Sujet C.4.5 Surfaces
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Exercice a
Soit, dans un espace vectoriel réel $E$ muni d'un repère $\,\sc R=(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5},\,$ le repère $\,\smh0{\sc R\sp{1.5}'=(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})}\,$ pour :
$\displaystyle{}\vec w=a\sp{1.5}\vec{\imath}+b\sp{1.5}\vec{\jmath}+c\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5},\txt{avec}(a,b,c)\app\bb R^3\!\txt{et}\!c\neq0$
On considère dans le repère $\,\sc R\sp{1.5},\,$ la surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5},\,$ où $\,f\app\sc C^1(\bb R^3,\bb R)\,$ est une solution de l'équation :
$\displaystyle{}a\,\dp fx(x,y,z)+b\,\dp fy(x,y,z)+c\,\dp fz(x,y,z)=0$
Montrer alors que dans le repère $\,\sc R\sp{1.5}'\sp{-1.5},\,$ la surface $\sc S$ admet une équation de la forme : $\,h(X,Y)=0\sp{1.5},\,$ pour $h\app\sc C^1(\bb R^2,\bb R).$
En déduire que la surface $\sc S$ est la réunion d'une famille de droites affines, toutes parallèles.
équation cartésienne d'une surface en dimension 3
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
plan tangent à une surface d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ d'un espace euclidien, une surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ étant de classe $\sc C^1,$ on considère un point régulier $M(x,y,z)$ de $\sc S\sp{1.5},$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la surface $\sc S$ admet pour plan tangent le plan passant par $M(x,y,z)$ et normal à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y,z)\sp{1.5}.$
indication
1
Déterminer une fonction $g\app\sc C^1(\bb R^3,\bb R)$ telle que l'équation $\,g\sp{1.5}(X,Y\sp{-1.5},Z)=0\,$ caractérise $\sc S$ dans le repère $\sc R\sp{1.5}'\sp{-1.5}.$ Montrer ensuite que, pour tout $\,(X,Y)\app\bb R^2,\,$ la fonction $\,Z\mapsto g\sp{1.5}(X,Y,Z)\,$ est constante.
indication
2
Considérer la courbe $\Gamma$ d'équation $\,h(X,Y)=0\,$ du plan d'équation $\,Z=0\sp{1.5},\,$ et les droites affines $\,\sc D_P=P+\op{Vect}(\vec w)\,$ pour $P\app\sp{1.5}\Gamma\sp{1.5}.$
figure
Une surface $\sc S\stb{1}\sp{1.5},$ sa directrice $\Gamma$ et une génératrice $\sc D_P$
réponse
La surface $\sc S$ admet bien dans $\sc R\sp{1.5}'$ une équation de la forme $\,h(X,Y)=0\,$ pour $h\app\sc C^1(\bb R^2,\bb R).$
On désigne par $\Gamma$ la courbe d'équation $\,h(X,Y)=0\,$ du plan $\,\Pi\,$ d'équation $\,Z=0\sp{1.5}.\,$
La surface $\sc S$ est alors la réunion des droites affines parallèles $\,\sc D_P=P+\op{Vect}(\vec w)\,$ lorsque $P$
décrit la courbe $\Gamma\sp{1.5}.$
correction
Dans la base $\,\sc B=(\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\,)\,$ de $E,$ la famille de vecteurs $\,\sc B\sp{1.5}'=(\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec w\sp{1.5})\,$ a pour matrice :
$\displaystyle{}P=\matc{1&0&a\\0&1&b\\0&0&c}$
Avec $\,\det(P)=c\neq 0,\,$ la famille $\sc B\sp{1.5}'$ est une
Soit $\sc B$ une base d'un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ de dimension $\,n\geq1\,.\,$ Alors, une famille $\,\sc U\app E^n\,$ est une base de $E$ ssi : $\,\det_{\sc B}(\sc U)\neq0\sp{1.5}.\,$
base
de $E$ et $P$ est la
Soient $\sc B$ et $\sc B'$ deux bases d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie.
La matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B'$ est la matrice :
$\,P=\op M_{\sc B}(\sc B')\sp{1.5}.\,$
Cette matrice $P$ est inversible, et $P^{-1}$ est la matrice de passage de $\sc B'$ à $\sc B:$
matrice
de passage de la base $\sc B$ à la base $\sc B'\sp{1.5}.$
Selon l'interprétation
$\displaystyle{}P^{-1}=\op M_{\sc B'}(\sc B)$
En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace vectoriel réel, tout point $M$ de $E$ a des coordonnées $(x,y,z)$ dans le
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Un repère d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3$ est un quadruplet $(O,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ formé :
repère
$\sc R=(O,\sc B)\sp{1.5}.$
Selon la
- d'un point $O\app E\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ de l'espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Soient $\sc B$ et $\sc B\sp{1.5}'$ deux bases d'un espace vectoriel $E,$ et $P$ la matrice de passage de $\sc B$ à $\sc B\sp{1.5}'.$
Pour tout $u\app E,$ les matrices-colonnes $\,U=\op M_{\sc B}(u)\,$ et $\,U'=\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)\,$
vérifient :
formule
de changement de base, ce point a pour coordonnées $(X,Y\sp{-1.5},Z)$ dans le nouveau repère $\sc R\sp{1.5}'=(O,\sc B\sp{1.5}'),$ avec :
$\displaystyle{}U=P\,U',\txt{soit :}\op M_{\sc B}(u)=\op M_{\sc B}(\sc B\sp{1.5}')\op M_{\sc B\sp{1.5}'}(u)$
$\displaystyle{}\matc{x\\y\\z}=\matc{1&0&a\\0&1&b\\0&0&c}\matc{X\\Y\\Z}=\matc{X+a\sp{1.5}Z\\Y+b\sp{1.5}Z\\ c\sp{1.5}Z}$
La surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\,$ est donc caractérisée dans le nouveau repère $\sc R'$ par
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
l'équation
de classe $\sc C^1$ sur $\bb R^3:$
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
$\displaystyle{}g(X,Y\sp{-1.5},Z)=f(X+a\sp{1.5}Z,Y+b\sp{1.5}Z,c\sp{1.5}Z)=0$
Selon la règle de
Soient $\,U\,$ un ouvert de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^{1}(U\sp{-1.5},\bb R^m)\,$ et $V$ un ouvert de $\bb R^m.$
Si $\,f(U)\subset V\,$ et $\,g\app\sc C^1(V\!,\bb R^p)\sp{1.5},\,$ alors $\,(g\circ f)\app\sc C^1(U\sp{-1.5},\bb R^p)\,$ et :
la chaîne,
avec $\,(x,y,z)=(X+a\sp{1.5}Z,Y+b\sp{1.5}Z,c\sp{1.5}Z),\,$ on a pour tout $(X,Y,Z)\app\bb R^3:$
$\displaystyle{}\ptt x\app U,\ \,\dp{(g\circ f)}{x_i}(x)=\sum_{j=1}^m\dp g{y_j}(f(x))\sp{1.5}\dp{f_j}{x_i}(x)$
$\displaystyle{}\dp gZ(X,\sp{-1.5}Y\!,Z)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}a\sp{1.5}\dp fx(x,y,z)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}b\sp{1.5}\dp fy(x,y,z)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}c\sp{1.5}\dp fz(x,y,z)$
Avec $\,\dp gZ(X,\sp{-1.5}Y\!,Z)=0\,$ pour tout $(X,Y)\app \bb R^2$ fixé, la fonction $Z\mapsto g(X,Y,Z)$ est donc
Soit $\,f:I\to\bb R\sp{1.5},\,$ dérivable sur un intervalle $I\sp{1.5};$ $f$ est constante ssi :
constante
sur l'intervalle $\bb R,$ d'où :
$\displaystyle{}\ptt x\app I\sp{1.5},\ f'(x)=0$
$\displaystyle{}\ptt (X,Y,Z)\app\bb R^3,\ \ g(X,Y,Z)=g(X,Y,0)=h(X,Y)$
où $h$ est une fonction
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
de classe $\sc C^1$
sur $\bb R^2$ en tant que fonction
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
Pour un ouvert $U$ de $\bb R^n,$ $\,f\app\sc C^1(U,\bb R)\\,$ et $\,a\app U,\,$ soient :
partielle
de la fonction $\,g\sp{1.5},\,$ pour $Z$ fixé à la valeur $0\sp{1.5}.$
On a finalement établi l'équivalence suivante : $\,M(X,Y,Z)\app\sc S\Ssi h(X,Y)=0\sp{1.5}.\,$
Soit $\Gamma$ la
$\eqalign{&V=\ens{(x_{2},\dots,x_n)}{(a_1,x_{2},\dots,x_n)\app U}\\[-.5ex]
&\ g\ :\ (x_{2},\dots,x_n)\mapsto f(a_1,x_{2},\dots,x_n)}$
Alors, $V$ est un ouvert de $\bb R^{n-1}$ et $\,g\,$ est de classe $\sc C^1$ sur $V\sp{1.5}.$
Il en va de même pour toutes les autres fonctions partielles de $f.$
Soit $P$ un plan vectoriel réel muni d'un repère $\,(O,\vec{\imath},\,\vec{\jmath}\,)\,$ et $\,\Omega\,$ un ouvert de $\bb R^2\sp{1.5}.$
Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la courbe $\sc C$ d'équation cartésienne $\,f(x,y)=0\,$ est l'ensemble :
courbe
d'équation $\,h(X,Y)=0\,$ dans le plan horizontal $\,\Pi\,$ d'équation $\,Z=0\sp{1.5}.\,$
À tout point $M(X,Y,Z)$ de $E,$ on associe le point $\,P=M-Z\sp{1.5}\vec w\,$ de coordonnées $(X,Y,0)\sp{1.5},$ qui appartient au plan $\Pi:$
$\displaystyle{}\sc C=\ens{M(x,y)\app P\,}{\,(x,y)\app\Omega\txt{et}f(x,y)=0}$
- si $\,M\app\sc S\sp{1.5},\,$ on a alors : $\,h(X,Y)=0\,$ et donc : $\,P\app\Gamma\sp{1.5};\,$ on a ainsi : $\,M= P+Z\sp{1.5}\vec w\sp{1.5},\,$ pour un point $P$ de $\Gamma\sp{1.5};$
- réciproquement, si $\,M\app P+\op{Vect}(\vec w)\,$ pour un $P\app\Gamma\sp{1.5},$ alors $\,P=M-Z\sp{1.5}\vec w\,$ est tel que : $\,h(X,Y)=0\sp{1.5},\,$ d'où : $\,M\app\sc S\sp{1.5}.\,$
Soit $(A_i)_{i\app I}$ une famille de parties d'un ensemble $E\,;$ la réunion des $A_i$ est l'ensemble des éléments de $E$ appartenant à l'un des $A_i:$
réunion
des droites affines
$\displaystyle{}\bigcup_{i\app I}A_i=\ens{x\app E}{\iex i\app I,\ x\app A_i}$
Soient deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ d'un $\bb R\tiret$espace vectoriel dirigées par $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}\sp{-1.5}.$ $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires :
parallèles:
$\,\sc D_P=P+\op{Vect}(\vec w)\sp{1.5},\,$ lorsque $P$ décrit $\Gamma:$
$\displaystyle{}\sc D_1\sp{1.5}/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\Ssi\op{Vect}\!\big(\vec{u_1}\!\big)=\op{Vect}\!\big(\vec{u_2}\!\big)$
$\displaystyle{}\sc S=\union_{P\app\large\Gamma}\sc D_P$
$\sc S$ est une surface cylindrique, ayant pour directrice la courbe $\,\Gamma\sp{1.5};\,$ les droites $\sc D_P$ sont les génératrices de la surface $\sc S\sp{1.5}.$
|
Une surface $\sc S\stb{1}\sp{1.5},$ sa directrice $\Gamma$ et une génératrice $\sc D_P$
|
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Exercice b
Soit, dans un espace euclidien $E$ muni d'un repère orthonormal $\,\sc R=(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\,)\sp{1.5},\,$ la sphère $\sc S$ de centre $\Omega\sp{1.5}(0,1,0)$ et de rayon $1\sp{1.5}.$
Caractériser par une équation l'ensemble $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\,$ des points $M$ appartenant à une droite affine issue du point $A\sp{1.5}(0,0,2)$ et coupant $\sc S$ en un seul point.
