Index des principaux théorèmes
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Soit une série entière $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}x^n\,$ de somme $S$ et de rayon $R$ fini.

Si $\,\sum_{n\geq 0} a_n\sp{1.5}R^n\,$ converge,  alors $S$ est continue sur $]\!-R,R\,]:$
$\displaystyle{}S(x)\,\tend x{R}\ \smh{1.5}{\Op{\sum}_{n=0}^{+\I} a_n\sp{1.5}R^n}$
Abel ( théorème d' –  radial ) 		E.5.2 e E.5.3 ce
Soient $\,f:I\to\bb K\,$ dérivable et $\,\lambda>0\,$ tels que : $\,|f^{\sp{1.5}\prime}|\leq\lambda\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app I^2,\ \big|f(x)-f(y)\big|\leq\lambda\,|x-y\sp{1.5}|$
accroissements finis ( inégalité des  –  ) 		D.4.1 d E.3.3 b
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Alors, il existe un $\,c\sp{1.5}\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que :
$\displaystyle{}\smh{2.25}{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$
accroissements finis ( théorème des  –  ) 		D.3.3 ad D.4.6 c
Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$

Alors  pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$  est  convergente.

Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$
alternées ( théorème des séries  –  ) 		E.2.5 abc E.2.6 bc E.4.1 b E.4.2 c E.5.2 e E.5.3 c
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\,f\app\sc L(E)\sp{1.5}.\,$

$f$ est diagonalisable  ssi  il existe un polynôme annulateur de $f$ scindé à racines simples.
annulateur ( polynôme  –  et diagonalisabilité ) 		B.6.6 ad
Soient deux événements $\,A\,$ et $\,B\,$ d'un espace probabilisé tels que $\,P(A) >0\,$ et $\,P(B) >0\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}P(B\sp{1.5}|A)=\frac{P(A\sp{1.5}|B)\sp{1.5}P(B)}{P(A)}$
Bayes ( formule de  –  ) 		G.1.3 ab
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N^{\ast}\!,\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}a^n-b^n=(a-b){\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}a^k\sp{1.5}b^{n-1-k}\bigg)}$
Bernoulli ( formule de  –  dans $\bb C$ ) 		A.3.4 c A.3.6 bc E.1.2 c E.1.3 b
Pour $A,B\app\bb K[X]$ et $n\app\bb N^{\ast},$ on a la formule :
$\displaystyle{}A^n-B^{\sp{1.5}n}=(A-B)\bigg(\dsum_{k=0}^{n-1}A^k\sp{1.5}B^{\,n-1-k}\bigg)$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B)\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
Bernoulli ( formule de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.4 bc A.8.5 abcd B.3.5 b B.6.6 d
Pour $A,B\app\sc M_n(\bb K)$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N^{\ast},$ on a :
$\displaystyle{}A^p-B^{\sp{1.5}p}=(A-B)\sp{1.5}\Big(\dsum_{k=0}^{p-1}A^k\sp{1.5}B^{\,p-1-k}\Big)$
On en déduit en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}A^2-B^{\sp{1.5}2}&=(A-B)(A+B),\\[-.75ex] A^3-B^{\sp{1.5}3}&=(A-B)(A^2+A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2})}$
Bernoulli ( formule de  –  dans $\scr M_n$($\bb K$) ) 		C.2.2 c
Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\bb K[X]\sp{1.5};$  alors :
$\displaystyle{}A\land B= 1\Ssi\iex \,(U,V)\app\bb K[X]^2,\ A\,U+B\,V=1$
Bézout ( théorème de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.4 c A.8.6 cde
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs ;  alors :
$\displaystyle{}a\land b= 1\Ssi\iex \,(u,v)\app\bb Z^2,\ a\sp{1.5}u+b\sp{1.5}v=1$
Bézout ( théorème de  –  dans $\bb Z$ ) 		A.3.8 c
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire réelle avec $\,E(X^2)\,$ finie ;  alors :
$\displaystyle{}\ptt \alpha >0\sp{1.5},\ P\big(\big|X-E(X)\big|\geq\alpha\big)\leq\frac{V(X)}{\alpha^2}$
Bienaymé-Tchebychev ( inégalité de  –  ) 		G.2.5 ab
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue et strictement monotone sur un intervalle.

Alors, $f$ induit une bijection $\,\smh0{\widehat f}: x\mapsto f(x)\,$ entre $I$ et $\,J=f(I)\sp{1.5}.\,$

$\,\smh{.75}{(\widehat f\,)^{-1}}\,$ est continue, strictement monotone et de même sens que $f\,.$
bijection ( théorème de la  –  ) 		D.2.4 abc D.3.2 ab E.1.5 abc
Soit $X$ la somme de $n$ variables de Bernoulli $\sc B(p)$ indépendantes.

Alors  la variable aléatoire $X $ suit une loi binomiale $\,\sc B(n,p)\sp{1.5}.\,$
binomial (schéma  –  ) 		G.2.3 b
Pour $\,a,b\app\bb C\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule :
$\displaystyle{}(a+b)^n={\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\,k\,}}\sp{1.5}a^k\,b^{n-k}$
binôme ( formule du  –  dans $\bb C$ ) 		A.3.3 b A.5.5 c A.6.4 abc A.7.2 c F.1.1 b G.2.3 bc
Pour $\,A,B\app\bb K[X]\,$ et $\,n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a la formule du binôme :
$\displaystyle{}(A+B)^n=\dsum_{k=0}^{n}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,n-k}$
On a en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
binôme ( formule du  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.5 de B.2.5 cd
Pour $\,A,B\app\sc M_n(\bb K)\,$ telles que $\,A\sp{1.5}B=B\sp{1.5}A\,$ et $p\app\bb N,$ on a :
$\displaystyle{}(A+B)^p=\sum_{k=0}^{p}\binome{p\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}A^k\sp{1.5}B^{\,p-k}$
On en déduit en particulier les identités remarquables :
$\eqalign{\sth{.5}(A+B)^2&=A^2+2\sp{1.5}A\sp{1.5}B+B^{\sp{1.5}2}\\[-.75ex](A+B)^3&=A^3+3\sp{1.5}A^2\sp{-1.5}B+3\sp{1.5}A\sp{1.5}B^{\sp{1.5}2}+B^{\sp{1.5}3}}$
binôme ( formule du  –  dans $\scr M_n$($\bb K$) ) 		B.3.4 b B.6.4 a C.2.2 b
Toute partie non vide $A\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus grand minorant :
$\displaystyle{}\inf A=\max\ens{m\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ m\leq x}$
C'est la borne inférieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est minoré dans $\bb R\,.$
borne inférieure d'une partie de $\bb R$ 		A.4.2 c A.4.6 ac C.3.5 c F.1.5 a
Toute partie non vide $A\subset \bb R$ possède dans $\surl{\bb R}$  un  plus petit majorant :
$\displaystyle{}\sup A=\min\ens{M\app\surl{\bb R}}{\ptt x\app A,\ x\leq M}$
C'est la borne supérieure de $A\sp{1.5};$ elle est finie ssi $A$ est majoré dans $\bb R\,.$
borne supérieure d'une partie de $\bb R$ 		A.4.2 c A.4.6 abc D.2.2 ab E.3.3 c F.1.5 c F.2.1 b
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue ; alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
bornes atteintes ( théorème des  –  ) 		D.4.1 d D.4.5 abcd D.5.4 e E.3.3 b E.4.3 b F.2.1 b
Soient deux séries entières $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ et $\,\sum b_n\sp{1.5}z^n\,$ de rayons de convergence $R_a$ et $R_b\sp{1.5}.$

