Sujet D.4.9 Limites d'intégrales
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Exercice a
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $+\I$ des intégrales :
$\displaystyle{}I_n=\dint_0^{1}x^n\sp{1.5}\e{x}\d x$
Déterminer ensuite un équivalent simple de la suite $\,(I_n)_{n\app\bb N}\sp{1.5}.\,$
croissance de l'intégrale des fonctions réelles
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
limite finie d'une fonction réelle par encadrement
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
limite infinie d'une fonction réelle par inégalité
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$
Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
caractérisation des équivalents
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
indication
Majorer $I_n$ pour en déterminer la limite, puis procéder à une intégration par parties.
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}I_n=0\sp{1.5},\,$ puis plus précisément : $\,I_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac{\e{}}n\!\cdot\,$
correction
Les $I_n$ sont bien définis comme intégrales des $\,f_n:x\mapsto x^n\sp{1.5}\e{x},\,\,$ qui sont des
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
produits
de fonctions continues sur $[\sp{1.5}0,1]\sp{1.5}.$
D'après la croissance de l'
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle,
on a : $\,\ptt x\app\,[\sp{1.5}0,1],\ 0\leq\e x\leq\e 1\sp{1.5},\,$ puis par
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
croissance
de l'intégrale :
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
$\displaystyle{}0\leq I_n=\int_0^{1}x^n\sp{1.5}\e{x}\d x\leq\int_0^{1}x^n\,\e{1} \d x$
En
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivant
la fonction $\,x\mapsto x^n\sp{1.5},\,$ on en déduit un encadrement de $\,I_n:\,$
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
$\displaystyle{} 0\leq I_n\leq\e{}\bigg[\frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg]_0^1=\frac{\e{}}{n+1}\tend n{+\I}0$
Ayant
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
encadré
$\,I_n\,$ par des termes de limite nulle, on en déduit que : $\,\lim n{+\I}I_n=0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
On parvient aussi rapidement à ce résultat si on connaît les théorèmes relatifs aux limites d'intégrales :
On procède ensuite à une intégration
- le
Soit une suite de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5},\,$ continues, convergeant uniformément vers $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$ Alors la suite des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $f:$théorème sur les limites uniformes ne s'applique pas, car avec $\,f_n(1)=\e{}\sp{1.5},\,$ la suite $(f_n)$ ne tend pas$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$ $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :uniformément vers $\,0\sp{1.5},\,$$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
- mais on peut appliquer le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$théorème de convergence dominée, avec : $\,|f_n|\leq 1\,$ et $\,f_n(x)\tend n{+\I}\,\smh{1.5}{\syst{\,0\sp{1.5}\txt{si}x\neq1\sp{1.5},\\[-.5ex]\,\e{}\txt{si}x=1\sp{1.5}.}}\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
Soient $\,f,\sp{1.5}g\app\sc C^1(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I\sp{1.5},\,$ on a :
par parties :
$\displaystyle{}\int_a^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g'(x)\d x$
$\eqalign{I_n=\int_0^1x^n\,\e{x}\d x&=\bigg[\frac{x^{n+1}}{n+1}\,\e x\bigg]_0^1-\int_0^1\frac{x^{n+1}}{n+1}\,\e x\d x
\\&=\frac{\e{}}{n+1}-\frac{I_{n+1}}{n+1}}$
Sachant déjà que : $\,\lim n{+\I}I_{n+1}=0\sp{1.5},\,$ on a alors par caractérisation des
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
équivalents :
