Sujet E.4.2 Somme d'une série de fonctions
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Exercice a
On considère la fonction $\,S\,$ de variable réelle défini par :
Exprimer $\,\smash{\dfrac1{\tan2\sp{1.5}t}}\stb{2}\sth{2}\,$ en fonction de $\,\tan t\,$ pour $\,t\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et en déduire une expression de $\,S(x)\,$ pour $\,x\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}S(x)=\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{2^n}\,\tan\frac x{2^n}$
Montrer que $S$ est une fonction de classe $\,\sc C^1\,$ sur l'intervalle $\,]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$ Exprimer $\,\smash{\dfrac1{\tan2\sp{1.5}t}}\stb{2}\sth{2}\,$ en fonction de $\,\tan t\,$ pour $\,t\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}4\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ et en déduire une expression de $\,S(x)\,$ pour $\,x\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
continuité de la somme d'une série de fonctions continues
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
théorème de la double limite pour une série de fonctions
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
- Si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
- et si chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
somme d'une série de fonctions de classe ${\scr C}^1$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{1}\sp{1.5}.$
- Si la série $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $\,S\,$ sur $I,$
- et si la série $\sum_{n\geq n_0} f_n^{\sp{1.5}\prime}$ converge uniformément sur $I,$
somme d'une série de fonctions de classe ${\scr C}^k$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{k}\sp{1.5}.$
- Si les $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(j)}}$ convergent simplement sur $I$ pour tout $\,j\sp{-1.5}<\sp{-1.5}k\sp{1.5},\,$
- et si la série $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(k)}}$ converge uniformément sur $I,$
indication
1
Montrer la convergence normale des séries $\,\Op{\sum}_{n\geq1}f_n\,$ et $\,\Op{\sum}_{n\geq1}f_n'\,$ sur l'intervalle $\,\,]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
indication
2
Utiliser cette expression de $\,\smash[t]{\dfrac1{\tan2\sp{1.5}t}}\,$ pour télescoper les sommes partielles de la série $\,\sum f_n(x)\sp{1.5}.\,$
réponse
La fonction $S$ est de classe $\,\sc C^1\,$ sur l'intervalle $\,\,]\!-\pi\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{1.5}[\,$ et telle que :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \,S(x)=\dfrac1x-\dfrac1{\tan x}$
correction
Pour $\,n\geq 1\sp{1.5},\,$ les
La fonction tangente est impaire et de période $\,\pi\sp{1.5}.\,$ Elle est de plus continue et strictement croissante sur $\,]\!-\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{.75},\sp{1.5}\pi\sp{-1.5}/\sp{-1.5}2\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
fonctions
$\,f_n:x\mapsto\dfrac1{2^n}\,\tan\dfrac x{2^n}\,$ sont impaires et
La fonction tangente est de classe $\sc C^{\I}$ sur tout intervalle $I$ où : $\,x\non\equiv\smb1{\dfrac\pi2}\,[\pi],\,$ avec :
de classe
$\,\sc C^1\,$ sur $\,]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}[\sp{1.5},\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ \tan'(x)=1+\tan^2\sp{-1.5}x=\frac1{\cos^2\sp{-1.5}x}$
$\eqalign{&\big( n\geq 2\txt{et}|x|\leq\pi\big) \Imp\Big| \frac x{2^n}\Big| \leq\dfrac \pi4\sp{1.5},\txt{d'où pour} n\geq2:\\
&\big|f_n(x)\big|=\frac1{2^n}\Big|\tan\frac x{2^n}\Big|\leq\frac1{2^n}\,\tan\frac \pi4=\frac1{2^n}\\
&\big|f_n'(x)\big|=\frac1{4^n}\Big(1+\tan^2\!\frac x{2^n}\Big)\leq \frac1{4^n}\Big(1+\tan^2\!\frac\pi4\Big)=\frac2{4^n}}$
Par
