Maths - prépa et université : franchir la première marche

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Chapitre 4	Retour au choix d'un sujet Géométrie en dimension 3

Sujet C.4.3 Distances et orthogonalité

Choisir un exercice, puis le résoudre :

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice a

Soient, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un point $A$ et un plan affine $\mathscr{P}$ contenant un point $O$.

Montrer qu'il existe une droite affine $\mathscr{D}$ de $\mathscr{P}$ passant par $O$ et dont la distance à $A$ soit minimale.

Cette droite $\sc D$ est-elle unique ? Y a-t-il dans le plan $\mathscr{P}$ d'autres droites plus proches de $A$ que cette droite $\sc D\,?$

cours 0/3 ▼

indications 0/2 ▼

figures 0/2 ▼

réponse ▼

correction ▼

théorème de Pythagore géométrique

Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ trois points $A\sp{1.5},B$ et $C\,;$ alors :

$\displaystyle{}\Vec{AB}\perp\Vec{AC}\Ssi AB^2+AC^2=BC^2$

projeté orthogonal d'un point sur un plan affine

Soit, dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ un plan affine $\,\sc P\,$ de direction $P.$

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc P$ est le seul point $H$ tel que :

$\displaystyle{}H\app\sc P\txt{et}\Vec{MH}\app \sp{1.5}P^{\large\perp}$

hyperplan médiateur de deux points

Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

L'hyperplan médiateur de $(A,B)$ est l'hyperplan normal à $\Vec{AB}$ passant par le milieu de $(A,B)\sp{1.5}.$

Cet hyperplan est l'ensemble des points $M\app E$ tels que : $\,AM=BM\sp{1.5}.\,$

indication 1

Considérer le point $H\sp{1.5},$ projeté orthogonal du point $A$ sur le plan affine $\sc P\sp{1.5}.$

indication 2

Appliquer le théorème de projection orthogonale au vecteur $\Vec{OH\!}\sp{-1.5},$ projeté sur le plan vectoriel dirigeant le plan $\sc P\sp{1.5}.$

figure 1

$\,H\!\neq\! O:\,$ $\,d(A,\sc D)=AH\,$

figure 2

$\,H\!=\!O:\,$ $\,d(A,\sc D)=AO\,$

réponse

En désignant par $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan affine $\sc P,$ alors :

lorsque$\,H\neq O\sp{1.5},\,$ la droite $(OH)$ est la seule droite de $\sc P$ passant par $O$ qui soit à une distance minimale du point $A\,;$
lorsque $\,H=O\sp{1.5},\,$ toutes les droites de $\sc P$ passant par $O$ sont à une distance minimale du point $A\sp{1.5}.$

Aucune droite de $\sc P$ n'est plus proche de $A$ que celles-ci ; en revanche, toute droite de $\sc P$ passant par $H$ réalise aussi cette distance minimale.

correction

Dans l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$ vérifient alors la relation de Chasles : $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$ est le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un espace vectoriel euclidien, si on désigne par $P$ la direction du

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.

Le plan affine $\sc P$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v}$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc P=A+\op{Vect}(\vec u,\vec v)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u+\mu\sp{1.5}\vec v}{(\lambda,\mu)\app\bb R^2}$

plan affine $\sc P\sp{1.5},$ on a : $\,\sc P=O+P\sp{1.5}.\,$

Soit $H$ le

Soit, dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ un plan affine $\,\sc P\,$ de direction $P.$

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc P$ est le seul point $H$ tel que :

$\displaystyle{}H\app\sc P\txt{et}\Vec{MH}\app \sp{1.5}P^{\large\perp}$

projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\sc P\sp{1.5};$ avec $\,\Vec{OH}\!\app P\,$ et $\,\Vec{AH}\!\app\sp{1.5}P^{\large\perp},\,$ cela signifie que $\Vec{OH}$ est le

Soit dans un espace préhilbertien réel $E,$ un sous-espace vectoriel $F$ tel que $E=F\oplus F^{\perp}\!.$

La projection orthogonale sur $F$ est l'application $\,\pi_F\app \sc L(E),\,$ définie par :

$\displaystyle{}\sth2\pi_F:\syst{\,E&=F\oplus F^{\perp}\!\to F\oplus F^{\perp}\\[-1ex] \,u&=\ v+w\ \,\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,\pi_F\circ\pi_F=\pi_F,\,$ avec : $\,F=\op{Im}(\pi_F)=\op{Ker}(\pi_F-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker} (\pi_F).\,$

projeté orthogonal de $\Vec{OA}$ sur $P.$

Selon le

Soient $F$ un sous-espace de dimension finie de $E$ préhilbertien réel, et $u\app E\sp{1.5}.$