$\,I_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac{\e{}}{n+1}\!\cdot\,$
Par équivalent d'un
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
Soit $\widetilde P$ une fonction polynomiale réelle : $\,\widetilde P:x\mapsto a_n\sp{1.5}x^n+\cdots+a_0\sp{1.5}.\,$
En $+\I$ ou $-\I\sp{1.5},$ $\widetilde P(x)$ est équivalent à son terme de plus haut degré :
polynôme
en $\,+\I\sp{1.5},\,$ on a enfin plus simplement : $\,I_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac{\e{}}{n}\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\stb{1.5}\txt{Si}a_n\neq0:\ \widetilde P (x)\!\eq x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n\!\txt{et}\!\!\lim x{\pm\I}\!\widetilde P(x)=\!\!\lim x{\pm\I}\!a_n\sp{1.5}x^n$
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Exercice b
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $+\I$ des intégrales :
$\displaystyle{}I_n=\dint_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\,\d x$
Déterminer ensuite un équivalent simple de la suite $\,(I_n)_{n\app\bb N}\sp{1.5}.\,$
croissance de l'intégrale des fonctions réelles
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
limite finie d'une fonction réelle par encadrement
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
limite infinie d'une fonction réelle par inégalité
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$
Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
caractérisation des équivalents
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
indication
Majorer $I_n$ pour en déterminer la limite, puis comparer $I_n$ et $\,J_n=\dint_0^1\frac{x^{n-1}}{\sqrt{1+x^n}}\,\d x\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}I_n=0\sp{1.5},\,$ puis plus précisément : $\,I_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac2n\big(\sqrt2-1\big)\sp{1.5}.\,$
correction
La fonction $\,x\mapsto\displaystyle\sqrt{1+x^n}\,$ est continue sur $\,[0,1]\,$ comme
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
composée
de $\,x\mapsto 1+x^n\,$ par la fonction
La fonction racine carrée : $\,x\mapsto\sqrt x\,$ est continue et strictement croissante sur $\,[\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5}.\,$
racine carrée.
Les $I_n$ sont donc bien définis comme intégrales des fonctions $\,f_n:x\mapsto\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\sp{1.5},\,$ continues sur $\,[\sp{1.5}0,1]\,$ par
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
quotient.
Avec : $\,\ptt x\app\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}],\ \displaystyle\sqrt{1+x^n}\geq 1\sp{1.5},\,$ on obtient en
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
inversant
l'inégalité : $\,\ptt x\app\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}],\ 0\leq\dfrac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\leq x^n\sp{1.5}.\,$
Par
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
croissance
de l'intégrale, on en déduit :
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
$\displaystyle{}0\leq I_n=\int_0^1\frac{x^n}{\sqrt{1+x^n}}\,\d x\leq\int_0^1 x^{n}\d x$
En
Soit $\,k\app\bb Z\,$ et la fonction puissance $\,p_k:x\mapsto x^k.\,$ Alors $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R^{\ast},\bb R)\,$ et : $\,\ptt x \neq0\sp{1.5},\ p_k'(x)=k\,x^{k -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,k\app\bb N,\,$ $\,p_k\app\sc C^\I(\bb R,\bb R)\,$ avec $\,p_k'(0)=0\txt{si}k\neq1\,$ et $\,p_1'(0)=1\sp{1.5}.\,$
primitivant
la fonction $\,x\mapsto x^n\sp{1.5},\,$ il en découle un encadrement de $\,I_n:\,$
$\displaystyle{} 0\leq I_n\leq\bigg[\frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg]_0^1=\frac{1}{n+1}\,\tend n{+\I}\,0$
Ayant
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
encadré
