exercices de mathématiques - prépa et université

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

géométrique d'un espace vectoriel réel.

Les

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.

Le plan affine $\sc P$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v}$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc P=A+\op{Vect}(\vec u,\vec v)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u+\mu\sp{1.5}\vec v}{(\lambda,\mu)\app\bb R^2}$

plans affines $\sc P_i$ étant

Soient dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ deux sous-espaces affines $\sc F$ et $\sc G\sp{1.5},$ de directions respectives $F$ et $G:$

• $\sc F$ et $\sc G$ sont dits parallèles  ssi  ils ont la même direction : $\,F=G\sp{1.5};\,$ cette relation se note : $\,\sc F\sp{-1.5}/\!\sp{-1.5}/\sp{1.5}\sc G.\,$
• Avec une seule inclusion $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ on dit encore que $\sc F$ est parallèle à $\sc G,$ mais sans la réciproque.

parallèles, ont pour direction commune un plan vectoriel $P.$

Sachant que la

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droite affine $\,\sc D^{\sp{1.5}\prime}\,$

Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés une droite affine $\sc D$ et un plan affine $\sc P$ de $E\sp{1.5},$  alors :

• soit $\sc D$ est incluse dans $\sc P:$ $\,\sc D\subset\sc P\,;\,$
• soit $\sc D$ et $\sc P$ sont disjoints : $\,\sc D\cap\sc P=\vide\sp{1.5};\,$
• soit $\sc D$ et $\sc P$ sont sécants : $\,\iex I\app E,\ \sc D\cap\sc P=\{I\}\!\cdot\,$

Dans les deux premiers cas, la droite $\sc D$ est parallèle au plan $\sc P\sp{1.5}.$

coupe les plans $\,\sc P_i\sp{1.5},\,$ elle ne leur est pas

Soient dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ deux sous-espaces affines $\sc F$ et $\sc G\sp{1.5},$ de directions respectives $F$ et $G:$

• $\sc F$ et $\sc G$ sont dits parallèles  ssi  ils ont la même direction : $\,F=G\sp{1.5};\,$ cette relation se note : $\,\sc F\sp{-1.5}/\!\sp{-1.5}/\sp{1.5}\sc G.\,$
• Avec une seule inclusion $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ on dit encore que $\sc F$ est parallèle à $\sc G,$ mais sans la réciproque.

parallèle.

La direction $\,D^{\sp{1.5}\prime}\,$ de $\,\sc D^{\sp{1.5}\prime}\,$ n'est donc pas incluse dans l'hyperplan $P,$ ce qui implique que $D^{\sp{1.5}\prime}$ et $P$ sont

Soient $H$ un hyperplan et $D$ une droite d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Alors  $H$ et $D$ sont supplémentaires  ssi  $D$ n'est pas incluse dans $H.$

supplémentaires.

Dans ces conditions, les vecteurs $\Vec{AB}$ et $\Vec{AC}$ se

Soit $\,H=F+G\,$ la somme de deux sous-espaces d'un espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Cette somme est directe  ssi  tout vecteur $\,w\app H\,$ a une décomposition unique :

$\displaystyle{}\sth{.5}w=u+v\sp{1.5},\txt{avec}u\app F\txt{et}v\app G$

• On écrit alors $\,H=F+G\,$ sous la forme :  $\,H=F\oplus G\sp{1.5};\,$
• on a aussi l'équivalence :$\,\sth{.5}H=F\oplus G\Ssi F\cap G=\{0\}\!\cdot\,$

décomposent selon $\,E=D^{\sp{1.5}\prime}\sp{-1.5}\oplus\sp{-1.5} P:\,$ La

Soient deux sous-espaces supplémentaires $F$ et $G$ dans un $\bb{K}\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

La projection de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$  est $\,p\app \sc L(E)\,$ définie par :

$\displaystyle{}p:\syst{\sp{1.5}E&=F\oplus G\to E\\[-1ex] \sp{1.5}u&=\ v+w\,\mapsto\, v}$

On a alors : $\,p\circ p =p\sp{1.5},\,$ avec : $\,F=\op{Im}p=\op{Ker}(p-\op{Id}_E)\,$ et $\,G=\op{Ker}p\sp{1.5}.\,$

projection $\pi$ de $E$ sur $D^{\sp{1.5}\prime}$ selon la direction $P$ étant une application linéaire, on obtient :

