Sujet E.4.1 Convergence d'une série de fonctions
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Exercice a
Soit la série $\,\sum_{n\geq1}f_n\,$ des fonctions définies sur $\bb R$ par :
$\displaystyle{}f_n(x)=\smh{1.5}{\frac{\op{Arctan}(nx)}{n^2}}$
Montrer la convergence de cette série vers une fonction continue $\,S\sp{1.5}\,$ puis déterminer $\,\lim x{+\I}S(x)\sp{1.5}.\,$
convergence simple ou uniforme d'une série de fonctions
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
critère de convergence uniforme d'une série de fonctions
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
convergence normale d'une série de fonctions
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
convergences normale et uniforme d'une série de fonctions
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
indication
1
Montrer la convergence normale de la série des fonctions $\,f_n\sp{1.5}.\,$
indication
2
Appliquer le théorème de la double limite.
réponse
La série de fonctions $\,\sum_{n\geq1}f_n\,$ est normalement convergente sur $\bb R\sp{1.5}.$
Elle a pour somme une fonction continue $\,\smh{1}{S=\Op{\sum}_{n=1}^{+\I}}f_n\,$ telle que :
$\displaystyle{}\lim x{+\I}S(x)=\smh{1}{\dfrac{\pi}2\bigg(\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n^2}\bigg)=\dfrac{\pi^3}{12}}$
correction
Avec la
L'arc tangente est la réciproque de la tangente restreinte à $\,]\!-\!\pi/2\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}[\,\sp{.75}:\,$
majoration :
$\,\ptt u\app\bb R,\ |\op{Arctan}u\sp{1.5}|\leq {\pi}/2\sp{1.5},\,$ on a :
$\displaystyle{}\op{Arctan}:\,\bb R\,\to\,\big]\!\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\pi/2\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\sp{.75}\big[$
- On a alors : $\,\ptt x\app\,]\!-\!\pi/2\sp{1.5},\sp{1.5}\pi/2\sp{1.5}[\sp{1.5},\ \op{Arctan}(\tan x)=x\sp{1.5},\,$
- et réciproquement : $\,\ptt y\app\sp{1.5}\bb R,\ \tan(\op{Arctan}y)=y\,.\,$
$\displaystyle{}\ptt n\geq1,\ \ptt x\app\bb R\sp{1.5},\ \bigg|\frac{\op{Arctan}(nx)}{n^2}\bigg|\leq\frac{\pi}{2\sp{1.5}n^2}$
On a ainsi majoré $\,\big|f_n(x)|\,$ par le terme général d'une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann
convergente.
La série $\,\sum f_n\,\,$ est alors
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
normalement
et donc uniformément convergente vers une fonction $\,S\,$ sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
Les fonctions $\,f_n:x\mapsto\dfrac{\op{Arctan}(nx)}{n^2}\,$ étant
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
L'arc tangente est impair, continu et strictement croissant sur $\bb R\sp{1.5}.$
continues
sur $\,\bb R,\,$ leur somme $\,S\,$ est
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
continue
sur $\,\bb R\sp{1.5}.\,$
On sait que $\,\lim x{+\I}f_n(x)=\dfrac{\pi}{2\sp{1.5}n^2},\,$ si bien qu'en vertu du théorème de la
Soit une série de $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ avec $\,a\app I\,$ ou $\,a\,$ extrémité de $I.$
double limite :
- Si $\sum_{n\geq n_0} f_n$ converge uniformément vers $\,S:I\to\bb K\sp{1.5},\,$
- et si chaque $f_n$ admet en $a$ une limite $\,\ell_n\sp{1.5},\,$
$\displaystyle{}\sum_{n=n_0}^{+\I}\!\Big(\sp{1.5}\lim xa f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\lim xa\Big(\sum_{n=n_0}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
$\displaystyle{}\lim x{+\I}S(x)=\lim x{+\I}\Big(\sp{1.5}\sum_{n=1}^{+\I}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)=\sum_{n=1}^{+\I}\Big(\sp{1.5}\lim x{+\I}\,f_n(x)\sp{-1.5}\Big)$
Avec la
L'arc tangente est impair, continu et strictement croissant sur $\bb R\sp{1.5}.$
limite :
$\,\lim y{+\I}\op{Arctan}y=\pi/2\sp{1.5},\,$ on obtient la limite de $\,S(x)\,$ lorsque $x$ tend vers $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}\lim x{+\I}S(x)=\smh{1.5}{\frac{\pi}2\sp{1.5}\Big(\sum_{n=1}^{+\I}\frac1{n^2}\!\Big)}$
Sachant que : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6\sp{1.5},\,$ cela devient : $\,\!\lim x{+\I}S(x)=\dfrac{\pi^3}{12}\!\cdot\,$
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Exercice b
Soit la série $\,\sum_{n\geq0} f_n\,$ des fonctions définies sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,$ par :
$\displaystyle{}f_n(x)=\frac{(-1)^n}{x+n}$
Déterminer le mode de convergence de cette série de fonctions.