$\,I_n\,$ par des termes de limite nulle, on en déduit que : $\,\lim n{+\I}I_n=0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
On parvient plus rapidement à ce résultat si on connaît les théorèmes relatifs aux limites d'intégrales :
On compare ensuite les $I_n$ à des intégrales $J_n\geq I_n,$ que l'on sait calculer par
- le
Soit une suite de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5},\,$ continues, convergeant uniformément vers $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$ Alors la suite des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $f:$théorème sur les limites uniformes ne s'applique pas, car avec $\,f_n(1)=1/2\sp{1.5},\,$ la suite $(f_n)$ ne tend pas$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$ $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :uniformément vers $\,0\sp{1.5},\,$$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
- mais on peut appliquer le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$théorème de convergence dominée, avec : $\,|f_n|\leq 1\,$ et $\,f_n(x)\tend n{+\I}\,\smh{1.5}{\syst{\,0\ \sp{1.5}\txt{si}x\neq1\sp{1.5},\\[-.5ex]\sp{1.5}1\sp{-1.5}/2\txt{si}x=1\sp{1.5}.}}\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivation
d'une fonction
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
Soit $\,\alpha\app\bb R\,$ et la fonction puissance $\,p_\alpha:x\mapsto x^{\alpha}.\,$ Alors $\,p_\alpha\app\sc C^\I(\sp{1.5}]\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\,$ et : $\, \ptt x >0,\ p_\alpha'(x)=\alpha\sp{1.5}x^{\alpha -1}\sp{1.5}.\,$
Si $\,\alpha \geq n\app\bb N\sp{1.5},\,$ on a de plus : $\,p_\alpha\app\sc C^n([\sp{1.5}0,+\I[\sp{1.5},\bb R)\sp{1.5}.\,$
puissance :
$\displaystyle{}J_n=\int_0^1\frac{x^{n-1}}{\sqrt{1+x^n}}\,\d x= \Bigg[\frac{2\,\sqrt{1+x^n}}{n}\Bigg]_0^1=\frac2n\big(\sqrt2-1\big)$
On conjecture que $\,I_n\!\eq n{+\I}\!J_n\sp{1.5},\,$ ce qu'on va vérifier en majorant $\,\big|I_n-J_n\big|\,$ par une intégrale très simple :
$\eqalign{&\!\!\big|I_n\sp{-1.5}-\sp{-1.5}J_n\big|=\!\sp{-1.5}\int_0^1\!\frac{x^{n-1}\!-x^n}{\sqrt{1+x^n}}\,\d x\leq\!\int_0^1\!\!\big(x^{n-1}\!-x^n\big)\d x\sp{1.5},\txt{d'où :}\\
&\!\!\big|I_n\sp{-1.5}-\sp{-1.5}J_n\big|\leq\bigg[\frac{x^{n}}{n} -\frac{x^{n+1}}{n+1}\bigg]_0^1=\frac1n-\frac1{n+1}=\frac1{n(n+1)}}$
Par définition de la
Soient deux suites numériques ; $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ ssi à partir d'un rang $\,n_0:\,$
négligeabilité,
on a :
$\,\big|I_n-J_n\big|\dl n{+\I}o\big(J_n\big)\sp{1.5},\,$ d'où : $\,I_n\dl n{+\I}J_n+o\big(J_n\big).\,$
Selon la caractérisation des
$\displaystyle{}u_n=v_n\,\omega_n\sp{1.5},\txt{avec :}\lim n{+\I}\omega_n=0$
On écrit : $\,u_n\,\dl n{+\I}o\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}u_n\,\dl n{+\I}\,o\big(v_n\big)\Ssi\lim n{+\I}\,\smh{0}{\frac{u_n}{v_n}}=0$
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
équivalents,
on en déduit : $\,I_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac2n\big(\sqrt2-1\big)\!\cdot\,$
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$
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Exercice c
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $+\I$ des intégrales :
$\displaystyle{}I_n=\dint_0^{\pi/2}\!\!\tan\!\Big(\dfrac{n\sp{1.5}x}{n+x}\Big)\d x$
croissance de l'intégrale des fonctions réelles
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
limite finie d'une fonction réelle par encadrement
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
limite infinie d'une fonction réelle par inégalité
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$
Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
caractérisation des équivalents
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
indication
Minorer $I_n$ par une intégrale que l'on sait calculer par primitivation.