Configuration de Thalès en dimension $3$

Supposons qu'on remplace le plan $\,\sc P_3\,$ par un autre plan affine coupant toujours $\sc D$ et $\sc D'$ en $C$ et $C',$ mais non parallèle aux plans $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5}.$

Dans ce cas, les relations $\,\Vec{AC}=\lambda\sp{1.5}\Vec{AB}\,$ et $\,\Vec{A'C'\sp{-1.5}}=\lambda\sp{1.5}\Vec{A'B'\sp{-1.5}}\,$ restent inchangées, malgré que $\sc P_3$ ne soit plus parallèle à $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5}.$

On a ainsi démontré que la réciproque suggérée est fausse.

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un espace vectoriel euclidien, dans un

Un repère d'un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3$  est un quadruplet $(O,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ formé :

• d'un point $O\app E\sp{1.5},$ appelé l'origine du repère ;
• d'une base $(\,\vecc{\imath},\,\vecc{\jmath},\,\vecc k)$ de l'espace vectoriel $E\sp{1.5}.$

Pour $(x,y,z)\app\bb R^3,$ $\,M=O+x\sp{1.5}\vecc{\imath}+y\sp{1.5}\vecc{\jmath}+z\sp{1.5}\vecc k\,$ est le point de coordonnées $(x,y,z)\sp{1.5},$ noté $M(x,y,z)\sp{1.5}.$

Pour des points $M(x,y,z)$ et $N(x',y',z'),$ on a : $\,\smh{1}{\Vec{MN}}=(x'-x)\sp{1.5}\vecc{\imath}+(y'-y)\sp{1.5}\vecc{\jmath}+(z-z')\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5}.\,$

repère orthonormal.

Chaque

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.

Le plan affine $\sc P$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v}$ est l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc P=A+\op{Vect}(\vec u,\vec v)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u+\mu\sp{1.5}\vec v}{(\lambda,\mu)\app\bb R^2}$

plan affine $\,\sc P_\ell\,$

Soit un espace vectoriel réel $E$ de repère $(O,\veci,\sp{1.5}\vecj,\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5})\sp{1.5}.$

Pour tout plan affine $\sc P,$ il existe $\,(a,b,c,d)\app\bb R^4,\,$ $\,(a,b,c)\neq(0,0,0)\sp{1.5},\,$ tel que :

$\displaystyle{}M(x,y,z)\app\sc P\Ssi a\sp{1.5}x+b\sp{1.5}y+c\sp{1.5}z+d=0$

Si $E$ est euclidien avec $(\veci,\,\vecj,\,\vecc k)$ orthonormale, $\sc P$ est normal à : $\,\vec n=a\sp{1.5}\veci+b\sp{1.5}\vecj+c\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5}.\,$

d'équation $\,a_\ell\,x+b_\ell\,y+c_\ell\sp{1.5}z+d_\ell=0 \,$ est

Soit, dans un espace euclidien $E$ de dimension $3\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\,\vec n\neq\vecc0\sp{1.5}.\,$

Le plan normal au vecteur $\smh0{\vec n}$ passant par le point $A$  est  le plan affine :

$\displaystyle{}A+\op{Vect}\!\big(\vec n\big)^{\sp{-1.5}\large\perp}=\ens{M\app E}{{\Vec{AM}}\perp \vec n}$

normal à $\,\vec{n_\ell}=a_\ell\sp{1.5}\veci+b_\ell\sp{1.5}\vecj+c_\ell\sp{1.5}\vecc k\sp{1.5};\,$ il est donc dirigé par $\,P_\ell=\big(\!\op{Vect}(\vec{n_\ell}\!)\sp{-1.5}\big)^{\!\large\perp}\sp{-1.5}.\,$

Les vecteurs $\vec{n_\ell}$ étant deux à deux non

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

• Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.

colinéaires, les directions $\big(\!\op{Vect}(\vec{n_\ell}\!)\sp{-1.5}\big)^{\!\large\perp}\sp{-1.5}$ sont deux à deux distinctes.