Leur produit de Cauchy $\,\sum c_n\sp{1.5}z^n\,$ est  une série entière de rayon $\,R\geq\min(R_a\sp{.75},R_b)\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}c_n=\sum_{k=0}^n a_k\sp{1.5}b_{n-k}=\sum_{k+\ell=n}a_k\sp{1.5}b_{\ell}$
Cauchy ( produit de  –  de séries entières ) 		E.5.3 bde
Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ des séries numériques absolument convergentes.

Alors  leur produit de Cauchy $\sum w_n$ est absolument convergent et :
$\displaystyle{}\sum_{n=0}^{+\I}w_n=\bigg(\sum_{n=0}^{+\I}u_n\bigg)\bigg(\sum_{n=0}^{+\I}v_n\bigg)$
Cauchy ( produit de  –  de séries numériques ) 		E.2.6 abc
Soient $\,a,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y\sp{1.5}'+a(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Alors  la solution générale sur $\,I\,$ de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\e{-A(x)}+\gamma(x)\sp{1.5},\txt{pour}K\app\bb K$
$\,A\,$ étant une primitive de $\,a\,$ et $\,\gamma\,$ une solution particulière de $\,(\sc E_f)\sp{1.5}.\,$
Cauchy-Lipschitz ( théorème de  –  à l'ordre 1 ) 		D.6.1 abcd D.6.3 a
Soient $\,a,\sp{1.5}b,\sp{1.5}f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et l'équation différentielle linéaire sur $\,I:\,$
$\displaystyle{}(\sc E_f):\ \ y''+a(x)\sp{1.5}y\sp{1.5}'+b(x)\sp{1.5}y=f(x)$
Pour une solution particulière $\,\gamma,\,$ la solution générale de $\,(\sc E_f)\,$ est :
$\displaystyle{}\phi(x)=K\sp{1.5}\psi_1(x)+L\sp{1.5}\psi_2(x)+\gamma(x),\txt{pour} (K,L)\app\bb K^2$
où $\,(\psi_1,\psi_2)\,$ est une base de l'espace vectoriel des solutions de $\,(\sc E_0)\sp{1.5}.\,$
Cauchy-Lipschitz ( théorème de  –  à l'ordre 2 ) 		D.6.2 abc D.6.4 abc
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\ptt u,v\app E,\ \big|\ps uv\big|\leq\big\| u\big\|\sp{1.5}\big\| v\big\|$
et l'égalité a lieu  ssi  le couple $(u,v)$ est lié.
Cauchy-Schwarz ( inégalité de  –  ) 		C.1.3 abc C.2.1 c G.2.4 b
Pour $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\,$ et $\,f,\sp{1.5}g:[a,b]\to\bb R\,$ continues, on a l'inégalité :
$\displaystyle{}\bigg(\int_a^b\!f(x)\,g(x)\d x\bigg)^{\!2}\leq \int_a^b\!f(x)^2\d x\,.\!\int_a^b\!g(x)^2\d x$
Cette inégalité est une égalité  ssi  $f$ et $g$ sont colinéaires.
Cauchy-Schwarz ( inégalité de  –  intégrale ) 		D.4.7 ab
Soient des variables aléatoires réelles $X$ et $Y\sp{1.5}.$

Si $\,E(X^2)\,$ et $\,E(Y^2)\,$ sont finies,  alors $\,E(X\sp{1.5}Y)\,$ et fini et :
$\displaystyle{}E(X\sp{1.5}Y)^2\leq E(X^2)\,E(Y^2)$
Cauchy-Schwarz ( inégalité de  –  probabiliste ) 		G.2.5 c
Soit $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel de dimension finie.

Tout $\,f\app\sc L(E)\,$ annule son polynôme caractéristique :  $\,\chi_f(f)=0\sp{1.5}.\,$
Cayley-Hamilton ( théorème de  –  dans ${\scr L}$($E$) ) 		B.6.7 b
Toute $\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ annule son polynôme caractéristique :  $\,\chi_A(A)=0\sp{1.5}.\,$
Cayley-Hamilton ( théorème de  –  dans ${\scr M}_n$($\bb K$) ) 		B.6.7 a C.2.4 d
Soit $\,(u_n)_{n\geq1}\,$ une suite complexe et $\,\ell\app\bb C\sp{1.5};\,$ alors :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}u_n=\ell\Imp\lim n{+\I}\smh{1.5}{\bigg(\frac1n\sum_{k=1}^nu_k\bigg)}=\ell$
Cesaro ( théorème de  –  ) 		E.1.1 d E.2.6 c
$A\app\sc M_n(\bb K)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_A(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}I_n-A)\sp{1.5}.\,$
  • Les valeurs propres $\lambda$ de $A$ sont les racines de $\,\chi_A(X)\sp{1.5};\,$
  • la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_A(X)$ vérifie :
    $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(A))\leq m(\lambda)$
caractéristique ( polynôme  –  de $A\app{\scr M}_n$($\bb K$) ) 		B.6.3 abcd B.6.4 abc B.6.5 ab B.6.7 a C.2.4 ad C.2.5 c D.6.5 abcd F.2.3 b
En dimension $n,$ $f\app\sc L(E)$ a pour polynôme caractéristique : $\,\chi_f(X)\app\bb K_n[X]\sp{1.5}.\,$