Soient des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ telles que : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ 0\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} u_n\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} v_n\sp{1.5}.\,$ Si la série $\,\sum v_n\,$ converge, alors la série $\,\sum u_n\,$ converge et :
comparaison
à des séries
$\displaystyle{}0\leq \sum_{n=n_0}^{+\I}u_n\leq\sum_{n=n_0}^{+\I}v_n$
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométriques,
$\,\Op{\sum}_{n\geq2} f_n\,$ et $\,\Op{\sum}_{n\geq2} f_n'\,$ sont
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
normalement,
et donc uniformément, convergentes sur $\,]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$ Il résulte alors du théorème de
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{k}\sp{1.5}.$
dérivation
d'une série de fonctions, que la fonction $S$ est bien de classe $\sc C^1$ sur $\,]\!-\pi,\sp{1.5}\pi\sp{1.5}[\sp{1.5}.\,$
Soit un réel $\,t\,$ appartenant à $\,\sp{1.5}]\sp{1.5}0,\sp{1.5}\pi/4\sp{1.5}[\,;\sp{1.5}\,$ par formule de
- Si les $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(j)}}$ convergent simplement sur $I$ pour tout $\,j\sp{-1.5}<\sp{-1.5}k\sp{1.5},\,$
- et si la série $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(k)}}$ converge uniformément sur $I,$
Pour $\,a\app\bb R\sp{1.5},\,$ en développant $\,\e{2\sp{1.5}i\sp{1.5}a}\sp{1.5},\,$ on a les formules de duplication :
duplication,
on a :
- $\,\cos2\sp{1.5}a=\cos^2\sp{-1.5}a-\sin^2\sp{-1.5}a= 2\sp{1.5}\cos^2\sp{-1.5}a-1=1-2\sp{1.5}\sin^2\sp{-1.5}a\,;\sth1\,$
- $\,\sin2\sp{1.5}a=2\sp{1.5}\sin a\sp{1.5}\cos a\sp{1.5};\sth1\,$
- $\,\tan2\sp{1.5}a=\dfrac{2\sp{1.5}\tan a}{1-\tan^2\sp{-1.5}a}\,$ si $\,a\non{\equiv}\dfrac\pi4\,\Big[\dfrac\pi2\Big]\!\cdot\,$
$\eqalign{\tan(2\sp{1.5}t)=\dfrac{2\sp{1.5}\tan t}{1-\tan^2\sp{-1.5} t}&\Imp \frac1{\tan2\sp{1.5}t}=\frac12\Big(\frac1{\tan t}-\tan t\Big)\\
\txt{d'où :}&\tan t=\frac1{\tan t}-\frac2{\tan2\sp{1.5}t}}$
On peut alors
Pour $\,n,\,p\app\bb N\sp{1.5},\,$ une somme télescopique est une somme du type :
télescoper
les sommes
$\displaystyle{}S_{n,\sp{1.5}p}={\dsum_{k=0}^{n}\big(x_{k+p}-x_k\big)}$
On a alors :
$\,\tabl{[t]{l}S_{n,\sp{1.5}1}=x_{n+1}-x_0\sp{1.5},\\[-.5ex] S_{n,\sp{1.5}2}=(x_{n+2}+x_{n+1})-(x_1+x_0)\sp{1.5}, \txt{etc.}}\,$
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
partielles
$S_n(x)$ de la série $\,\sum f_n(x)\,$ pour $\,x\app\,\sp{1.5}]\sp{1.5}0\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}[\,:\,$
$\eqalign{S_n(x)&=\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^k}\Big(\frac1{\tan \sp{.75}(\sp{.75}x\sp{-1.5}/2^k)}-\frac2{\tan \sp{.75}(\sp{.75}x\sp{-1.5}/2^{k-1})}\Big)\\[-.5ex]
&=\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^k\tan \sp{.75}(\sp{.75}x\sp{-1.5}/2^k)}-\sum_{k=1}^{n}\frac1{2^{k-1}\tan \sp{.75}(\sp{.75}x\sp{-1.5}/2^{k-1})}\\[-.5ex]&=\frac1{2^n\tan \sp{.75}(\sp{.75}x\sp{-1.5}/2^n)}-\frac1{\tan x}}$
On fait tendre $\,n\,$ vers $\,+\I\,;\,$ par
La fonction tangente vérifie :
équivalent
de la tangente en $\,0\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,\tan\dfrac x{2^n}\sp{1.5}\eq n{+\I}\,\dfrac x{2^n}\sp{1.5},\,$ et finalement :
$\displaystyle{}\sth{.5}\stb{2}\lim {\,x}{(\pi/2)^-}\tan x=+\I\ \txt{et}\,\tan x\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{1.5}0,\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}[\,,\ S(x)=\lim n{+\I}S_n(x)=\frac1x-\frac1{\tan x}$
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Exercice b
On considère la fonction $\,\sp{1.5}\zeta\sp{1.5}\,$ de variable réelle défini par :
$\displaystyle{}\zeta(x)=\smh{1.5}{\smb{2}{\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{n^x}}}$
Montrer que $\,\zeta\,$ est de classe $\,\sc C^{\I}\,$ sur un intervalle à préciser.
