Sujet E.4.3 Intégration d'une série de fonctions
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Exercice a
Étant donné $\,a > 0,\,\,$ exprimer l'intégrale suivante comme la somme d'une série numérique :
$\displaystyle{}\int_1^{+\I}\frac{\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1}x\,\d x$
intégration de la somme d'une série sur un segment
Soit une série de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ continues et convergeant uniformément vers $\,S:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la série des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $S:$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\sum_{n=n_0}^{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!S(x)\d x$
théorème d'intégration terme à terme
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Développer $\,x\mapsto\dfrac{\e{1/x^{a}}-1}x\,$ en série de fonctions à l'aide de la série entière de l'exponentielle.
indication
2
Appliquer le théorème d'intégration terme à terme à la série de fonctions obtenue.
réponse
Cette intégrale s'exprime bien comme la somme d'une série numérique convergente :
$\displaystyle{}\ptt a > 0\sp{1.5},\ \dint_1^{+\I}\frac{\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1}x\,\d x=
\frac1a\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!}$
correction
Par
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
composition
d'une
Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :
puissance
par l'
- continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
- continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle,
la fonction $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}x^{-a}}\,$ est continue sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
Il sensuit que la fonction $\,f:x\mapsto\dfrac{\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1}x\,$ est continue sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,$ comme
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
quotient
de fonctions continues.
D'autre part, avec la
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\alpha\app\bb R\!\setminus\!\{0\}\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}\stb1\,$ vérifie :
limite :
$\,x^{-a}\tend x{+\I}0\sp{1.5},\,$ on a
$\displaystyle{}\big((1+x)^\alpha-1\big)\smb{1.5}{\eq x0}\,\alpha\sp{1.5}x\,,\txt{ainsi que :}$
- $\,\smb{.5}{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=0\ \,$ et $\,{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=+\I\sp{1.5},\,\,$ pour $\,\alpha > 0\,;\,$
- $\,\smb{1.5}{\lim x{0^+}}\,x^\alpha=+\I\ \,$ et $\,\smb1{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=0\sp{1.5},\,\,$ pour $\,\alpha < 0\,.\,$
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
l'équivalent :
$\,\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1\eq x{+\I} x^{-a}\sp{1.5},\,$ d'où :
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}f(x)=\frac{\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1}x\sp{1.5}\eq x{+\I}\,\frac1{x^{a+1}}$
Par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
à une intégrale de
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{-\alpha}=\smb{1.5}{\dfrac1{x^\alpha}}\,$ est :
Riemann,
la fonction $\,f\,$ est donc intégrable sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
Connaissant le développement en série entière de
- intégrable sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I\sp{1.5}[\,$ ssi $\,\alpha > 1\,;\stb1\,$
- intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}1\sp{1.5}]\,$ ssi $\,\alpha < 1\,.\,$
L'exponentielle est développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$
l'exponentielle,
on a aussi, pour tout $\,x\app\,[\sp{1.5}1,+\I[\,:\,$
$\displaystyle{}\ptt z\app\bb C\sp{1.5},\ \,\e{z}=\sum_{n=0}^{+\I}\frac{z^n}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\frac{\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1}x=\frac1x\Big(\sum_{n=1}^{+\I}\frac{\big(x^{-a}\big)^n}{n\sp{1.5}!}\Big)= \sum_{n=1}^{+\I}\frac{x^{-a\sp{1.5}n-1}}{n\sp{1.5}!}=\sum_{n=1}^{+\I}f_n(x)$
On intègre alors par
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivation
sur $\,\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},\,$ chacune de ces fonctions $\,f_n:x\mapsto\dfrac{x^{-a\sp{1.5}n-1}}{n\sp{1.5}!}\sp{-1.5}:\,$