Il s'obtient en substituant $\,X\,$ à $\,\lambda\,$ dans $\,\det(\lambda\sp{1.5}\op{Id}_E-f)\sp{1.5}.\,$
  • Les valeurs propres $\lambda$ de $f$ sont les racines de $\,\chi_f(X)\sp{1.5};\,$
  • la multiplicité $m(\lambda)$ d'une racine de $\chi_f(X)$ vérifie :
    $\displaystyle{}\dim(E_{\lambda}(f))\leq m(\lambda)$
caractéristique ( polynôme  –  de $f\app{\scr L}$($E$) ) 		B.6.1 b B.6.6 c B.6.7 b
Soient $I$ un intervalle, $\,f\app\sc C^{1}(I,\bb R^n)\,$ et $U$ un ouvert de $\bb R^n.$

Si $\,f(I)\subset U\,$ et $\,g\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors  $\,(g\circ f)\app\sc C^1(I,\bb R^p)\,$ et :
$\displaystyle{} \ptt t\app I,\ (g\circ f)'(t)=\!\sum_{i=1}^n\,\frac{\partial f}{\partial x_i}\big(f(t)\big)\,f_i'(t)=\d g\big(f(t)\big)\!\cdot\!f'(t)$
chaîne ( règle de la  –  ) 		F.3.1 d F.3.2 a
Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1(J,I)\sp{1.5};\,$ pour $\alpha,\beta\app J\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}\int_{x=\phi(\alpha)}^{x=\phi(\beta)}\!f(x)\d x=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!f\big(\phi(t)\big)\phi'(t)\d t$
En pratique, on pose $\,x=\phi(t)\,$ et les différentielles $\,\d x=\phi'(t)\d t\sp{1.5}.\,$
changement de variable ( intégration par  –  ) 		C.2.1 de D.4.3 abcde
Soient $\,n\,$ variables aléatoires indépendantes $\,X_i:\Omega\to E_{\sp{1.5}i}\,$ et :
$\displaystyle{}f:E_1\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_p \to F\,\txt{et}\,g:E_{p+1}\sp{-1.5}\times\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}\times\sp{-1.5} E_n \to G$
Alors, $\,f(X_1,\dots,X_p)\,$ et $\,g(X_{p+1},\dots,X_n)\,$ sont indépendantes.
coalitions (lemme des  –  ) 		G.2.2 a
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et $\,K\,$ une partie compacte de $E\sp{1.5}.$

Si $\,f:K\to F\,$ est continue,  alors  $f(K)$ est une partie compacte de $F.$
compact ( image d'un  –  ) 		F.2.4 b F.3.3 e
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
  • si  la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
  • et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
alors les $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
convergence dominée ( théorème de  –  ) 		D.4.9 abd D.5.4 abcde E.4.3 d
Soit une série entière $\,\sum a_n\sp{1.5}z^n\,$ telle que $\,a_n\neq0\,$ à partir d'un certain rang.

Si $\,\lim n{+\I}\smh{1.5}{\Big|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors  elle a pour rayon de convergence : $\,R=\smh{2}{\dfrac1\ell}\!\cdot\,$
d'Alembert ( règle de  –  des séries entières ) 		D.6.4 ab E.5.1 bcd E.5.2 e
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.

Si  il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
  • lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
  • lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
d'Alembert ( règle de  –  des séries numériques ) 		D.6.4 c E.2.2 abcd E.4.1 d E.5.1 d E.5.3 d
Tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ possède au moins une racine dans $\bb C\sp{1.5}.$

Par suite, tout polynôme non constant de $\bb C[X]$ est scindé sur $\bb C\sp{1.5}.$
d'Alembert-Gauss ( théorème de  –  ) 		A.8.2 abc A.8.6 e B.6.5 b
$A\app\sc M_n(\bb K)$ est diagonalisable  ssi  $\chi_A(X)$ est scindé avec :
$\displaystyle{}\ptt \lambda\app\op{Sp}(A),\ \dim(E_{\lambda}(A))= m(\lambda)$
diagonalisables (caractérisation des matrices  –  ) 		B.6.3 abd B.6.4 b B.6.5 b D.6.5 bcd
Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$
  • lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
  • lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.
dimension ( théorème de la  –  ) 		B.1.2 a B.2.2 d B.2.5 ab B.2.6 d B.3.3 d B.5.2 a C.2.1 c C.4.2 c D.6.4 ab
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Si  on a $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ et que $\,G\,$ est de dimension finie,  alors :
  • $\,F=\{0\}\!\Ssi\dim(F)=0\sp{1.5},\,$
  • $\,F=\ G\ \sp{1.5}\Ssi \dim(F)=\dim(G)\sp{1.5}.\,$
dimension extrême ( sous-espace de  –  ) 		B.1.4 c B.2.5 abcd B.2.6 cd B.5.1 a C.1.4 b C.1.5 a C.2.1 b C.2.3 d C.2.5 a C.2.6 a D.6.4 c
Pour $A,B\app\bb K[X]$ avec $B\neq0,$ il existe un et un seul $\,(Q,R)\app\bb K[X]^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}A=B\sp{1.5}Q+R\txt{et}\deg(R) < \deg(B)$

$Q$ et $R$  sont le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B\sp{1.5}.$
division euclidienne dans $\bb K[X]$ 		A.8.1 abcd A.8.5 abc A.8.6 bce B.1.2 a B.2.1 c B.3.5 abc B.6.6 d C.1.5 d D.4.2 d
Pour $\,a,b\app\bb Z\,$ et $\,b\neq0\sp{1.5},\,$ il existe  un et un seul $\,(q,r)\app\bb Z^2\,$ tel que :
$\displaystyle{}a=b\sp{1.5}q+r\,\txt{et}\,0\leq r< |b|$
$q$ et $r$  sont  le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b\sp{1.5}.$
division euclidienne dans $\bb Z$ 		A.1.3 b A.1.4 c A.1.7 c A.3.2 bc A.3.4 b A.3.5 a A.3.8 c
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
  • Si  $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
  • et  si  chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
alors  $\sum_{n\geq n_0}\ell_n$ converge vers $\smh{1}{\smb{1.5}{\Op{\sum}_{n=n_0}^{+\I}}}\ell_n=\lim xa S(x)\sp{1.5},$  c'est-à-dire que :
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
double limite ( théorème de la  –  des séries ) 		E.4.1 a E.4.2 b
Soit une suite de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
  • Si  la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $\,f:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
  • et  si  chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
alors $\,(\ell_n)\,$ converge vers $\,\lim n{+\I}\ell_n=\lim xa f(x)\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que :
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\sp{-1.5}\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\Big)=\lim xa\sp{-1.5}\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}f_n(x)\Big)$
double limite ( théorème de la  –  des suites ) 		E.3.1 d E.3.2 c
Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :
  • soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
  • soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
  • soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$
droites affines ( intersection de  –  dans un plan) 		A.1.3 d C.3.1 c C.3.2 c C.4.2 bc
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
  • $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
  • $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
Euler ( formules d' –  ) 		A.6.3 c A.7.1 c A.7.2 bc A.7.3 ab D.3.5 b D.4.2 b E.4.3 d
Soit $f$ une fonction rationnelle irréductible à pôles simples $\alpha_1,\dots,\alpha_p\sp{1.5}.$