En déduire que sa somme $\,S\,$ est continue, puis établir une relation entre $\,S(x+1)\,$ et $\,S(x)\sp{1.5}.\,$
convergence simple ou uniforme d'une série de fonctions
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
critère de convergence uniforme d'une série de fonctions
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
convergence normale d'une série de fonctions
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
convergences normale et uniforme d'une série de fonctions
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
indication
1
Appliquer le théorème spécial des séries alternées pour établir la convergence uniforme de $\,\sum f_n\sp{1.5}.\,$
indication
2
Effectuer une translation d'indice dans l'expression de $\,S(x+1)\,$ pour la relier à $\,S(x)\sp{1.5}.\,$
réponse
La série de fonctions $\,\sum_{n\geq0}f_n\,$ converge simplement sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}\,$ vers sa somme $\,S\sp{1.5}.\,$
Cette convergence est uniforme mais non normale sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
La somme $\,S\,$ est continue sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\,$ et elle vérifie :
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\ \,S(x+1)=\dfrac1x-S(x)$
correction
Pour tout $\,x > 0\,$ fixé, la suite des $\,|f_n(x)|=\dfrac1{x+n}\,$ est
Une suite réelle $(u_n)_{n\geq n_0}$ est monotone ssi elle est :
décroissante
et tend vers $\,0\,$ lorsque $\,n\,$ tend vers $\,+\I\sp{1.5}.\,$ Il résulte alors du théorème spécial des séries
- soit croissante, autrement dit : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\leq u_{n+1}\sp{1.5},\,$
- soit décroissante, c'est-à-dire : $\,\ptt n\geq n_0\sp{1.5},\ u_n\geq u_{n+1}\sp{1.5}.\,$
Soit $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ une suite réelle décroissante et tendant vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Alors pour $\,u_n=(-1)^n\sp{1.5}v_n\sp{1.5},\,$ la série alternée $\Op{\sum}_{n\geq n_0} u_n$
est convergente.
Son reste d'ordre $\,n\,$ vérifie : $\,|R_n|\leq|u_{n+1}|\sp{1.5};\,$ il est du signe de $u_{n+1}\sp{1.5}.$
alternées
que la série $\,\smb{1.5}{\Op{\sum}_{n\geq1}} f_n\,$ converge
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
simplement
vers une fonction $\,S:\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,\to\bb R\sp{1.5}.\,$
Ce même théorème nous fournit une majoration de la valeur absolue de son
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
reste
$\,R_n(x)\,$ par une suite qui ne dépend pas de $\,x\,:\,$
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
$\displaystyle{}\ptt x\app\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5},\ \big|R_n(x)\big|\leq\frac1{x+n+1} < \frac1{n+1}$
Avec $\,\lim n{+\I}\,\dfrac1{n+1}=0\sp{1.5},\,$ la suite $(R_n)$ des restes tend donc
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniformément
vers la fonction nulle.