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\!\int_1^{+\I}\!\!\!f_n(x)\d x=\!\int_1^{+\I}\!\frac{x^{-a\sp{1.5}n-1}}{n\sp{1.5}!}\,\d x=\frac1{n\sp{1.5}!}\bigg[\frac{x^{-a\sp{1.5}n}}{-a\sp{1.5}n}\bigg]_1^{+\I}\!\!\!=\frac{1/a}{n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!}$
Avec : $\,\dint_1^{+\I}\!\!\big|f_n(x)\big|\d x\leq\dfrac1{a\,n\sp{1.5}!},\,$ on a par
Soient des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ 0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} u_n\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} v_n\sp{1.5}.\,$ Si la série $\,\sum v_n\,$ converge, alors la série $\,\sum u_n\,$ converge et :
majoration
le terme général d'une série convergente :
$\displaystyle{}0\leq \sum_{n=n_0}^{+\I}u_n\leq\sum_{n=n_0}^{+\I}v_n$
$\displaystyle{}\sum_{n=1}^{+\I}\int_1^{+\I}\!\!\big|f_n(x)\big|\d x\leq\frac1a\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{n\sp{1.5}!}=\frac{\e{}}a$
On peut alors appliquer le théorème d'intégration
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
terme à terme :
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
$\displaystyle{}\int_1^{+\I}\!\frac{\e{\sp{1.5}x^{-a}}-1}x\,\d x=\sum_{n=1}^{+\I}\int_1^{+\I}\!\frac{x^{-a\sp{1.5}n-1}}{n\sp{1.5}!}\,\d x= \frac1a\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{n\sp{1.5}.\sp{-1.5}n\sp{1.5}!}$
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Exercice b
Exprimer l'intégrale suivante comme la somme d'une série numérique :
$\displaystyle{}\int_0^1\!x^x\d x$
intégration de la somme d'une série sur un segment
Soit une série de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ continues et convergeant uniformément vers $\,S:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la série des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $S:$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\sum_{n=n_0}^{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!S(x)\d x$
théorème d'intégration terme à terme
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Développer $\,x\mapsto x^x\,$ en une série de fonctions continues normalement convergente sur $\,\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
indication
2
Calculer ensuite les $\,\dint_0^1\!\!x^{n}(\ln x)^{n}\!\sp{1.5}\d x\,$ par une récurrence finie sur les $\,I_{n,k}=\!\dint_0^1\!\!x^{n}(\ln x)^{k}\!\sp{1.5}\d x\sp{1.5}.\,$
réponse
Cette intégrale s'exprime bien comme la somme d'une série numérique convergente :
$\displaystyle{}\dint_{0}^{1}\!x^{x}\d x=\sum_{n=0}^{+\I}\dfrac{(-1)^{n}}{(n+1)^{n+1}}$
correction
On a par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées : $\,\lim x{0^{+}}x\ln x=0\sp{1.5};\,$ la fonction $\,g:x\mapsto{}x\sp{1.5}\ln x\,$ se
$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\
x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$ Alors la fonction $f$
se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
prolonge
donc continûment sur $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1\sp{.75}]\sp{1.5}.\,$ La fonction composée $\,f:x\mapsto{}x^{x}=\e{\sp{1.5}x\ln x}=\e{\sp{1.5}g(x)}\,$ est alors
$\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
continue
sur $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ avec : $\,f(0)=1\sp{1.5}.\,$
Connaissant le développement en série entière de
L'exponentielle est développable en série entière en $\,0\sp{1.5},\,$ de rayon $\,R=+\I:\,$
l'exponentielle,
on a donc :
$\displaystyle{}\ptt z\app\bb C\sp{1.5},\ \,\e{z}=\sum_{n=0}^{+\I}\frac{z^n}{n\sp{1.5}!}$
$\displaystyle{}\int_{0}^{1}x^{x}\,\d x=\int_{0}^{1}\!\!\Big(\sp{1.5}\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(x\ln x)^{n}}{n\sp{1.5}!}\Big)\d x$
La fonction $\,g\,$ est continue et donc
Soit $\,f:[a,b]\to\bb R\,$ continue ; alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
bornée
sur le segment $\,[\sp{1.5}0\sp{.75},1\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ d'où l'existence de $\,M\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\,$ tel que : $\eqalign{&\forall{}\,x\in{}[0,1]\sp{1.5},\ \big|g(x)\big|=\big|\,x\ln x\big|\leqslant{}M,\txt{d'où :}\\
&\forall{}\,x\in{}[0,1]\sp{1.5},\ \bigg|\dfrac{(x\,\ln x)^{n}}{n\sp{1.5}!}\bigg|\leqslant{}\dfrac{M^{n}}{n\sp{1.5}!}}$
On peut poser plus précisément $\,\,M=\big\|\sp{.75}g\sp{1.5}\big\|_{\I}\!=\Op{\max}_{x\in{}[0,1]}\big|\,x\,\ln x\big|=\smash[t]{\dfrac1{\e{}}},\,$ mais la valeur précise de ce maximum n'importe pas.