Alors $f$ a une unique décomposition en éléments simples :
$\displaystyle{}\smh{1.5}{f(x)=\dfrac{A(x)}{B(x)}= E(x)+\dfrac{\lambda_1}{x-\alpha_1}+\cdots+\dfrac{\lambda_p}{x-\alpha_p}}$
  • La partie entière $E$ est le quotient euclidien de $A$ par $B\sp{1.5};$
  • après simplification par $(x-\alpha_k):$ $\,\lambda_k\!=\!\dfrac{\!A(x)(x-\alpha_k)\!}{B(x)}\Big|_{x=\alpha_k}\!\!\!\!\!\!\,$
éléments simples ( décomposition en  –  ) 		A.6.5 d B.6.1 c D.3.5 a D.4.2 c D.4.3 bc D.5.3 b E.2.6 c E.5.2 d G.2.5 a
Tout entier naturel $\,n\geq2\,$ admet une et une seule décomposition de la forme :
$\displaystyle{}n=p_1^{\alpha_1}\!\dots\, p_r^{\alpha_r},\ \txt{avec}p_1 < \cdots < p_r$
où les $p_i$ sont des nombres premiers et où les $\alpha_i$ appartiennent à $\bb N^{\ast}\!.$
facteurs premiers ( décomposition en  –  ) 		A.1.3 b A.2.2 b A.2.3 b A.3.3 a A.3.5 c A.3.6 c A.3.7 ac A.3.8 bc A.4.4 bc G.1.4 d
Toute fonction continue $\,f:I\to\bb K\,$ admet des primitives sur $I\sp{1.5}.$

Pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ $\,F:x\mapsto\!\dint_a^x\!\! f(t)\d t\,$ est  une de ces primitives.
fondamental ( théorème  –  du calcul intégral ) 		D.4.2 ad D.4.3 b D.4.4 b E.3.4 b E.5.3 d F.1.1 a
Soient $\,A,B,C\app\bb K[X]\sp{1.5};\,$ si  $A$ est premier avec $B$  et  si  $A$ divise $B\sp{1.5}C,$  alors  $A$ divise $C:$
$\displaystyle{}\big(A\land B = 1\ \text{ et }\ A\op{\big|}(B\sp{1.5}C)\big)\Imp A\op{\big|}C$
Gauss ( lemme de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		A.8.6 de
Soient $\,a,b,c\app\bb Z\,';\,$ si $\,a\,$ est premier avec $\,b\,$ et  si $\,a\,$ divise $\,b\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ alors $\,a\,$ divise $\,c:\,$
$\displaystyle{}\big(a\land b = 1\ \text{ et }\ a\op{|}(b\sp{1.5}c)\big)\Imp a\op{|}c$
Gauss ( lemme de  –  dans $\bb Z$ ) 		A.2.2 b A.3.8 c A.4.4 bc
Soit, dans un espace préhilbertien réel $E,$ une famille libre $(u_1,\dots,u_p)\,.$

Alors il existe dans $E$ une famille orthonormale $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ telle que :
$\displaystyle{}\ptt k\app\,[\sp{-2.5}[1,p]\sp{-2.5}],\ \op{Vect}(e_1,\dots,e_k)=\op{Vect}(u_1,\dots,u_k)$

$(e_1,\dots,e_p)$ se déduit de $(u_1,\dots,u_p)$ par l'algorithme de Gram-Schmidt :
$\displaystyle{}u_k\ot u_k-\smh{1.5}{\tst{\sum}_{i=1}^{k-1}}\ps{e_i}{u_k}\sp{1.5}e_i,\txt{puis :}e_k=\dfrac{u_k}{\|u_k\|}$
Gram-Schmidt ( orthonormalisation de  –  ) 		C.1.5 bd
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de dimensions finies d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Alors  leur somme $F+G$  est  de dimension finie, et on a la formule :
$\displaystyle{}\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G)$
Grassmann ( formule de  –  ) 		B.1.4 c B.5.1 a
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb R\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$

Alors, cette fonction $f$  est  uniformément continue sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$
Heine ( théorème de  –  ) 		E.3.4 c
Une partie $A$ de $\bb R$ est un intervalle  ssi  $A$ est convexe, c'est-à-dire :
$\displaystyle{}\ptt x\app A\sp{1.5},\,\ptt y\app A\sp{1.5}, \ \big(\sp{1.5}x\leq y\Imp [\sp{1.5}x\sp{1.5},y\sp{1.5}]\subset A\sp{1.5}\big)$
intervalles ( caractérisation des  –  ) 		A.4.2 c D.2.2 b
Soit $\,f:I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec les $\,f_x:t\mapsto f(x,t)\,$ appartenant à $\,L^1(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K)\sp{1.5}.\,$