Il s'ensuit que la série de fonctions $\,\smb{1.5}{\Op{\sum}_{n\geq0}} f_n\,$ converge
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
uniformément
vers sa somme $\,S\,$ sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
Les fonctions rationnelles $\,f_n\,$ étant
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Une fonction rationnelle $\,f\,$
est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$
continues
sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,\,$ on en déduit la
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
continuité
sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}\,$ de la somme $S\sp{1.5}.$
$\,f_0:x\mapsto\dfrac1x\,$ n'est pas bornée sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5};\,$ la convergence
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
normale
ne peut donc s'envisager que pour $\,{\Op{\sum}_{n\geq1}} f_n\sp{1.5}.\,$
D'autre part, les
Soit $\,E=\sc B(\Omega\sp{1.5},\bb K)\,$ le $\bb K\tiret$espace vectoriel des fonctions bornées sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$ La norme de la convergence uniforme sur $\,\Omega\,$ est définie par :
normes
des $\,x\mapsto|f_n(x)|\,$ sont égales à leurs
$\displaystyle{}\ptt f \app E,\ \|f\|_\I=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f(x)|$
Toute $\,f:\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to\bb R\,$ croissante admet des limites en $\,a,b\app\surl{\bb R}:\,$
limites
en $\,0\sp{1.5},\,$ car elles sont
$\displaystyle{}\lim xa f(x)=\op{inf}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)\txt{et}\lim xb f(x)=\op{sup}\!\big(f(\sp{1.5}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5})\big)$
Même résultat en échangeant les limites, lorsque $f$ est décroissante.
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
décroissantes
sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,:\,$ - $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
$\displaystyle{}\big\|f_n\big\|_{\I}=\sup_{x>0}\big|f_n(x)\big|=\lim x{0^+}\big|f_n(x)\big|=\frac1{n}$
La série $\Op{\sum}_{n\geq1}\|f_n\|_{\I}$ étant une série
La série harmonique diverge : $\,\dsum_{n=1}^{+\I}\dfrac1n=+\I\sp{1.5}.\,$
harmonique
divergente, la série $\,{\Op{\sum}_{n\geq1}} f_n\,$ ne converge pas
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
normalement
sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
On
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translate
les indices dans $\,S(x+1)\,$ en posant $\,m=n+1\sp{1.5},\,$ pour exprimer $\,S(x+1)\,$ en fonction de $\,S(x):\,$
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
$\eqalign{S(x+1)&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{x+1+n}=
\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{x+m}\\[-.5ex]&=\frac1x-\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{m}}{x+m}=
\frac1x-S(x)}$
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Exercice c
Soit la série $\,\sum_{n\geq1} f_n\,$ des fonctions définies sur $\bb R^{\ast}$ par :
$\displaystyle{}f_n(x)=\ln\!\Big(\sp{-1.5}1+\frac1{n^2\sp{1.5}x^2}\!\Big)$
Établir la convergence de cette série sur $\bb R^{\ast}$ en précisant le mode de cette convergence.
Établir ensuite la continuité sur $\bb R^{\ast}$ de la somme $\,S\,$ de cette série.
