Sujet C.4.4 Sphères
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Exercice a
Soient, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un cercle $\sc C$ de rayon $R>0$ inclus dans un plan affine $\sc P\sp{1.5},$ et un point $A$ pris hors du plan $\sc P\sp{1.5}.$
Démontrer l'existence d'une sphère $\sc S$ contenant le cercle $\sc C$ et passant par $A\sp{1.5}.$
Montrer que les plans affines, passant par un point $M$ de $\sc C$ et de vecteur normal $\smh0{\Vec{MA\sp{-1.5}}},$ passent tous par un point fixe $B\sp{1.5}.$
sphère dans un espace euclidien
Soient un point $\Omega$ d'un espace euclidien $E$ et un réel $\,R > 0\,.\,$
La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc S(\Omega,R)=\smh{1}{\ens{M\app E}{\Omega M=R\,}}$
caractérisation d'une sphère dont un diamètre est fixé
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} E$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est la sphère de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit de la sphère centrée au milieu $I$ de $(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
équation d'une sphère en dimension 3
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vecc{\imath},\vecc{\jmath},\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5}.$
la sphère $\sc S$ de centre $\,\Omega(a,b,c)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisée par :
$\displaystyle{}M(x,y,z)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
indication
1
$\Omega$ étant le centre du cercle $\sc C,$ rechercher le centre $I$ de $\sc S$ sous la forme $\,I=\Omega+\lambda\sp{1.5}\vec n\sp{-1.5},\,$ pour $\lambda\app\bb R\sp{1.5}.$
indication
2
Considérer le point $B$ de la sphère $\,\sc S\sp{-1.5},\,$ diamétralement opposé au point $A\sp{1.5}.$
figure
la sphère $\sc S$ contenant $\sc C$ et passant par $A$
réponse
Il existe bien une sphère $\sc S$ contenant le cercle $\sc C$ et passant par le point $A.$
Le point $B$ diamétralement opposé à $A$ sur $\sc S$ appartient à tous les plans, passant par $M$ et orthogonaux à $\Vec{MA\sp{-1.5}}\sp{1.5},$ lorsque $M$ décrit $\sc C.$
correction
On utilise ici l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace euclidien.
On considère un
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
Soit, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$
Le plan normal au vecteur $\smh0{\vec n}$ passant par le point $A$ est le plan affine :
plan affine
$\sc P$ de vecteur normal $\,\vec n\sp{-1.5}\neq\sp{-1.5}\vecc0\sp{1.5},\,$ et dans ce plan,
le
$\displaystyle{}A+\op{Vect}\!\big(\vec n\big)^{\sp{-1.5}\large\perp}=\ens{M\app E}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$
Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$ Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
cercle
$\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R\sp{1.5}.$
On conjecture, par raison de symétrie, que la
$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$
Soient un point $\Omega$ d'un espace euclidien $E$ et un réel $\,R > 0\,.\,$
La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
sphère
$\sc S$ est centrée en un point $\,I\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\Omega+\lambda\sp{1.5}\vec n\sp{1.5},\,$ pour $\lambda\app\bb R\sp{1.5}.$