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}\dint_0^{\pi/2}\!\!\tan\!\Big(\dfrac{n\sp{1.5}x}{n+x}\Big)\d x=+\I\sp{1.5}.\,$
correction
Pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ les fonctions rationnelles $\,\phi_n: x\mapsto \dfrac{n\sp{1.5}x}{n+x}\,$ sont
Une fonction rationnelle $\,f\,$
est continue sur tout intervalle ne contenant aucun pôle de $f(x)\sp{1.5}.$
continues
sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2]\sp{1.5}.\,$
Par
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
inversion
d'inégalités, elles appliquent le segment $\,[\sp{1.5}0,\pi/2]\,$ dans l'intervalle $\,[\sp{1.5}0,\pi/2\sp{1.5}[\,$ car $\,\phi_n(0)=0\,$ et :
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
$\displaystyle{}0 < x \leq \frac\pi2 \ \Imp \ 0 < \frac{n\sp{1.5}x}{n+x} < \frac{n\sp{1.5}x}{n}\leq\frac\pi2$
Pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ les $I_n$ sont donc bien définis comme intégrales des $\,x\mapsto\tan\big(\phi_n(x)\big)\sp{1.5},\,$ qui sont
Soient $\,f:I\to\bb R\,$ et $\,g:J\to\bb K\,$ continues, avec
$\,f(I)\subset J\sp{1.5}.\,$ Alors la composée $\,g\circ f\,$ est continue sur l'intervalle $I\sp{1.5}.$
continues
sur $\,[\sp{1.5}0,\pi/2]\,$ par composition.
Par
L'inversion est strictement décroissante entre réels de même signe :
inversion
d'inégalités, on a aussi : $\,\ptt x\app\,[\sp{1.5}0,\pi/2],\ \dfrac{n\sp{1.5}x}{n+x}\geq \dfrac{n\sp{1.5}x}{n+\pi/2}\,$ et donc, par
- $\,\big(\, a\leq b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a\leq b\,\big)\Imp 1/b \leq1/a\,;\,$
- $\,\big(\, a < b < 0 \ \text{ ou }\ 0 < a < b\,\big)\Imp 1/b <1/a\,.\,$
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
croissance
de l'intégrale :
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
$\displaystyle{}I_n=\dint_0^{\pi/2}\!\!\tan\!\Big(\dfrac{n\sp{1.5}x}{n+x}\Big)\d x\,\geq\dint_0^{\pi/2}\!\!\tan\!\Big(\dfrac{n\sp{1.5}x}{n+\pi/2}\Big)\d x=J_n$
On sait calculer les intégrales $J_n$ en
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivant
la fonction tangente qui est la
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
Soit $\,u\app\sc C^n(I,\bb K)\,$ pour $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ telle que : $\,\ptt x\app I,\ u(x)\neq0\sp{1.5}.\,$ Alors la fonction $\,f:x\mapsto\ln|u(x)|\,$ est de classe $\sc C^n$ sur $I\sp{1.5},$ avec :
dérivée
d'un logarithme :
$\displaystyle{}\ptt x\app I,\ f'(x)=\smh{1.25}{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
$\eqalign{J_n&=-\frac{n+\pi/2}n\Bigg[\ln\!\bigg(\!\cos\Big(\frac{n\,x}{n+\pi/2}\Big)\bigg)\!\Bigg]_0^{\pi/2}\\&=
-\frac{n+\pi/2}n\ \ln\!\bigg(\!\cos\Big(\frac{n\,\pi/2}{n+\pi/2}\Big)\!\bigg)}$
Étant donné que : $\,\lim n{+\I}\Big(\dfrac{n}{n+\pi/2}\Big)=1^{-}\sp{1.5},\,$ on obtient par
Soient $\,f:I\to \bb R\,$ et $\,g:J\to\bb R\,$ avec $\,f(I)\subset J\sp{1.5};\,$ alors :
composition
de limites :
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\ f(x) = b \txt{et} \sp{-1.5}\lim y b\ g\sp{1.5}(y) = c\,\big)}\Imp\!\lim x a \,(g\circ f)(x) = c$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}J_n=-\lim u{(\pi/2)^{-}}\!\ln(\cos u)=-\lim t{0^+}\ln t=+\I$
Ayant
Soient $\,(u_n)_{n\geq n_0}\,$ et $\,(v_n)_{n\geq n_0}\,$ deux suites réelles.