$\sc P$ étant le plan affine normal à $\smh0{\Vec{A\Omega\!}\,}$ et passant par $\Omega\sp{1.5},$ montrer alors que $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} \sc P\,$ est un cercle $\Gamma$ de centre $\Omega\sp{1.5}.$
équation cartésienne d'une surface en dimension 3
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
plan tangent à une surface d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ d'un espace euclidien, une surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ étant de classe $\sc C^1,$ on considère un point régulier $M(x,y,z)$ de $\sc S\sp{1.5},$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la surface $\sc S$ admet pour plan tangent le plan passant par $M(x,y,z)$ et normal à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y,z)\sp{1.5}.$
indication
1
Pour $M(x,y,z)\app E,$ former une équation du second degré en $t\app\bb R$ caractérisant les points $\,N=A+t\ \smh1{\Vec{\!AM}\!}\,$ qui appartiennent à $\sc S.$
indication
2
Pour $\,M(x,y,z)\app\,(\lower.25ex{\large\Sigma}\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} \sc P)\sp{1.5},\,$ simplifier $\,\Omega M^2\!\,$ en tenant compte des équations de $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\,$ et de $\,\sc P\sp{1.5}.\,$
figure
le cône $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\,$ de sommet $A$ et son cercle directeur $\Gamma$
réponse
L'ensemble $\lower.25ex{\large\Sigma}$ est la surface caractérisée par l'équation : $\,4\sp{1.5}x^2+3\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}y\sp{1.5}z-8\sp{1.5}y=0\sp{1.5}.\,$
On en déduit que l'ensemble $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} \sc P\,$ est un cercle $\Gamma$ du plan $P,$ de centre $\,\Omega\,$ et de rayon $\,R=\smh{1.6}{\dfrac{\sqrt5}2}\!\cdot\,$
correction
Selon l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace euclidien, on considère dans le
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Un repère d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3$ est un quadruplet $(O,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ formé :
repère
orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\,)\sp{1.5},$ un point $M(x,y,z)\sp{1.5}.$ Pour $\,M\neq A\sp{1.5},\,$
- d'un point $O\app E\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ de l'espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$
la droite
$\,(\sp{-1.5}AM)\,$ est l'ensemble des points $\,N=A+t\ \smh1{\Vec{\!AM}}\,$ pour $t\app\bb R\sp{1.5},$ de coordonnées :
$\,N\big(t\sp{1.5}x,\,t\sp{1.5}y,\,2+t\sp{1.5}(z-2)\big)\,.\,$
Le nombre de points
$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
d'intersection
de la droite $\,(\sp{-1.5}AM)\,$ avec $\sc S$ est le nombre de réels $t$ tels que $N$ vérifie
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vecc{\imath},\vecc{\jmath},\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5}.$
la sphère $\sc S$ de centre $\,\Omega(a,b,c)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisée par :
l'équation
de $\sc S:$
$\displaystyle{}M(x,y,z)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
$\eqalign{&\big(t\sp{1.5}x\big)^2+\big(t\sp{1.5}y-1\big)^2+\big(2+t\sp{1.5}(z-2)\big)^2=1 \\
\Ssi& t^2\big(x^2\!+y^2\!+(z-2)^2\sp{1.5}\big)\!+2\sp{1.5}t\big(-y+2\sp{1.5}(z-2)\big)\!+4=0}$
Pour $(x,y,z)$ fixé dans $\bb R^3,$ cette équation du second degré en $\,t\,$ a pour
Soit, pour $(a,b,c)\app\bb R^{\ast}\!\times\sp{-1.5}\bb R^2\sp{1.5},$ l'équation :
$\,a\sp{1.5}x^2+b\sp{1.5}x+c=0\sp{1.5}.\,$
Avec pour discriminant $\,\Delta=b^2-4\sp{1.5}a\sp{1.5}c\sp{1.5},\,$ cette équation a dans $\bb R\sp{1.5}:$
discriminant :
- aucune racine si $\,\smh{.5}\Delta < 0\,;\,$
- une seule racine si $\,\Delta = 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{.7}{-\dfrac{b}{2\sp{1.5}a}}\,;\,$
- deux racines distinctes si $\,\Delta > 0\sp{1.5}:\,$ $\,x=\smh{0.2}{\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\sp{1.5}a}}\!\cdot\,$
$\eqalign{\Delta&=\sp{-1.5}4\,\big(-y+2\sp{1.5}(z-2)\big)^2-16\big(x^2+y^2+(z-2)^2\sp{1.5}\big)\\
&=\sp{-1.5}4\sp{1.5}\big(y^2\!+4\sp{1.5}(z\sp{-1.5}-\sp{-1.5}2)^2\!-4\sp{1.5}y\sp{1.5}(z\sp{-1.5}-\sp{-1.5}2)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}4\sp{1.5}x^2\!-\sp{-1.5}4\sp{1.5}y^2\!-\sp{-1.5}4\sp{1.5}(z\sp{-1.5}-\sp{-1.5}2)^2\big)\\
&=\sp{-1.5}4\sp{1.5}\big(-4\sp{1.5}x^2-3\sp{1.5}y^2-4\sp{1.5}y\sp{1.5}z+8\sp{1.5}y\big)}$
- Pour $\,M\neq A\sp{1.5},\,$ la droite $\,(\sp{-1.5}AM)\,$ coupe donc $\sc S$ en un seul point si et seulement si ce discriminant est nul ;
- d'autre part, le point $A$ appartient à toutes ces droites $(AM)\sp{1.5},$ et ses coordonnées annulent ce discriminant.