convergence simple ou uniforme d'une série de fonctions
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
critère de convergence uniforme d'une série de fonctions
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
convergence normale d'une série de fonctions
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
convergences normale et uniforme d'une série de fonctions
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
indication
1
Une fois établie la convergence simple de la série, considérer son reste $R_n$ et comparer $\,\Op{\sup}_{x\app\bb R^{\ast}}\big| R_n(x)\big|\,$ avec $\,f_{n+1}\Big(\dfrac1{n+1}\Big)\!\cdot\,$
indication
2
Étudier la convergence de la série sur chaque ensemble $\,\Omega_a=\ens{x\app\bb R}{|x|\geq a}\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5}.\,$
réponse
La série de fonctions $\,\sum_{n\geq1}f_n\,$ converge simplement sur $\,\bb R^{\ast}\!\,$ vers sa somme $\,S=\Op{\sum}_{n=1}^{+\I}f_n\sp{1.5}.\,$
Cette convergence n'est ni uniforme ni normale sur l'ensemble $\,\bb R^{\ast}\sp{-1.5}.\,$
La convergence est cependant normale sur chaque $\,\Omega_a=\ens{x\app\bb R}{|x|\geq a}\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5},\,$ d'où la continuité de $S$ sur $\,\bb R^{\ast}\sp{-1.5}.\,$
correction
Pour tout $\,x\neq0\,$ fixé, il s'agit d'une série à termes positifs, avec pour
La fonction logarithme vérifie :
équivalent
lorsque $n$ tend vers $\,+\I:\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x0\sp{1.5}\ln x=-\I\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\ln x=+\I\ \txt{et}\,\ln(1+x)\sp{1.5}\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}f_n(x)\eq n{+\I}\frac1{n^2\sp{1.5}x^2}$
Par
Soient $\,(u_n)\,$ et $\,(v_n)\,$ deux suites à termes positifs.
Si $\,u_n\eq n{+\I}v_n\sp{1.5},\,$ les séries $\,\sum u_n\,$ et $\,\sum v_n\,$ sont de même nature.
comparaison
à une série de
Pour $\,\alpha\app\bb R\sp{1.5},\,$ la série de Riemann $\,\Op{\sum}_{n\geq1}\dfrac1{n^\alpha}\,$ converge ssi $\,\alpha\sp{-1.5}>\sp{-1.5}1\sp{1.5}.\,$
Riemann,
la série $\,\Op{\sum}_{n\geq1} f_n\,$ converge
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
simplement
sur $\,\bb R^{\ast}\,$ vers une fonction $\,S:\bb R^{\ast}\to\bb R\sp{1.5}.\,$
D'autre part, les $\,f_n(x)\,$ étant tous positifs, on peut minorer le
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
reste
$\,R_n(x)\,$ de cette série :
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
$\eqalign{\ptt x\app\bb R^{\ast},\ R_n(x)=\sum_{k=n+1}^{+\I}f_k(x)&\geq f_{n+1}(x)\sp{1.5},\ \txt{d'où :}\\[-1ex]
\sup_{x\app\bb R^{\ast}}\big| R_n(x)\big|\geq \sup_{x\app\bb R^{\ast}} \!\big(f_{n+1}(x)\big)&\geq f_{n+1}\Big(\frac1{n+1}\Big)=\ln 2 > 0}$
Avec cette minoration, $\,R_n(x)\,$ ne peut pas converger
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniformément
vers $\,0\sp{1.5}.\,$
La convergence de la série $\,\Op{\sum}_{n\geq1} f_n\,$ n'est donc pas
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
uniforme
sur $\,\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ ni a fortiori
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
normale
sur $\,\bb R^{\ast}\sp{-1.5}.\,$
Par
Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ monotones, avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors : leur composée $g\circ f$ est :
composition,
les fonctions $\,f_n\,$ sont
- croissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont même sens de variation,
- décroissante sur $\,I\,$ si $f$ et $g$ ont des sens de variation opposés.