Si on a $\,\sp{1.5}u_n\leq v_n\,$ à partir d'un certain rang, alors :
minoré
$I_n$ par un terme de limite $\,+\I\sp{1.5},\,$ on en déduit : $\,\lim n{+\I}I_n=+\I\sp{1.5}.\,$
- $\,\lim n{+\I} u_n =+\I\ \Imp \lim n{+\I} v_n =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim n{+\I} v_n =-\I\ \Imp \lim n{+\I} u_n =-\I\sp{1.5}.\,$
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Exercice d
Trouver la limite lorsque $n$ tend vers $+\I$ des intégrales :
$\displaystyle{}I_n=\dint_0^1\frac{\e{-n\sp{1.5}x}}{1+x}\,\d x$
Déterminer ensuite un équivalent simple de la suite $\,(I_n)_{n\app\bb N}\sp{1.5}.\,$
croissance de l'intégrale des fonctions réelles
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
limite finie d'une fonction réelle par encadrement
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
limite infinie d'une fonction réelle par inégalité
Soient $I$ un intervalle, $\,f,g:I\to\bb R\,$ deux fonctions et $a\app \surl{\bb R}\,.$
Si on a $\,f(x)\leq g(x)\,$ au voisinage de $a\sp{1.5},$ alors :
- $\,\lim x a f(x) =+\I\ \Imp \lim x a g(x) =+\I\sp{1.5};\,$
- $\, \lim x a g(x) =-\I\ \Imp \lim x a f(x) =-\I\sp{1.5}.\,$
caractérisation des équivalents
Pour des fonctions réelles $f$ et $g$ définies au voisinage de $a\app\surl{\bb R}\sp{1.5},$ on a :
$\displaystyle{}f(x)\sth{.5}\stb{1.5}\eq xa\,g(x)\Ssi f(x)\sp{1.5}\dl xa \,g(x)+o\big(g(x)\big)$
indication
Majorer $I_n$ pour en déterminer la limite, puis comparer $I_n$ et $\,J_n=\dint_0^1\e{-n\sp{1.5}x}\d x\sp{1.5}.\,$
réponse
On obtient : $\,\lim n{+\I}I_n=0\sp{1.5},\,$ puis plus précisément : $\,I_n\eq n{+\I}\dfrac1n\!\cdot\,$
correction
Pour tout $\,n\geq1\sp{1.5},\,$ la fonction
Pour $\,a\app\bb R^{\ast}\sp{-1.5},\,$ les fonctions exponentielles : $\,x\mapsto\e{\sp{1.5}a\sp{1.5}x}\,$ sont :
exponentielle
$\,x\mapsto\e{-n\sp{1.5}x}\,$ est continue sur l'intervalle $\,[0,1]\sp{1.5}.\,$
Les $I_n$ sont donc bien définis comme intégrales des fonctions $\,f_n:x\mapsto\dfrac{\e{-n\sp{1.5}x}}{1+x}\sp{1.5},\,$ continues sur $\,[\sp{1.5}0,1]\,$ par
- continues et strictement croissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a > 0\sp{1.5};\,$
- continues et strictement décroissantes sur $\,\bb R\,$ pour $\,a<0\sp{1.5}.\,$
$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :
quotient.