Les plans $\,\sc P_\ell\,$ sont ainsi non

Soient dans un $\bb K\tiret$espace vectoriel $E$ deux sous-espaces affines $\sc F$ et $\sc G\sp{1.5},$ de directions respectives $F$ et $G:$

• $\sc F$ et $\sc G$ sont dits parallèles  ssi  ils ont la même direction : $\,F=G\sp{1.5};\,$ cette relation se note : $\,\sc F\sp{-1.5}/\!\sp{-1.5}/\sp{1.5}\sc G.\,$
• Avec une seule inclusion $\,F\subset G\sp{1.5},\,$ on dit encore que $\sc F$ est parallèle à $\sc G,$ mais sans la réciproque.

parallèles, et donc deux à deux

Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

Étant donnés deux plans affines $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5};$  alors :

• soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont confondus : $\,\sc P_1=\sc P_2\,;\,$
• soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont strictement parallèles : $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\vide\,;\,$
• soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont sécants : $\,\sc P_1\cap\sc P_2\,$ est une droite affine.

Dans les deux premiers cas, $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont parallèles : $\,\sc P_1/\!\sp{-1.5}/\sc P_2\,.\,$

sécants selon des

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droites affines :

Les vecteurs

Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

$u_1,\dots,u_p$ sont coplanaires  ssi  ils appartiennent à un même plan vectoriel.

• Trois vecteurs non coplanaires forment une famille libre ;
• en nombre $\,p\geq 3\sp{1.5},\,$ des vecteurs coplanaires forment une famille liée.

coplanaires $\vec{n_\ell}$ appartiennent tous à un même plan vectoriel $\,\Pi\sp{1.5},\,$ qu'ils engendrent car ils ne sont pas colinéaires : On peut caractériser ce plan vectoriel $\,\Pi\,$ par un vecteur normal $\,\vec \nu\neq\vecc 0\!:\,$  $\,\Pi=\big(\!\op{Vect}(\vec{\nu})\big)^{\!\large\perp}\!.\,$

Le vecteur $\vec\nu,$ orthogonal à chaque vecteur normal $\vec{n_\ell}\sp{-1.5},$ appartient alors à tous les plans vectoriels $\,P_\ell\sp{1.5},\,$ d'où :

Il s'ensuit que les droites $\sc D_{1,2}\sp{1.5},$ $\sc D_{1,3}$ et $\sc D_{2,3}$  toutes de même direction, sont

Soient deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$  d'un $\bb R\tiret$espace vectoriel dirigées par $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}\sp{-1.5}.$

$\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles  ssi  leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires :

$\displaystyle{}\sc D_1\sp{1.5}/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\Ssi\op{Vect}\!\big(\vec{u_1}\!\big)=\op{Vect}\!\big(\vec{u_2}\!\big)$

parallèles entre elles.

Deux cas se présentent alors :

• Si $\,\sc P_1\cap\sc P_2\cap\sc P_3\neq\vide\sp{1.5},\,$ on a pour $\,I\app\sc P_1\cap\sc P_2\cap\sc P_3\,$ et $\,\sc D=I+\op{Vect}(\vec{\nu})\sp{-1.5}:\,$
  $\displaystyle{}\sc D_{1,2}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\sc D_{1,3}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\sc D_{2,3}\sp{-1.5}=\sp{-1.5}\sc D\sp{1.5},\txt{d'où :}\sc P_1\cap\sc P_2\cap\sc P_3 \sp{-1.5}=\sp{-1.5} \sc D$
• Si $\,\sc P_1\cap\sc P_2\cap\sc P_3=\vide\sp{1.5},\,$ leurs intersections $\,\sc D_{1,2}\sp{1.5},\ \sc D_{1,3}\,$ et $\,\sc D_{2,3}\,$ sont deux à deux coplanaires et disjointes, et donc strictement
  Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :

  • soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
  • soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
  • soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

  Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$
  parallèles.