Soit $\,f:\Omega\to\bb R\,$ pour $\,\Omega\subset\bb R\,$ tel que : $\,x\app\Omega\Imp\!-\sp{1.5}x\app\Omega\sp{1.5}.\,$
paires
et décroissantes sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,;\,$ on a donc pour tout $\,a>0\,$ fixé :
- $f$ est paire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=f(x)\,;\,$
- $f$ est impaire ssi : $\,\ptt x\app\Omega,\ f(-x)=-f(x)\,.\,$
$\displaystyle{}|x|\geq a\Imp\big|f_n(x)\big|\leq f_n(a)$
La série $\,\Op{\sum}_{n\geq1} f_n(a)\,$ étant convergente, on en déduit la convergence
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
normale
de $\,\Op{\sum}_{n\geq1} f_n\,$ sur $\,\Omega_a=\ens{x\app\bb R}{|x|\geq a}\!\cdot\,$
Par
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
composition
d'une fonction
Une fonction rationnelle $\,f\,$
est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$
rationnelle
strictement positive par un
Le logarithme est continu et strictement croissant sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\sp{1.5}.\,$
logarithme,
les fonctions $f_n$ sont continues sur $\,\bb R^{\ast}\sp{-1.5}.\,$
Leur somme $\,S\,$ est alors
Soit $\,\sum f_n\,$ une série de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\,$ continues sur $I.$
Si $\,\sum f_n\,$ converge uniformément vers $S\sp{1.5},$ alors $S$ est continue sur $I.$
continue
sur chacun des ensembles $\,\Omega_a=\,\sp{1.5}]-\I,-a\sp{1.5}]\sp{1.5}\cup\sp{1.5}[\sp{1.5}a\sp{1.5},+\I[\sp{1.5},\,\,$ et finalement sur leur réunion $\,\bb R^{\ast}\!.\,$
Tout $\,x_0\neq0\,$ est intérieur à l'ensemble $\,\Omega_a\,$ pour $\,a=|x_0|/2\sp{1.5},\,$ d'où la continuité de la somme $S$ en tout $\,x_0\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5}.\,$
Cette extension de la continuité de $S$ des ensembles $\Omega_a$ à leur réunion, est permise car la continuité se définit point par point.
Il n'en va pas de même pour la convergence uniforme qui est définie quant à elle pour un ensemble $\,\Omega\,$ fixé.
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Exercice d
Soit la série $\,\sum_{n\geq2} f_n\,$ des fonctions définies sur $\,]\sp{1.5}0\sp{.75},+\I[\,$ par :
$\displaystyle{}f_n(x)=\frac{\ln x}{x^n\ln n}$
Déterminer l'ensemble de convergence de cette série, en précisant le mode de cette convergence.
convergence simple ou uniforme d'une série de fonctions
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
critère de convergence uniforme d'une série de fonctions
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
convergence normale d'une série de fonctions
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
convergences normale et uniforme d'une série de fonctions
La série $\,\sum\!f_n\,$ des $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ converge normalement ssi
il existe $N\sp{-1.5}\app\bb N$ et $\,(\alpha_n)_{n\geq N}\,$ tels que :
$\displaystyle{}\ptt n\geq N\sp{1.5},\ \ptt x\app\Omega\sp{1.5},\ \big|f_n(x)\big|\leq\alpha_n\txt{et}\tst\sum\alpha_n < \I$
La série $\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
indication
1
Utiliser la règle de d'Alembert pour déterminer l'ensemble de convergence de $\,\Op{\sum}_{n\geq2} f_n\sp{1.5}.\,$
indication
2
Calculer la norme $\,\big\|f_n\big\|_{\I}\,$ et majorer le reste $\,R_n=\smash[b]{\Op{\sum}_{k=n+1}^{+\I}} f_n\stb{2}\,$ de cette série, pour déterminer son mode de convergence sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
réponse
La série de fonctions $\,\sum_{n\geq2} f_n\,$ a pour ensemble de convergence l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
Il s'agit d'une convergence uniforme sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5},\,\,$ mais pas d'une convergence normale.
correction
\\(\TV\\)Pour tout $\,x>0\,$ fixé, on étudie la convergence de la série $\,\sum f_n(x)\,$ par la règle de
La fonction positive $\,f_n\,$ présente donc un
Soit une suite numérique $\,(u_n)\,$ non nulle à partir d'un certain rang.