Étudier ses variations et les propriétés de sa courbe représentative.
continuité de la somme d'une série de fonctions continues
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
théorème de la double limite pour une série de fonctions
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
- Si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
- et si chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
somme d'une série de fonctions de classe ${\scr C}^1$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{1}\sp{1.5}.$
- Si la série $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $\,S\,$ sur $I,$
- et si la série $\sum_{n\geq n_0} f_n^{\sp{1.5}\prime}$ converge uniformément sur $I,$
somme d'une série de fonctions de classe ${\scr C}^k$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{k}\sp{1.5}.$
- Si les $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(j)}}$ convergent simplement sur $I$ pour tout $\,j\sp{-1.5}<\sp{-1.5}k\sp{1.5},\,$
- et si la série $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(k)}}$ converge uniformément sur $I,$
indication
1
Appliquer le théorème de dérivation d'une série de fonctions sur les intervalles $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ pour $\,a>1\sp{1.5}.\,$
indication
2
Lorsque $\,x\,$ tend vers $\,1^+\sp{-1.5},\,$ commencer par comparer $\,\sp{1.5}\zeta(x)\sp{1.5}\,$ avec $\,S_n(x)=\dsum_{k=1}^{n}\dfrac1{k^x}\,$ pour $\,n\geq 1\,$ fixé.
figure
Représentation de la fonction $\,\zeta\,$
réponse
La fonction $\,\zeta\sp{1.5}\,$ est bien de classe $\,\sc C^{\I}\,$ sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
Cette fonction est décroissante et convexe sur $\,]\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},\,$ avec pour limites :
$\displaystyle{}\lim x{1^+}\zeta(x)=+\I\ \txt{et}\!\lim x{+\I}\zeta(x)=1$
correction
$\,\zeta(x)\,$ est défini pour tout $\,x\app\,]\sp{1.5}1\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ en tant que somme d'une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann.
Les fonctions $\,f_n:x\mapsto\dfrac1{n^x}=\e{-x\ln n}\,$ sont des
Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\sp{1.5},\ n\geq1\sp{1.5};\,$ $\,f:x\mapsto\e{u(x)}\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :
exponentielles
de classe $\,\sc C^{\I}\,$ sur $\,]\sp{1.5}1\sp{.75},+\I[\,,\,$ avec :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=u'(x)\,\e{u(x)}$
$\displaystyle{}\ptt x >1\sp{1.5},\ f_n^{(k)}(x)=\dfrac{(-\ln n)^k}{n^x}$
Soit $\,a >1\,;\,$ en considérant un $\,b\,$ tel que : $\,1 < b < a\sp{1.5},\,$ on a alors par
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées :
$\displaystyle{}(\ln n)^\beta\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(n^\alpha)\sp{1.5},\ \,n^\alpha\!\!\dl n{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,n})\,\txt{et}\,\e{\gamma\,n}\dl n{+\I}o\big(n\sp{1.5}!\big) $
$\displaystyle{}\ptt x\app\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\,,\ \,\big|f_n^{(k)}(x)\big|\leq\frac{(\ln n)^k}{n^{a-b}}\cdot\frac1{n^{b}}\,\dl n{+\I}o\Big(\frac1{n^{b}}\sp{-1.5}\Big)$
Par
Soient $\,(u_n)\,$ une suite numérique et $\,(v_n)\,$ une suite à termes positifs.
Lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!O\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et a fortiori lorsque $\,u_n\,\dl n{+\I}\!o\big(v_n\big):\,$
comparaison
à une série de Riemann, les séries $\,\sum f_n^{(k)}\,$ sont
$\displaystyle{}\tst{\sum} v_n\!\txt{converge}\!\Imp\tst{\sum} u_n\!\txt{converge absolument}$
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
normalement
et donc uniformément convergentes sur $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
D'après le théorème de
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{k}\sp{1.5}.$
dérivation
d'une série de fonctions, la fonction $\,\zeta\,$ est alors de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
On en déduit que $\,\zeta\,$ est de classe $\sc C^{\I}$ sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}1\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ qui est la réunion des intervalles $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
- Si les $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(j)}}$ convergent simplement sur $I$ pour tout $\,j\sp{-1.5}<\sp{-1.5}k\sp{1.5},\,$
- et si la série $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(k)}}$ converge uniformément sur $I,$
Tout $\,x_0 > 1\,$ est intérieur à l'intervalle $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ pour $\,a=x_0/2\sp{1.5},\,$ d'où le caractère $\sc C^{\I}$ de la somme $\,\zeta\,$ sur tout $\,]\sp{1.5}1\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
On a en particulier, les deux premières dérivées de $\,\zeta\,$ telles que, pour tout $\,x > 1:\,$
$\displaystyle{}\zeta'(x)=-\sum_{n=1}^{+\I}\frac{\ln x}{n^x} < 0\ \txt{et}\ \zeta''(x)=\sum_{n=1}^{+\I}\frac{(\ln x)^2}{n^x}>0$
La fonction $\,\zeta\,$ est donc strictement
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
décroissante
sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}1\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ et elle y est aussi
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ dérivable ; alors $f$ est convexe ssi $f'$ est croissante.
Si $f$ est deux fois dérivable, alors $f$ est convexe ssi $f''$ est positive.
Avec $f'$ décroissante ou $\,f''\leq0\sp{1.5},\,$ on a de même la concavité de $f\sp{1.5}.$
convexe.
Sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}2\sp{.75},+\I[\,,\,$ où la convergence est uniforme, le théorème de la
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
double limite
donne :
- Si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
- et si chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
$\displaystyle{}\!\lim x{+\I}\zeta(x)=\!\lim x{+\I}\Big(\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{n^x}\Big)=1+\sp{-1.5}\sum_{n=2}^{+\I}\Big(\sp{1.5}\lim x{+\I}\frac1{n^x}\Big)=1$
Pour tout $\,n\geq1\,$ fixé, on peut minorer $\,\zeta(x)\,$ par une somme
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
partielle
puis
Soient $\,f,\sp{1.5}g:I\to\bb R\,$ admettant des limites, finies ou non, en $\,a\app \surl{\bb R}\sp{1.5}.\,$
Si $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors : $\,\lim x a\sp{1.5}f(x)\leq\lim x a \sp{1.5}g(x)\sp{1.5}.\,$
passer
à la limite lorsque $\,x\,$ tend vers $\,1:\,$
$\eqalign{&\ptt n\geq 1,\ \zeta(x)\geq S_n(x)={\Op{\sum}_{k=1}^{n}\dfrac1{k^{\sp{.75}x}}}\\[-.5ex]&\!\!\txt{d'où :}\smh{1.5}{\smb{2}{\lim x{1^+}\zeta(x)\geq\lim x{1^+}S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac1{k}}}}$
La série
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$
harmonique
étant divergente, il en résulte que : $\,\,\lim x{1^+}\zeta(x)=+\I\sp{1.5}.\,$
$\,\sth{1}\,$La courbe représentative de $\,\sp{1.5}\zeta\sp{1.5}\,$ présente donc deux asymptotes, d'équations : $\,\,x=1\sp{1.5}\,$ et $\,\,y=1\,$.