La série de fonctions continues définissant $\,f\,$ converge
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
normalement,
et donc uniformément, sur le segment $\,[0,1]\,$ car :
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sum_{n=0}^{+\infty{}}\dfrac{M^{n}}{n\sp{1.5}!}=\e{M}$
On peut alors
Soit une série de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ continues et convergeant uniformément vers $\,S:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la série des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $S:$
intervertir
la somme et l'intégrale :
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\sum_{n=n_0}^{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!S(x)\d x$
$\displaystyle{}\int_{0}^{1}\!x^{x}\d x=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(x\ln x)^{n}}{n\sp{1.5}!}\,\d x=\sum_{n=0}^{+\I}\,\frac{1}{n\sp{1.5}!}\!\int_{0}^{1}\!\!x^{n}(\ln x)^{n}\!\sp{1.5}\d x$
Il reste à calculer $\,\smb{1.5}{\dint_{0}^{1}\!\!x^{n}(\ln x)^{n}\!\sp{1.5}\d x}\,$ ; on procède par
Soit $\,P(n)\,$ une propriété dépendant d'un $\,n\app\,[\![n_0,n_1]\!]\sp{1.5},\,$ telle que :
récurrence
finie sur $\,k\in{}\{1\dots n\}:\,$- $\,P(n_0)\,;\,$
- $\,\ptt n\app\,[\![n_0,\,n_1-1]\!],\ \big(P(n)\Imp P(n+1)\big)\,;\,$
- on a d'abord par
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$primitivation : $\,I_{n,\sp{1.5}0}=\dint_{0}^{1}x^{n}(\ln x)^{0}\!\sp{1.5}\d x=\Big[\frac{x^{n+1}}{n+1}\Big]_{0}^{1}=\dfrac1{n+1}\sp{1.5};\,$$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
- on procède ensuite à une intégration
Soient $\,f,g\app\sc C^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5},\,$ $\,f\sp{1.5}g\,$ ayant des limites finies en $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$ Alors les intégrales de $\,f'g\,$ et $\,f\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}\,$ convergent simultanément, avec :par parties :$\displaystyle{}\dint_{\stb{1}a}^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\d x$$\eqalign{I_{n,\sp{1.5}k}&=\smh{1.5}{\int_{0}^{1}}\!\!x^{n}(\ln x)^{k}\!\sp{1.5}\d x\\[-.5ex]&=\Big[\frac{x^{n+1}}{n+1}\,(\ln x)^{k}\Big]_{0}^{1}\!-\frac{k}{n+1}\int_{0}^{1}\!\!x^{n}(\ln x)^{k-1}\!\sp{1.5}\d x\\[-.5ex]&=-\frac{k}{n+1}\,I_{n,\sp{1.5}k-1}\sp{1.5},\txt{d'où ensuite :}\\ I_{n,\sp{1.5}n}&=-\frac{n}{n+1}\,I_{n,\sp{1.5}n-1}=\cdots= (-1)^{n}\,\frac{n(n-1)\dots1}{(n+1)^{n}}\,I_{n,\sp{1.5}0}}$
$\displaystyle{}\int_{0}^{1}x^{x}\,\d x=\sum_{n=0}^{+\I}\dfrac{(-1)^{n}}{(n+1)^{n+1}}$
On aurait pu aussi appliquer le théorème d'intégration
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
terme à terme,
mais cela n'aurait pas été plus rapide.- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
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Exercice c
Exprimer l'intégrale suivante comme la somme d'une série numérique :
$\displaystyle{}\int_0^{\pi/4}\!\ln(\tan x)\d x$
intégration de la somme d'une série sur un segment
Soit une série de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ continues et convergeant uniformément vers $\,S:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la série des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $S:$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\sum_{n=n_0}^{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!S(x)\d x$
théorème d'intégration terme à terme
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Faire apparaître une série de fonctions sous cette intégrale par le changement de variable : $\,u=\tan x\sp{1.5}.\,$
indication
2
Appliquer le théorème d'intégration terme à terme à la série de fonctions obtenue.
