complexe
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
parties réelle et imaginaire
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
module d'un nombre complexe
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
inégalités triangulaires dans $\bb C$
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
indication
Exprimer $\,d=\big(1+|z_1|^2\big)\big(1+|z_2|^2\big)-|z_1-z_2|^2\,$
en fonction de $\,z_1\sp{1.5},z_2\sp{1.5},\sp{1.5}\c{z_1},\sp{1.5}\c{z_2}\sp{1.5},\,$ puis factoriser $\,d\sp{1.5}.\,$
réponse
On a bien, quels que soient les nombres complexes $\,z_1\,$ et $\,z_2:\,$
$\displaystyle{}|z_1-z_2|^2\leq\big(1+|z_1|^2\sp{1.5}\big)\big(1+|z_2|^2\sp{1.5}\big)$
correction
Par définition du
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
module
et selon les propriétés de la
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
conjugaison,
on a pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{|z_1-z_2|^2&=(z_1-z_2)\sp{1.5}\c{\big(z_1-z_2\big)\!}\\ &=(z_1-z_2)\sp{1.5}\big(\sp{1.5}\c{z_1}-\c{z_2}\sp{1.5}\big)\\ &=|z_1|^2+|z_2|^2-z_1\sp{1.5}\c{\sp{.75}z_2\sp{-1.5}}-z_2\sp{1.5}\c{\sp{.75}z_1\sp{-1.5}}}$
Par ces mêmes propriétés, on développe la différence $\,d\,$ des termes de l'inégalité, pour ensuite la factoriser :
$\eqalign{d&=\big(1+|z_1|^2\big)\big(1+|z_2|^2\big)-|z_1-z_2|^2\\
&=1+|z_1|^2\sp{1.5}|z_2|^2+z_1\,\c{z_2\sp{-1.5}}+z_2\,\c{z_1\sp{-1.5}}\\
&=1+\big(z_1\,\c{z_1\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big)\big(z_2\,\c{z_2\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big)+z_1\,\c{z_2\sp{-1.5}}+z_2\,\c{z_1\sp{-1.5}}\\
&=\big(1+z_1\sp{1.5}\c{z_2\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big)\big(1+z_2\sp{1.5}\c{z_1\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big)\\
&=\big(1+z_1\,\c{z_2\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big)\sp{1.5}\c{\sp{-1.5}\big(1+z_1\,\c{z_2\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big)\!}\\
&=\big|1+z_1\,\c{z_2\sp{-1.5}}\sp{1.5}\big|^2\geq0}$
Il est ainsi établi que cette différence $\,d\,$ est positive, c'est-à-dire que pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
$\displaystyle{}|z_1-z_2|^2\leq\big(1+|z_1|^2\sp{1.5}\big)\big(1+|z_2|^2\sp{1.5}\big)$
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Exercice
\\(\def\c#1{\surl{#1\sp{1.5}}}\\)
Existe-t-il $\,(a,b,c,d)\app\bb C^4\,$ tel que, pour tout $\,z\app\bb C\,$ vérifiant $\,c\sp{1.5}z+d\neq0\sp{1.5},\,$ on ait :
$\displaystyle{}\c{\sp{1.5}z\sp{1.5}}=\dfrac{a\sp{1.5}z+b}{c\sp{1.5}z+d}$
conjugué d'un nombre complexe
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
parties réelle et imaginaire
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
module d'un nombre complexe
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le module de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|=\sqrt{x^2+y^2}\sp{1.5}.\,$
C'est aussi l'unique réel positif $\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,$ tel que :
$\,|\sp{.75}z\sp{1.5}|^2=z\ \surl{\sp{1.5}z\,}\,;\,$ on a alors :