|
Représentation de la fonction $\,\zeta\,$
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Exercice c
On considère les fonctions $\,\sp{1.5}\zeta\sp{1.5}\,$ et $\,\sp{1.5}\gamma\sp{1.5}\,$ de variable réelle définies par :
$\displaystyle{}\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{n^x}\txt{et}\gamma(x)=\sum_{n=1}^{+\I}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$
Montrer que $\,\sp{1.5}\gamma\sp{1.5}\,$ est continue sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,,\,$ et établir une relation entre $\,\sp{1.5}\zeta(x)\,$ et $\,\sp{1.5}\gamma(x)\,\,$ pour $\,x > 1\sp{1.5}.\,$
En déduire un équivalent de $\,\sp{1.5}\zeta(x)\,$ lorsque $\,x\,$ tend vers $\,1^+\sp{-1.5}.\,$
continuité de la somme d'une série de fonctions continues
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
théorème de la double limite pour une série de fonctions
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
- Si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
- et si chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
somme d'une série de fonctions de classe ${\scr C}^1$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{1}\sp{1.5}.$
- Si la série $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge simplement vers $\,S\,$ sur $I,$
- et si la série $\sum_{n\geq n_0} f_n^{\sp{1.5}\prime}$ converge uniformément sur $I,$
somme d'une série de fonctions de classe ${\scr C}^k$
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ de classe $\sc C^{k}\sp{1.5}.$
- Si les $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(j)}}$ convergent simplement sur $I$ pour tout $\,j\sp{-1.5}<\sp{-1.5}k\sp{1.5},\,$
- et si la série $\smh{.5}{\sum_{n\geq n_0}f_n^{(k)}}$ converge uniformément sur $I,$
indication
1
Montrer la convergence uniforme de la série définissant $\,\gamma\,$ sur tout intervalle $\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5},\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
indication
2
Commencer par écrire de manière simplifiée la différence des sommes partielles associées à $\,\sp{1.5}\zeta(x)\,$ et $\,\sp{1.5}\gamma(x)\sp{1.5}.\,$
réponse
La fonction $\,\sp{1.5}\gamma\sp{1.5}\,$ est bien continue sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ et on a la relation :
$\displaystyle{}\ptt x >1,\ \,\zeta(x)=\dfrac{\gamma(x)}{1-2^{1-x}}$
On en déduit un équivalent de $\,\sp{1.5}\zeta(x)\,$ lorsque $\,x\to1^+:\,$
$\displaystyle{}\zeta(x)\eq x{1^+}\dfrac{\gamma(1)}{(x-1)\sp{1.5}\ln2}=\dfrac1{x-1}$
correction
$\,\zeta(x)\,$ est défini pour tout $\,x\app\,]\sp{1.5}1,+\I[\stb{1},\,$ en tant que somme d'une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann.
Pour $\,x>0\,$ fixé, les suites $\,\big(n^{-x}\big)_{n\geq1}\,$ sont
Pour $\,\alpha\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}=\e{\sp{1.5}\alpha\op{ln}x}\,$ est :
décroissantes,
et de
- continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\,$ si $\,\alpha > 0\sp{1.5};\,$
- continue et strictement décroissante sur $\,]\sp{1.5}0,\sp{-1.5}+\I[\,$ si $\,\alpha < 0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,\alpha\app\bb R\!\setminus\!\{0\}\sp{1.5},\,$ la fonction puissance $\,x\mapsto x^{\alpha}\stb1\,$ vérifie :
limite
nulle lorsque $n$ tend vers $\,+\I\sp{1.5}.\,$ Il s'ensuit, selon le théorème spécial des séries
$\displaystyle{}\big((1+x)^\alpha-1\big)\smb{1.5}{\eq x0}\,\alpha\sp{1.5}x\,,\txt{ainsi que :}$
- $\,\smb{.5}{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=0\ \,$ et $\,{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=+\I\sp{1.5},\,\,$ pour $\,\alpha > 0\,;\,$
- $\,\smb{1.5}{\lim x{0^+}}\,x^\alpha=+\I\ \,$ et $\,\smb1{\lim x{+\I}}\,x^\alpha=0\sp{1.5},\,\,$ pour $\,\alpha < 0\,.\,$
Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Alors pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$
est convergente.
Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$
alternées,
que $\,\gamma(x)\,$ est défini pour tout $\,x\app\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
De plus, pour tout $\,\,a > 0\,$ fixé, le
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
reste
$\,R_n(x)\,$ de la série définissant $\,\gamma\,$ vérifie :
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
$\displaystyle{}\ptt x\geq a\sp{1.5},\ \big|R_n(x)\big|\leq\frac1{(n+1)^x}\leq\frac1{(n+1)^a}\,\tend n{+\I}\,0$
Ceci établit la convergence
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
uniforme
de cette série sur tout intervalle $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ pour $\,a>0\sp{1.5}.\,$
Les $\,x\mapsto \dfrac 1{n^x}=\e{-x\ln n}\,$ étant
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
continues
sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\,,\,$ la fonction $\,\gamma\,$ est
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
continue
sur tous les $\,[\sp{1.5}a,+\I[\sp{1.5}.\,$
On en déduit que $\,\gamma\,$ est continue sur l'intervalle $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ qui est la réunion des intervalles $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
Tout $\,x_0 > 0\,$ est intérieur à l'intervalle $\,[\sp{1.5}a\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ pour $\,a=x_0/2\sp{1.5},\,$ d'où la continuité de la somme $\,\gamma\,$ sur tout $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
Les termes généraux des séries définissant $\,\zeta\,$ et $\,\gamma\,$ sont égaux ou opposés selon la
Un entier relatif $a$ est pair ssi il est divisible par $2\sp{1.5},$ c'est-à-dire ssi il existe $q\app\bb Z$ tel que $\,a=2\sp{1.5}q\sp{1.5}.\,$
Les entiers non pairs sont les entiers impairs, de la forme : $\,a=2\sp{1.5}q+1\sp{1.5},\,$ pour $\,q\app\bb Z\sp{1.5}.\,$
parité
de $\,n\sp{1.5}.\,$ Pour $\,x > 1\sp{1.5},\,$ on
Soit $S$ une somme de $x_k$ pour un entier $k$ variant de $m$ à $\,n\geq m\sp{1.5}.\,$ Alors on peut y dissocier les termes d'indices pairs de ceux d'indices impairs :
dissocie
alors les indices pairs $\,k=2\sp{1.5}\ell\,$ des indices impairs dans les sommes
$\displaystyle{}\dsum_{k=m}^{n}x_k=\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h\leq n}\!\!x_{2\sp{.75}h}\ +\!\!\!\dsum_{m\leq 2\sp{.75}h+1\leq n}\!\!\!x_{2\sp{.75}h+1}$
Une série $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$ est définie par ses sommes partielles : $\,S_n=\dsum_{k=n_0}^n u_k\sp{1.5}.\,$
partielles
d'ordre $\,2\sp{1.5}p:\,$
$\displaystyle{}\sum_{k=1}^{2\sp{1.5}p}\frac1{k^{\sp{1.5}x}}-\sum_{k=1}^{2\sp{1.5}p}\frac{(-1)^{k-1}}{k^{\sp{1.5}x}}=2\sum_{\ell=1}^{p}\frac1{(2\ell)^x}= 2^{1-x}\sum_{\ell=1}^{p}\frac1{\ell^x}$
En faisant tendre $\,p\,$ vers $\,+\I\sp{1.5},\,$ on obtient alors :
$\,\zeta(x)-\gamma(x)=2^{1-x}\sp{1.5}\zeta(x)\sp{1.5},\,$ soit :
$\displaystyle{}\ptt x > 1\sp{1.5},\ \,\zeta(x)=\frac{\gamma(x)}{1-2^{1-x}}$
Avec : $\,1-2^{1-x}=1-\e{(1-x)\ln2},\,$ on a l'
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
équivalent
de $\,\e{u}-1\,$ en $\,u=0\sp{1.5},\,$ d'où par continuité de $\,\gamma:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
$\displaystyle{} \zeta(x)\,\eq x{1^+}\,\frac{\gamma(1)}{(x-1)\sp{1.5}\ln2}$
Ce résultat se simplifie encore si on connaît la somme de la série harmonique alternée :
$\displaystyle{}\gamma(1)=\sum_{n=1}^{+\I}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2\Imp \zeta(x)\,\eq x{1^+}\,\frac1{x-1}$