réponse
Cette intégrale s'exprime bien comme la somme d'une série numérique convergente :
$\displaystyle{}\dint_{0}^{\pi/4}\!\ln(\tan x)\d x=\dsum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^{2}}$
correction
La fonction $\,f:x\mapsto\ln(\tan x)\,$ est
La fonction tangente est impaire et de période $\,\pi\sp{1.5}.\,$ Elle est de plus continue et strictement croissante sur $\,]\!-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
continue
sur $\,]\sp{1.5}0,\pi/4\sp{1.5}]\sp{1.5};\,$ de plus, avec
La fonction tangente vérifie :
l'équivalent :
$\,\tan x\eq x0 \sp{1.5}x\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\sth{.5}\stb{2}\lim {\,x}{(\pi/2)^-}\tan x=+\I\ \txt{et}\,\tan x\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}\ln(\tan x)=\ln x+\ln\Big(\frac{\tan x}{x}\Big)\dl x{0^+}\ln x+o(\ln x)$
On a
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
ainsi :
$\,f(x)\eq x 0\ln x\sp{1.5};\,$ le logarithme étant
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
La fonction logarithme népérien est intégrable sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.\,$
intégrable
sur $\,]\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\sp{1.5},\,$ $f$ est donc par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
intégrable sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},\pi\sp{-1.5}/4\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
La
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
La fonction tangente est de classe $\sc C^{\I}$ sur tout intervalle $I$ où : $\,x\non\equiv\smb1{\dfrac\pi2}\,[\pi],\,$ avec :
tangente
étant de classe $\sc C^1$ sur $\,]\sp{1.5}0,\pi/4\sp{1.5}]\sp{1.5},\,$ avec $\,u=\tan x\sp{1.5},\,$ on a l'équivalence :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \tan'(x)=1+\tan^2\sp{-1.5}x=\frac1{\cos^2\sp{-1.5}x}$
$\displaystyle{}\d u=(1+\tan^2x)\d x\Ssi\d x=\dfrac{\d u}{1+u^2}$
On effectue alors dans l'intégrale, le
Soient $\,f\app\sc C(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C^1\big(\sp{1.5}]\sp{1.5}\alpha,\beta\,[\sp{1.5},I\big)\,$ strictement croissante.
Si $\,\lim t\alpha\,\phi(t)=a\,$ et $\,\lim t\beta\,\phi(t)=b\sp{1.5},\,$ on a alors :
changement
de variable correspondant :
$\eqalign{&f\app L^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\Ssi(f\circ\phi)\sp{1.5}\phi'\app L^1\big(]\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}[,\bb K\big)\\[-.5ex]
&\txt{avec :}\int_{x=a}^{x=b}\!\!f(x)\d x\,=\int_{t=\alpha}^{t=\beta}\!\!f\big(\phi(t)\big)\sp{1.5}\phi'(t)\d t}$
Idem avec $\,f\app L^1\big(]\sp{1.5}b,a\sp{1.5}[,\bb K\big)\,$ si $\phi$ est strictement décroissante.