Si il existe $\,\ell\app\,[0,+\I]\,\,$ tel que : $\,\smb{1.5}{\lim n{+\I}\Big|\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\Big|}=\ell\sp{1.5},\,$ alors :
d'Alembert :
- lorsque $\,\ell < 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est absolument convergente ;
- lorsque $\,\sth{.5}\ell > 1\sp{1.5},\,$ la série $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
$\displaystyle{}\bigg|\frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)}\bigg|=\frac{x^n\ln n}{x^{n+1}\ln (n+1)}\,\eq n{+\I}\,\frac{\ln n}{x\ln n}=\frac 1x$
On a en effet la relation d'
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
équivalence :
$\,\ln(n+1)\eq n{+\I}\ln n\sp{1.5},\,$ du fait que :
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
$\displaystyle{}\ln(n+1)=\ln n+\smh{1}{\ln\Big(1+\dfrac1n\Big)}\,\dl n{+\I}\ln n +o\big(1\big)$
Il s'ensuit que la série de fonctions $\,\sum f_n(x)\,$ converge si et seulement si $\,x\geq 1\,;\,$ plus précisément : - elle diverge grossièrement pour $\,x<1\sp{1.5},\,$
- et elle converge absolument pour tout $\,x\geq1,\,$ y compris pour $\,x=1\,$ car $\,f_n(1)=0\sp{1.5}.\,$
Soit une série $\,\sum_{n\geq n_0}\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ de sommes partielles : $\,S_n=\!\smb{2}{\Op{\sum}_{k=n_0}^n\!f_k\sp{1.5};}\,$ alors :
simplement
sur $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,$ vers une fonction $\,S=\Op{\sum}_{n=2}^{+\I}f_n\sp{1.5}.\,$
Par
- la série $\sum f_n$ converge vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi la suite $(S_n)_{n\geq n_0}$ converge vers $\,S\sp{1.5},\,$
- et cette convergence est simple ou uniforme selon la convergence de $(S_n)_{n\geq n_0}$ vers $\,S\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\ptt x\app\Omega,\ \,S(x)=\!\smh{1.5}{\lim n{+\I}S_n(x)=\sum_{n=n_0}^{+\I}}f_n(x)$
Soient $\,f,g:I\to\bb K\,$ dérivables en $x\app I$ et $\alpha,\beta\app\bb K\,.$
Alors, $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)\,$ et $\,f\sp{1.5}g\,$ sont dérivables en $x\sp{1.5},$ avec :
dérivation
du produit d'une
- $\,(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)'(x)=\alpha\sp{1.5}f'(x)+\beta\sp{1.5}g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5},\,$
- $\,(f\sp{1.5}g)'\sp{1.5}(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g^{\sp{1.5}\prime}(x)\sp{1.5}.\,$
Soit $\,k\app\bb Z\,$ et la fonction puissance $\,p_k:x\mapsto x^k.\,$ Alors $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R^{\ast},\bb R)\,$ et : $\,\ptt x \neq0\sp{1.5},\ p_k'(x)=k\,x^{k -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,k\app\bb N,\,$ $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R,\bb R)\,$ avec $\,p_k'(0)=0\txt{si}k\neq1\,$ et $\,p_1'(0)=1\sp{1.5}.\,$
puissance
par le
La fonction logarithme est de classe $\sc C^{\I}$ sur $\,]0,\sp{-1.5}+\I[\sp{1.5},\,$ avec :
logarithme,
la fonction $\,f_n\,$ est dérivable, avec :
$\displaystyle{}\ptt x > 0,\ \ln^{\sp{1.5}\prime}(x)=\smh{1.25}{\dfrac1x}$
$\displaystyle{}\frac{\d}{\d x}\big(x^{-n}\ln x\big)=x^{-n-1}\big(1-n\ln x\big)=n\,x^{-n-1}\Big(\frac1n-\ln x\Big)$