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
l'équation
cartésienne : $\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
$\displaystyle{}4\sp{1.5}x^2+3\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}y\sp{1.5}z-8\sp{1.5}y=0$
Le plan affine $\,\sc P\,$
Soit, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$
Le plan normal au vecteur $\smh0{\vec n}$ passant par le point $A$ est le plan affine :
normal
à $\smh0{\Vec{A\Omega\!}\,}$ est l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $\,\smh1{\Vec{\Omega M}\perp\Vec{\Omega A}}\,$ pour $\,\smh1{\Vec{\Omega A}=-\vec{\jmath}+2\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5},}\,$ soit :
$\displaystyle{}A+\op{Vect}\!\big(\vec n\big)^{\sp{-1.5}\large\perp}=\ens{M\app E}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$
$\eqalign{&\smh1{\ps{\Vec{\Omega M}}{\,\Vec{\Omega A}}}=-(y-1)+2\sp{1.5}z=0\\ &\txt{d'où :}M\app\sc P\Ssi y-2\sp{1.5}z=1}$
Pour $\,M\app\,(\lower.25ex{\large\Sigma}\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} \sc P),\,$ on exprime alors $\,4\,\Omega M^2\,$ en fonction de $\,(4\sp{1.5}x^2+3\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}y\sp{1.5}z-8\sp{1.5}y)\,$ et $\,(y-2\sp{1.5}z):\,$
$\eqalign{4\,\Omega M^2&=4\big(x^2+(y-1)^2+z^2\big)\\&=4\sp{1.5}x^2+4\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}z^2-8\sp{1.5}y+4\\
&=\big(4\sp{1.5}x^2+3\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}y\sp{1.5}z-8\sp{1.5}y\big)\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\big(y^2-4\sp{1.5}y\sp{1.5}z+4\sp{1.5}z^2\big)\sp{-1.5}+4\\
&=\big(4\sp{1.5}x^2+3\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}y\sp{1.5}z-8\sp{1.5}y\big)+\big(y-2\sp{1.5}z\big)^2+4}$
Pour $\,M\app \sc P,\,$ c'est-à-dire lorsque $\,y-2\sp{1.5}z=1\sp{1.5},\,$ on obtient alors :
$\eqalign{M\sp{1.5}\app\,\lower.25ex{\large\Sigma}&\Ssi4\sp{1.5}x^2+3\sp{1.5}y^2+4\sp{1.5}y\sp{1.5}z-8\sp{1.5}y=0\\&\Ssi \Omega M^2=\smh{1.5}{\frac{(y-2\sp{1.5}z)^2}4+1=\frac 54}}$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
L'intersection
$\,\lower.25ex{\large\Sigma}\sp{1.5}\cap\sp{-1.5} \sc P\,$ est donc le
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
cercle
$\,\Gamma\,$ du plan $\,\sc P,\,$ de centre $\,\Omega\,$ et de rayon $\,R=\dfrac{\sqrt5}2\!\cdot\,$
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
La surface $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\,$ est la réunion des droites $\,(\sp{-1.5}AP)\,$ pour $\,P\app\Gamma\sp{1.5};\,$
c'est ce qu'on appelle une surface conique de sommet $A$ et de directrice $\,\Gamma:\,$
$\displaystyle{}\lower.25ex{\large\Sigma}\sp{1.5}=\union_{P\app\large\Gamma}\sp{1.5}(\sp{-1.5}AP)$
$\,\Gamma\,$ étant un cercle de centre $\Omega$ normal au vecteur $\Vec{A\Omega\sp{-1.5}}\sp{1.5},$ $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\,$ est plus précisément un cône de révolution d'axe $(A\Omega)\sp{1.5}.$|
le cône $\,\lower.25ex{\large\Sigma}\,$ de sommet $A$ et son cercle directeur $\Gamma$
|
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Exercice c
Dans un espace euclidien rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\,)\sp{1.5},$ on considère la surface $\sc S$ d'équation : $\,x^2+y^2-z^2=1\sp{1.5}.\,$
Déterminer le plan affine $\,\sc P\,$ tangent à $\,\sc S\,$ au point $A(1,0,0),$ et montrer que $\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P\,$ est formé de deux droites.
En déduire, par rotations autour de l'axe $Oz\sp{1.5},$ deux familles de droites recouvrant chacune la surface $\sc S.$
équation cartésienne d'une surface en dimension 3
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
plan tangent à une surface d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ d'un espace euclidien, une surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ étant de classe $\sc C^1,$ on considère un point régulier $M(x,y,z)$ de $\sc S\sp{1.5},$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la surface $\sc S$ admet pour plan tangent le plan passant par $M(x,y,z)$ et normal à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y,z)\sp{1.5}.$
indication
1
Commencer par déterminer les droites $\,\sc D\,$ et $\,\sc D^{\sp{1.5}\prime}\,$ telles que $\,\sc S\cap \sc P=\sc D\cup \sc D^{\sp{1.5}\prime}\sp{-1.5}.\,$
Montrer ensuite que la surface $\,\sc S\,$ est invariante par la rotation $\,r_{\theta}\,$ d'axe $\,Oz\,$ et d'angle $\,\theta\app\bb R\sp{1.5},\,$ et considérer les droites $\,r_\theta(\sc D)\,$ et $\,r_\theta(\sc D^{\sp{1.5}\prime})\sp{1.5}.\,$
indication
2
Considérer, pour un point $\,M(x_0,y_0,z_0)\,$ de $\,\sc S\,$ le point $\,N(1,z_0,z_0)\sp{1.5},\,$ puis établir l'existence de $\,\theta\app\bb R\,$ tel que $\,M=r_\theta(N)\sp{1.5}.\,$