Il existe alors une sphère $\sc S$ de centre $I\sp{1.5},$ contenant $\sc C$ et passant par $A$ si et seulement si : $\displaystyle{}\sc S(\Omega,R)=\smh{1}{\ens{M\app E}{\Omega M=R\,}}$
$\displaystyle{}\ptt M\app\sc C,\ IM=IA$
Sachant que pour tout $\,M\app\sc C,\,$ on a : $\,\Vec{I\Omega}\perp\Vec{\Omega M}\,$ et $\,\Omega M=R\sp{1.5},\,$ cela équivaut par
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a les identités suivantes :
identité
remarquable à :
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\sp{1.5}\ps uv\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u\|^2-\|v\|^2=\ps{u-v}{\sp{1.5}u+v}\sp{1.5}.\,$
$\eqalign{ \!IM^2\!-IA^2\!&=\big\|\Vec{I\Omega}+\Vec{\Omega M}\big\|^2\!-\big\|\Vec{I\Omega}+\Vec{\Omega A}\big\|^2\\
&=\big(I\Omega^2\!+\Omega M^2\big)\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\big(I\Omega^2\!+2\sp{1.5}\ps{\Vec{I\Omega}}{\Vec{\Omega A\!}}\sp{-1.5}+\Omega A^2\big)\\
&=R^{\sp{1.5}2}-2\sp{1.5}\lambda\sp{1.5}\ps{\vec n}{\Vec{\Omega A\!}}-\Omega A^2=0}$
Le point $A$ n'appartenant pas au plan $\sc P,$ on sait que : $\,\ps{\vec n}{\Vec{\Omega A\!}}\neq0\sp{1.5},\,$ et on en déduit l'existence d'une solution $\lambda\sp{1.5},$ avec :
$\displaystyle{}\big(\ptt M\app\sc C,\ IM=IA\big)\Ssi\lambda=\smh{1.5}{\frac{R^{\sp{1.5}2}-\Omega A^2}{2\sp{1.5}\ps{\vec n}{\sth1\Vec{\Omega A\!}}\,}}$
Il existe donc bien une sphère $\sc S$ contenant le cercle $\sc C$ et passant par le point $A\sp{1.5}.$
Considérons le point $B$ de la sphère $\sc S,$ diamétralement opposé à $A\sp{1.5},$ soit : $\,B=I-\Vec{IA\sp{-1.5}}\sp{1.5};\,$ on a alors, pour tout point $M$ du cercle $\sc C:$
$\displaystyle{}\ps{\Vec{MB}}{\Vec{MA\!}}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\ps{\Vec{MI}\!+\!\Vec{IB}}{\Vec{MI}\!+\!\Vec{IA\!}}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}MI^2\!-IA^2\!=0$
Cela nous prouve que ce point $B$ appartient à tous les
Soit, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$
Le plan normal au vecteur $\smh0{\vec n}$ passant par le point $A$ est le plan affine :
plans affines
$\,M\sp{-1.5}+\sp{-1.5}\smh0{\big(\!\op{Vect}(\Vec{MA\!})\big)^{\sp{-1.5}\large\perp}}\!.\,$
$\displaystyle{}A+\op{Vect}\!\big(\vec n\big)^{\sp{-1.5}\large\perp}=\ens{M\app E}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$
|
la sphère $\sc S$ contenant $\sc C$ et passant par $A$
|
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Exercice b
Pour deux points $A\neq B$ dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ déterminer des points $I$ et $J$ tels que :
$\displaystyle{}\smh{0.5}{2\sp{1.5}\Vec{\sp{-1.5}AI}\!-\Vec{BI}\!=\vecc0\txt{et}2\sp{1.5}\Vec{\sp{-1.5}AJ}\!+\Vec{BJ}\!=\vecc0}$
En déduire l'ensemble $\sc S$ des points $M$ de $E$ qui sont deux fois plus près de $A$ que de $B\,.$
sphère dans un espace euclidien
Soient un point $\Omega$ d'un espace euclidien $E$ et un réel $\,R > 0\,.\,$
La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
$\displaystyle{}\sc S(\Omega,R)=\smh{1}{\ens{M\app E}{\Omega M=R\,}}$
caractérisation d'une sphère dont un diamètre est fixé