Avec : $\,\ptt x\app\,[\sp{1.5}0,1\sp{1.5}],\ 0\leq\dfrac 1{1+x}\leq 1\sp{1.5},\,$ on a par
- stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
- et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$
Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb R)\,$ avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b:\,$
croissance
de l'intégrale :
$\displaystyle{}f\leq g \Imp\!\!\dint_a^b\!f(x)\d x\leq \int_a^b\!g(x)\d x$
$\displaystyle{} 0\leq I_n=\int_0^1\frac{\e{-n\sp{1.5}x}}{1+x}\,\d x\leq\!\int_0^1\e{-n\sp{1.5}x}\d x =J_n$
On sait calculer les intégrales $J_n$ par
Soit $F$ une primitive de $\,f\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I:\,$
primitivation
et on en déduit leur limite,
$\displaystyle{}\int_a^b\!f(x)\d x=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$
La fonction exponentielle $\,x\mapsto\e x\,$ vérifie :
sachant que :
$\,\!\lim n{+\I}\e{-n}=0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sth{.5}\lim x{-\I}\e{x}=0\sp{1.5},\ \lim x{+\I}\e x=+\I\ \txt{et}\,(\e x-1)\eq x0 \,x$
$\displaystyle{}J_n=\int_0^1\e{-n\sp{1.5}x}\d x = \bigg[-\frac{\e{-n\sp{1.5}x}}{n}\bigg]_0^1=\frac{1-\e{-n}}n\,\tend n{+\I}\,0$
Ayant
Soient des fonctions $\,f\sp{1.5},\sp{1.5}g\sp{1.5},\sp{1.5}h:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ avec $\,\ell\app\bb R\sp{1.5}.\,$
Si au voisinage de $\,a\app \smh0{\surl{\bb R}}\sp{1.5},\,$ on a : $\,g(x)\leq f(x)\leq h(x)\sp{1.5},\,$ alors :
encadré
$\,I_n\,$ par des termes de limite nulle, on en déduit que : $\,\lim n{+\I}I_n=0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}{\big(\,\lim x a\, g(x) = \lim x a\, h(x) =\ell\ \big)} \Imp \lim x a\, f(x) =\ell$
On parvient plus rapidement à ce résultat si on connaît les théorèmes relatifs aux limites d'intégrales :
Pour obtenir ensuite un équivalent de $I_n,$ on commence par majorer $\,\big|I_n-J_n\big|\,$ par une intégrale plus simple :
- le
Soit une suite de $\,f_n:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5},\,$ continues, convergeant uniformément vers $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb K\sp{1.5}.\,$ Alors la suite des intégrales des $f_n$ converge vers l'intégrale de $f:$théorème sur les limites uniformes ne s'applique pas, car avec $\,f_n(0)=1\sp{1.5},\,$ la suite $(f_n)$ ne tend pas$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\sp{-1.5}\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$Soient une suite de fonctions $\,f_n:I\to\bb K\sp{1.5},\,$ et une fonction $\,f:I\to\bb K\sp{1.5}.\,$ $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ ssi il existe une suite réelle $\,(\omega_n)\,$ tendant vers $\,0\,$ et un $\,N\sp{-1.5}\app\bb N\,$ tels que :uniformément vers $\,0\sp{1.5},\,$$\displaystyle{} \ptt n\geq N,\ \ptt x\app I,\ \big|f_n(x)-f(x)\big|\leq\omega_n$