Le projeté orthogonal de $\,u\,$ sur $\,F\,$ est l'unique $\,\pi_F(u)\app F\,$ tel que :

$\displaystyle{}\big\|u-\pi_F(u)\big\|=\min\ens{\|u-v\|}{v\app F}=d\sp{1.5}(u,F)$

Si $\,(e_1,\dots,e_p)\,$ est une base orthonormale de $F,$ alors :

$\displaystyle{}\pi_F(u)=\smh{1.5}{\dsum_{k=1}^p}\ps{e_k}u\sp{1.5}e_k$

théorème de projection orthogonale, il s'ensuit que $\,\|\Vec{AH}\!\|\,$ est la distance du vecteur $\Vec{OA}$ au plan vectoriel $P:$

$\displaystyle{}\big\|\Vec{AH}\sp{-1.5}\big\|=\big\|\Vec{OA}-\Vec{OH}\big\|=\min\ens{\big\|\Vec{OA}\!-\vec v\sp{1.5}\big\|}{\sp{1.5}\vec v\app P}$

Cette distance $\,d(\Vec{OA},P)\,$ est donc égale à $\,d(A,\sc P),\,$ c'est-à-dire à la plus courte distance du point $A$ à tout point $M$ de $\sc P:$

$\eqalign{AH\!=\!d(\Vec{OA\!},P)&=\min\ens{\big\|\Vec{OA\!}-\Vec{OM\!}\big\|}{\sp{-1.5}M\app \sc P}\\[-.5ex]&=\min\ens{AM}{\sp{-1.5}M\app \sc P}=d(A,\sc P)}$

Pour toute

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine $\sc D$ incluse dans $\sc P\sp{1.5},$ on a alors : $\,\ens{AM}{\sp{-1.5}M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5}\sc D}\sp{-1.5}\subset\sp{-1.5}\ens{AM}{\sp{-1.5}M\sp{-1.5}\app\sp{-1.5} \sc P}\!\cdot\,$

Il s'ensuit que $\,d(A,\sc D)=\min\ens{AM}{M\app\sc D}\,$ appartient à $\,\ens{AM}{M\app\sc P}\sp{1.5},\,$ et est donc

Soient $\,(E,\leq)\,$ un ensemble ordonné et $A$ une partie de $E\sp{1.5}.$

Un élément $\,m\,$ de $\,E\,$ est un minorant de $A$ ssi : $\,\ptt x\app A,\ x\geq m\sp{1.5}.\,$

Si $\,m\app A\sp{1.5},\,$ il est unique ; c'est le plus petit élément de $A:$ $\,m=\min A\sp{1.5}.\,$

minoré par $\,d(A,\sc P):\,$

$\displaystyle{}d(A,\sc P)=\min\ens{AM}{M\app\sc P}\leq d(A,\sc D)$

Il suffit alors que $H$ appartienne à la droite affine $\sc D$ pour qu'on ait l'égalité : $\,d(A,\sc D)\sp{-1.5}=\sp{-1.5}d(A,\sc P)=AH\sp{1.5};\,$
réciproquement, si $H$ n'appartient pas à $\sc D\sp{1.5},$ on a alors $\,HM \sp{-1.5}>\sp{-1.5} 0\,$ pour tout $M\app \sc D\sp{1.5},$ et donc selon le théorème de
Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ trois points $A\sp{1.5},B$ et $C\,;$ alors :
$\displaystyle{}\Vec{AB}\perp\Vec{AC}\Ssi AB^2+AC^2=BC^2$

Pythagore :
$\eqalign{AM=\sqrt{AH^2+HM^2} > AH}$

La distance de $A$ à une droite affine $\sc D$ du plan $\sc P$ est donc minimale si et seulement si le point $H$ appartient à $\sc D\sp{1.5}.$

Lorsque$\,H\neq O\sp{1.5},\,$
Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$
Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$
$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$

la droite $\,\sc D=(OH)\,$ est la seule droite de $\sc P$ passant par $O$ qui soit à une distance minimale du point $A\,;$
lorsque $\,H=O\sp{1.5},\,$ toutes les droites $\,\sc D\,$ de $\sc P$ passant par $O$ sont à une distance minimale du point $A\sp{1.5}.$

Aucune droite de $\sc P$ n'est plus proche de $A$ que celles-ci ; en revanche, toute droite de $\sc P$ passant par $H$ réalise aussi cette distance minimale.