$\displaystyle{}\int_{0}^{\pi/4}\!\ln(\tan x)\,\d x=\int_{0}^{1}\frac{\ln u}{1+u^{2}}\,\d u$
Le terme $\,\smb{1.5}{\dfrac1{1+u^2}}\,$ étant la somme d'une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
convergente, on a pour tout $\,u\app\,[\sp{1.5}0,1[\,:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\displaystyle{}\frac{\ln u}{1+u^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\big(\!-u^{2}\big)^{\!n}\ln u=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nu^{2\sp{1.5}n}\ln u$
Les fonctions $\,\,g_{n}:u\mapsto{}u^{2n}\ln u\,$ sont intégrables sur $\,\sp{1.5}]\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\,$ par
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
comparaison
au logarithme, car : $\,|g_{n}(u)|\leqslant{}|\ln u|\sp{1.5}.\,$
Une intégration
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Soient $\,f,g\app\sc C^1\big(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K\big)\sp{1.5},\,$ $\,f\sp{1.5}g\,$ ayant des limites finies en $\,a\,$ et $\,b\sp{1.5}.\,$ Alors les intégrales de $\,f'g\,$ et $\,f\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}\,$ convergent simultanément, avec :
par parties
permet alors de calculer les intégrales des fonctions $\,g_n:\,$
$\displaystyle{}\dint_{\stb{1}a}^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\d x$
$\eqalign{\int_{0}^{1}u^{2n}\ln u\d u&=\Big[\frac{u^{2n+1}}{2n+1}\,\ln u\Big]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{u^{2n}}{2n+1}\,\d u\\[-.5ex]&=-\Big[\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}\Big]_{0}^{1}=-\frac{1}{(2n+1)^{2}}}$
- D'une part, la série : $\,\smb{2}{\Op{\sum}_{n\geqslant{}0}(-1)^ng_{n}}\,$ converge
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :simplement sur $\,]\sp{1.5}0,1\sp{.75}]\,$ vers la fonction continue : $\,u\mapsto\smb{1.5}{\dfrac{\ln u}{1+u^{2}}}\!\cdot\,$
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$ - D'autre part, la série des intégrales des $|\sp{1.5}g_n\sp{1.5}|$ converge par
Soient des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ 0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} u_n\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} v_n\sp{1.5}.\,$ Si la série $\,\sum v_n\,$ converge, alors la série $\,\sum u_n\,$ converge et :comparaison à une série de$\displaystyle{}0\leq \sum_{n=n_0}^{+\I}u_n\leq\sum_{n=n_0}^{+\I}v_n$Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$Riemann :$\displaystyle{}\Op{\sum}_{n\geqslant{}0}\,{\dint_0^1|\sp{1.5}g_n(x)\sp{1.5}|\d x}=\Op{\sum}_{n\geqslant{}0}\sp{1.5}\dfrac{1}{(2n+1)^{2}}$
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
terme à terme :
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
$\displaystyle{}\int_{0}^{1}\frac{\ln u}{1+u^{2}}\,\d u= \sum_{n=0}^{+\I}(-1)^n\!\!\int_{0}^{1}\!u^{2n}\ln u\d u$
On exprime finalement cette intégrale comme la somme d'une série numérique :
$\displaystyle{}\int_{0}^{\pi/4}\!\ln(\tan x)\,\d x=\sum_{n=0}^{+\I}\frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^{2}}$
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Exercice d
Étant donné $\,a \app\bb R,\,\,$ exprimer l'intégrale suivante comme la somme d'une série numérique :
$\displaystyle{}\int_{0}^{+\I}\frac{\sin(a\sp{1.5}x)}{\e{x}-1}\,\d x$
intégration de la somme d'une série sur un segment
Soit une série de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ continues et convergeant uniformément vers $\,S:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$
Alors la série des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $S:$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\sum_{n=n_0}^{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!S(x)\d x$
théorème d'intégration terme à terme
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
théorème de convergence dominée
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
indication
1
Développer $\,x\mapsto\dfrac{\sin(a\sp{1.5}x)}{\e{x}-1}\,$ en série de fonctions à l'aide d'une série géométrique.
indication
2
Appliquer le théorème de convergence dominée à la suite des sommes partielles de la série de fonctions obtenue.