figure
1
La surface $\,\sc S\,$ et $\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P=\sc D\cup\sp{-1.5} \sc D^{\sp{1.5}\prime}\,$
figure
2
Quelques unes des droites $\,r_\theta(\sc D)\,$ et $\,r_\theta(\sc D^{\sp{1.5}\prime})\,$
réponse
Le plan tangent à $\sc S$ en $A(1,0,0)$ est le plan
$\,\sc P=A+\!\big(\sp{-1.5}\op{Vect}(\vec{\imath}\,)\big)^{\large\perp}\!\,$ d'équation $\,x=1\sp{1.5}.\,$ L'intersection $\,\sc S\cap \sc P\,$ est la réunion des droites $\,\sc D=A+\smh0{\op{Vect}\sp{1.5}(\,\vec{\jmath}+\vecc k\,)}\,$ et $\,\sc D^{\sp{1.5}\prime}=A+\smh0{\op{Vect}\sp{1.5}(\,\vec{\jmath}-\vecc k\,)}\sp{1.5}.\,$
En désignant par $\,r_{\theta}\,$ la rotation d'axe $Oz$ et d'angle $\theta\app\bb R\sp{1.5},$ on obtient la famille des droites $\,r_\theta(\sc D)\,$ qui recouvrent la surface $\sc S.$ Il en va de même pour la famille des droites $\,r_\theta(\sc D^{\sp{1.5}\prime})\sp{1.5}.\,$
correction
Selon l'interprétation
Pour $\theta\app\bb R,$ la
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace euclidien, on se place dans le
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Un repère d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3$ est un quadruplet $(O,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ formé :
repère
orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\,)\sp{1.5}.$
La fonction $\,f:(x,y,z)\mapsto x^2+y^2-z^2-1\,$ est de
- d'un point $O\app E\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ de l'espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
classe
$\sc C^1$ sur $\bb R^3$ et a pour
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
gradient :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
$\displaystyle{} \smh{.7}{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)=2\sp{1.5}\big(x\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}-z\,\vecc k\,\big)}$
La surface $\sc S$
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
d'équation
$\,f(x,y,z)=0\,$ admet en chacun de ses points un plan
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
Soit, dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ d'un espace euclidien, une surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ étant de classe $\sc C^1,$ on considère un point régulier $M(x,y,z)$ de $\sc S\sp{1.5},$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la surface $\sc S$ admet pour plan tangent le plan passant par $M(x,y,z)$ et normal à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y,z)\sp{1.5}.$
tangent ;
en effet :
$\eqalign{f(x,y,z)=0&\Imp(x,y,z)\neq(0,0,0)\\
\txt{soit :}M(x,y,z)\app\sc S&\Imp\smh{.7}{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}}$
Étant donné que : $\,\Vec{\nabla}\!f(1,0,0)=2\sp{1.5}\veci\sp{1.5},\,$ le plan tangent en $A(1,0,0)$ est le
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires. Le plan affine $\sc P$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v}$ est l'ensemble :
plan
affine $\,\sc P=A+\big(\sp{-1.5}\op{Vect}(\vec{\imath}\,)\big)^{\!\large\perp}\,$ d'équation : $\,x=1\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc P=A+\op{Vect}(\vec u,\vec v)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u+\mu\sp{1.5}\vec v}{(\lambda,\mu)\app\bb R^2}$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
L'intersection
$\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P\,$ est alors caractérisé par : $\,x^2+y^2-z^2=1\txt{et}x=1\sp{1.5},\,$ ce qui pour $\,M(x,y,z)\,$ équivaut à :
$\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
$\eqalign{\big(\sp{1.5}x=1\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}y-z=0\sp{1.5}\big)&\!\!\txt{ou}\!\big(\sp{1.5}x=1\sp{-1.5}\txt{et}\sp{-1.5}y+z=0\sp{1.5}\big)\\
\txt{soit :}\Vec{AM\!}\app\op{Vect}\sp{1.5}(\,\vec{\jmath}+\vecc k\,)&\!\!\txt{ou}\!
\Vec{AM\!}\app\op{Vect}\sp{1.5}(\,\vec{\jmath}-\vecc k\,)}$
$\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P\,$ est ainsi la
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\,.$ La réunion de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ ou à $\,B:\,$
réunion
de deux
$\displaystyle{}A\cup B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ ou }\,x\app B}$
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$ La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :
droites
affines : $\,\sc D=A+\op{Vect}\sp{1.5}(\,\vec{\jmath}+\vecc k\,)\,$ et $\,\sc D^{\sp{1.5}\prime}=A+\op{Vect}\sp{1.5}(\,\vec{\jmath}-\vecc k\,)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$
|
La surface $\,\sc S\,$ et $\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P=\sc D\cup\sp{-1.5} \sc D^{\sp{1.5}\prime}\,$