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} E$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est la sphère de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit de la sphère centrée au milieu $I$ de $(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
équation d'une sphère en dimension 3
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vecc{\imath},\vecc{\jmath},\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5}.$
la sphère $\sc S$ de centre $\,\Omega(a,b,c)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisée par :
$\displaystyle{}M(x,y,z)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$
indication
1
Exprimer $\,4\sp{1.5}\big\|\Vec{AM}\big\|^2-\big\|\Vec{BM}\big\|^2\,$ comme un produit scalaire, et le simplifier au moyen des points $I$ et $J\sp{1.5}.$
indication
2
Utiliser le milieu de $(I,J)$ pour interpréter géométriquement la relation caractérisant l'ensemble $\sc S\sp{1.5}.$
figure
La sphère $\sc S$ de diamètre $[I,J]$
réponse
On obtient les deux points $\,I=A-\sp{1.5}\Vec{\sp{-1.5}AB}\,$ et $\,J=A+\dfrac13\,\Vec{\sp{-1.5}AB}\,,\,$ de milieu : $\,\Omega=A-\dfrac13\,\Vec{\sp{-1.5}AB}\sp{1.5}.\,$
L'ensemble $\sc S$ est alors la sphère de diamètre $(I,J),$ c'est-à-dire la sphère centrée en $\,\Omega\,$ et de rayon $\,R=\dfrac23\sp{1.5}AB\sp{1.5}.\,$
correction
Selon l'interprétation
En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :
géométrique
d'un espace euclidien, on a par la relation de Chasles, les formules suivantes :
- pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
- pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$
$\eqalign{&2\sp{1.5}\Vec{AI}\!-\Vec{BI}=2\sp{1.5}\Vec{AI}-(\Vec{BA}\!+\!\Vec{AI})&=\Vec{AI}\!+\Vec{AB}\\[-.5ex]
&2\sp{1.5}\Vec{AJ}\!+\Vec{BJ}\!=2\sp{1.5}\Vec{AJ}\!+(\Vec{BA}\!+\!\Vec{AJ})&=3\sp{1.5}\Vec{AJ}\!-\Vec{AB}}$
On en déduit l'existence et l'unicité des deux points $\,I=A-\sp{1.5}\Vec{\sp{-1.5}AB}\,$ et $\,\smh1{J=A+\dfrac13\,\Vec{\sp{-1.5}AB}}\,$ tels que : $\displaystyle{}2\,\Vec{\sp{-1.5}AI}-\Vec{BI}=\Vec0\,\txt{et}\,2\,\Vec{\sp{-1.5}AJ}+\Vec{BJ}=\vecc0$
Par
Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a les identités suivantes :
identité
remarquable, l'ensemble $\sc S$ des points $M$ tels que $\,2\,AM=BM\,$ est caractérisé par la relation :
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\sp{1.5}\ps uv\sp{1.5};\,$
- $\,\ptt u,v\app E,\ \|u\|^2-\|v\|^2=\ps{u-v}{\sp{1.5}u+v}\sp{1.5}.\,$
$\displaystyle{}\smh0{4\sp{1.5}\big\|\Vec{AM}\big\|^2\!-\big\|\Vec{BM}\big\|^2\!=\ps{2\Vec{AM}\!\!-\!\Vec{BM}\!}{\sp{1.5}2\Vec{AM}\!\!+\!\Vec{BM}}=0}$
On utilise alors les points $I$ et $J$ pour simplifier les deux termes de ce produit scalaire :
$\eqalign{2\sp{1.5}\Vec{AM}\!-\Vec{BM}\!&=2\big(\Vec{AI}\!+\Vec{IM}\big)-\big(\Vec{BI}\!+\Vec{IM}\big)=\Vec{IM}\\[-1ex]
2\sp{1.5}\Vec{AM}\!+\Vec{BM}\!&=2\big(\Vec{AJ}\!+\Vec{JM}\big)+\big(\Vec{BJ}\!+\Vec{JM}\big)=3\,\Vec{JM}}$
$\sc S$ est alors l'ensemble des points $M\app E$ tels que : $\,\ps{\Vec{IM}}{\Vec{JM}}=0\sp{1.5},\,$ c'est-à-dire : $\,\Vec{IM}\!\perp\!\Vec{JM}\!.\,$
Cet ensemble est la