réponse
Cette intégrale s'exprime bien comme la somme d'une série numérique convergente :
$\displaystyle{}\dint_{0}^{+\I}\dfrac{\sin(a\sp{1.5}x)}{\e{x}-1}\,\d x=
\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac{a{}}{n^{2}+a^{2}}$
correction
Sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ le
Les fonctions cosinus et sinus sont continues sur $\bb R$ et de période $2\sp{1.5}\pi:$
sinus
et l'
- Le cosinus est pair et strictement décroissant sur $\,\smb{1}{[\sp{1.5}0,\pi\sp{1.5}]}\sp{1.5}.\,$
- Le sinus est impair et strictement croissant sur $\,[-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2,\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}]\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle
sont continus, ainsi que le
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
quotient
$\,f:x\mapsto\smash[b]{\dfrac{\sin(a\sp{1.5}x)}{\e{x}-1}}\!\cdot\,$
Par
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Soient $f_i$ et $g_i$ des fonctions réelles définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\,.$
Si $\,f_1(x)\smb1{\eq xa} \,g_1(x)\,$ et $\,f_2(x)\smb{1.5}{\eq xa}\, g_2(x)\sp{1.5},\,$ on a alors :
quotient
d'équivalents relatifs au
- $\,f_1(x)\sp{1.5}f_2(x)\ \eq xa\ g_1(x)\sp{1.5}g_2(x)\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}\sp{1.5}\eq xa \sp{1.5}\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}\,$ si $\,f_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ et $\,g_2(x)\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}0\,$ pour $x\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}a\sp{1.5}.$
Les fonctions cosinus et sinus vérifient :
sinus
et à l'
$\displaystyle{}(\cos x-1)\,\eq x0-\smh{1.5}{\dfrac{x^2}2}\ \txt{et}\,\sin x\,\eq x0\,x$
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
exponentielle,
on a : $\,f(x)\eq x0\dfrac{a\sp{1.5}x}x=a\sp{1.5}.\,$
Avec $\,f(0)=a\sp{1.5},\,$ $f$ se
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
Soit $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ admettant une limite finie en $\,a\non\app I\sp{1.5}.\,$ Alors la fonction $f$
se prolonge par continuité à $\,I\cup\sp{-1.5}\{a\}\,$ en posant :
prolonge
par continuité sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$
et elle y est
$\displaystyle{}f(a)=\!\lim x a f(x)$
Pour $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\,$ telles que : $\,f(x)\sp{1.5}\dl xb\sp{1.5} O\big(g(x)\big):\,$
intégrable
par comparaison à
$\displaystyle{}g\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)\Imp f\app L^1\big([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\bb K\big)$
Avec $\,\sth{.5}f(x)\eq xb \,g(x)\sp{1.5},\,$ cette implication devient une équivalence.
On a les mêmes résultats sur un intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ lorsque $x\to a\sp{1.5}.$
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ $\,x\mapsto\e{-a\sp{1.5}x}\,$ est intégrable sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ ssi $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
l'exponentielle :
$\displaystyle{}|f(x)|\leq\smh{1}{\dfrac1{\e{x}-1}=\dfrac{\e{-x}}{1-\e{-x}}}\,\eq x{+\I}\,\e{-x}$
Le quotient $\,\dfrac{\e{-x}}{1-\e{-x}}\,$ est la somme d'une série
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
de raison $\,\e{-x} \app\,]\sp{1.5}0,1[\sp{1.5},\,$ d'où pour tout $\,x > 0:\,$
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\displaystyle{}{f(x)=\frac{\e{-x}\sin (a\sp{1.5}x)}{1-\e{-x}}=\sum_{n=1}^{+\I}(\e{-x})^{n}\sin (a\sp{1.5}x)=\sum_{n=1}^{+\I}f_n(x)}$
Avec $\,f_n:x\mapsto\e{-n\sp{1.5}x}\sin(a\sp{1.5}x)\sp{1.5},\,$ on a : $\,|f_n(x)|\leq \e{-n\sp{1.5}x}\,$ dont on peut majorer l'intégrale par
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivation :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\dint_0^{+\I}\!\!|f_n(x)|\d x\leq\dint_0^{+\I}\!\!\!\e{-n\sp{1.5}x}\d x=\Big[\dfrac{\e{-n\sp{1.5}x}}{-n}\Big]_0^{+\I}=\dfrac1n$
Toutefois, la série
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$
harmonique
étant divergente, cela ne permet pas d'appliquer le théorème d'intégration
Pour des $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $I$ de bornes $a$ et $b:$
terme à terme.