|
Soit $\,f\app\op{SO}(E)\,$ dans un espace euclidien $E$ orienté de dimension $3\sp{1.5}.$
Il existe $\theta\app\bb R$ et $\sc B=(\veci,\vecj,\vec k)$ base orthonormale directe, tels que :
rotation
$\,r_{\theta}\,$ d'axe $\,Oz\,$ et d'angle $\,\theta\,$ applique $M(x,y,z)$ sur $M_{\theta}(X,Y\sp{-1.5},Z)\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}\op M_{\sc B}(f)=\matc{\,\cos\theta\,&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\ \\ \sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1}$
$\,f\,$ est la rotation de $\,E\,$ d'axe $\,D\,$ orienté par $\,\vecc k\sp{1.5},\,$ et d'angle $\,\theta\sp{1.5}.\,$
$\,f\restr{P}\,$ est la rotation du plan $P\sp{-1.5}=\sp{-1.5}D^{\perp}$ orienté par $(\veci,\vecj)\sp{1.5},$ et d'angle $\theta\sp{1.5}.$
$\eqalign{\matc{X\\Y\\Z}\!&=\!\matc{\cos\theta&\!\!\!\!-\sin\theta&\ 0\\\sin\theta&\,\cos\theta&\ 0\\0&0&\ 1}\!\matc{x\\y\\z}\!=\!\matc{x\sp{1.5}\cos\theta-y\sp{1.5}\sin\theta\\x\sp{1.5}\sin\theta+y\sp{1.5}\cos\theta\\z}\\
\!X^2\!+Y^2\!\sp{-1.5}&=(x\sp{1.5}\cos\theta\sp{-1.5}-\sp{-1.5}y\sp{1.5}\sin\theta)^2\!+\sp{-1.5}(x\sp{1.5}\sin\theta\sp{-1.5}+\sp{-1.5}y\sp{1.5}\cos\theta)^2\!\sp{-1.5}=\!x^2\!+\!y^2\\[.5ex]
&\txt{d'où :}\ X^2\!+Y^2\!-Z^2=x^2+y^2-z^2}$
Il s'ensuit que : $\,M\app\sc S\Ssi r_\theta(M)\app\sc S,\,$ c'est-à-dire que : $\,r_\theta(\sc S)=\sc S\sp{-1.5}.\,$ Avec $\,\sc D=\ens{A+\lambda(\vecj +\vecc k)}{\lambda\app\bb R}\sp{1.5},\,$ on montre par linéarité de $\,r_{\theta}\,$ que $\,r_\theta(\sc D)\,$ est une droite affine $\,\sc D_\theta:\,$
$\eqalign{&M=A+\lambda\sp{1.5}(\,\vecj +\vecc k\sp{1.5})\!\Imp\! r_\theta(M)=r_\theta(A)+\lambda\,r_\theta(\,\vecj +\vecc k\sp{1.5})\\[-.5ex]
&\txt{d'où :}r_\theta(\sc D)=r_\theta(A)+\op{Vect}\!\big(r_\theta(\sp{1.5}\vecj +\vecc k)\big)\\[0ex]
&\txt{avec :}\sc D\subset \sc S\!\Imp\! r_\theta(\sc D)\subset r_\theta(\sc S)=\sc S}$
Les ensembles $\,r_\theta(\sc D)\,$ sont des droites
Un ensemble $F$ est inclus dans l'ensemble $E$ ssi tout élément de $F$ appartient à $E:$
incluses
dans $\,\sc S\!,\,$
et le même raisonnement vaut pour les ensembles $\,r_\theta(\sc D^{\prime})\sp{1.5}.\,$
Pour montrer que ces droites $\,r_\theta(\sc D)\,$ recouvrent $\,\sc S\sp{-1.5},\,$ on considère un point quelconque $\,M(x_0,y_0,z_0)\,$ de $\,\sc S\sp{-1.5}.\,$ Ce point $M$ et le point $\,N(1,z_0,z_0)\,$ de $\,\sc D,\,$ se
$\displaystyle{}F\subset E\Ssi \big(x\app F \Imp x\app E\sp{1.5}\big)$
On dit alors que $F$ est une partie ou un sous-ensemble de $E\sp{1.5}.$
On désigne par $\,\sc P(E)\,$ l'ensemble des parties de $E\sp{1.5}.$
Soit, dans un espace euclidien $E,$ une droite affine $\,\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5}.\,$
Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc D$ est le seul point $H$ tel que :
projettent
orthogonalement en $\,H(0,0,z_0)\,$ sur $\,Oz\sp{1.5},\,$ et ils vérifient : $\displaystyle{}H\app\sc D\txt{et}\Vec{MH}\perp\vec u$
$\displaystyle{}HM^2=x_0^2+y_0^2=1+z_0^2=HN^2$
$M$ et $N$ sont donc sur un même
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
cercle
de centre $H$ dans le plan d'équation $\,z=z_0\sp{1.5},\,$ si bien qu'il existe $\theta\app\bb R$ tel que $\,M=r_\theta(N)\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
Plus précisément, $\theta$ est la mesure de
Étant donné que $N\app \sc D,$ on a ainsi prouvé que tout $M\app \sc S$ appartient à l'une des droites $\, r_\theta(\sc D)\sp{1.5}.\,$
Le même raisonnement avec le point $\,N'(1,\!-z_0,z_0)\,$ de $\,\sc D^{\sp{1.5}\prime}\,$ prouve l'existence d'un autre $\,\theta\app\bb R\,$ tel que $\,M\app r_{\theta}(D^{\sp{1.5}\prime})\sp{1.5}.\,$
On a finalement bien démontré que chacune des familles de droites $\,r_\theta(\sc D)\,$ et $\,r_\theta(\sc D^{\sp{1.5}\prime})\,$ recouvre la surface $\,\sc S:\,$
Soit $f$ une isométrie directe d'un plan euclidien orienté $P\,.$
Il existe $\theta\app\bb R$ tel que, dans toute base orthonormale directe $\,\sc B:\,$
l'angle
$\,\smh0{(\Vec{HN},\Vec{HM})}\,$ dans le plan $\,\op{Vect}(\veci,\vecj)\sp{1.5},\,$ orienté par le choix de la base $(\veci,\vecj\sp{1.5})\sp{1.5}.$$\displaystyle{}\op{M}_{\sc B}(f)=R_{\theta}=\matr{\cos\theta&\!\!-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta}$
l'isométrie $f$ est la rotation $\rho_{\sp{1.5}\theta}\sp{1.5},$ d'angle $\theta\sp{1.5},$ unique modulo $2\sp{1.5}\pi\sp{1.5}.$
- Pour tout $\,\vec u\neq\vecc0\sp{1.5},\,$ on a : $\,\big(\vec u,\rho_\theta(\vec u)\big)\equiv\theta\ [2\sp{1.5}\pi]\sp{1.5};\,$
- avec : $\,\rho_{\sp{1.5}\theta_1}\circ\rho_{\sp{1.5}\theta_2}=\rho_{\sp{1.5}\theta_1\sp{1.5}+\sp{1.5}\theta_2}\,,\,$ $\big(\op{SO}(P),\circ\big)$ est commutatif.