Par croissance de l'
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle,
on a : $\,\ln x\leq1\sp{-1.5}/n\Ssi x\leq\e{1/n}\,$
et par
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Pour tous réels $\,\alpha\sp{1.5},\ \beta\,$ et $\,\gamma\,$ strictement positifs, on a :
croissances
comparées : $\,\lim x{+\I}\sp{1.5}f_n(x)=0\sp{1.5}.\,$
On en déduit les
$\eqalign{(\ln x)^\beta\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(x^\alpha)\!&\txt{et}\,x^\alpha\!\!\dl x{\smh0{0}}\,o\sp{1.5}(\sp{1.5}|\ln x|^{-\beta})\\
x^\alpha\!\!\dl x{+\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\e{\gamma\,x})\!&\txt{et}\,\e{\gamma\,x}\!\!\dl x{-\I}\sp{1.5}o\sp{1.5}(\sp{1.5}|x|^{-\alpha})}$
Soit $\,f:I\to\bb R\,$ continue sur $I\sp{1.5},$ et dérivable sur $\,I^{\ast}=I\!\setminus\!\{a\}:\,$
variations
de la restriction de $f_n$ à l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,:\,$
- $f$ est croissante sur $I$ ssi : $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5}0\sp{1.5};\,$
- avec $\,\ptt x\app I^{\ast},\ f'(x)\!>\! 0\sp{1.5},\,$ $f$ est strictement croissante.
| $\require{color}\colorbox{white}{$\tv{x&\,1&&&\!\!\!\e{1/n}\!\!\!&&&\i+\\ \hline &&&&\sp{-10}f_n(\e{1/n})\sp{-10}&\sl \!f_n(x)\!&&\ \cr&&&&\dec\sl &0&&&&&&0}$}$ |
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ admet un extremum sur $\,A\subset\Omega\,$ ssi il existe en $\,a\app A:\,$
maximum
en $\,x=\e{1/n},\,$ d'où : $\,\big\|f_n\big\|_\I=f_n\big(\e{1/n}\big)=\dfrac{\e{-1}}{n\ln n}\!\cdot\,$
$\,t\mapsto\dfrac1{t\,\ln t}\,$ étant continue, positive et
- un maximum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\leq\sp{-1.5} f(a)=\max\!\big(f(A)\big)\sp{1.5};\,$
- un minimum, avec : $\,\ptt x\app A,\,f(x)\sp{-1.5}\geq\sp{-1.5} f(a)=\min\!\big(f(A)\big)\sp{1.5}.\,$
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
décroissante
sur $\,[\sp{1.5}2\sp{1.5},+\I[\sp{1.5},\,$ on peut
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
Soit $\,f:[\sp{1.5}a,+\I[\,\to\bb R_+\,$ continue et décroissante.
$\!\dint_a^{+\I}\sp{-21}f(t)\sp{-1.5}\d t$ et $\dsum_{n\geq a}\sp{-3}f(n)$ sont alors de même nature.
comparer
$\,\Op{\dsum}_{n=2}^{+\I}\dfrac1{n\ln n}\,$ et $\,\dint_2^{+\I}\sp{-10}\dfrac{\d t}{t\ln t}\!\cdot\,$
On en déduit qu'elles sont toutes deux divergentes, car on a par
Soit $F$ une primitive de $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,\to \bb K\,$ continue et intégrable ; alors :
primitivation :
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x =\big[F(x)\big]_a^b=\lim xb F(x)-F(a)$
On a le même résultat sur l'intervalle $\sth{.75}]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ avec : $\,F(b)-\lim xa F(x)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\dint_2^{+\I}\dfrac{\d t}{t\ln t}=\Big[\ln\!\big(\!\ln t\big)\Big]_2^{+\I}=+\I$
La série de fonctions $\,\Op{\sum}_{n\geq2} f_n(x)\,$ ne converge donc pas
Pour des fonctions bornées $\,f_n:\Omega\to\bb K\,$ et $\,\|f_n\|_\I\!=\Op{\sup}_{x\app\Omega}|f_n(x)|:\,$
la série $\,\sum\!f_n\,$ converge normalement ssi $\sum\|f_n\|_{\I}$ converge.