Le cas $\,\sc P_1\cap\sc P_2\cap\sc P_3\neq\vide\,$

Le cas $\,\sc P_1\cap\sc P_2\cap\sc P_3=\vide\,$

On utilise ici l'interprétation

En géométrie, les éléments d'un espace préhilbertien réel $E$ sont appelés selon leurs rôles, points ou vecteurs :

• pour deux points $A$ et $B\sp{1.5},$  le vecteur $\,\Vec{AB}\,$ est  défini par : $\,\Vec{AB}=B-A\,;\,$
• pour un point $A$ et un vecteur $\vec u\sp{1.5},$  le point $\,B=A+\vec u\,$ est  tel que : $\,\vec u=\Vec{AB}\sp{-1.5}.\,$

Trois points $A,\sp{1.5}B,\sp{1.5}C$  vérifient alors la relation de Chasles :  $\,\smh0{\Vec{AB}+\Vec{BC}=\Vec{AC}}\sp{-1.5}.\,$

La distance entre deux points $A$ et $B$  est  le nombre positif : $\,AB=\|\smh0{\Vec{AB}}\|\sp{1.5}.\,$

géométrique d'un espace vectoriel euclidien.

Soient $D_1$ et $D_2$ les droites vectorielles dirigeant respectivement les

Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et un vecteur $\vec u\neq\vecc 0\sp{.75}.$

La droite affine $\sc D$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ est  l'ensemble :

$\displaystyle{}\sc D=A+\op{Vect}(\vec u)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u}{\lambda\app\bb R}$

droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2\,;$ deux cas se présentent :

• Lorsque $D_1=D_2=\op{Vect}(\vec u)\sp{1.5},$ les droites $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont
  Soient deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$  d'un $\bb R\tiret$espace vectoriel dirigées par $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}\sp{-1.5}.$

  $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles  ssi  leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont colinéaires :

  $\displaystyle{}\sc D_1\sp{1.5}/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\Ssi\op{Vect}\!\big(\vec{u_1}\!\big)=\op{Vect}\!\big(\vec{u_2}\!\big)$
  parallèles et distinctes.
  Pour $\,A\app\sc D_1\,$ et $\,B\app\sc D_2\sp{1.5},\,$ $\Vec{AB}$ et $\vec u$ ne sont pas
  Soient dans un espace vectoriel $E\sp{1.5},$ des vecteurs $u_1,\dots,u_p\sp{1.5}.$

  $u_1,\dots,u_p$ sont colinéaires  ssi  ils appartiennent à une même droite vectorielle.

  • Deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre ;
  • en nombre $\,p\geq 2\sp{1.5},\,$ des vecteurs colinéaires forment une famille liée.
  colinéaires, car sinon on aurait : $\,B=A+\Vec{AB}\app \sc D_1\sp{1.5},\,$ et donc : $\,\sc D_1=\sc D_2\sp{1.5}.\,$
  $\,\smh0{\Pi=\op{Vect}(\vec u,\sp{-1.5}\Vec{AB}\sp{-1.5})}\,$ est donc un
  Soit $E$ un espace vectoriel engendré par une famille finie.

  Les bases de $E$ ont toutes le même cardinal fini, noté : $\,\dim(E)\sp{1.5}.\,$

  C'est  la  dimension de $E\sp{1.5},$ et on pose : $\,\dim(\{0_E\})=0\sp{1.5}.\,$

  • lorsque $\,\dim(E)=1:\,$ $E$  est  une droite vectorielle ;
  • lorsque $\,\dim(E)=2:\,$ $E$  est  un plan vectoriel.
  plan vectoriel et les droites $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont incluses dans le
  Soient, dans un $\bb R\tiret$espace vectoriel $E\sp{1.5},$ un point $A$ et deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ non colinéaires.

  Le plan affine $\sc P$ passant par le point $A$ et dirigée par $\smh0{\vec u}$ et $\smh0{\vec v}$ est l'ensemble :

  $\displaystyle{}\sc P=A+\op{Vect}(\vec u,\vec v)=\ens{A+\lambda\sp{1.5}\vec u+\mu\sp{1.5}\vec v}{(\lambda,\mu)\app\bb R^2}$
  plan affine $\,\sc P=A+\Pi\sp{1.5}.\,$
  Soit $\,\Delta\,$
  Dans un espace préhilbertien réel $E:$

  • l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
  • si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$
  l'orthogonal de $D_1$ dans le plan $\Pi\sp{1.5};$ pour tout $I\app\sc D_1\sp{1.5},$ la droite affine $\,\sc D=I+\Delta\,$ est une perpendiculaire commune à $\sc D_1$ et $\sc D_2\sp{1.5}.$