$\displaystyle{} \sc S=\union_{\theta\app\bb R}r_\theta(\sc D)=\union_{\theta\app\bb R}r_\theta(\sc D')$
|
Quelques unes des droites $\,r_\theta(\sc D)\,$ et $\,r_\theta(\sc D^{\sp{1.5}\prime})\,$
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Exercice d
Soit un espace euclidien $E$ de dimension $3$ rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\,)\sp{1.5}.$ On considère le plan $\sc P$ d'équation : $\,x+y+z=1\,$ et la surface $\sc S$ d'équation : $\,x^3+y^3+z^3=1\sp{1.5}.\,$
Démontrer que le plan $\sc P$ est tangent à $\sc S$ en trois points, puis déterminer l'intersection de $\sc S$ avec $\sc P.$
équation cartésienne d'une surface en dimension 3
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
plan tangent à une surface d'équation cartésienne donnée
Soit, dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ d'un espace euclidien, une surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ étant de classe $\sc C^1,$ on considère un point régulier $M(x,y,z)$ de $\sc S\sp{1.5},$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la surface $\sc S$ admet pour plan tangent le plan passant par $M(x,y,z)$ et normal à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y,z)\sp{1.5}.$
indication
1
Rechercher les points $\sp{1.5}M$ de $\,\sc S\cap\sc P\,$ tels que le gradient de $f$ en $M$ soit colinéaire au vecteur $\,\vec n=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vecc k\sp{1.5}.\,$
indication
2
Résoudre le système : $\, x^3+y^3+z^3=x+y+z=1\sp{1.5},\,$ en factorisant l'expression : $\,(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3.\,$
figure
$\sc S$ et $\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P=(AB)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(AC)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(BC)\,$
réponse
Le plan $\sc P$ est tangent à la surface $\sc S$ en trois points : $\,A\sp{1.5}(-1\sp{1.5},1\sp{1.5},1)\sp{1.5},\ B\sp{1.5}(1\sp{1.5},\sp{-1.5}-1\sp{1.5},1)\txt{et} C\sp{1.5}(1\sp{1.5},\sp{1.5}1\sp{1.5},\sp{-1.5}-1)\sp{1.5}.\,$
L'intersection de $\sc S$ avec $\sc P$ est alors la réunion de trois droites : $\,\sc S\cap\sc P=(AB)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(AC)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(BC)\,.\,$
correction
Selon l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace euclidien, on se place dans le
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Un repère d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3$ est un quadruplet $(O,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ formé :
repère
orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vecc k\,)\sp{1.5}.$La fonction $\,f:(x,y,z)\mapsto x^3+y^3+z^3-1\,$ est
- d'un point $O\app E\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
- d'une base $(\,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ de l'espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
$\,f:\Omega\to\bb R\,$ est de classe $\sc C^1$ sur un ouvert $\,\Omega\,$ de $\bb R^n$ ssi :
de classe $\sc C^1$
sur $\bb R^3$ et a pour
- $f$ admet en tout $\,a\app\Omega\,$ des dérivées partielles $\,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(a)\sp{1.5},\,$
- et les fonctions $\,x\mapsto\partial f\sp{-1.5}/\partial x_i(x)\,$ sont continues sur $\,\Omega\sp{1.5}.\,$
Soient $\Omega$ un ouvert de l'espace euclidien $\bb R^n$ et $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5}.$ Le gradient de $f$ en $a\app\Omega$ est l'unique vecteur $\smh{.5}{\Vec{\nabla}}\!f(a)\app\bb R^n$ tel que :
gradient :
$\displaystyle{}\ptt h\app\bb R^n,\ \d f(a)\!\cdot\!h=\ps{\smh1{\Vec{\nabla}}\!f(a)}h$
Il s'agit du vecteur $\,\Vec{\nabla}\!f(a)=\big(\partial f\sp{-1.5}/\partial x_1(a),\dots,\partial f\sp{-1.5}/\partial x_n(a)\big)\!\cdot\,$
$\displaystyle{} \smh{.7}{\Vec{\nabla}f(x,y,z)=3\big(x^2\ \vec{\imath}+y^2\ \vec{\jmath}+z^2\ \vec k\ \big)}.$
La surface $\sc S$
Soient $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ et $\Omega$ un ouvert de $\bb R^3.$ Pour $f\app\sc C^1(\Omega,\bb R)\sp{1.5},$ la surface $\sc S$ d'équation cartésienne $\,f(x,y,z)=0\,$ est l'ensemble :
d'équation
$\,f(x,y,z)=0\,$ admet en chacun de ses points un
$\displaystyle{}\sc S=\ens{M(x,y,z)\app E\,}{\,(x,y,z)\app\Omega\txt{et}f(x,y,z)=0}$
Soit, dans un repère orthonormal $(O,\vec{\imath},\sp{1.5}\vec{\jmath},\sp{1.5}\vec k\sp{1.5})$ d'un espace euclidien, une surface $\sc S$ d'équation $\,f(x,y,z)=0\sp{1.5}.\,$
$f$ étant de classe $\sc C^1,$ on considère un point régulier $M(x,y,z)$ de $\sc S\sp{1.5},$ c'est-à-dire tel que $\,\smh0{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}\sp{1.5}.\,$
Alors la surface $\sc S$ admet pour plan tangent le plan passant par $M(x,y,z)$ et normal à $\smh0{\Vec{\nabla}}\!f(x,y,z)\sp{1.5}.$
plan tangent ;
en effet :
$\eqalign{f(x,y,z)=0&\Imp(x,y,z)\neq(0,0,0)\\
\txt{soit :}M(x,y,z)\app\sc S&\Imp\smh{.7}{\Vec{\nabla}\!f(x,y,z)\neq\vecc0}}$
Le plan $\sc P$ est
Soit un espace vectoriel réel $E$ de repère $(O,\veci,\sp{1.5}\vecj,\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5}.$