$\,\sum\!f_n\,$ converge alors uniformément vers une fonction $\,S:\Omega\to\bb K\sp{1.5}.\,$
normalement
sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\,.\,$
Pour examiner l'éventualité de sa convergence
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
uniforme,
on majore le
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$
Soit $\,\sum u_n\,$ une série numérique de sommes partielles $S_n\sp{1.5}.$
Si cette série est convergente de somme $S\sp{1.5},$ son reste d'ordre $\,n\,$ est :
reste
$\,R_n(x)\,$ de la série :
$\displaystyle{}R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\I}u_k\sp{1.5},\txt{et alors :}\lim n{+\I}R_n=0$
$\displaystyle{}\big|R_n(x)\big|=\sum_{k=n+1}^{+\I}\frac{\ln x}{x^k\ln k}\leq\frac{\ln x}{\ln(n+1)}\sum_{k=n+1}^{+\I}\frac1{x^k}$
En
Soit $\,\sum_{n\geq n_0} u_n\,$ une série numérique convergente de somme $S\sp{1.5}.$
Alors pour $\,a\app\bb Z\sp{1.5},\,$ on peut translater les indices avec $\,p=n+a:\,$
translatant
les indices par $\,\ell=k-(n+1)\sp{1.5},\,$ on obtient pour $\,x\sp{-1.5}>\sp{-1.5} 1\,$ la somme d'une série
$\displaystyle{}S=\sum_{n=n_0}^{+\I}u_n=\sum_{p=n_0+a}^{+\I}\!\!u_{p-a}$
Pour $\,z\app\bb C\sp{1.5},\,$ la série géométrique $\,\sum_{n\geq 0} z^n\,$ converge ssi $\,|z| < 1:\,$
géométrique
convergente :
$\displaystyle{}\smh{1.75}{\sum_{n=0}^{+\I}z^n=\frac1{1-z}}$
$\displaystyle{}\sum_{k=n+1}^{+\I}\frac1{x^k}=\frac1{x^{n+1}}\sum_{\ell=0}^{+\I}\frac1{x^{\ell}}=
\frac1{x^{n+1}(1-1/x)}=\frac1{x^{n}(x-1)}$
Avec la
La fonction logarithme est concave sur $\,]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\,$ avec en particulier :
concavité
de la fonction logarithme, et compte tenu de $\,R_n(1)=0\sp{1.5},\,$ on obtient alors pour tout $\,x\geq 1:\,$
$\displaystyle{}\ptt x >\!-1\sp{1.5},\ \ln(1+x)\leq x$
$\displaystyle{}\big|R_n(x)\big|\leq\frac1{x^n\ln(n+1)}\sp{-1.5}\cdot\sp{-1.5}\frac{\ln x}{x-1}\leq\frac1{\ln(n+1)}\,\tend n{+\I}\,0$
La suite de fonctions $\,(R_n)_{n\geq2}\,$ tend donc
Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$
$(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi
il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :
uniformément
vers la fonction nulle.
Il s'ensuit que la série de fonctions $\,\Op{\sum}_{n\geq2} f_n(x)\,$ converge
$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
Une série $\,\sum\!f_n\,$ de fonctions $\,f_n:\Omega\to\bb K\sp{1.5},\,$ converge uniformément vers $\,S:\Omega\to\bb K\,$ ssi :
uniformément
sur l'intervalle $\,[\sp{1.5}1,+\I[\sp{1.5}.\,$
- la série $\sum f_n$ converge simplement vers $S\sp{1.5},$
- et la suite des restes de $\sum f_n$ tend uniformément vers $\,0\sp{1.5}.\,$