  • Si  chaque $\,x\mapsto f(x,t)\,$ est de classe $\sc C^1$ de classe sur $I\sp{1.5},$
  • si  chaque $\,t\mapsto\partial f/\partial x(x,t)\,$ est continue par morceaux,
  • et  si  il existe $\,\phi\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[, \bb R)\,$ intégrable sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ avec :
    $\displaystyle{}\ptt (x,t)\app I\times\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \smb1{\Big|\big(\partial f/\partial x\big)(x,t)\Big|}\leq\phi(t)$
alors  la fonction $\,\smh{.5}{g:x\mapsto\!\dint_a^b\!\!f(x,t)\d t}\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ et :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ g'(x)=\smh{.5}{\int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\d t}$
intégrale à paramètre ( dérivation d'une  –  ) 		D.5.6 abcd
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
  • si  $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
  • et si  la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
 alors  la somme $S$ est intégrable sur $I$ de bornes $a$ et $b\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
intégration terme à terme ( théorème d' –  ) 		E.4.3 abcd
$\,A=\smb1{\matc{a&b\\c&d}\app\sc M_2(\bb K)}\,$ est inversible ssi $\,ad-bc\neq0,\,$ avec :
$\displaystyle{}A^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\sp{1.5}\matr{d&\!\!-b\\-c&a}$
inversion d'une matrice $2\times2$ 		B.3.2 ab B.3.3 a C.2.1 c D.6.5 c F.3.4 bd
$\,A\app\sc M_n(\bb{K})\,$ est inversible  ssi  pour tout $Y\app\bb{K}^n\sp{1.5},$ $\,A\sp{1.5}X=Y\,$ a une solution unique $X\app\bb{K}^n:$
$\displaystyle{}\ptt i\app\,[\![1,n]\!]\sp{1.5},\ x_i=b_{i,1}\,y_1+\cdots+b_{i,n}\,y_n$
Les coefficients $\,b_{i,j}\,$ sont alors exactement les coefficients de $A^{-1}\sp{1.5}.$
inversion d'une matrice carrée 		B.3.2 abcd B.3.3 c B.4.4 c B.6.3 d B.6.4 a
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $s\app\sc L(E)$ est involutif  ssi : $\,s\circ s =\op{Id}_E\sp{1.5}.\,$

Tout endomorphisme involutif de $E$ est une symétrie, et réciproquement.
involutifs ( endomorphismes  –  ) 		B.2.3 bd B.2.7 b B.6.6 a
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb K\tiret$espaces vectoriels de même dimension finie et $\,f\app \sc L(E,E'):\,$
  • $f$ est un isomorphisme  ssi $f$ est injective ;
  • $f\,$ est un isomorphisme  ssi $f$ est surjective.
isomorphisme ( caractérisation d'un  –  ) 		B.2.4 c B.5.1 b
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ une application convexe et $\,(x_1,\dots,x_p)\app I^p\sp{1.5}.\,$

Alors,  pour tout $\,(\lambda_1,\dots,\lambda_p)\app\bb {\bb R}_+^{\,p}\,$ tel que $\,\lambda_1+\dots+\lambda_p=1,\,$ on a :
$\displaystyle{}f\bigg(\sum_{k=1}^p\lambda_k\,x_k\bigg)\leq \sum_{k=1}^p\lambda_k\sp{1.5}f(x_k)$
Jensen ( inégalité de  –  ) 		D.3.6 b
Pour $\,f,g\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ la fonction $\,f\sp{1.5}g\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I$ avec :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ (f\sp{1.5}g)^{(n)}(x)=\smh{1}{\sum_{k=0}^{n}}\binome{n\\\sp{1.5}k\sp{1.5}}f^{(k)}(x)\,g^{\sp{1.5}(n-k)}(x)$
Leibniz ( formule de  –  ) 		D.3.5 c D.6.2 c
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb R)\sp{1.5},\,$ dérivable sur $\,I\!\setminus\!\{a\}\sp{1.5},\,$ avec : $\,\smb0{\lim xaf'(x)}=\ell\sp{1.5}.\,$
  • Lorsque $\,\sth1\ell\app\bb R\sp{1.5},\,$ $f$  est  dérivable en $a\sp{1.5},$ avec : $\,f'(a)=\ell\,;\,$
  • lorsque $\ell=\pm\I\sp{1.5},$  alors : $\,\lim xa\smh{1.7}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\ell\,.\,$
limite de la dérivée ( théorème de la  –  ) 		B.2.2 d D.3.4 c D.6.3 b
Soit $\,X\,$ une variable aléatoire numérique d'espérance finie ;  alors :
$\displaystyle{}\ptt \alpha >0\sp{1.5},\ P\big(\sp{1.5}|X|\geq\alpha\big)\leq\frac{E(|X|)}\alpha$
Markov ( inégalité de  –  ) 		G.2.5 a
Soient $E$ un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E$ de base $\,\sc{B}=(e_1,\dots,e_n)\sp{1.5}.\,$

La matrice de $f\app\sc L(E)$ relativement à $\sc{B}$ est la matrice :
$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=\op M_{\sc B}\big(f(\sc B)\big)=\op{M}_{\sc B}\big(f(e_1),\dots,f(e_n)\big)$
  • $\,f\mapsto\op{M}_\sc B(f)\,$ est un isomorphisme entre $\sc L(E)$ et $\sc M_n(\bb K)\sp{1.5};$
  • $\,f\,$ et sa matrice ont le même rang : $\,\op{rg}(f)=\op{rg}\big({\rm M}_{\sc B}(f)\big)\sp{1.5}.\,$
matrice d'un endomorphisme 		B.2.6 abcd B.2.7 ab B.3.3 c B.4.5 b B.6.4 abc B.6.5 b B.6.6 bc
Soient $E$ un $\bb K\tiret$espace vectoriel, $\,f\app\sc L(E)\,$ et $\,P_1,\dots,P_r\app\bb K[X]\sp{1.5}.\,$

Si $\,P_1,\dots,P_r\,$ sont deux à deux premiers entre eux, on a  alors :
$\displaystyle{}\op{Ker}\big((P_1\dots P_r)(f)\big)=\op{Ker}(P_1(f))\oplus\cdots\oplus\op{Ker}(P_r(f)).$
noyaux (lemme des  –  ) 		B.6.6 c
Soient $\,f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\sp{1.5}.\,$

Si $f$ admet un extremum local en $a\sp{1.5},$ alors $a$ est un point critique de $f.$
optimisation ${\scr C}^1$ ( théorème d' –  ) 		F.3.3 abcde
Soient $\,f\app\sc C^2(\Omega,\bb R)\,$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ et $\,a\app\Omega\,$ un point critique de $f.$