Il est cependant possible d'
- si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $S\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si la série d'intégrales $\,\smh{0}{\sum_{n\geq n_0}\int_a^b\big|f_n(x)\big|\d x}\,$ converge,
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\int_a^b\!\!\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b \!\!S(x)\d x$
Pour tout $\,q\app\bb C\!\setminus\!\{1\}\,$ et $n\app\bb N,$ on a la somme géométrique :
expliciter
les sommes partielles $S_n$ de cette série et de les majorer comme suit :
$\displaystyle{}\dsum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
$\eqalign{&\sum_{k=1}^nf_k(x)=\sum_{k=1}^n\e{-k\sp{1.5}x}\sin (a\sp{1.5}x)=\frac{\e{-x}\big(1-\e{-n\sp{1.5}x}\big)}{1-\e{-x}}\,\sin (a\sp{1.5}x)\\[-1ex] &\big|S_n(x)\big|=\frac{1-\e{-n\sp{1.5}x}}{\e{x}-1}\,\big|\sin (a\sp{1.5}x)\big|\leq\frac{\big|\sin (a\sp{1.5}x)\big|}{\e{x}-1}=\big|f(x)\big|}$
On peut alors appliquer le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$
théorème
de convergence dominée à la suite des fonctions $\,(S_n)_{n\geq1}\sp{1.5}.\,$
En effet, cette suite converge
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
Une suite de $\,f_n:I\to\bb K\,$ converge simplement vers $\,f:I\to\bb K\,$ ssi :
simplement
vers $\,f\,$ sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,,\,$ et elle est dominée par la fonction intégrable $\,|f|\sp{1.5}:\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \lim n{+\I}\big(f_n(x)\big)=f(x)$
$\displaystyle{}\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!f(x)\d x=\!\!\int_0^{+\I}\!\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}S_n(x)\sp{-1.5}\Big)\!\d x=\!\lim n{+\I}\!\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!S_n(x)\d x$
On a aussi, par
Pour $\,\app\sc C_m(]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,\bb K)\sp{1.5},\,$ intégrables sur $\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et $\,\alpha,\beta\app\bb K\sp{-1.5}:\,$
linéarité
de l'intégrale :
$\displaystyle{}\int_ a^b(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)(x)\d x\,=\,\alpha\!\int_a^b\!\!f(x)\d x+\beta\!\int_a^b\!\!g(x)\d x$
$\displaystyle{} \int_0^{+\I}\!\!\!S_n(x)\d x=\int_0^{+\I}\sum_{k=1}^{n}f_k(x)\d x=\sum_{k=1}^{n}\int_0^{+\I}\!\!\!f_k(x)\d x$
On obtient donc l'intégrale de $f$ comme étant la somme d'une série numérique :
$\displaystyle{}\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!f(x)\d x=\sum_{n=1}^{+\I}\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!f_n(x)\d x=\sum_{n=1}^{+\I}\int_0^{+\I}\!\!\!\!\e{-n\sp{1.5}x}\sin (a\sp{1.5}x)\d x$
Il reste à intégrer $\,f_n:x\mapsto\e{-n\sp{1.5}x}\sin (a\sp{1.5}x)\,$ par
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivation,
comme partie
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
Pour tout réel $\,t\sp{1.5},\,$ on a les formules d'Euler :
imaginaire
de $\,x\mapsto\e{(-n+i\sp{1.5}a{})\sp{1.5}x}\,:\,$
- $\,\smh{2}{\cos t=\op{Re}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}+\e{-i\sp{.75}t}}2}\sp{1.5};\,$
- $\,\smh{1.5}{\sin t=\op{Im}\!\big(\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}\big)=\dfrac{\e{\sp{1.5}i\sp{.75}t}-\e{-i\sp{.75}t}}{2\,i}}\!\cdot\,$
$\eqalign{&\int_0^{+\I}\!\!\e{(-n+i\sp{1.5}a)\sp{1.5}x}\d x=\bigg[\frac{\e{(-n+i\sp{1.5}a)\sp{1.5}x}}{-n+i\sp{1.5}a}\bigg]_0^{+\I}\!\!=\frac1{n-i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\txt{d'où :}\\
&\int_0^{+\I}\!\!\!\!\!f_n(x)\d x={\rm Im}\Big(\frac1{n-i\sp{1.5}a}\Big)= {\rm Im}\Big(\frac{n+i\sp{1.5}a}{n^2+a^2}\Big)=\frac{a}{n^2+a^2\!}}$
L'intégrale de $f$ est donc la somme d'une série, convergente par
Soient des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ 0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} u_n\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} v_n\sp{1.5}.\,$ Si la série $\,\sum v_n\,$ converge, alors la série $\,\sum u_n\,$ converge et :
comparaison
à une série de
$\displaystyle{}0\leq \sum_{n=n_0}^{+\I}u_n\leq\sum_{n=n_0}^{+\I}v_n$
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann :
$\displaystyle{}\int_{0}^{+\I}\frac{\sin(a\sp{1.5}x)}{\e{x}-1}\,\d x=\sum_{n=1}^{+\I}\frac{a{}}{n^{2}+a^{2}}$