$\,H\!\neq\! O:\,$ $\,d(A,\sc D)=AH\,$

$\,H\!=\!O:\,$ $\,d(A,\sc D)=AO\,$

Signaler une erreur Signaler une erreur Exercice b

Soit, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un cercle $\sc C$ de centre $\Omega$ inclus dans un plan affine $\sc P.$

Préciser quel est l'ensemble $\,\sc M_{A,B}\,$ des points de $E$ équidistants de deux points distincts $A$ et $B\sp{1.5}.$

En déduire l'ensemble $\sc D$ des points de $E$ équidistants de tous les points du cercle $\sc C.$

cours 0/3 ▼

indications 0/2 ▼

figure ▼

réponse ▼

correction ▼

théorème de Pythagore géométrique

Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ trois points $A\sp{1.5},B$ et $C\,;$ alors :

$\displaystyle{}\Vec{AB}\perp\Vec{AC}\Ssi AB^2+AC^2=BC^2$

projeté orthogonal d'un point sur un plan affine

Soit, dans un espace euclidien $E\sp{1.5},$ un plan affine $\,\sc P\,$ de direction $P.$

Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur $\sc P$ est le seul point $H$ tel que :

$\displaystyle{}H\app\sc P\txt{et}\Vec{MH}\app \sp{1.5}P^{\large\perp}$

hyperplan médiateur de deux points

Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

L'hyperplan médiateur de $(A,B)$ est l'hyperplan normal à $\Vec{AB}$ passant par le milieu de $(A,B)\sp{1.5}.$

Cet hyperplan est l'ensemble des points $M\app E$ tels que : $\,AM=BM\sp{1.5}.\,$

indication 1

Interpréter la relation $\,\|\Vec{AM}\|^2 - \|\Vec{BM}\|^2=0\,$ comme une relation d'orthogonalité entre deux vecteurs.

indication 2

Considérer trois points non alignés $\,A,B,C\,$ sur le cercle $\,\sc C\sp{-1.5},\,$ et prouver que : $\,\sc D=\big(\sc P_{\!A,B}\sp{1.5}\cap\sc P_{\!A,C}\big).\,$

figure

Les plans $\,\sc P,\,\sc P_{\!A,B}\sp{1.5},\,\sc P_{\!A,C}\,$ et l'axe $\sc D$ du cercle $\sc C$

réponse

$\,\sc P_{\!A,B}\,$ est le plan médiateur de $(A,B),$ passant par le milieu $I$ de $(A,B)$ et normal à ${\Vec{AB}}:$

$\displaystyle{}\smh{.5}{\sc P_{\!A,B}=I+\big(\!\op{Vect}\!\big({\Vec{AB}}\big)\sp{-1.5}\big)^{\large\perp}}$

L'ensemble $\,\sc D\,$ est l'axe du cercle $\,\sc C\sp{-1.5},\,$ passant par $\Omega$ et dirigé par un vecteur $\,\vec n\,$ normal à $P,$ soit :

$\displaystyle{}\sc D=\Omega+\op{Vect}\sp{1.5}(\sp{1.5}\vec n\sp{1.5})$

correction

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$ le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$ le point $\,B=A+\vec u\,$ est tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$ vérifient alors la relation de Chasles : $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$ est le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un espace vectoriel euclidien.

L'ensemble $\,\sc P_{\!A,B}\,$ des points équidistants de $A$ et $B$ est le plan

Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un espace euclidien $E\sp{1.5}.$

L'hyperplan médiateur de $(A,B)$ est l'hyperplan normal à $\Vec{AB}$ passant par le milieu de $(A,B)\sp{1.5}.$

Cet hyperplan est l'ensemble des points $M\app E$ tels que : $\,AM=BM\sp{1.5}.\,$

médiateur de $(A,B),$ passant par le

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ deux points $\,A\,$ et $\,B\sp{1.5}.\,$

Le milieu du couple de points $(A,B)$ est le point :

$\displaystyle{}m(A,B)={\dfrac12(A+B)=A+\dfrac12\,\Vec{AB}}$

milieu $I$ de $(A,B)$ et

Soit, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$

Le plan normal au vecteur $\smh0{\vec n}$ passant par le point $A$ est le plan affine :

$\displaystyle{}A+\op{Vect}\!\big(\vec n\big)^{\sp{-1.5}\large\perp}=\ens{M\app E}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$

normal à ${\Vec{AB}}:$

$\displaystyle{}\smh{1}{\sc P_{\!A,B}=I+\big(\!\op{Vect}\!\big(\Vec{AB}\big)\big)^{\large\perp}}$

L'équivalent de ce résultat en géométrie plane est classique, avec la

Soient deux points distincts $A$ et $B$ dans un plan euclidien $P\sp{1.5}.$

La médiatrice de $(A,B)$ est la normale à $\smh0{\Vec{AB}}$ issue du milieu de $(A,B)\sp{1.5}.$