Alors, $\,H_{\sp{-1.5}f}(a)\,$ étant la matrice hessienne de $f$ en $\,a:\,$
  • si $\,H_f(a)\non\app\sc S_n^+(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ n'a pas de minimum local en $\,a\,;\,$
  • si $\,H_f(a)\app\sc S_n^{++}(\bb R)\sp{1.5},\,$ $f$ a un minimum local strict en $\,a\sp{1.5}.\,$
Mêmes conditions pour un maximum, avec $\sc S_n^-(\bb R)$ et $\sc S_n^{--}(\bb R)\sp{1.5}.$
optimisation ${\scr C}^2$ ( théorème d' –  ) 		F.3.3 cd
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés, et $\,f\app\sc C(A,F)\,$ pour $\,A\subset E:\,$
  • l'image réciproque par $f$ d'un ouvert de $F$  est  l'intersection de $A$ et d'un ouvert de $E\,;$
  • l'image réciproque par $f$ d'un fermé de $F$  est  l'intersection de $A$ et d'un fermé de $E\,.$
ouverts et fermés ( images réciproques des  –  ) 		F.2.2 acd F.2.3 ab F.2.4 a F.3.3 ae
Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ trois points $A\sp{1.5},B$ et $C\,;$  alors :
$\displaystyle{}\Vec{AB}\perp\Vec{AC}\Ssi AB^2+AC^2=BC^2$
Pythagore ( théorème de  –  géométrique ) 		C.4.3 ab
Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ deux vecteurs $u$ et $v\sp{1.5}.$

On a alors le Théorème de Pythagore :
$\displaystyle{}u\perp v\Ssi \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$
Pythagore ( théorème de  –  vectoriel ) 		C.1.2 c C.1.4 c C.2.1 b
Soient $\,f,\sp{1.5}g\app\sc C^1(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\int_a^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g'(x)\d x$
parties ( intégration par  –  ) 		C.2.1 e D.4.4 abcd D.4.9 ad D.5.6 b
Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés une droite affine $\sc D$ et un plan affine $\sc P$ de $E\sp{1.5},$  alors :
  • soit $\sc D$ est incluse dans $\sc P:$ $\,\sc D\subset\sc P\,;\,$
  • soit $\sc D$ et $\sc P$ sont disjoints : $\,\sc D\cap\sc P=\vide\sp{1.5};\,$
  • soit $\sc D$ et $\sc P$ sont sécants : $\,\iex I\app E,\ \sc D\cap\sc P=\{I\}\!\cdot\,$
Dans les deux premiers cas, la droite $\sc D$ est parallèle au plan $\sc P\sp{1.5}.$
plan et droite affines ( intersection de  –  ) 		C.4.2 a
Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés deux plans affines $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5};$  alors :
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont confondus : $\,\sc P_1=\sc P_2\,;\,$
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont strictement parallèles : $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\vide\,;\,$
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont sécants : $\,\sc P_1\cap\sc P_2\,$ est une droite affine.

Dans les deux premiers cas, $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont parallèles : $\,\sc P_1/\!\sp{-1.5}/\sc P_2\,.\,$
plans affines ( intersection de  –  ) 		C.4.2 bc C.4.3 b C.4.5 d
Pour un événement $A$ et un système complet d'événements $\,(B_i)_{i\app I}\,$ avec $\,P(B_i)\neq0:\,$
$\displaystyle{}P(A)=\sum_{i\app I}P(A\cap B_i)=\sum_{i\app I}P(A|B_i)\sp{1.5}P(B_i)$
probabilités totales ( formule des  –  ) 		G.1.3 abcd G.2.1 bd
Dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ $p\app\sc L(E)$ est un projecteur  ssi : $\,p\circ p =p\sp{1.5}.\,$

Tout projecteur de $E$ est une projection, et réciproquement.
projecteurs 		B.2.3 be B.2.7 a C.2.5 b F.1.3 b
Soient $F$ un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien réel $E$ et $u\app E\sp{1.5}.$

Le projeté orthogonal de $u$ sur $F$ est l'unique $\pi_F(u)\app F$ réalisant la distance de $u$ à $F:$
$\displaystyle{}\big\|u-\pi_F(u)\big\|=\min\ens{\|u-v\|}{v\app F}=d\sp{1.5}(u,F)\stb{1.2}$
Si $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ est une base orthonormale de $F\sp{1.5},$  alors :  $\,\pi_F(u)=\smh{1.5}{\dsum_{k=1}^p}\ps{e_k}u\sp{1.5}e_k\,.\,$
projection orthogonale ( théorème de  –  ) 		C.2.1 cd C.4.3 a
Soient dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E,$ deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G.$

La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est l'application $\,p\app \sc L(E):\,$
$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$
projections vectorielles 		B.2.3 bce B.2.6 ac B.2.7 a C.2.1 b C.4.2 a F.1.3 b
Si $\,f:[a,b]\to\bb K\,$ est continue, ses sommes de Riemann convergent vers son intégrale :
$\displaystyle{}S_n(f)\tend n{+\I}\int_a^bf(x)\d x$
Les $\,S_n(f)\,$ sont les approximations de l'intégrale par la méthode des rectangles.
Riemann ( convergence des sommes de  –  ) 		D.4.1 abcd G.2.2 b
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :
  • intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$  ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
  • intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$  ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
Riemann ( intégrales de  –  ) 		D.5.1 bce D.5.2 ab D.5.3 cd D.5.5 abc D.5.6 d E.2.4 ab E.4.3 a
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge  ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann ( séries de  –  ) 		C.1.3 a E.2.3 abc E.2.4 ab E.2.5 c E.2.6 ab E.4.1 ac E.4.2 bc E.4.3 cd E.5.2 d E.5.3 e
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

Si $\,f(a)=f(b)\sp{1.5},\,$ alors  il existe $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que : $\,f'(c)=0\sp{1.5}.\,$
Rolle ( théorème de  –  ) 		D.3.3 bc
Soient $E$ et $E'$ deux $\bb{K}\tiret$espaces vectoriels et $\,f\app \sc{L}(E,E')\sp{1.5}.\,$

Si $E$ est de dimension finie,  alors l'image de $f$ est de dimension finie et :
$\displaystyle{}\dim(\op{Im} f)+\dim(\op{Ker} f)=\dim(E)$
rang ( théorème du  –  ) 		B.2.5 abcd B.2.6 d B.6.2 a B.6.3 b B.6.5 b
Soit dans un espace vectoriel $E:$ $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\sp{1.5}.\,$