Pour tout plan affine $\sc P,$ il existe $\,(a,b,c,d)\app\bb R^4,\,$ $\,(a,b,c)\neq(0,0,0)\sp{1.5},\,$ tel que :
normal
au vecteur $\,\vec n=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vecc k \sp{1.5};\,$ il est donc
tangent à $\sc S$ en $M(x,y,z)$ si et seulement si :$\displaystyle{}M(x,y,z)\app\sc P\Ssi a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y+c\sp{1.5}z+d=0$
Si $E$ est euclidien avec $(\veci,\,\vecj,\,\vecc k)$ orthonormale, $\sc P$ est normal à : $\,\vec n=a\sp{1.5}\veci+b\sp{1.5}\vecj+c\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5}.\,$
- d'une part : $\,M\app\sc S\cap\sc P,\,$ c'est-à-dire que : $\, x^3+y^3+z^3=x+y+z=1\sp{1.5},\,$
- et d'autre part, $\,\smh0{\Vec{\nabla}f(x,y,z)}\,$ est colinéaire à $\,\smh0{\vec n}\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire que : $\,x^2=y^2=z^2\neq 0\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}A\sp{1.5}(\sp{-1.5}-1,1,1),\ B\sp{1.5}(1,\!-1,1)\txt{et} C\sp{1.5}(1,\sp{1.5}1,\!-1)$
Soit l'expression
Une fonction polynomiale sur $\bb R^n$ est une fonction de la forme :
polynomiale :
$\,Q(x,y,z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3\sp{1.5};\,$ on caractérise alors
$\displaystyle{}(x_1\dots,x_n)\mapsto\!\!\sum_{(k_1,\sp{1.5}\dots\sp{1.5},\sp{1.5}k_n)} \!\!a_{k_1,\sp{1.5}\dots,\sp{1.5}k_n}\,x_1^{k_1}\!\dots x_n^{k_n}$
Ces fonctions sont continues sur $\bb R^n,$ et même de classe $\sc C^{\I}.$
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E\sp{1.5}.$
L'intersection de $A$ et $B$ est l'ensemble des $x\app E$ appartenant à $\,A\,$ et à $\,B:\,$
l'intersection
de $\sc S$ et $\sc P$ par : $\displaystyle{}A\cap B=\ens{x\app E}{x\app A \,\text{ et }\,x\app B}$
$\displaystyle{}M\app\sc S\cap\sc P\Ssi\syst{Q(x,y,z)&=0\\[-.5ex]\,x+y+z&=1}$
Pour $\,(y_0,z_0)\app \bb R^2\,$ fixé, $\,P(x)=Q(x,y_0,z_0)\,$ est une expression polynomiale de degré $\,2\,$ qui s'annule pour $\,x=-y_0\,$ et $\,x=-z_0\sp{1.5}.\,$ En supposant $\,y_0\neq z_0\sp{1.5},\,$ on a alors la
Soient, dans $\bb K[X]\sp{1.5},$ $\,A\neq0\,$ et $\,B=(X-\alpha_1)\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}(X-\alpha_p),\,$ avec des $\alpha_i$ deux à deux distincts ; alors :
factorisation :
$\,P(x)=\lambda(y_0,z_0)\sp{1.5}(x+y_0)(x+z_0)\sp{1.5}.\,$
On identifie alors $\,\lambda(y_0,z_0)\,$ en spécifiant $\,x\,$ en $\,0\,$ avec la
$\displaystyle{}B\txt{divise}\!A\Ssi A(\alpha_1)=\sp{-1.5}\dots\sp{-1.5}=A(\alpha_p)=0$
Pour $\,a,b\app\bb C\sp{1.5},\,$ on a les identités remarquables :
formule
du binôme :
$\eqalign{\sth{.75}(a+b)^2&=a^2+2\sp{1.5}a\sp{1.5}b+b^2\\[-.5ex](a+b)^3&=a^3+3\sp{1.5}a^2b+3\sp{1.5}a\sp{1.5}b^2+b^3}$
$\eqalign{P(0)&=(y_0+z_0)^3-y_0^3-z_0^3=3\,y_0^2z_0+3\,y_0\sp{1.5}z_0^2\\&=3\sp{1.5}y_0\sp{1.5}z_0\sp{1.5}(y_0+z_0)=\lambda(y_0,z_0)\,y_0\sp{1.5}z_0}$
En supposant de plus que $\,y_0\neq0\,$ et $\,z_0\neq0,\,$ on en déduit : $\,\lambda(y_0,z_0)=3\sp{1.5}(y_0+z_0)\,$ d'où la factorisation :
$\displaystyle{}Q(x,y_0,z_0)=3\sp{1.5}(x+y_0)(x+z_0)(y_0+z_0)$
Cette factorisation se révèle encore exacte lorsqu'on développe $\,Q(x,y_0,z_0)\,$ pour $\,y_0= z_0\sp{1.5},\,$ $\,y_0=0\,$ ou $\,z_0=0\sp{1.5},\,$ si bien que :
$\eqalign{&\ptt (x,y,z)\app\bb R^3,\ Q(x,y,z)=3\sp{1.5}(x+y)(x+z)(y+z)\\[.5ex]
&\txt{d'où :}M\app\,(\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P)\Ssi \syst{&\!(x+y)(x+z)(y+z)=0\\[-.5ex]&\sp{40}x+y+z=1}}$
L'intersection de la surface $\sc S$ avec le plan $\sc P$ est donc caractérisée par trois systèmes d'équations :
$\displaystyle{}\syst{\sp{1.5}x+y=0\\[-.5ex]z=1}\ \,\txt{ou}\ \syst{\sp{1.5}x+z=0\\[-.5ex]y=1}\,\ \txt{ou}\ \syst{\sp{1.5}y+z=0\\[-.5ex]x=1}$
Ces systèmes caractérisent trois droites affines, chacune étant l'intersection de deux
Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$
Étant donnés deux plans affines $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5};$ alors :
plans sécants.
Chacune de ces droites affines contient
- soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont confondus : $\,\sc P_1=\sc P_2\,;\,$
- soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont strictement parallèles : $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\vide\,;\,$
- soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont sécants : $\,\sc P_1\cap\sc P_2\,$ est une droite affine.
Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$
deux points
distincts parmi les points $\,A,\,$ $\,\!B\,$ et $\,C\sp{1.5},\,$ d'où finalement :
$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$
$\displaystyle{}\sc S\cap\sc P\sp{1.5}=(AB)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(AC)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(BC)$
On peut visualiser comme suit les parties de $\,\sc S\,$ et de $\,\sc S\cap\sc P\,$ incluses dans le pavé
$[-3,3\sp{1.5}]^{\sp{1.5}3}:$
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$\sc S$ et $\,\sc S\sp{-1.5}\cap\sp{-1.5}\sc P=(AB)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(AC)\sp{-1.5}\cup\sp{-1.5}(BC)\,$
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