• Lorsque $\,D_1\neq D_2\sp{1.5},\,$ $D_1\sp{-1.5}\oplus\sp{-1.5} D_2$ est un plan vectoriel dont l'
  Soient $A$ une partie d'un espace préhilbertien réel $E\,.$

  L'orthogonal de $A$ dans $E$ est l'ensemble suivant :

  $\displaystyle{}A^{\perp}=\ens{u\app E}{\ptt v\app A,\ u\perp v}$
  orthogonal est un
  Dans un espace préhilbertien réel $E:$

  • l'orthogonal $A^{\perp}$ de toute partie $A$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E\,;$
  • si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie,  alors : $\,E=F\oplus F^{\perp}\,.\,$
  supplémentaire, c'est-à-dire une droite $\Delta\sp{1.5}.$
  Les plans vectoriels $\,\Pi_1=D_1\oplus\Delta\,$ et $\,\Pi_2=D_2\oplus\Delta\,$ sont alors distincts, car sinon l'hypothèse $\,D_1\neq D_2\,$ serait contredite par :
  $\displaystyle{}\smh0{D_1=\Pi_1\cap\Delta^{\sp{1.5}\large\perp}=\Pi_2\cap\Delta^{\sp{1.5}\large\perp}=D_2}$
  On considère alors, pour chaque $\,i\app\{1,2\}\sp{1.5},\,$ le plan affine $\,\sc P_i\,$ contenant $\,\sc D_i\,$ et dirigé par $\,\Pi_i=D_i\oplus\Delta\sp{1.5}.\,$
  Dans ces conditions, ces deux plans $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont
  Soit $E$ un espace vectoriel réel $E$ de dimension $3\sp{1.5}.$

  Étant donnés deux plans affines $\sc P_1$ et $\sc P_2\sp{1.5};$  alors :

  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont confondus : $\,\sc P_1=\sc P_2\,;\,$
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont strictement parallèles : $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\vide\,;\,$
  • soit $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont sécants : $\,\sc P_1\cap\sc P_2\,$ est une droite affine.

  Dans les deux premiers cas, $\sc P_1$ et $\sc P_2$ sont parallèles : $\,\sc P_1/\!\sp{-1.5}/\sc P_2\,.\,$
  sécants et ont pour intersection une droite $\,\sc D\,$ dirigée par $\,\Delta=\Pi_1\cap\Pi_2\,.\,$
  La droite $\,\sc D\,$ est donc de direction orthogonale à $D_1$ et $D_2\sp{1.5},$ et elle est
  Dans un plan vectoriel réel $P,$ deux droites affines $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont :

  • soit confondues, si $\,\sc D_1=\sc D_2\,;\,$
  • soit strictement parallèles, si $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\vide\,;\,$
  • soit sécantes, lorsqu'il existe $I\app P$ tel que : $\,\sc D_1\cap\sc D_2=\{I\}\cdot\,$

  Dans les deux premiers cas, $\sc D_1$ et $\sc D_2$ sont parallèles : $\,\sc D_1/\!\sp{-1.5}/\sc D_2\sp{1.5}.\,$
  sécante avec $\sc D_1$ dans le plan $\sc P_1$  et avec $\sc D_2$ dans le plan $\sc P_2\,.$

On peut se représenter ces deux situations de la manière suivante :

Le cas $\,D_1=D_2\,$

Le cas $\,D_1\neq D_2\,$

On peut finalement discuter du nombre de perpendiculaires communes à $\,\sc D_1\,$ et $\,\sc D_2:\,$

• Lorsque $\,D_1=D_2\sp{1.5},\,$ chaque point $\,I\app\sc D_1\,$ détermine une perpendiculaire commune à $\,\sc D_1\,$ et $\,\sc D_2\sp{1.5},\,$ d'où une infinité de telles droites.
• Dans le cas $\,D_1\neq D_2\sp{1.5},\,$ toute perpendiculaire à $\,\sc D_1\,$ et $\,\sc D_2\,$ est incluse dans $\sc P_1$ et $\sc P_2$ et coïncide donc avec $\,\sc P_1\cap\sc P_2=\sc D\,$ qui est unique.