Cette médiatrice est l'ensemble des points $M\app P$ tels que : $\,AM=BM\sp{1.5}.\,$

médiatrice de deux points ; il résulte de

Dans un espace préhilbertien réel $E,$ on a les identités suivantes :

$\,\ptt u,v\app E,\ \|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\sp{1.5}\ps uv\sp{1.5};\,$
$\,\ptt u,v\app E,\ \|u\|^2-\|v\|^2=\ps{u-v}{\sp{1.5}u+v}\sp{1.5}.\,$

l'identité remarquable :

$\displaystyle{}\big\|\Vec{AM}\big\|^2 - \big\|\Vec{BM}\big\|^2=\ps{\Vec{AM}-\Vec{BM}}{\Vec{AM}+\Vec{BM}}$

On en déduit : $\,AM^2-BM^2=\ps{\Vec{AB}}{2\sp{1.5}\Vec{IM}}=0\sp{1.5},\,$ d'où enfin : $\,AM=BM\Ssi \smh0{\Vec{IM}\perp\Vec{AB}}.\,$

Étant donné dans le plan $\,\sc P\,$ le

Soient, dans un plan euclidien $P,$ un point $\Omega$ et un réel $\,R > 0\,.\,$

Le cercle $\,\sc C\,$ de centre $\Omega$ et de rayon $R$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc C=\smh{1}{\ens{M\app P}{\Omega M=R\,}}$

cercle $\sc C$ de centre $\Omega$ et rayon $R\sp{-1.5}>\sp{-1.5}0\sp{1.5},$ on considère pour un point $A$ fixé sur $\sc C:$

le point $B$ diamétralement opposé à $A:$ $\,B=\smh0{\Omega-\Vec{\Omega A}},\,$
et un troisième point $C$ distinct de $A$ et $B\sp{1.5}.$

$A$ et $B$ étant les seuls points de

Soient deux points distincts $A$ et $B$ appartenant à un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Il existe une et une seule droite affine, notée $(AB),$ telle que $\,A\app\sp{1.5}(AB)\!\txt{et}\!B\app\sp{1.5}(AB):\,$

$\displaystyle{}(AB)=A+\op{Vect}(\Vec{AB})=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}}{\lambda\app\bb R}$

la droite $(AB)$ à la distance $\,R\,$ de $\,\Omega\sp{1.5},\,$ les points $A,$ $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.

Soit $\vec n\neq\vecc 0$ un vecteur normal à $\sc P\sp{1.5};$ les vecteurs $\Vec{AB}$ et $\Vec{AC}$ n'étant pas colinéaires, les plans médiateurs $\,\sc P_{\!A,B}\,$ et $\,\sc P_{\!A,C}\,$ sont

Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés deux plans affines $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5};$ alors :

soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont confondus : $\,\sc P_1=\sc P_2\,;\,$
soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont strictement parallèles : $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\vide\,;\,$
soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont sécants : $\,\sc P_1\cap\sc P_2\,$ est une droite affine.

Dans les deux premiers cas, $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont parallèles : $\,\sc P_1/\!\sp{-1.5}/\sc P_2\,.\,$

sécants.

Ils ont donc pour intersection une

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine $\sc D$ contenant $\Omega$ et dirigée par le vecteur $\,\vec n\,$ qui est orthogonal à $\Vec{AB}$ et $\Vec{AC}.$

L'ensemble des points de $E$ équidistants de tous les points du cercle $\sc C$ est donc l'axe de ce cercle :

$\displaystyle{}\sc D=\Omega+\op{Vect}(\vec n)$

On a en effet, d'une part : $\,\ens{M\app E}{\ptt N\app \sc C,\ MN=MA}\subset\big(\sc P_{\!A,B}\cap\sc P_{\!A,C}\big)=\sc D\sp{1.5},\stb1\,$
et réciproquement par le théorème de
Soient, dans un espace préhilbertien réel $E,$ trois points $A\sp{1.5},B$ et $C\,;$ alors :
$\displaystyle{}\Vec{AB}\perp\Vec{AC}\Ssi AB^2+AC^2=BC^2$

Pythagore, lorsque $M\app\sc D:$
$\displaystyle{}\ptt N\app\sc C,\ MN^2 = M\Omega^2+\Omega N^2=M\Omega^2+R^2$
si bien que le point $M$ est équidistant de tous les points $N$ du cercle $\sc C,$ avec : $\,MN=\sqrt{\sth{.4}M\Omega^2+R^2}\,.\,$

Les plans $\,\sc P,\,\sc P_{\!A,B}\sp{1.5},\,\sc P_{\!A,C}\,$ et l'axe $\sc D$ du cercle $\sc C$