- mais on peut appliquer le
Pour des fonctions $\,f_n\app\sc C_m(I,\bb K)\,$ et $\,\phi\app\sc C_m(I,\bb R_{+}):\,$théorème de convergence dominée, avec : $\,|f_n|\leq 1\,$ et $\,f_n(x)\tend n{+\I}\,\smh{1.5}{\syst{\,1\,\txt{si}x=0\sp{1.5},\\[-.5ex]\,0\ \txt{si}x\neq0\sp{1.5}.}}\,$
- si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f\app\sc C_m(I,\bb K)\sp{1.5},$
- et si $\,\phi\,$ est intégrable et telle que $\,\big|f_n\big|\leq \phi\,$ pour tout $n\sp{1.5},$
$\displaystyle{}\lim n{+\I}\int_a^b\!\!f_n(x)\d x=\!\int_a^b\!\!\Big(\sp{1.5}\lim n{+\I}\sp{1.5}f_n(x)\sp{-1.5}\Big)\d x=\int_a^b\!\!f(x)\d x$
$\eqalign{\big|I_n-J_n\big|&=\int_0^1\Big(1-\frac1{1+x}\Big)\e{-n\sp{1.5}x}\d x\\[-.5ex]& =\int_0^1\frac{x}{1+x}\,\e{-n\sp{1.5}x}\,\d x\leq \int_0^1x\,\e{-n\sp{1.5}x}\d x}$
Une intégration
Soient $\,f,\sp{1.5}g\app\sc C^1(I,\bb K)\sp{1.5};\,$ alors, pour tous $\,a,b\app I\sp{1.5},\,$ on a :
par parties
nous permet d'estimer ce majorant de $\,\big|I_n-J_n\big|\,$ selon la définition de la
$\displaystyle{}\int_a^bf'(x)\,g(x)\d x=\Big[f(x)\,g(x)\Big]_a^b-\int_a^bf(x)\,g'(x)\d x$
Soient deux suites numériques ; $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ ssi à partir d'un rang $\,n_0:\,$
négligeabilité :
$\displaystyle{}u_n=v_n\,\omega_n\sp{1.5},\txt{avec :}\lim n{+\I}\omega_n=0$
On écrit : $\,u_n\,\dl n{+\I}o\big(v_n\big)\sp{1.5},\,$ et si $\,v_n\neq0\,$ pour $\,n\geq n_0\sp{1.5},\,$ alors :
$\displaystyle{}u_n\,\dl n{+\I}\,o\big(v_n\big)\Ssi\lim n{+\I}\,\smh{0}{\frac{u_n}{v_n}}=0$
$\eqalign{\int_0^1x\,\e{-n\sp{1.5}x}\d x&=\bigg[-\frac{x\,\e{-n\sp{1.5}x}}{n}\bigg]_0^1+\int_0^1\frac{\e{-n\sp{1.5}x}}{n}\,\d x\\
&=-\frac{\e{-n}}n+\bigg[-\frac{\e{-n\sp{1.5}x}}{n^2}\bigg]_0^1\\
&=-\frac{\e{-n}}n+\frac{1-\e{-n}}{n^2}\,\dl n{+\I}\,o\Big(\frac1n\Big)}$
On en déduit alors un
Soit $f$ une fonction réelle définie au voisinage de $\,\alpha\app\surl{\bb R}\sp{1.5},\,$ telle que :
Un développement asymptotique à la précision $\,u_n(x)\,$ s'écrit :
développement
asymptotique de $I_n$ au voisinage de $\,+\I\,$ à la précision $\,1\sp{-1.5}/\sp{-1.5}n:\,$
$\displaystyle{}f(x)\smb{0}{\dl x\alpha} a_0\sp{1.5}u_0(x)+\cdots+a_n\sp{1.5}u_n(x)+\o{u_n(x)}{}$
où les $\,u_i\,$ sont des fonctions telles que $\,u_{i+1}(x)\dl x\alpha\o{u_i(x)}{}\,.\,$
$\eqalign{&I_n\dl n{+\I}J_n+o\Big(\dfrac1n\Big)=\dfrac1n-\dfrac{\e{-n}}n+o\Big(\dfrac1n\Big)\\ \txt{d'où :}&I_n\dl n{+\I}=\dfrac1n+o\Big(\dfrac1n\Big),\txt{car :}\lim n{+\I}\e{-n}=0}$
Par
Pour deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)\sp{1.5},$ on a l'équivalence :
caractérisation
des équivalents, on peut alors en conclure que : $\,I_n\,\eq n{+\I}\,\dfrac1n\!\cdot\,$
$\displaystyle{}u_n\eq n{+\I}v_n\Ssi u_n\dl n{+\I}v_n+o\big(v_n\big)$