exercices de mathématiques - prépa et université

On considère la fonction $\,F:[0,1]\to\bb R\,$ définie, pour tout $\,x\app\,[0,1]\sp{1.5},\,$ par :

On exprime alors $\,F(x)^2\,$ en développant le

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}a^2-b^2&=(a-b)(a+b)\\[-.5ex]a^3-b^3&=(a-b)(a^2+a\sp{1.5}b+b^2)}$

produit $\,(f(x)-1)\sp{1.5}(f(x)+1)\sp{1.5},\,$ puis le

Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :

$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$

carré $\,\big(f(x)^2-1\big)^2:\,$

On en déduit alors par

Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ et  $\,\alpha,\beta\app\bb K\sp{-1.5}:\,$

$\displaystyle{}\int_ a^b(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)(x)\d x\,=\,\alpha\!\int_a^b\!\!f(x)\d x+\beta\!\int_a^b\!\!g(x)\d x$

linéarité, que l'intégrale de $\,x\mapsto F(x)^2\,$ sur $[0,1]$ est nulle :

La fonction $\,F^2\,$ est donc

Pour $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue  avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :

$\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$

nulle sur $\,[0,1]\sp{1.5},\,$ car elle est

$\sc C(I,\bb K)$ est un sous-espace vectoriel de $\sc F(I,\bb K)\sp{1.5},$ et il est :

• stable par produit : $\,f,\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\!\Imp\! f\sp{1.5}g\sp{1.5}\app\sc C(I,\bb K)\sp{1.5},\,$
• et stable pour le quotient $\,f\sp{-1.5}/\sp{-1.5}g\,$ lorsque : $\,\ptt x\app I,\ g(x)\neq0\sp{1.5}.\,$

continue, positive et d'intégrale nulle.

Il s'ensuit que $F$ elle-même est nulle sur $\,[0,1]\sp{1.5},\,$ et qu'elle ne peut prendre que trois valeurs, puisque :

Supposons que la fonction $f$ ne soit pas constante et prenne donc deux valeurs distinctes : $\,A=f(a)\sp{-1.5}<\sp{-1.5}f(b)=B\sp{1.5}.\,$

En vertu du

Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.

Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que :  $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$

théorème des valeurs intermédiaires, elle prendrait alors une infinité de valeurs, avec : $\,[A,B]\subset f([0,1])\sp{1.5}.\,$

Ayant déjà établi que : $\,f([0,1])\subset\{-1,0,1\}\sp{1.5},\,$ on en conclut que l'hypothèse « $f$ n'est pas constante » est contradictoire.

La fonction $f$ est donc bien constante, avec pour seules valeurs possibles :  $\,-1\sp{1.5},\,$ $\,0\,$ ou $\,1\sp{1.5}.\,$

Soit une fonction continue $\,g:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to \bb R\,$ qui change de signe, c'est-à-dire qu'il existe $\,\alpha\sp{-1.5} < \sp{-1.5}\beta\,$ dans $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]$ tels que $\,g(\alpha).g(\beta) < 0\sp{1.5}.\,$

Alors, le

Soit $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\,$ une fonction continue sur un segment.

Pour $y$ entre $f(a)$ et $f(b)\sp{1.5},$ il existe $\,x\app\,[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\,$ tel que :  $\,y=f(x)\sp{1.5}.\,$

théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence de $\,c\app\,]\sp{1.5}\alpha,\beta\sp{1.5}[\,\subset\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que $\,g(c)=0\,;\,$ $\,g\,$ s'annule donc sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[.$

Par

Toute implication entre deux propositions équivaut à sa contraposée :

$\,\sp{50}\big(\sp{1.5}\sc A\sp{-1.5}\Imp\sp{-1.5} \sc B\sp{1.5}\big)\,$ ssi $\,\big(\op{non}\sc B \Imp \op{non}\sc A\sp{1.5}\big)\,$

contraposition, si $\,g\,$ ne s'annule pas sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[,$  alors $\,g\,$ garde un signe constant.

Considérons maintenant une fonction $\,f:[a,b]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue et telle que :

• Si $f$ ne change pas de signe sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],$ alors $f$ ou $-f$ est continue, positive et d'intégrale nulle.
  Il s'ensuit que $f$ est
  Pour $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue  avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :

  $\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$
  nulle sur tout l'intervalle $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ et s'annule donc en au moins deux points distincts de $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\sp{1.5}.$

• Si au contraire $f$ change de signe sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],$ il existe, comme on l'a établi, un $c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[$ tel que $\,f(c)=0\sp{1.5}.\,$
  Si ce $c$ était le seul $\,x\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que $\,f(x)=0\sp{1.5},\,$ alors la fonction $\,g:x\mapsto(x-c)\sp{1.5}f(x):\,$
  • garderait un signe constant sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ puisque $f$ garde sur $[\sp{1.5}a,c\sp{1.5}]$ et $[\sp{1.5}c,b\sp{1.5}]$ des signes constants et opposés ;

  • et serait d'intégrale nulle par
    Pour $\,f,g\app\sc C([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\,$ ou $\,f,g\app\sc C_m([\sp{1.5}a,b\sp{1.5}],\bb K)\sp{1.5},\,$ et  $\,\alpha,\beta\app\bb K\sp{-1.5}:\,$

    $\displaystyle{}\int_ a^b(\alpha\sp{1.5}f+\beta\sp{1.5}g)(x)\d x\,=\,\alpha\!\int_a^b\!\!f(x)\d x+\beta\!\int_a^b\!\!g(x)\d x$
    linéarité de l'intégrale, avec :
    $\displaystyle{}\smb{1.5}{\smh{1}{\int_a^b\!g(x)\d x=\int_a^b\!x\sp{1.5}f(x)\d x-c\!\int_a^b\!f(x)\d x=0}}$
  Dans ces conditions, $\,g\,$ serait
  Pour $\,f:[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\to\bb R\sp{1.5},\,$ continue  avec $\,a \sp{-1.5}<\sp{-1.5} b\sp{1.5},\,$ on a :

  $\displaystyle{}\Big(f\geq0\txt{et}\int_a^bf(x)\d x=0\Big)\Imp f=0$
  nulle sur $[\sp{1.5}a,b\sp{1.5}]\sp{1.5},$ car $\,g\,$ ou $\,-g\,$ serait continue, positive et d'intégrale nulle.
  On aurait donc : $\,f(x)=g(x)/(x-c)=0\,$ pour tout $\,x\neq c\sp{1.5},\,$ en contradiction avec l'hypothèse d'unicité de $\,c\sp{1.5}.\,$
  On a ainsi démontré par l'absurde que le réel $\,c\app\,]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[\,$ tel que $\,f(c)=0\,$ n'est pas unique.

Finalement, dans tous les cas, cette fonction $f$ s'annule sur $]\sp{1.5}a,b\sp{1.5}[$ en au moins deux points distincts.