Le rang de $\,\sc U=(u_1,\dots,u_p)\app E^p\,$ est à la fois :
  • le nombre maximal des $u_i$ linéairement indépendants ;
  • le rang de la matrice de $\sc U$ dans toute base $\sc B$ de $E:$
    $\displaystyle{}\op{rg} (\sc U)=\dim\sp{-1.5}\big(\!\op{Vect}(\sc U)\big)=\op{rg}\sp{-1.5}\big(M_{\sc B}(\sc U)\big)$
rang d'une famille de vecteurs 		B.1.3 abd C.3.1 b
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\sp{1.5},\,$ de classe $\sc C^2$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^2\,;$  alors :
$\displaystyle{}\ptt (x,y)\app\Omega\sp{1.5},\ \ \frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial x\sp{1.5}\partial y}(x,y)=\frac{\partial^2\sp{-1.5}f}{\partial y\sp{1.5}\partial x}\sp{1.5}(x,y)$
Schwarz ( théorème de  –  ) 		F.3.2 ac
La factorielle de $n$ a pour équivalent lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}n\sp{1.5}!\eq n{+\I}\!\sqrt{2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}n}\,\Big(\dfrac n{\e{}}\Big)^{\!n}$
Stirling ( formule de  –  ) 		E.3.1 c E.5.3 e G.1.1 a
Soit une série entière réelle $\,\sum_{n\geq 0}a_n\sp{1.5}x^n\,$ de rayon de convergence $R\sp{1.5}.$

Sa somme $f$  est de classe  $\sc C^{\I}$ et se dérive terme à terme :
$\displaystyle{}\ptt x\app ]\!-R\sp{.75},R\sp{1.5}[\sp{1.5},\ f^{(p)}(x)=\sum_{n=p}^{+\I}\frac{n\sp{1.5}!}{(n-p)\sp{1.5}!}\;a_n\sp{1.5}x^{n-p}$
série entière ( la somme d'une  –  est ${\scr C}^\infty$ ) 		D.6.4 abc E.5.2 ce E.5.3 ade F.3.2 b
Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :
$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$
  • On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
  • on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$
somme directe de deux sous-espaces vectoriels 		B.1.2 abc B.2.3 cde B.6.6 bc C.2.1 a C.4.2 a
Dans $E$ euclidien, $f\app\sc L(E)$ est autoadjoint  ssi  il vérifie l'une des conditions équivalentes :
  • $E$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $f\,;$
  • $E$ admet une base orthonormale de vecteurs propres de $f\sp{1.5}.$
spectral ( théorème  –  des endomorphismes ) 		C.2.6 ac
$A\app\sc M_n(\bb R)$ est symétrique  ssi  elle vérifie l'une des conditions équivalentes :
  • $\sp{1.5}\bb R^n\sp{-1.5}$ est la somme orthogonale des sous-espaces propres de $A\sp{1.5};$
  • $\,\iex P\app\op O(n)\sp{1.5},\ \iex D\app\sc D_n(\bb R)\sp{1.5},\ A=P\sp{1.5}D\sp{1.5}P^T.\,$
spectral ( théorème  –  des matrices ) 		C.2.4 abd
Soient dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E,$ deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G.$

La symétrie de $E$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$  est  l'application $\,s\app \op{GL}(E):\,$
$\displaystyle{}s:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to\ E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, u-v}$

On a alors : $\,s\circ s=s\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Ker}(s-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}(s+\op{Id}_E)\sp{1.5}.\,$
symétries vectorielles 		B.2.3 abd B.2.6 b B.2.7 b B.6.6 a
Soit le système $\,(\sc E):\ A\,X=B\sp{1.5},\,$ où $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5},\,$ $\,B\app\bb K^m\,$ et :
$\displaystyle{}\sc S= \ens{X\app\bb K^n}{A\sp{1.5}X=B}$
  • Si $\,A=[C_1,\dots,C_n]\sp{1.5},\,$ on a la condition de compatibilité :
    $\displaystyle{}\sc S\neq \vide\Ssi B\app\op{Im}(A)=\op{Vect}(C_1,\dots,C_n)$
  • Pour $\,X_1\app\sc S\neq\vide\,$ et $\,\sc S_0=\ens{Y\app\bb K^n}{A\sp{1.5}Y=0}\sp{1.5},\,$ on a :
    $\displaystyle{}\sc S=X_1+\sc S_0=\ens{X_1+Y}{Y\app\sc S_0}$
système linéaire ( solutions d'un  –  ) 		B.5.2 b B.5.3 c
Un système linéaire homogène est un système de la forme $\,(\sc E)\sp{-1.5}:A\,X=0\sp{1.5},\,$ pour $\,A\app\sc M_{m,n}(\bb K)\sp{1.5}.\,$

L'ensemble $\sc S$ de ses solutions  est  un sous-espace vectoriel de $\bb K^n$ et il a pour dimension :
$\displaystyle{}\dim(\sc S)=n-\op{rg}(\sc E)=n-\op{rg}(A)$
système linéaire homogène ( solutions d'un  –  ) 		B.3.3 d B.5.1 c B.5.2 ab B.5.3 ab B.6.3 ac
Pour tous $\,P\app\bb K_n[X]\,$ et $\,\alpha\app\bb K\sp{1.5},\,$ on a la formule de Taylor :
$\displaystyle{}P=\dsum_{k=0}^{n}\frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(X-\alpha)^k$
Taylor ( formule de  –  dans $\bb K[X]$ ) 		B.1.3 c
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n+1}\sp{1.5};$ pour tous $\,a,x\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k\sp{1.5}!}\sp{1.5}(x-a)^k+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n\sp{1.5}!}\,(x-t)^n\d t$
Taylor (formule de  –  avec reste intégral ) 		D.4.6 abc
Soit $\,f\app\sc C^{n+1}(I,\bb K)\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ \big|f^{(n+1)}(x)\big|\leq M\sp{1.5};\,$ pour $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \Bigg|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k\sp{1.5}!}\sp{1.5}(x-a)^k\Bigg|\leq \frac{M\sp{1.5}|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}$
Taylor-Lagrange ( inégalité de  –  ) 		D.4.5 abcd
Soit $\,f:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{n}\sp{1.5};$ pour tout $\,a\app I\sp{1.5},\,$ on a alors :
$\displaystyle{}f(a+h)\,\dl h0 \,\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\sp{1.5}h^k+\o hn$
Taylor-Young ( formule de  –  ) 		C.3.5 a D.1.5 ce D.1.7 c D.3.5 bc
Soient une variable aléatoire finie $\,X:\Omega \to F\,$ et $\,f:F\to\bb K\sp{1.5}.\,$

Alors la variable aléatoire $\,f(X)\,$ a pour espérance :
$\displaystyle{}E\big(f(X)\big)=\!\!\sum_{x\app X(\Omega)}\!\!f(x)\,P(X=x)$
transfert ( formule de  –  ) 		G.2.3 c G.2.4 ac
$\,A\app\sc M_n(\bb K)\,$ est trigonalisable  ssi  son polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ est scindé dans $\,\bb K[X]\sp{1.5}.\,$
trigonalisables (caractérisation des matrices  –  ) 		B.6.4 abc D.6.5 d
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.

Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que :  $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$
valeurs intermédiaires ( théorème des  –  ) 		D.4.8 ab E.1.5 d F.2.5 c
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\mapsto\bb K\sp{1.5},\,$ une fonction continue sur un segment $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5}.$

Alors,  il existe une suite de fonctions polynomiales $\,x\mapsto P_n(x)\,$

qui convergent uniformément vers $f$ sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}].$
Weierstrass ( théorème de  –  ) 		E.3.4 ab
Comment utiliser « la première marche » ?
On propose ici des exercices de mathématiques couvrant les programmes de CPGE, et aussi de L1 et L2.
Le dernier chapitre de la partie Probabilités, encore manquant, sera ajouté prochainement.
Le site est basé sur le principe du dévoilement progressif des éléments de la solution d'un exercice.
Deux méthodes s'offrent à vous pour sélectionner quelques exercices de difficultés croissantes :
  • soit choisir dans le menu la partie, le chapitre puis le sujet que vous voulez traiter ;
  • soit accéder directement par l'index aux exercices relevant d'un théorème particulier.
Efforcez vous alors de résoudre par écrit le premier exercice.
En cas de difficultés vous pourrez, selon les besoins :
  • consulter les notions de cours relatives au sujet de l'exercice ;
  • prendre connaissance des indications fournies ;
  • examiner le cas échéant les figures correspondantes.
Une fois parvenu à un résultat plausible, il vous faudra alors :
  • vous assurer que celui ci est conforme à la réponse attendue,
  • et confronter enfin votre travail à la correction proposée.
Si vous n'avez pas réussi un exercice, lire la correction ne suffit pas, même si vous pensez l'avoir comprise.
Pour surmonter un échec ou consolider vos acquis, renouvelez votre tentative sur un autre exercice.
Conventions
On a adopté les conventions suivantes pour alléger les formulations :
Dans une énumération comme : $\,x_m\,,\dots,x_n\,,$  les lettres $\,m\,$ et $\,n\,$ désignent des entiers tels que : $\,m\leq n\,:$
  • on s'autorise alors à écrire :  « soient $\,x_1,\dots,x_n\app E\,$»  au lieu de :  « soient $\,n\app\bb N^{\ast}$ et $\,(x_1,\dots,x_n)\app E^n\,$» ;
  • de même avec des quantificateurs :  «$\,\ptt x_1,\dots,x_n\app E$ »  au lieu de :  «$\,n\app\bb N^{\ast}$ et $\,\ptt \,(x_1,\dots,x_n)\app E^n$ » .
Une expression est appelée numérique lorsqu'elle est à valeurs réelles ou à valeurs complexes :
  • le symbole $\,\bb K\,$ désigne alors un ensemble de nombres :  soit l'ensemble $\,\bb R,$  soit l'ensemble $\,\bb C\,;$
  • en algèbre linéaire, tous les espaces vectoriels sont sur l'un des corps $\,\bb R\,$ ou $\,\bb C,$  désigné par $\,\bb K\,.$
En analyse,  tous les intervalles de $\,\bb R\,$ sont supposés contenir au moins deux réels distincts :
  • dans des écritures comme $\,f:I\to\bb K\,$ ou $\,\sc C^n(J,\bb K),$  les lettres $I$ ou $J$ désignent de tels intervalles ;
  • lorsqu'on considère l'ensemble $\,\sc C^n(I,\bb K),$  on sous-entend toujours que $\,n\app\bb N\,$ ou $\,n=\I\,;$
  • par $\,\sc C_m(I,\bb K),$ on désigne l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur l'intervalle $\,I.$
Pourquoi « la première marche » ?
En mathématiques, ce sont les débuts qui sont les plus difficiles.
Sur chaque sujet, il faut maîtriser les définitions et les propriétés initiales avant d'aller plus loin.
Pour franchir cette « première marche », on vous propose un large choix d'exercices couvrant les deux premières années d'enseignement supérieur :
  • chaque exercice est centré sur un concept de base ou une technique de calcul,
  • et il ne comporte qu'une seule question avec ses rebonds éventuels.
Pour vous y aider, chaque exercice est accompagné :
  • de rappels de cours relatifs à chaque sujet ;
  • d'indications pour vous guider vers la solution ;
  • de la réponse pour vérifier que vous n'avez pas fait fausse route.
Vous trouverez ensuite une correction, rédigée dans un but essentiellement didactique, pour :
  • ne laisser aucune articulation du raisonnement sans justification,
  • et privilégier la compréhension en profondeur de chaque notion,
  • plutôt que la mise en oeuvre de méthodes ou d'automatismes mal maîtrisés.
Il s'agit donc de consolider d'abord vos connaissances afin de gagner en efficacité.
Cet approfondissement n'est qu'un préalable pour ensuite aller plus vite et plus loin.
Dans une copie de concours ou d'examen il faudra bien au contraire :
  • privilégier la rapidité d'exécution en allant à l'essentiel,
  • et ne fournir que les justifications adaptées au niveau de l'épreuve.
L'auteur
Date de première publication : février 2026.
Auteur : Xavier Jeanneau, professeur agrégé de mathématiques.
J'ai enseigné de longues années en CPGE au lycée Aristide Briand d'Evreux :
  • en charge d'une classe de première année, math'sup puis PCSI, de 1987 à 2001 ;
  • puis d'une classe de deuxième année, en filière PSI, de 2001 à 2016.
J'ai longuement exercé comme :
  • correcteur de l'écrit du concours Centrale-Supélec filière MP, de 1997 à 2021 ;
  • interrrogateur à l'oral des concours e3a filière PSI, puis Banque filière PT, de 1997 à 2019.
J'ai aussi publié sur le calcul formel aux éditions Techniques de l'Ingenieur et aux éditions Ellipses.
Ces expériences d'enseignement et ma formation universitaire m'ont appris que :
  • beaucoup d'étudiants de prépa, pressés de se confronter aux épreuves des concours, n'approfondissent pas suffisamment les notions de base ;
  • les étudiants de l'université, bien que consacrant plus de temps aux notions fondamentales, ne pratiquent pas toujours assez d'exercices.
D'où l'idée de proposer aux uns comme aux autres de quoi consolider ces acquis essentiels.
Vos commentaires
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Date de première publication : février 2026.
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Chapitre A.5    Nombres complexes

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