- $\,|\sp{1.5}x\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\sp{1.5},\ \ |\sp{1.5}y\sp{1.5}|\leq|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,\txt{et}\, |\sp{1.5}\surl{z\,}\sp{1.5}|=|\sp{.75}z\sp{1.5}|\,;\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C^2\sp{1.5},\ \big|z_1\sp{1.5}z_2\big|=|z_1|\,|z_2|\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt (z_1,z_2)\app\bb C\times\bb C^{\ast},\ \big|z_1/z_2\big|=|z_1|\big/|z_2|\sp{1.5}.\,$
inégalités triangulaires dans $\bb C$
Soient $\,z_1,\sp{1.5}z_2\app\bb C\,;\,$ on a alors les inégalités triangulaires :
$\displaystyle{}|z_1+z_2|\sp{1.5}\leq\ |z_1| + |z_2|\ \txt{et}\ \big||z_1|-|z_2|\big|\leq\ |z_1-z_2|$
Chacune de ces inégalités est une égalité ssi : $\displaystyle{}z_1=0\txt{ou}\big(\iex\lambda\app\bb R_{+}\,,\ z_2=\lambda\sp{1.5}z_1\big)$
indication
Commencer par écrire cette égalité pour tout $\,z=x\app\bb R\,$ tel que : $\,c\sp{1.5}x+d\neq0\sp{1.5}.\,$
réponse
Non, il n'existe aucun $\,(a,b,c,d)\app\bb C^4\,$ tel que, pour tout $\,z\app\bb C\,$ vérifiant $\,c\sp{1.5}z+d\neq0\sp{1.5},\,$ on ait :
$\displaystyle{}\c{\sp{1.5}z\sp{1.5}}=\dfrac{a\sp{1.5}z+b}{c\sp{1.5}z+d}$
correction
En posant $\,z=x\app\bb R,\,$ on a par définition du
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ le conjugué $\,\surl{z\,}\,$ de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ est : $\,\surl{z\,}=x-i\sp{1.5}y\sp{1.5}.\,$
On a alors, pour tout $\,(z_1,z_2)\app\bb C^2:\,$
conjugué :
$\,\c{\sp{1.5}x\sp{1.5}}=x\sp{1.5},\,$ d'où pour tout $\,x\app\bb R\,$ tel que $\,c\sp{1.5}x+d\neq0:\,$
- $\,\surl{z_1+z_2}=\surl{z_1}+\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1-z_2}=\surl{z_1}-\surl{z_2}\,;\,$
- $\,\surl{z_1\sp{1.5}.z_2}=\surl{z_1}\sp{1.5}.\surl{z_2}\ \txt{et}\ \surl{z_1/z_2}=\surl{z_1}\big/\,\surl{z_2}\txt{lorsque}z_2\neq0\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{\c{\sp{1.5}x\sp{1.5}}=x=\smb0{\frac{a\sp{1.5}x+b}{c\sp{1.5}x+d}}&\Ssi\ a\sp{1.5}x+b=(c\sp{1.5}x+d)\sp{1.5}x\\ &\Ssi c\sp{1.5}x^2+(d-a)\sp{1.5}x-b=0}$
Avec une infinité de
Soit $\,A\app\bb K[X]\,$ de degré $\,p\app\bb N\sp{1.5};\,$ alors $\,A\,$ admet au plus $\,p\,$ racines.
Si un polynôme $\,A\,$ a une infinité de racines, alors : $\,A=0\sp{1.5}.\,$
racines,
$\,c\sp{1.5}X^2+(d-a)X-b\,$ serait le polynôme nul, d'où : $\,b=c=0\,$ et $\,a=d\sp{1.5}.\,$
Avec $\,b=c=0,\,$ la condition $\,c\sp{1.5}z+d\neq0\,$ impliquerait alors que : $\,a=d\neq0\sp{1.5},\,$ d'où : $\,\ptt z\app\bb C,\ \c{\sp{1.5}z\sp{1.5}}=z\sp{1.5}.\,$
Ainsi tout nombre complexe serait
Pour $\,x\sp{1.5},y\app\bb R\sp{1.5},\,$ les parties réelle et imaginaire de $\,z=x+i\sp{1.5}y\,$ sont :
réel,
ce qui est faux puisque l'on a par exemple : $\,\c{\sp{1.5}i\sp{1.5}}=-i\neq i\sp{1.5}.\,$
Il n'existe donc aucun $\,(a,b,c,d)\app\bb C^4\,$ tel que, pour tout $\,z\app\bb C\,$ vérifiant $\,c\sp{1.5}z+d\neq0\sp{1.5},\,$ on ait : $\displaystyle{}\smh{1.5}{\smb{1.5}{x=\op{Re}(z)=\dfrac{z+\surl{z\sp{1.5}}}2\ \txt{et}\ y=\op{Im}(z)=\dfrac{z-\surl{z\sp{1.5}}}{2\sp{1.5}i}}}\ \txt{avec :}$
- $\,\big|\op{Re}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,$ et $\,\big|\op{Im}(z)\big|\leq|\sp{1.5}z\sp{1.5}|\,;\stb{1}\,$
- $\,(\sp{1.5}z\app\bb R\Ssi z=\surl{z\,}\sp{1.5})\,$ et $\,(\sp{1.5}z\app i\sp{1.5}\bb R\Ssi z+\surl{z\,}=0\sp{1.5})\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\c{\sp{1.5}z\sp{1.5}}=\dfrac{a\sp{1.5}z+b}{c\sp{1.5}z+d}$