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un espace euclidien $E\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} E$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est la sphère de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit de la sphère centrée au milieu $I$ de $(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
sphère
de diamètre $(I,J),$ c'est-à-dire la sphère centrée au
Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ deux points $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$
Le milieu du couple de points $(A,B)$ est le point :
milieu
$\,\Omega\,$ de $\,(I,J)\,$ et de rayon $\,R=\Omega I\sp{1.5}.\,$
On calcule alors : $\,\Omega=\dfrac12\sp{1.5}(I+J)=A-\dfrac13\,\Vec{\sp{-1.5}AB}\,$ et
$\,R=\big\|\Vec{\Omega I}\sp{-1.5}\big\|=\big\|\Vec{A I\!}-\sp{-1.5}\Vec{A\Omega\sp{-1.5}}\big\|=\big\|\sp{-1.5}-\sp{-1.5}\dfrac23\sp{1.5}\Vec{AB}\big\|=\dfrac23\sp{1.5}AB\,.\,$
$\displaystyle{}m(A,B)={\dfrac12(A+B)=A+\dfrac12\,\Vec{AB}}$
L'équivalent de ce résultat en géométrie plane est classique, avec le
L'ensemble $\,\sc S\,$ est ainsi la
Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$
L'ensemble des points $M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} P$ tels que $\,\Vec{AM}\perp\Vec{BM}\,$ est le cercle de diamètre $(A,B)\sp{1.5}.$ Il s'agit du cercle centré au milieu $I$ de $\sth{.7}(A,B)$ et de rayon $\,R=AB\sp{-1.5}/2\,.\,$
cercle
de diamètre $(A,B)\sp{1.5};$ cela résulte de :
$\eqalign{&\ps{\Vec{IM}}{\Vec{JM}}&=\ps{\Vec{I\Omega}+\Vec{\Omega M}}{\Vec{J\Omega}+\Vec{\Omega M}}\\[-.5ex]&&=\ps{\Vec{\Omega M}+\Vec{I\Omega}}{\Vec{\Omega M}-\Vec{I\Omega}}=\Omega M^2-I\Omega^2\\
&\txt{d'où :}\Vec{IM}&\perp\Vec{JM}\Ssi \Omega M=\Omega I}$
Soient un point $\Omega$ d'un espace euclidien $E$ et un réel $\,R > 0\,.\,$
La sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :
sphère
de centre $\,\Omega=A-\dfrac13\,\Vec{\sp{-1.5}AB\sp{1.5}}\,$ et de rayon $\,R=\dfrac23\sp{1.5}AB\,.\,$
$\displaystyle{}\sc S(\Omega,R)=\smh{1}{\ens{M\app E}{\Omega M=R\,}}$
|
La sphère $\sc S$ de diamètre $[I,J]$
|
Avec $\,d=AB\!>\!0\sp{1.5},\,$ on peut aussi aussi caractériser l'ensemble $\sc S$ en
Dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.
complétant
le vecteur $\,\vecc \imath\!=\!\Vec{AB}\!/\sp{-1.5}d\,$ en une base orthonormale $\,(\vecc\imath,\vecc\jmath,\vecc k)\,.\,$
En prenant le point $A$ pour origine, la condition $\,2\sp{1.5}AM=BM\,$ s'écrit alors dans le repère $\,(A,\vecc\imath,\vecc\jmath,\vecc k):\,$
$\eqalign{&4\,(x^2+y^2+z^2)=(x-d)^2+y^2+z^2\\\Ssi&x^2+\frac{2\sp{1.5}d}3\sp{1.5}x+y^2+z^2+\frac{2\sp{1.5}d}3\sp{1.5}x=\frac{d\sp{1.5}^2}3\\[-.5ex]
\Ssi&\Big(x+\frac{d}3\Big)^{\!2}+y^2+z^2=\frac{4\,d\sp{1.5}^2}9}$
On reconnaît ainsi
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un repère orthonormal $(O,\vecc{\imath},\vecc{\jmath},\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5}.$
la sphère $\sc S$ de centre $\,\Omega(a,b,c)\,$ et de rayon $R\!>\!0$ est caractérisée par :
l'équation
de la sphère de centre : $\,\Omega\Big(\!-\dfrac{d}3,\sp{1.5}0,\sp{1.5}0\Big),\,$ et de rayon : $\,R=\dfrac{2\,d}3\!\cdot\,$$\displaystyle{}M(x,y,z)\app\sc C\Ssi(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$